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Full text of "Théorie analytique de la chaleur"

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University  of  Ottawa 


http://www.archive.org/details/thorieanalytiqOOfour 


THÉORIE 


DE 


LA  CHALEUR. 


DE  L'IMPRIMERIE  DE  FIRMIN  DIDOT,  IMPRIMEUR  DU  ROI, 

DE    l'institut    et    DE    LA    MARINE. 


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A    :      i 


THÉORIE 


ANALYTIQUE 


DE  LA  CHALEUR, 


Par  m.  FOURIER. 


A    PARIS, 


CHEZ  FIRMIN  DIDOT,  PERE  ET  FILS, 

LIBRAIRES    POUR    LES    MATHÉMATIQUES,    L  ARCHITECTURE    HYDRAULIQUE 
ET  LA    MARlJN'E,  RUE    JACOB,   N°   1^. 

I  822. 


DISCOURS 

PRÉLIMINAIRE. 


l^ES  causes  primordiales  ne  nous  sont  point  con- 
nues; mais  elles  sont  assujetties  à  des  lois  simples 
et  constantes ,  que  l'on  peut  découvrir  par  1  obser- 
vation, et  dont  l'étude  est  l'objet  de  la  philosopliie 
naturelle. 

La  chaleur  pénètre,  comme  la  gravité,  toutes  les 
substances  de  l'univers,  ses  rayons  occupent  toutes 
les  parties  de  l'espace.  Le  but  de  notre  ouvrage  est 
d'exposer  les  lois  mathématiques  que  suit  cet  élé- 
ment. Cette  théorie  formera  désormais  une  des 
branches  les  plus  importantes  de  la  physique  gé- 
nérale. 

Les  connaissances  que  les  plus  anciens  peuples 
avaient  pu  acquérir  dans  la  mécanique  rationnelle 
ne  nous  sont  point  parvenues,  et  Ihistoire  de  cette 
science,  si  l'on  excepte  les  premiers  théorèmes  sur 


a 


ij  DISCOURS 

riiarmonie,  ne  remonte  point  au-delà  des  décou- 
Yertes  d'Archimède.  Ce  grand  géomètre  expliqua  les 
principes  mathématiques  de  l'équilibre  des  solides 
et  des  fluides.  Il  s'écoula  environ  dix -huit  siècles 
avant  que  Galilée,  premier  inventeur  des  théories 
dynamiques ,  découvrit  les  lois  du  mouvement  des 
corjDs  graves.  Newton  embrassa  dans  cette  science 
nouvelle  tout  le  sjstème  de  l'univers.  Les  succes- 
seurs de  ces  philosophes  ont  donné  à  ces  théories 
une  étendue  et  une  perfection  admirables  ;  ils  nous 
ont  appris  que  les  phénomènes  les  plus  divers  sont 
soumis  à  un  petit  nombre  de  lois  fondamentales, 
qui  se  reproduisent  dans  tous  les  actes  de  la  nature. 
On  a  reconnu  que  les  mêmes  principes  règlent  tous 
les  mouvements  des  astres ,  leur  forme,  les  inégalités 
de  leurs  cours,  l'équilibre  et  les  oscillations  des 
mers,  les  vibrations  harmoniques  de  l'air  et  des 
corps  sonores,  la  transmission  de  la  lumière,  les 
actions  capillaires,'  les  ondulations  des  liquides, 
enfin  les  effets  les  plus  composés  de  toutes  les  forces 
naturelles,  et  l'on  a  confirmé  cette  pensée  de  Newton  : 
Quod  tain  paiicis  tam  multa  prœstet  geometria  glo- 
t'iatur. 

Mais  quelle  que  soit  l'étendue  des  théories  méca- 
niques ,  elles  ne  s'appliquent  point  aux  effets  de  la 


PRÉLIMINAIRE.  iij 

chaleur.  Ils  composent  un  ordre  spécial  de  pliéno- 
mènes  qui  ne  peuvent  s'expliquer  par  les  principes 
du  mouvement  et  de  l'équilibre.  On  possède  depuis 
long-temps  des  instruments  ingénieux ,  propres  à 
mesurer  plusieurs  de  ces  effets;  on  a  recueilli  des 
observations  précieuses;  mais  on  ne  connait  ainsi 
que  des  résultats  partiels,  et  non  la  démonstration 
mathématique  des  lois  qui  les  comprennent  tous. 

J'ai  déduit  ces  lois  d'une  longue  étude  et  de  la 
comparaison  attentive  des  faits  connus  jusqu'à  ce 
jour;  je  les  ai  tous  observés  de  nouveau  dans  le 
cours  de  plusievixs  annéps,  avec  les  instruments  les 
plus  précis  dont  ou  ait  encor  fait  usage. 

Pour  fonder  cette  théorie,  il  était  d'abord  néces- 
saire de  distinguer  et  de  définir  avec  précision  les 
propriétés  élémentaires  qui  déterminent  l'action  de 
la  chaleur.  J  ai  reconnu  ensuite  que  tous  les  phé- 
nomènes qui  dépendent  de  cette  action ,  se  ré- 
solvent en  un  très-petit  nombre  de  faits  généraux 
et  simples  ;  et  par  là  toute  question  physique  de  ce 
genre  est  ramenée  à  une  recherche  d  analyse  mathé- 
matique. J  en  ai  conclu  que  pour  déterminer  en 
nombre  les  mouvements  les  plus  variés  de  la  cha- 
leur, il  suffit  de  soumettre  chaque  substance  à  trois 
observations  fondamentales.  En  effet,  les  différents 


a. 


iv  DISCOURS 

corps  ne  possèdent  point  au  même  degré  la  faculté 
de  contenir  la  chaleur,  de  la  recevoir ,  ou  de  la  trans- 
mettre à  travers  leur  superficie,  et  de  la  conduire 
dazis  l'intérieur  de  la  masse.  Ce  sont  trois  qualités 
spécifiques  que  notre  théorie  distingue  clairement, 
et  qu'elle  apprend  à  mesurer. 

Il  est  facile  de  juger  comhien  ces  recherches  inté- 
ressent les  sciences  physiques  et  l'économie  civile, 
et  quelle  peut  être  leur  influence  sur  les  jjrogrès 
des  arts  qui  exigent  l'emploi  et  la  distribution  du 
feu.  Elles  ont  aussi  une  relation  nécessaire  avec  le 
système  du  monde,  et  l'on  connaît  ces  rapports,  si 
Ton  considère  les  grands  phénomènes  qui  s'accom- 
plissent près  de  la  surface  du  globe  terrestre. 

En  effet ,  le  rayon  du  soleil  dans  lequel  cette  pla- 
nète est  incessamment  plongée,  pénètre  l'air,  la 
terre  et  les  eaux;  ses  éléments  se  divisent,  changent 
de  directions  dans  tous  les  sens ,  et  pénétrant  dans 
la  masse  du  globe,  ils  en  élèveraient  de  plus  en 
plus  la  température  moyenne ,  si  cette  chaleur 
ajoutée  n'était  pas  exactement  compensée  par  celle 
qui  s'échappe  en  rayons  de  tous  les  points  de  la 
superficie ,  et  se  répand  dans  les  cieux. 

Les  divers  climats,  inégalement  exposés  à  l'action 
de  la  chaleur  solaire,  ont  acquis  après  un  temps 


PRÉLIMINAIRE.  •    v 

immense  des  températures  propres  à  leur  situation. 
Cet  effet  est  modifié  par  plusieurs  causes  accessoires , 
telles  que  l'élévation  et  la  figure  du  sol,  le  voisinage 
et  l'étendue  des  continents  et  des  mers,  l'état  de  la 
surface ,  la  direction  des  vents. 

L'intermittence  des  jours  et  des  nuits,  les  alter- 
natives des  saisons  occasionnent ,  dans  la  terre 
solide,  des  variations  périodiques  qui  se  renou- 
vellent chaque  jour  ou  chaque  année;  mais  ces 
changements  sont  d'autant  moins  sensibles,  que  le 
point  où  on  les  mesure  est  plus  distant  de  la  surface. 
On  ne  peut  remarquer  aucune  variation  diurne  à 
la  profondeur  d'environ  trois  mètres;  et  les  varia- 
tions annuelles  cessent  d'être  appréciables  à  une 
profondeur  beaucoup  moindre  que  60  mètres.  La 
température  des  lieux  profonds  est  donc  sensible- 
ment fixe,  dans  un  lieu  donné;  mais  elle  n'est  pas 
la  même  pour  tous  les  points  d'un  même  parallèle  ; 
en  général,  elle  s  élève  lorsqu'on  s'approche  de 
léquateur. 

La  chaleur  que  le  soleil  a  communiquée  au  globe 
terrestre,  et  qui  a  produit  la  diversité  des  climats, 
est  assujettie  maintenant  à  un  mouvement  devenu 
uniforme.  Elle  s'avance  dans  lintérieur  de  la  masse 
qu'elle  pénètre  toute  entière,  et  eu  même  temps 


vj  DISCOURS 

elle  s'éloigne  du  plan  de  l'équateur,  et  va  se  perdre 
dans  l'espace  à  travers  les  contrées  polaires. 

Dans  les  hautes  régions  de  l'atmosphère,  l'air  très- 
rare  et  diaphane  ne  retient  qu'une  faible  partie  de 
la  chaleur  des  rayons  solaires  ;  c'est  la  cause  princi- 
pale du  froid  excessif  des  lieux  élevés.  Les  couches 
inférieures,  plus  denses  et  plus  échauffées  par  la 
terre  et  les  eaux,  se  dilatent,  et  s  élèvent;  elles  se 
refroidissent  par  l'effet  même  de  la  dilatation.  Les 
grands  mouvements  de  l'air,  comme  les  vents  alizés 
qui  soufflent  entre  les  tropiques ,  ne  sont  point 
déterminés  par  les  forces  attractives  de  la  hine  et 
du  soleil.  L'action  de  ces  astres  ne  produit  sur  un 
fluide^  aussi  rare,  à  une  aussi  grande  distance,  que 
des  oscillations  très-peu  sensibles.  Ce  sont  les  chan- 
gements des  températures  qui  déplacent  périodique- 
ment toutes  les  parties  de  1  atmosphère. 

Les  eaux  de  lOcéan  sont  différemment  exposées 
par  leur  surface  aux  rayons  du  soleil  ;  et  le  fond  du 
bassin  qui  les  renferme  est  échauffé  très -inégale- 
ment, depuis  les  pôles  jusqu'à  l'équateur.  Ces  deux 
causes,  toujours  présentes,  et  combinées  avec  la 
gravité  et  la  force  centrifuge,  entretiennent  des 
mouvements  immenses  dans  l'intérieur  des  mers. 
Elles  en  déplacent  et  en  mêlent  toutes  les  parties,  et 


PRELIMINAIRE.  vij 

produisent  ces  courants  réguliers  et  généraux  que 
les  navigateurs  ont  observés. 

La  chaleur  rayonnante  qui  s'écliappe  de  la  super- 
ficie de  tous  les  corps ,  et  traverse  les  milieux  élas- 
tiques, ouïes  espaces  vides  d'air,  a  des  lois  spéciales, 
et  elle  concourt  aux  phénomènes  les  plus  variés.  On 
connaissait  déjà  l'explication  physique  de  plusieurs 
de  ces  faits;  la  théorie  mathématique  que  j'ai  for- 
mée en  donne  la  mesure  exacte.  Elle  consiste  en 
quelque  sorte  dans  une  seconde  catoptrique  qui  a 
ses  théorèmes  propres ,  et  sert  à  déterminer  par  le 
calcul  tous  les  effets  de  la  chaleur  directe  ou  ré- 
fléchie. 

Cette  énumération  des  objets  principaux  de  la 
théorie,  fait  assez  connaître  la  nature  des  questions 
que  je  me  suis  proposées.  Quelles  sont  ces  qualités 
élémentaires  que  dans  chaque  substance  il  est 
nécessaire  d'observer,  et  quelles  expériences  sont 
les  plus  propres  à  les  déterminer  exactement?  Si  des 
lois  constantes  règlent  la  distribution  de  la  chaleur 
dans  la  miatière  solide ,  quelle  est  lexpression mathé- 
matique de  ces  lois  ?  et  par  quelle  analyse  peut-on 
déduire  de  cette  expression  la  solution  complète  des 
questions  principales? 

Pourquoi  les  températures  terrest  res  cessent-elles 


viij  DISCOURS 

d'être  variables  à  une  profondeur  si  petite  par  rap- 
port au  rayon  du  globe  ?  Chaque  inégalité  du  mou- 
vement de  cette  planète  devant  occasionner  au-des- 
sous de  la  surface  une  oscillation  de  la  chaleur 
solaire ,  quelle  relation  y  a-t-il  entre  la  durée  de  la 
période  et  la  profondeur  où  les  températures  de- 
viennent constantes  ? 

Quel  temps  a  dû  s'écouler  pour  que  les  climats 
pussent  acquérir  les  températures  diverses  c[u'ils 
conservent  aujourd'hui;  et  quelles  causes  peuvent 
faire  varier  maintenant  leur  chaleur  moyenne  ? 
Pourquoi  les  seuls  changements  annuels  de  la  dis- 
tance du  soleil  à  la  terre,  ne  causent-ils  pas  à  la  sur- 
face de  cette  planète  des  changements  très-considé- 
rables dans  les  températures  ? 

A  quel  caractère  pourrait- on  reconnaître  que  le 
globe  terrestre  n'a  pas  entièrement  perdu  sa  chaleur 
d  origine  ;  et  quelles  sont  les  lois  exactes  de  la  déper- 
dition ? 

Si  cette  chaleur  fondamentale  n'est  point  totale- 
ment dissipée,  comme  l'indiquent  plusieurs  obser- 
vations ,  elle  peut  être  immense  à  de  grandes  pro- 
fondeurs, et  toutefois  elle  na  plus  aujourd'hui  au- 
cune influence  sensible  sur  la  température  moyenne 
des  climats.  Les  effets  que  Ion  y  observe  sont  dus  à 


PRÉLIMINAIRE.  ix 

l'action  des  rayons  solaires.  Mais  indépendamment 
de  ces  deux  sources  de  chaleur,  l'une  fondamentale 
et  primitive ,  propre  au  globe  terrestre ,  l'autre  due 
à  la  présence  du  soleil,  n'y  a-t-il  point  une  cause  plus 
universelle,  qui  détermine  la  température  du  ciel, 
dans  la  partie  de  l'espace  qu'occupe  maintenant  le 
système  solaire  ?  Puisque  les  faits  observés  rendent 
cette  cause  nécessaire  ,  cpielles  sont  dans  cette 
question  entièrement  nouvelle  les  conséquences 
dune  théorie  exacte?  comment  pourra-t-on  déter- 
nbiner  cette  valeur  constante  de  la  température  de 
l'espace,  et  en  déduire  celle  qui  convient  à  chaque 
planète  ? 

Il  faut  ajouter  à  ces  questions  celles  qui  dépendent 
des  propriétés  de  la  chaleur  rayonnante.  On  connaît 
t^îs-distinctement  la  cause  physique  de  la  réflexion 
du  froid,  c est-à-dire  de  la  réflexion  d'une  moindre 
chaleur  ;  mais  quelle  est  l'expression  mathématique 
de  cet  effet? 

De  quels  principes  généraux  dépendent  les  tem- 
pératures atmosphéricpies ,  soit  que  le  thermomètre 
qui  les  mesure  reçoive  immédiatement  les  rayons 
du  soleil,  sur  une  surface  métallique  ou  dépolie, 
soit  que  cet  instrument  demeure  exposé,  durant  la 
nuit,  sous  un  ciel  exempt  de  nuages,  au  contact  de 

b 


X  DISCOURS 

l'air,  au  rayonnement  des  corps  terrestres,  et  à  celui 
des  parties  de  l'atmosphère  les  plus  éloignées  et  les 
plus  froides. 

L'intensité  des  rayons  qui  s'échappent  d'un  point 
de  la  superficie  des  corps  échauffés  variant  avec  leur 
inclinaison  suivant  une  loi  que  les  expériences  ont 
indiquée,  n'y  a-t-il  pas  un  rapport  mathématique 
nécessaire  entre  cette  loi  et  le  fait  général  de  l'équi- 
libre de  la  chaleur  ;  et  quelle  est  la  cause  physique 
de  cette  inégale  intensité? 

Enfin ,  lorsque  la  chaleur  pénètre  les  masses 
fluides,  et  y  détermine  des  mouvements  intérieurs, 
par  les  changements  continuels  de  température  et 
de  densité  de  chaque  molécule,  peut-on  encore  ex- 
primer, par  des  équations  différentielles,  les  lois 
d'un  effet  aussi  composé;  et  quel  changement  ^ 
résulte-t-il  dans  les  équations  générales  de  l'hydro- 
dynamique? 

Telles  sont  les  questions  principales  que  jai  ré- 
solues, et  qui  n'avaient  point  encore  été  soumises 
au  calcul.  Si  l'on  considère  de  plus  les  rapports 
multipliés  de  cette  théorie  mathématique  avec  les- 
usages  civils  et  les  arts  techniques ,  on  reconnaîtra 
toute  l'étendue  de  ses  applications.  Il  est  manifeste 
quelle  comprend  une  série  entière  de  phénomènes 


PRÉLIMINAIRE.  xj 

distincts,  et  qu'on  ne  pourrait  eu  omettre  l'étude, 
sans  retrancher  une  partie  notable  de  la  science  de 
la  nature. 

Les  principes  de  cette  théorie  sont  déduits,  comme 
ceux  de  la  mécanique  rationnelle,  d'un  très -petit 
nombre  de  faits  primordiaux,  dont  les  géomètres  ne 
considèrent  point  la  cause,  mais  qu'ils  admettent 
comme  résultant  des  observations  communes  et 
confirmés  par  toutes  les  expériences. 

Les  équations  différentielles  de  la  propagation  de 
la  chaleur  expriment  les  conditions  les  plus  géné- 
rales ,  et  ranièueiit  les  questions  physiques  à  des  pro- 
blèmes d'analyse  pure,  ce  qui  est  proprement  l'objet 
de  la  théorie.  Elles  ne  sont  pas  moins  rigoureuse- 
ment démontrées  que  les  équations  générales  de 
r^uilibre  et  du  mouvement.  C  est  pour  rendre  cette 
comparaison  plus  sensible,  que  nous  avons  toujours 
préféré  des  démonstrations  analogues  à  celles  des 
théorèmes  qui  servent  de  fondement  à  la  statique  et 
à  la  dynamique.  Ces  équations  subsistent  encore, 
mais  elles  reçoivent  une  forme  différente,  si  elles 
expriment  la  distribution  de  la  chaleur  lumineuse 
dans  les  corps  diaphanes,  ouïes  mouvements  que 
les  changements  de  température  et  de  densité  occa- 
sionnent dans  l'intérieur  des  fluides.  Les  coefficients 

h. 


xij  DISCOURS 

qu'elles  renferment  sont  sujets  à  des  variations  dont 
la  mesure  exacte  n'est  pas  encore  connue;  mais  dans 
toutes  les  questions  naturelles  qu'il  nous  importe  le 
plus  de  considérer,  les  limites  des  températures  sont 
assez  peu  différentes,  pour  que  l'on  puisse  omettre 
ces  variations  des  coefficients. 

Les  équations  du  mouvement  de  la  chaleur, 
comme  celles  qui  expriment  les  vibrations  des  corps 
sonores ,  ou  les  dernières  osciltations  des  liquides , 
appartiennent  à  une  des  branches  de  la  science  du 
calcul  les  plus  récemment  découvertes,  et  qu'il  im- 
portait beaucoup  de  perfectionner.  Après  avoir  établi 
ces  équations  différentielles ,  il  fallait  en  obtenir  les 
intégrales;  ce  qui  consiste  à  passer  d'une  expression 
commune,  à  une  solution  propre  assujettie  à  toutes 
les  conditions  données.  Cette  recherche  difficile  «xi- 
geait  une  analyse  spéciale ,  fondée  sur  des  théorèmes 
nouveaux  dont  nous  ne  pourrions  ici  faire  con- 
naître l'objet.  La  méthode  qui  en  dérive  ne  laisse 
rien  de  vague  et  d'indéterminé  dans  les  solutions  ; 
elle  les  conduit  jusqu'aux  dernières  applications 
numériques,  condition  nécessaire  de  toute  recher- 
che, et  sans  laquelle  on  n'arriverait  qu'à  des  trans- 
formations inutiles. 

Ces  mêmes  théorèmes  qui  nous  ont  fait  connaître 


PRÉLIMINAIRE.  xiij 

les  intégrales  des  équations  du  mouvement  de  la 
chaleur,  s'appliquent  immédiatement  à  des  questions 
d'analyse  générale  et  de  dynamique,  dont  on  désirait 
depuis  long-temps  la  solution. 

L'étude  approfondie  de  la  nature  est  la  source  la 
plus  féconde  des  découvertes  mathématiques.  Non- 
seulement  cette  étude,  en  offrant  aux  recherches 
un  but  déterminé,  a  favantage  d exclure  les  ques- 
tions vagues  et  les  calculs  sans  issue  ;  elle  est  encore 
un  moyen  assuré  de  former  l'analyse  elle-même,  et 
d'en  découvrir  les  éléments  qu'il  nous  importe  le 
plus  de  connaître,  et  que  celte  science  doit  toujours 
conserver  :  ces  éléments  fondamentaux  sont  ceux 
qui  se  reproduisent  dans  tous  les  effets  naturels. 

On  voit,  par  exemple,  qu'une  même  expression, 
dont  les  géomètres  avaient  considéré  les  propriétés 
abstraites,  et  qui  sous  ce  rapport  appartient  à  lana- 
lyse  générale,  représente  aussi  le  mouvement  de  la 
lumière  dans  l'atmosphère ,  qu  elle  détermine  les  lois 
de  la  diffusion  de  la  chaleur  dans  la  matière  solide, 
et  qu'elle  entre  dans  toutes  les  questions  principales 
de  la  théorie  des  probabilités. 

Les  équations  analytiques,  ignorées  des  anciens 
géomètres,  que  Descartes  a  introduites  le  premier 
dans  létude  des  courbes  et  des  surfaces,  ne  sont  pas 


xiv  DISCOURS 

restreintes  aux  propriétés  des  figures,  et  à  celles  qui 
sont  l'objet  de  la  mécanique  rationnelle; elles  s'éten- 
dent à  tous  les  phénomènes  généraux.  Il  ne  peut  y 
avoir  de  langage  plus  universel  et  plus  simple,  plus 
exempt  d'erreurs  et  d'obscurités,  c'est-à-dire  plus 
digne  d'exprimer  les  rapports  invariables  des  êtres 
naturels. 

Considérée  sovis  ce  point  de  vue,  l'analyse  mathé- 
matique est  aussi  étendue  que  la  nature  elle-même; 
elle  définit  tous  les  rapports  sensibles ,  mesure  les 
temps ,  les  espaces ,  les  forces ,  les  températures  ;  cette 
science  difficile  se  forme  avec  lenteur,  mais  elle 
conserve  tous  les  principes  qu'elle  a  une  fois  acquis; 
elle  s'accroit  et  s'affermit  sans  cesse  au  milieu  de  tant 
de  variations  et  d'erreurs  de  l'esprit  humain. 

Son  attribut  principal  est  la  clarté';  elle  n'a  point 
d^  signes  pour  exprimer  les  notions  confuses.  Elle 
rapproche  les  phénomènes  les  plus  divers  ,  et 
découvre  les  analogies  secrètes  qui  les  unissent. 
Si  la  matière  nous  échappe  comme  celle  de  l'air 
et  de  la  lumière  par  son  extrême  ténuité,  si  les 
corps  sont  placés  loin  de  nous,  dans  l'immensité 
de  iespace,  si  Ihomme  veut  connaître  le  spectacle 
des  cieux  pour  des  époques  successives  que  sépare 
un  grand  nombre  de  siècles,  si  les  actions  de  la  gra- 


PRÉLIMINAIRE.  x^ 

vite  et  de  la  clialeur  s'exercent  dans  rintérleur  du 
globe  solide  à  des  profondeurs  qui  seront  toujours 
inaccessibles,  l'analyse  matbématique  peut  encore 
saisir  les  lois  de  ces  phénomènes.  Elle  nous  les  rend 
présents  et  mesurables,  et  semble  être  une  faculté 
de  la  raison  humaine  destinée  à  suppléer  à  la  briè- 
veté de  la  vie  et  à  l'imperfection  des  sens  ;  et  ce  qui 
est  plus  remarquable  encore,  elle  suit  la  même 
marche  dans  létude  de  tous  les  phénomènes;  elle 
les  interprète  par  le  même  langage,  comme  pour 
attester  l'unité  et  la  simplicité  du  plan  de  l'univers, 
et  rendre  encore  plus  manifeste  cet  ordre  immuable 
qui  préside  à  toutes  les  causes  naturelles. 

Les  questions  de  la  théorie  de  la  chaleur  offrent 
autant  d'exemples  de  ces  dispositions  simples  et 
constantes  qui  naissent  des  lois  générales  de  la 
nature;  et  si  l'ordre  qui  s  établit  dans  ces  phéno- 
mènes pouvait  être  saisi  par  nos  sens,  ils  nous  cau- 
seraient une  impression  comparable  à  celles  des 
résonances  harmoniques. 

Les  formes  des  corps  sont  variées  à  l'infini;  la  dis- 
tribution de  la  chaleur  qui  les  pénètre  peut  être 
arbitraire  et  confuse  ;  mais  toutes  les  inégalités  s'ef- 
facent rapidement  et  disparaissent  à  inesure  que  le 
temps  s'écoule.  La  marche  du  phénomène  devenue 


xvj  DISCOURS 

plus  régulière  et  plus  simple,  demeure  enfin  assu- 
jettie à  une  loi  déterminée  qui  est  la  même  pour 
tous  les  cas,  et  qui  ne  porte  plus  aucune  empreinte 
sensible  de  la  disposition  initiale. 

Toutes  les  observations  confirment  ces  consé- 
quences. L'analyse  dont  elles  dérivent  sépare  et  ex- 
prime clairement,  i°  les  conditions  générales,  c'est- 
à-dire  celles  qui  résultent  des  propriétés  naturelles 
de  la  chaleur;  2°  l'effet  accidentel,  mais  subsistant, 
de  la  figure  ou  de  l'état  des  surfaces  ;  3°  l'effet  non 
durable  de  la  distribution  primitive. 

Nous  avons  démontré  dans  cet  ouvrage  tous  les 
principes  de  la  théorie  de  la  chaleur,  et  résolu  toutes 
les  questions  fondamentales.  On  aurait  pu  les  ex- 
poser sous  une  forme  plus  concise,  omettre  les  ques- 
tions simples ,  et  présenter  d'abord  les  conséquences 
les  plus  générales  ;  mais  on  a  voulu  montrer lorigine 
même  de  la  théorie  et  ses  progrès  successifs.  Lorsque 
cette  connaissance  est  acquise ,  et  que  les  principes 
sont  entièrement  fixés ,  il  est  préférable  d'employer 
immédiatement  les  méthodes  analytiques  les  plus 
étendues,  comme  nous  l'avons  fait  dans  les  recherches 
ultérieures.  C'est  aussi  la  marche  que  nous  suivrons 
désormais  dans  les  mémoires  qui  seront  joints  à  cet 
ouvi^age,  et  qui  en  forment  en  quelque  sorte  le  com» 


PRELIMINAIRE.  xvij 

le  complément,  et  par  là  nous  aurons  concilié,  au- 
tant qu'il  peut  dépendre  de  nous,  le  développement 
nécessaire  des  principes  avec  la  précision  qui  con- 
vient aux  applications  de  l'analyse. 

Ces  mémoires  auront  pour  objet  la  théorie  de  la 
chaleur  rayonnante,  la  question  des  températures 
terrestres,  celle  de  la  température  des  habitations, 
la  comparaison  des  résultats  théoriques  avec  ceux 
que  nous  avons  observés  dans  diverses  expériences, 
enfin  la  démonstration  des  équations  différentielles 
du  mouvement  de  la  chaleur  dans  les  fluides. 

L'ouvrage  que  nous  publions  aujourdhui  a  été 
écrit  depuis  long-temps;  diverses  circonstances  en 
ont  retardé  et  souvent  interrompu  limpression. 
Dans  cet  intervalle,  la  science  s'est  enrichie  d'obser- 
vations importantes  ;  les  principes  de  notre  analyse, 
que  l'on  n'avait  pas  saisis  d'abord ,  ont  été  mieux 
connus;  on  a  discuté  et  confirmé  les  résultats  que 
nous  en  avions  déduits.  Nous  avons  appliqué  nous- 
mêmes  ces  principes  à  des  questions  nouvelles,  et 
changé  la  forme  de  quelques  démonstrations.  Les 
retards  de  la  publication  auront  contribué  à  rendre 
l'ouvrage  plus  clair  et  plus  complet. 

Nos  premières  recherches  analytiques  sur  la  com- 
munication de  la  chaleur,  ont  eu  pour  objet  la  dis- 


xviij  DISCOURSt- 

tribution  entre  des  masses  disjointes;  on  les  a  con- 
servées dans  la  section  II  du  chapitre  m.  Les  ques- 
tions relatives  aux  corps  continus,  qui  forment  la 
théorie  proprement  dite ,  ont  été  résolues  plusieurs 
années  après  ;  cette  théorie  a  été  exposée  pour  la 
première  fois  dans  un  ouvrage  manuscrit  remis 
à  l'Institut  de  France  à  la  fin  de  Tannée  1807,  et 
dont  il  a  été  publié  un  extrait  dans  le  bulletin 
des  Sciences  (  Société  philomatique ,  année  1808, 
page  112).  Nous  avons  joint  à  ce  mémoire,  et  remis 
successivement  des  notes  assez  étendues,  concer- 
nant la  convergence  des  séries,  la  diffusion  de  la 
chaleur  dans  un  prisme  infini  ,  son  émission 
dans  les  espaces  vides  d'air  ,  les  constructions 
propres  à  rendre  sensibles  les  théorèmes  princi- 
paux ,  et  l'analyse  du  mouvement  périodique  <à  la 
surface  du  globe  terrestre.  Notre  second  mémoire , 
sur  la  propagation  de  la  chaleur,  a  été  déposé  aux 
archives  de  llnstitut,  le  28  septembre  181 1.  Il  est 
formé  du  précédent  et  des  notes  déjà  remises;  on  y 
a  omis  des  constructions  géométriques,  et  des  dé- 
tails d'analyse  qui  n'avaient  pas  un  rapport  néce»- 
saire  avec  la  question  physique,  et  Ion  a  ajouté 
l'équation  générale  qui  exprime  l'état  de  la  surface. 
Ce  second  ouvrage  a  été  livré  à  fimpressi'on  dans  le 


PRELIMINAIRE.  xix 

cours  de  1821,  pour  être  inséré  dans  la  collection 
de  l'Académie  des  Sciences.  Il  est  imprimé  sans 
aucun  chanirement  ni  addition  ;  le  texte  est  littéra- 
lement  conforme  au  manuscrit  déposé,  qui  fait 
partie  des  archives  de  l'Institut. 

On  pourra  trouver  dans  ce  mémoire,  et  dans  les 
écrits  qui  l'ont  précédé  un  premier  exposé  des 
applications  que  ne  contient  pas  notre  ouvrage 
actuel;  elles  seront  traitées  dans  les  mémoires  sub- 
séquens,  avec  plus  d'étendue,  et,  s'il  nous  est  pos- 
sible, avec  plus  de  clarté.  Les  résultats  de  notice 
travail  concernant  ces  mêmes  questions,  sont  aussi 
indiqués  dans  divers  articles  déjà  rendus  publics. 
L'extrait  inséré  dans  les  Annales  de  chimie  et  de 
physique  fait  connaitre  l'ensemble  de  nos  recher- 
ches, (tom.  III,  pag.  35o,  ann.  1816).  Nous  avons 
publié  dans  ces  annales  deux  notes  séparées ,  con- 
cernant la  chaleur  rayonnante,  (tom.  IV,  pag.  128, 
ann.  1817  et  tom.  VI ,  pag.  25g,  ann.  181 7). 

Divers  autres  articles  du  même  recueil  présentent 
les  résultats  les  plus  constants  de  la  théorie  et  des 
observations;  1  utilité  et  l'étendue  des  connaissances 
thermologiques  ne  pouvaient  être  mieux  appréciées 
que  par  les  célèbres  rédacteurs  de  ces  annales. 

On  trouvera  dans  le  bulletin  des  Sciences,  (Soc. 


XX  DISCOURS, 

philomat. ,  aun.  i8i8,pag.  i  et  anu.  1820,  pag.  60) 
1  extrait  d'un  mémoire  sur  la  température  constante 
ou  variable  des  habitations,  et  l'exjiosé  des  princi- 
pales conséquences  de  notre  analyse  des  tempéra- 
tures terrestres. 

M.  Alexandre  de  Humboldt ,  dont  les  recherches 
embrassent  toutes  les  grandes  questions  de  la  phi- 
losophie naturelle,  a  considéré  sous  un  point  de 
vue  nouveau  et  très  -  important ,  les  observations 
des  températures  propres  aux  divers  climats.  (  Mé- 
moire sur  les  lignes  isothermes.  Société  d'Arcueil, 
tom.  III,  pag.  462);  (Mémoire  sur  la  limite  infé- 
rieure des  neiges  perpétuelles.  Annales  de  Chimie 
et   de  Physique^  tom.  V,  pag.  102,  ann.  1817). 

Quand  aux  équations  différentielles  du  mouve- 
ment de  la  chaleur  dans  les  liquides ,  il  en  a  été  fait 
mention  dans  l'histoire  annuelle  de  l'Académie  des 
Sciences.  Cet  extrait  de  notre  mémoire  en  montre 
clairement  l'objet  et  le  principe.  {^Analjse  des  tra- 
vaux de  l Académie  des  Sciences ,  par  M.  De  Lambre , 
année  1820), 

L'examen  des  forces  répulsives  que  la  chaleur 
produit,  et  qui  déterminent  les  propriétés  statiques 
des  gaz,  n'appartient  pas  au  sujet  analytique  que 
nous  avons  considéré.  Cette  question  liée  à  la  théo_ 


PRÉLIMINAIRE  xxj 

rie  de  la  chaleur  rayonnante  vient  d'être  traitée  par 
1  illustre  auteur  de  la  Mécanique  céleste  à  qui  toutes 
les  branches  principales  de  l'analyse  mathématique 
doivent  des  découvertes  importantes.  (Connaissance 
des  temps,  pour  les  années  1824  et  182 5). 

Les  théories  nouvelles,  expliquées  dans  notre 
ouvrage  sont  réunies  pour  toujours  aux  sciences 
mathématiques,  et  reposent  comme  elles  sur  des 
fondements  invariables;  elles  conserveront  tous  les 
éléments  qu'elles  possèdent  aujourd'hui,  et  elles  ac- 
querront continuellement  plus  d'étendue.  On  per- 
fectionnera les  instruments  et  l'on  multipliera  les 
expériences.  L'analyse  que  nous  avons  formée  sera 
déduite  de  méthodes  plus  générales ,  c  est-à-dire  plus 
simples  et  plus  fécondes  ,  communes  à  plusieurs 
classes  de  phénomènes.  On  déterminera  pour  les  sub- 
stances solides  ou  liquides,  pour  les  vapeurs  et  pour 
les  gaz  permanents,  toutes  les  qualités  spécifiques  re- 
latives à  la  chaleur,  et  les  variations  des  coefficients 
qui  les  expriment.  On  observera,  dans  les  divers  lieux 
du  globe ,  les  températures  du  sol  à  diverses  profon- 
deurs, l'intensité  de  la  chaleur  solaire,  et  ses  effets, 
ou  constants  ou  variables,  dans  latmosphère,  dans 
l'Océan  et  les  lacs;  et  Ton  connaîtra  cette  tempéra- 
ture constante  du  Ciel,  qui  est  propre  aux  régions 


xxij  DISCOURS  PRELIMINAIRE, 

planétaires.  La  théorie  elle-même  dirigera  toutes  ces 
mesures,  et  en  assignera  la  précision.  Elle  ne  peut 
faire  désormais  aucun  progrès  considérable  qui  ne 
soit  fondé  sur  ces  expériences  ;  car  l'analyse  mathé- 
matique peut  déduire  des  phénomènes  généraux  et 
simples  l'expression  des  lois  de  la  nature;  mais  l'ap- 
plication spéciale  de  ces  lois  à  des  effets  très- 
composés  exige  une  longue  suite  d'observations 
exactes. 


^«<%««^^«A^ 


THÉORIE 

DE 

LA  CHALEUR. 


CHAPITRE   PREMIER. 
INTRODUCTION. 

SECTION  PREMIÈRE. 

Exposition  de  l'objet  de  cet  envisage.      ."...    . 

6r 
ART.     I      . 

LiES  effets  de  la  chaleur  sont  assujétis  à  des  lois  constantes 
que  l'on  ne  peut  découvrir  sans  le  secoui's  de  l'analyse  ma- 
thématique. La  Théorie  que  nous  allons  exposer  a  pour 
objet  de  démontrer  ces  lois;  elle  réduit  toutes  les  recherches 
physiques,  sur  la  propagation  de  la  chaleur,  à  des  questions 
de  calcul  intégral  dont  les  élémens  sont  donnés  par  l'expé- 
rience. Aucun  sujet  n'a  des  rapports  plus  étendus  avec  les 
progrès  de  l'industrie  et  ceux  des  sciences  naturelles  ;  car 
l'action  de  la  chaleur  est  toujours  présente,  elle  pénètre 

I 


a  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

tous  les  corps  et  les  espaces,  elle  influe  sur  les  proce'de's  des 
arts ,  et  concourt  à  tous  les  phénomènes  de  l'univers. 

Lorsque  la  chaleur  est  inégalement  distribuée  entre  les 
difféï-ents  points  d'une  masse  solide,  elle  tend  à  se  mettre 
en  équilibre ,  et  passe  lentement  des  parties  plus  échauffées 
dans  celles  qui  le  sont  moins;  en  même  temps  elle  se  dissipe 
par  la  surfoce ,  et  se  perd  dans  le  milieu  ou  dans  le  vide. 
Cette  tendance  à  une  distribution  uniforme,  et  cette  émis- 
sion spontanée  qui  s'opère  à  la  surface  des  corps,  changent 
continuellement  la  température  des  différents  points.  La 
question  de  la  propagation  de  la  chaleur  consiste  à  déter- 
miner quelle  est  la  température  de  chaque  point  d'un  corps 
à  un  instant  donné,  en  supposant  que  les  températures  ini- 
tiales sont  connues.  Les  exemples  suivants  feront  connaître 
plus  clairement  la  nature  de  ces  questions. 

1. 

Si  l'on  expose  à  l'action  durable  et  uniforme  d'un  foyer 
de  chaleur  vuie  même  partie  d'un  anneau  métallique ,  d'un 
grand  diamètre,  les  molécules  les  plus  voisines  du  foyer 
s'échaufferont  les  premières,  et,  après  un  certain  temps, 
chaque  point  du  solide  aura  acquis  presque  entièrement  la 
plus  haute  température  à  laquelle  il  puisse  parvenir.  Cette 
limite  ou  maximum  de  température  n'est  pas  la  même  pour 
les  différents  points;  elle  est  d'autant  moindre  qu'ils  sont 
plus  éloignés  de  celui  oii  le  foyer  est  immédiatement  ap- 
pliqué. 

Lorsque  les  températures  sont  devenues  permanentes ,  le 
foyer  transmet ,  à  chaque  instant ,  tme  quantité  de  chaleur 
qui  compense  exactement  celle  qui  se  dissipe  par  tous  les 
points  de  la  surface  extérieure  de  l'anneau. 


CHAPITRE  1.  3 

Si  maintenant  on  supprime  le  foyer,  la  chaleur  conti- 
nuera de  se  propager  dans  l'intérieur  du  solide,  mais  celle 
qui  se  perd  dans  le  milieu  ou  dans  le  vide  ne  sera  plus  com- 
pensée comme  auparavant  par  le  produit  du  foyer,  en  sorte 
que  toutes  les  températures  varieront  et  diminueront  sans 
cesse,  jusqu'à  ce  qu'elles  soient  devenues  égales  à  celles  du 
milieu  enAdronnant. 

3.  .:   ,....,  ,       .:  • 

Pendant  que  les  températures  sont  permanentes  et  que  le 
fover  subsiste,  si  Ion  élève,  eu  chaque  point  de  la  circonfé- 
rence moyenne  de  l'anneau ,  une  ordonnée  perpendiculaire 
au  plan  de  l'anneau,  et  dont  la  longueur  soit  proportion- 
nelle à  la  température  fixe  de  ce  point,  la  ligne  courbe  qui 
passerait  par  les  extrémités  de  ces  ordonnées  représentera 
l'état  permanent  des  températures,  et  il  est  très-facile  de 
déterminer  par  le  calcul  la  nature  de  cette  ligne.  Il  faut  re- 
marquer que  l'on  suppose  à  l'anneau  une  épaisseur  assez 
petite  pour  que  tous  les  points  d'une  même  section  perpen- 
diculaire à  la  circonférence  moyenne  aient  des  températures 
sensiblement  égales.  Lorsqu'on  aura  enlevé  le  foyer,  la  ligne 
qui  termine  les  ordonnées  proportionnelles  aux  tempéra- 
tures des  différents  points ,  changera  continuellement  de 
forme.  La  question  consiste  à  exprimer,  par  une  équation, 
la  forme  variable  de  cette  courbe,  et  à  comprendre  ainsi 
dans  une  seule  formule  tous  les  états  successifs  du  solide. 

Soit  z  la  température  fixe  d'un  point  m  de  la  circonférence 
moyenne^  :r  la  distance  de  ce  point  au  foyer,  c'est-à-dire  la 
longueur  de  l'arc  de  la  circonférence  moyenne  compris  entre 
le  point  m  et  le  point  o ,  qui  cori'espond  à  la  position  du 

I. 


4  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

foyer;  z  est  la  plus  haute  température  que  le  point  m  puisse 
acque'rir  en  vertu  de  l'action  constante  du  foyer,  et  cette 
température  permanente  ;:  est  une  fonction /(j:;)  de  la  dis- 
tance X.  La  première  partie  de  la  question  consiste  à  de'ter- 
miner  la  fonction /(.r)  qui  représente  l'état  permanent  du 
solide. 

On  considérera  ensuite  l'état  variable  qui  succède  au  pré- 
cédent, aussitôt  que  l'on  a  éloigné  le  foyer;  on  désignera 
par  t  le  temps  écoulé  depuis  cette  suppression  du  foyer,  et 
par  V  la  valeur  de  la  température  du  point  m  après  le  temps 
t.  La  quantité  v  sera  une  certaine  fonction  F  [x,()  de  la  dis- 
tance X  et  du  temps  t  ;  l'objet  de  la  c[uestion  est  de  décou- 
vrir cette  fonction  F  {x,i)  dont  on  ne  connaît  encore  que  la 
valeur  initiale  qui  est/"^,  en  sorte  c^ue  l'on  doit  avoir  l'équa- 
tion de  conditionyo^^F  {x,6). 


5. 


Si  l'on  place  une  masse  solide  homogène,  de  formé  sphé- 
rique  ou  cubique,  dans  un  milieu  entretenu  à  une  tempé- 
rature constante  ,  et  qu'elle  y  demeure  très -long -temps 
plongée ,  elle  acquerra  dans  tous  ses  points  une  tempéra- 
ture très-peu  différente  de  celle  du  fluide.  Supposons  qu'on 
l'en  retire  pour  la  transporter  dans  un  milieu  plus  froid ,  la 
chaleur  commencera  à  se  dissiper  par  la  surface  ;  les  tempé- 
ratures des  différents  points  de  la  masse  ne  seront  plus  sen- 
siblement les  mêmes,  et  si  on  la  suppose  divisée  en  une 
infinité  de  couches  par  des  surfaces  parallèles  à  la  surface 
extérieure,  chacune  de  ces  couches  transmettra,  dans  un 
instant,  une  certaine  quantité  de  chaleur  à  celle  qui  l'enve- 
loppe. Si  l'on  conçoit  que  chaque  molécule  porte  un  ther- 
momètre séparé,  qui  indique  à  chaque  instant  sa  tempéra- 


CHAPITRE   J.  5 

ture,  rëtat  du  solide  sera  continuellement  représente  par 
le  système  variable  de  toutes  ces  hauteurs  tliermométriques. 
Il  s'agit  d'exprimer  les  états  successifs  par  des  formules  ana- 
lytiques,  en  sorte  que  l'on  puisse  connaître,  pour  un  in- 
stant donné,  la  température  indiquée  par  chaque  thermo- 
mètre, et  comparer  les  c[uantités  de  chaleur  qui  s'écoulent, 
dans  le  même  instant,  entre  deux  couches  contiguës,  ou 
dans  le  milieu  environnant. 

6. 
Si  la  masse  est  sphérique,  et  que  l'on  désigne  par  a-  la 
distance  d'un  point  m  de  cette  masse  au  centre  de  la  sphère , 
par  t  le  temps  écoulé  depuis  le  commencement  du  refroidis- 
sement, et  par  v  la  température  variable  du  point  771,  il  est 
facile  de  voir  que  tous  les  points  placés  à  la  même  distance  x 
du  centre  ont  la  même  température  v.  Cette  quantité  v  est 
une  certaine  fonction  F  {x,t)  du  rayon  ce  et  du  temps  écoulé 
t;  elle  doit  être  telle,  qu'elle  devienne  constante,  quelle  que 
soit  la  valeur  de  oc,  lorsqu'on  suppose  celle  de  t  nulle;  car, 
d'après  l'hypothèse ,  la  température  de  tous  les  points  est  la 
même  au  moment  de  l'émersion.  La  question  consiste  à  dé- 
terminer la  fonction  de  x  et  de  t  qui  exprime  la  valeur  de  v. 

On  considérera  ensuite  cjue,  pendant  la  durée  du  refroi- 
dissement ,  il  s'écoule  à  chaque  instant ,  par  la  surface  exté- 
rieure, une  certaine  quantité  de  chaleur  qui  passe  dans  le 
milieu.  La  valeur  de  cette  cpantité  n'est  pas  constante;  elle 
est  plus  grande  au  commencement  du  refroidissement.  Si 
l'on  se  représente  aussi  l'état  variable  de  la  surface  sphé- 
rique intérieure  dont  le  rayon  est  x,  on  reconnaît  facile- 
ment qu'il   doit  y  avoir,  à   chaque  instant,  une  certaine 


6  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

quantité  de  chaleur  qui  traverse  cette  surface  et  passe  dans 
la  partie  de  la  masse  qui  est  plus  éloigne'e  du  centre.  Ce  flux 
continuel  de  chaleur  est  variable  comme  celui  de  la  surface 
extérieure ,  et  l'un  et  l'autre  sont  des  quantités  comparables 
entre  elles;  leurs  rapports  sont  des  nombres  dont  les  valeurs 
variables  sont  des  fonctions  de  la  distance  x  et  du  temps 
écoulé  t.  Il  s'agit  de  déterminer  ces  fonctions. 

8. 
Si  la  masse  échauffée  par  une  longue  immersion  dans  un 
milieu,  et  dont  on  veut  calculer  le  refroidissement,  est  de 
forme  cubique,  et  si  l'on  détermine  la  position  de  chaque 
point  m  par  trois  coordonnées  rectangulaires  x ,  y ,  z,  en 
prenant  pour  origine  le  centre  du  cube,  et  pour  axes  les 
lignes  perpendiculaires  aux  faces ,  on  voit  que  la  tempéra- 
ture v  du  point  m,  après  le  temps  écoulé  t,  est  une  fonction 
des  quatre  variables  x ,  j,  z  cl  t.  Les  quantités  de  chaleur 
qui  s'écoulent  à  chaque  instant,  par  toute  la  surface  exté- 
rieure du  solide ,  sont  variables  et  comparables  entre  elles  ; 
leurs  rapports  sont  des  fonctions  analytiques  qui  dépendent 
du  temps  t,  et  dont  il  faut  assigner  l'expression. 

9- 
Examinons  aussi  le  cas  où  un  prisme  rectangulaire  d'une 

assez  grande  épaisseur  et  d'une  longueur  infinie,  étant  assu- 
jéti,  par  son  extrémité,  à  une  température  constante,  pen- 
dant cjue  l'air  environnant  conserve  une  température  moin- 
dre, est  enfin  parvenu  à  un  état  fixe  qu'il  s'agit  de  connaître. 
Tous  les  points  de  la  section  extrême  qui  sert  de  base  au 
prisme  ont,  par  hypothèse,  une  température  commune  et 
permanente.  Il  n'en  est  pas  de  même  d'une  section  éloignée 
du  foyer;  chacun  des  points  de  cette  surface  rectangulaire. 


CHAPITRE   I.  rj 

parallèle  à  la  base,  a  acquis  une  température  fixe,  mais  qui 
n'est  pas  la  même  pour  les  clilïérents  points  d'une  même 
section,  et  qui  doit  être  moindre  pour  les  points  les  plus 
voisins  de  la  surface  exposée  à  l'air.  On  voit  aussi  qu'il 
s'écoule  à  chaque  instant ,  à  travers  une  section  donnée , 
une  certaine  quantité  de  chaleur  qui  demeure  toujours  la 
même,  puisque  létat  du  solide  est  devenu  constant.  La 
question  consiste  à  déterminer  la  température  permanente 
d'un  point  donné  du  solide,  et  la  cjuantité  totale  de  chaleur 
qui ,  pendant  un  temps  déterminé ,  s'écoule  à  travers  une 
section  dont  la  position  est  donnée.  .: 

lO. 

Prenons  pour  origine  des  coordonnées  x ,  y^  z,  le  centre 
de  la  base  du  prisme ,  et  pour  axes  rectangulaires ,  l'axe 
même  du  prisme  et  les  deux  perpendiculaires  sur  les  faces 
latérales  :  la  température  permanente  v  du  point  m ,  dont 
les  coordonnées  sont  x ,  y,  z,  est  une  fonction  de  trois  va- 
riables F  {x,y,  z);  elle  reçoit,  par  hypothèse,  une  valeur 
constante,  lorsque  Ton  suppose  x  nulle,  cpielles  cpie  soient 
les  valeurs  de  y  et  de  ;:.  Supposons  que  l'on  prenne  pour 
unité  la  quantité  de  chaleur  qui,  pendant  l'unité  de  temps, 
sortirait  d'une  superficie  égale  à  l'unité  de  surface,  si  la 
masse  échauffée,  que  cette  superficie  termine,  et  qui  est 
formée  de  la  même  substance  que  le  prisme,  était  continuel- 
lement entretenue  à  la  température  de  l'eau  bouillante,  et 
plongée  dans  fair  atmosphérique  entretenu  à  la  température 
de  la  glace  fondante.  On  voit  c[ue  la  cjuantité  de  chaleur  cjui, 
dans  fétat  permanent  du  prisme  rectangulaire,  s'écoule, 
pendant  l'unité  de  temps,  à  travers  une  certaine  section 
perpendiculaire  à  l'axe,  a   un   rapport  déterminé   avec  la 


8  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

quantité  de  chaleur  prise  pour  unité.  Ce  rapport  n'est  pas 
le  même  pour  toutes  les  sections  ;  il  est  une  fonction  9  (x) 
de  la  distance  x,  à  laquelle  une  section  est  placée;  il  s'agit  de 
trouver  l'expression  analytique  de  la  fonction  <p  {x). 

1 1. 

Les  exemples  précédents  suffisent  pour  donner  une  idée 
exacte  des  diverses  questions  que  nous  avons  traitées. 

La  solution  de  ces  questions  nous  a  fait  connaître  que 
les  effets  de  la  propagation  de  la  chaleur  dépendent,  pour 
chaque  substance  solide,  de  trois  qualités  élémentaires,  qui 
sont  la  capacité  de  chaleur,  la  conducibilité  propre,  et  la 
conducibilité  extérieure.  On  a  observé  que  si  deux  corps 
de  même  volume  et  de  nature  différente  ont  des  tempéra- 
tures égales,  et  qu'on  leur  ajoute  une  même  cjuantité  de 
chaleur ,  les  accroissements  de  température  ne  sont  pas  les 
mêmes  ;  le  rapport  de  ces  accroissements  est  celui  des  capa- 
cités de  chaleur.  Ainsi  le  premier  des  trois  éléments  spéci- 
fiques qui  règlent  l'action  de  la  chaleur  est  exactement  défini, 
et  les  physiciens  connaissent  depuis  long-temps  plusieurs 
moyens  d'en  déterminer  la  valeur.  Il  n'en  est  pas  de  même 
des  deux  autres  ;  on  en  a  souvent  observé  les  effets ,  mais  il 
n'y  a  qu'une  théorie  exacte  qui  puisse  les  bien  distinguer, 
les  définir  et  les  mesurer  avec  précision.  La  conducibilité 
propre  ou  intérieure  d'un  corps  exprime  la  facilité  avec 
laquelle  la  chaleur  s'y  propage  en  passant  d'une  molécule 
intérieure  à  une  autre.  La  conducibilité  extérieure  ou  relative 
d'un  corps  solide  dépend  de  la  facilité  avec  laquelle  la  cha- 
leur en  pénètre  la  surface,  et  passe  de  ce  corps  dans  un 
milieu  donné ,  ou  passe  du  milieu  dans  le  solide.  Cette  der- 
nière propriété  est  modifiée  par  l'état  plus  ou  moins  poli  de 


CHAPITRE  I.  9 

la  surperficie;  elle  varie  aussi  selon  le  milieu  ùans  lequel  le 
corps  est  ])longe  ;  mais  la  conducibilitë  propre  ne  peut 
changer  qu'avec  la  nature  du  solide. 

Ces  trois  qualités  élémentaires  sont  représentées  dans  nos 
formules  par  des  nombr.es  constants,  et  la  théorie  indique 
elle-même  les  expériences  propres  à  en  mesurer  la  valeur. 
Dès  qu'ils  sont  déterminés,  toutes  les  questions  relatives  à  la 
propagation  de  la  chaleur  ne  dépendent  que  de  l'analyse 
numérique.  La  connaissance  de  ces  propriétés  spécifiques 
peut  être  immédiatement  utile  dans  plusieurs  applications 
des  sciences  physiques;  elle  est  d'ailleurs  un  élément  de 
l'étude  et  de  la  description  des  divei'ses  substances.  C'est 
connaître  très-imparfaitement  les  corps,  que  d'ignorer  les 
rapports  qu'ils  ont  avec  un  des  principaux  agents  de  la 
nature.  En  général,  il  n'y  a  aucune  théorie  mathématique 
qui  ait  plus  de  rapport  que  celle-ci  avec  féconomie  pu- 
blique ,  puisqu'elle  peut  servir  à  éclairer  et  à  perfectionner 
l'usage  des  arts  nombreux  qui  sont  fondés  sur  l'emploi  de 
la  chaleur. 

12. 

La  question  des  températures  terrestres  offre  une  des  plus 
belles  applications  de  la  théorie  de  la  chaleur;  voici  l'idée 
générale  que  l'on  peut  s'en  former.  Les  différentes  parties  de 
la  surface  du  globe  sont  inégalement  exposées  cà  l'impression 
des  rayons  solaires;  l'intensité  de  cette  action  dépend  de  la 
latitude  du  lieu;  elle  change  aussi  pendant  la  durée  du  jour 
et  pendant  celle  de  l'année,  et  est  assujétie  à  d'autres  inéga- 
lités moins  sensibles.  Il  est  évident  qu'il  existe,  entre  cet 
état  variable  de  la  surftice  et  celui  des  températures  inté- 
rieures, une  relation  nécessaire  que  l'on  peut  déduire  de  la 


lo  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

théorie.  On  sait  qu'à  une  certaine  profondeur  au-dessous  de 
la  surface  de  la  terre,  la  température  n'éprouve  aucune  va- 
riation annuelle  dans  un  lieu  donné  :  cette  température  per- 
manente des  lieux  profonds  est  d'autant  moindre,  que  le 
lieu  est  plus  éloigné  de  réquateur..On  peut  donc  faire  abs- 
traction de  l'enveloppe  extérieure,  dont  l'épaisseur  est  in- 
comparablement plus  petite  que  le  rayon  terrestre  ,  et 
regarder  cette  planète  comme  une  masse  presque  spbérique, 
dont  la  surface  est  assujétie  à  une  température  qui  demeure 
constante  pour  tous  les  points  d'un  parallèle  donné,  mais 
qui  n'est  pas  la  même  pour  un  autre  parallèle.  Il  en  résulte 
que  chaque  molécule  intérieure  a  aussi  une  température  fixe 
déterminée  par  sa  position.  La  question  mathématique  con- 
sisterait à  connaître  la  température  fixe  d'un  point  donné, 
et  la  loi  que  suit  la  chaleur  solaire  en  pénétrant  dans  l'inté- 
rieur du  globe. 

Cette  diversité  des  températures  nous  intéresse  davantage, 
si  l'on  considère  les  changements  qui  se  succèdent  dans  l'en- 
veloppe même  dont  nous  habitons  la  superficie.  Ces  alter- 
natives de  chaleur  et  de  froid,  qui  se  reproduisent  chaque 
jour  et  dans  le  cours  de  chaque  année,  ont  été  jusqu'ici 
l'objet  d'observations  multipliées.  On  peut  aujourd'hui  les 
soumettre  au  calcul ,  et  déduire  d'une  Théorie  commune 
tous  les  faits  particuliers  que  l'expérience  nous  avait  ap- 
pris. Cette  question  se  réduit  à  supposer  que  tous  les  points 
dé  la  surface  d'une  sphère  immense  sont  affectés  de  tem- 
pératures périodiques  ;  l'analyse  fait  ensuite  connaître  sui- 
vant quelle  loi  l'intensité  des  variations  décroît  à  mesure 
que  la  profondeur  augmente;  quelle  est,  pour  une  profon- 
deur donnée,   la    quantité   des    changements  annuelis    ou 


CHAPITRE  I.  II 

diurnes,  1  époque  de  ces  changements ,  et  comment  la  valeur 
fixe  de  la  température  souterraine  se  déduit  des  tempéra- 
tures variables    observées   à  la  surface. 

i3. 
Les  équations  générales  de  la  propagation  de  la  chaleur 
sont  aux  différences  partielles ,  et  quoique  la  forme  en  soit 
très-simple,  les  méthodes  connues  ne  fournissent  aucun 
moyen  général  de  les  intégrer;  on  ne  pourrait  donc  pas 
en  déduire  les  valeurs  des  températures  après  un  temps 
déterminé.  Cette  interprétation  numérique  des  résultats  du 
"calcul  est  cependant  nécessaire,  et  c'est  un  degré  de  per- 
fection qu'il  serait  très-important  de  donner  à  toutes  les 
applications  de  l'analyse  aux  sciences  naturelles.  On  peut 
dire  que  tant  qu'on  ne  l'a  pas  obtenu,  les  solutions  de- 
meurent incomplètes  ou  inutiles,  et  que  la  vérité  qu'on  se 
proposait  de  découvrir  n'est  pas  moins  cachée  dans  les  for- 
mules d'analyse,  qu'elle  ne  l'était  dans  la  question  physique 
elle-même.  Nous  nous  sommes  attachés  avec  beaucoup  de 
soin,  et  nous  sommes  parvenus  à  surmonter  cette  difficulté 
dans  toutes  les  questions  que  nous  avons  traitées  ,  et  qui 
contiennent  les  éléments  principaux  de  la  Théorie  de  la 
chaleur.  Il  n'y  a  aucune  de  ces  questions  dont  la  solution 
ne  fournisse  des  moyens  commodes  et  exacts  de  trouver 
les  valeurs  numériques  des  températures  acqftises,  ou  celles 
des  quantités  de  chaleur  écoulées,  lorsqu'on  connaît  les  va- 
leurs du  temps  et  celles  des  coordonnées  variables.  Ainsi 
l'on  ne  donnera  pas  seulement  les  équations  différentielles 
auxquelles  doivent  satisfaire  les  fonctions  qui  expriment 
les  valeurs    des    températures  ;   on    donnera   ces    fonctions 

2. 


,ra  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

elles-mêmes  sous  une  forme   qui  facilite   les  applications 
numériques. 

Pour  que  ces  solutions  fussent  gene'rales  et  qu'elles  eussent 
une  étendue  équivalente  à  celle  de  la  question  ,  il  était 
nécessaire  qu'elles  pussent  convenir  avec  l'état  initial  des 
températures  qui  est  arbitraire.  L'examen  de  cette  condition 
fait  connaître  que  l'on  peut  développer  en  séries  conver- 
gentes, ou  exprimer  par  des  intégrales  définies,  les  fonc- 
tions cjui  ne  sont  point  assujéties  à  une  loi  constante,  et 
qui  représentent  les  ordonnées  des  lignes  irrégulières  ou 
discontinues.  Cette  propriété  jette  lui   nouveau  jour  sur  la  M 

Théorie  des   équations  aux   différences  partielles,  et  étend  1 

l'usage  des  fonctions  arbitraires  en  les  soumettant  aux  pro- 
cédés  ordinaires  de  l'analyse.  , 

i5. 

Il  restait  encore  à  comparer  les  faits  avec  la  Théorie.  On 
a  entrepris,  dans  cette  vue,  des  expériences  variées  et  pré- 
cises, dont  les  résultats  sont  conformes  à  ceux  du  calcul, 
et  lui  donnent  une  autorité  qu'on  eût  été  porté  à  lui  re- 
foser  dans  une  matière  nouvelle ,  et  qui  paraît  sujette  à  tant 
d'incertitudes.  Ces  expériences  confirment  le  principe  dont 
on  est  parti  ,  et  qui  est  adopté  de  tous  les  physiciens , 
malgré  la  diversité  de  leurs  hypothèses  sur  la  nature  de  la 
chaleur. 

i6. 

L'équilibre  de  température  ne  s'opère  pas  seulement  par 
la  voie  du  contact,  il  s'établit  aussi  entre  les  corps  séparés 
les  uns  des  autres,  et  qui  demeurent  long  -  temps  placés 


! 


CHAPITPxE  1.  i3 

dans  un  même  lieu.  Cet  effet  est  indépendant  du  contact 
du  milieu  ;  nous  l'avons  observé  dans  des  espaces  entière- 
ment vides  d'air.  Il  fallait  donc  ,  pour  compléter  notre 
Théorie,  examiner  les  lois  que  suit  la  chaleur  rayonnante 
en  s'éloignant  de  la  superficie  des  corps.  Il  résulte  des  ob- 
servations de  plusieurs  physiciens  et  de  nos  propres  expé- 
riences, que  l'intensité  des  différents  rayons  qui  sortent, 
dans  tous  les  sens,  de  chaque  point  de  la  superficie  d'un 
corps  échauffé,  dépend  de  l'angle  que  fait  leur  direction 
avec  la  surface  dans  ce  même  point.  Nous  avons  démon- 
tré que  l'intensité  de  chacjue  rayon  est  d'autant  moindre, 
qu'il  fait  avec  l'élément  de  la  surface  un  plus  petit  angle,  et 
qu'elle  est  proportionnelle  au  sinus  de  cet  angle.  Cette  loi 
générale  de  l'émission  de  la  chaleur,  que  diverses  obser- 
vations avaient  déjà  indiquée,  est  une  conséquence  néces- 
saire du  principe  de  l'équilibre  des  températures  et  des 
lois  de  la  propagation  de  la  chaleur  dans  les  corps  solides. 
Telles  sont  les  questions  principales  que  l'on  a  traitées 
dans  cet  ouvrage  ;  elles  sont  toutes  dirigées  vers  un  seul 
but ,  qui  est  d'établir  clairement  les  principes  mathéma- 
tiques de  la  Théorie  de  la  chaleur,  et  de  concourir  ainsi  aux 
pi'ogrès  des  arts  utiles  et  à  ceux  de  l'étude  de  la  nature. 

On  aperçoit  par  ce  cjui  précède,  qu'il  existe  ime  classe 
très-étendue  de  phénomènes  qui  ne  sont  point  produits  par 
des  forces  mécaniques ,  mais  qui  résultent  seulement  de  la 
présence  et  de  l'accumulation  de  la  chaleur.  Cette  partie 
de  la  philosophie  naturelle  ne  peut  se  rapporter  aux  théo- 
ries dynamiques ,  elle  a  des  principes  qui  lui  sont  propres, 


/ 


i4  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

et  elle  est  fondée  sur  une  méthode  semblable  à  celle  des 
autres  sciences  exactes.  Par  exemple,  la  chaleur  solaire  qui  pé- 
nètre l'intérieur  du  globe  ,  s'y  distribue  suivant  une  loi  régu- 
lière qui  ne  dépend  point  de  celles  du  mouvement,  et  ne  peut 
être  déterminée  par  les  principes  de  la  mécanique.  Les 
dilatations  que  produit  la  force  répulsive  de  la  chaleur,  et 
dont  l'observation  sert  à  mesurer  les  températures,  sont, 
à  la  vérité,  des  effets  dynamiques;  mais  ce  ne  sont  point 
ces  dilatations  que  l'on  calcule ,  lorsqu'on  recherche  les 
lois  de  la  propagation  de  la  chaleur. 

i8. 
Il  y  a  d'autres  effets  naturels  plus  composés ,  qui  dépen- 
dent à-la-fois  de  l'influence  de  la  chaleur  et  des  forces  at- 
tractives :  ainsi  les  variations  de  température  que  les  mou- 
vements du  soleil  occasionnent  dans  l'atmosphère  et  dans 
l'Océan,  changent  continuellement  la  densité  des  différentes 
parties  de  l'air  et  des  eaux.  L'effet  des  forces  auxquelles 
ces  masses  obéissent  est  modifié  à  chaque  instant  par  une 
nouvelle  distribution  de  la  chaleur,  et  l'on  ne  peut  douter 
que  cette  cause  ne  produise  les  vents  réguliers  et  les  prin- 
cipaux courants  de  la  mer;  les  attractions  solaire  et  lu- 
naire n'occasionnent  dans  l'atmosphère  que  des  mouvements 
peu  sensibles ,  et  non  des  déplacements  généraux.  Il  était 
donc  nécessaire,  pour  soumettre  ces  grands  phénomènes 
au  calcul,  de  découvrir  les  lois  mathématiques  de  la  propa- 
gation de  la  chaleur  dans  l'intérieur  des  masses. 

19- 
On  connaîtra,  par  la  lecture  de  cet  ouvrage,  que  la  cha- 
leur affecte  dans  les  corps  une  disposition  régulière,  indé- 


CHAPITRE  I.  i5 

pendante  de  la  distribution  primitive,  que  l'on  peut  re- 
garder comme  arbitraire. 

De  quelque  manière  que  la  chaleur  ait  d'abord  été  ré- 
partie, le  système  initial  des  températures  s'altérant  de  plus 
en  plus,  ne  tarde  point  à  se  confondre  sensiblement  avec 
un  état  déterminé  cjui  ne  dépend  que  de  la  figure  du  so- 
lide. Dans  ce  dei-nier  état,  les  températures  de  tous  les 
points  s'abaissent  en  même  temps,  mais  conservent  entre 
elles  les  mêmes  rapports  ;  c'est  pour  exprimer  cette  pro- 
priété que  les  formules  analytiques  contiennent  des  termes 
composés  d'exponentielles  et  de  quantités,  analogues  aux 
fonctions  trigonométriques. 

Plusieurs  questions  de  mécanique  présentent  des  résul- 
tats analogues,  tels  que  l'isochronisme  des  oscillations,  la 
résonnance  multiple  des  corps  sonores.  Les  expériences 
communes  les  avaient  fait  remarquer ,  et  le  calcul  en  a 
ensuite  démontré  la  véritable  cause.  Quant  à  ceux  cjui  dé- 
pendent des  changements  de  température ,  ils  n'auraient  pu 
être  reconnus  cpie  par  des  expériences  très  -  précises  ;  mais 
l'analyse  mathématique  a  devancé  les  observations,  elle  sup- 
plée à  nos  sens ,  et  nous  rend  en  quelque  sorte ,  témoins 
des  mouvements  réguliers  et  harmoniques  de  la  chaleur  dans 

l'intérieur  des  corps. 

20. 

Ces  considérations  offrent  un  exemple  singulier  des  rap- 
ports qui  existent  entre  la  science  abstraite  des  nombres 
et  les  causes  naturelles. 

Lorsqu'une  barre  métallique  est  exposée  par  son  extré- 
mité à  l'action  constante  d'un  foyer ,  et  que  tous  ses  points 
ont  acquis  leur  plus  haut  degré  de  chaleur ,  le  système  des 


i6  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

températures  fixes  correspond  exactement  à  une  table  de 
logarithmes  ;  les  nombres  sont  les  élévations  des  thermo- 
mètres placés  aux  différents  points ,  et  les  logarithmes  sont 
les  distances  de  ces  points  au  foyer.  En  général,  la  cha- 
leur se  répartit  d'elle-même  dans  l'intérieur  des  solides, 
suivant  une  loi  simple  exprimée  par  une  équation  aux 
différences  partielles,  commune  à  des  questions  physicjues 
d'un  ordre  différent.  L'irradiation  de  la  chaleur  a  une  re- 
lation manifeste  avec  les  tables  de  sinus;  car  les  rayons  qui 
sortent  d'un  même  point  d'une  surface  échauffée,  diffèrent 
beaucoup  entre  eux,  et  leur  intensité  est  rigoureusement 
proportionnelle  au  sinus  de  l'angle  qvie  fait  leur  direction 
avec  l'élément  de  la  surface.  Si  l'on  pouvait  observer  pour 
chaque  instant  et  en  chaque  point  d'une  masse  solide  ho- 
mogène, les  changements  de  température,  on  retrouverait 
dans  la  série  de  ces  observations  les  propriétés  des  séries 
récurrentes,  celle  des  sinus  et  des  logarithmes;  on  les  re- 
marquerait, par  exemple,  dans  les  variations  diurnes  ou 
annuelles  des  températures  des  différents  points  du  globe 
terrestre,  qui  sont  voisins  de  la   surface. 

On  reconnaîti'ait  encore  les  mêmes  résultats  et  tous  les 
éléments  principaux  de  l'analyse  générale  dans  les  vibra- 
tions des  milieux  élastic|ues,  dans  les  propriétés  des  lignes 
ou  des  surfaces  courbes,  dans  les  mouvements  des  astres, 
et  ceux  de  la  lumière  ou  des  fluides.  C'est  ainsi  que  les 
fonctions  obtenues  par  des  différentiations  successives,  et 
qui  servent  au  développement  des  séries  infinies  et  à  la 
résolution  numérique  des  équations ,  correspondent  aussi 
a  des  propriétés  physiques.  La  première  de  ces  fonctions, 
ûu  la  fluxion  proprement  dite,  exprime,  dans  la  géométrie. 


CHAPITTxE   1.  17 

rinclinaison  de  la  tangente  des  lignes  courlies,  et  dans  la 
dynamique,  la  vitesse  du  mol^ile  pendant  le  mouvement 
varie  :  elle  mesure  dans  la  théorie  de  la  chaleur  la  quantité, 
qui  s'écoule  en  chaque  point  d'un  corps  à  travers  une  sur- 
face donnée.  L'analyse  mathématique  a  donc  des  rapports 
nécessaires  avec  les  phénomènes  sensibles  ;  son  objet  n'est 
point  créé  par  l'intelligence  de  l'homme,  il  est  un  élément 
préexistant  de  l'ordre  universel,  et  n'a  rien  de  contingent 
et  de  fortuit  ;  il  est  empreint  dans  toute  la  nature. 

21. 
Des  observations  plus  précises  et  plus  variées  feront  con- 
naître par  la  suite  si  les  effets  de  la  chaleur  sont  modifiés 
par  des  causes  que  l'on  n'a  point  aperçues  jusqu'ici ,  et  la 
théorie  acquerra  une  nouvelle  perfection  par  la  comparaison 
continuelle  de  ses  résultats  avec  ceux  des  expériences  ;  elle 
expliquera  des  phénomènes  importants  que  l'on  ne  pouvait 
point  encore  soumettre  au  calcul  ;  elle  apprendra  à  déter- 
miner tous  les  effets  thei-mométriques  des  rayons  solaires, 
les  températures  fixes  ou  variables  que  fou  observerait  à 
différentes  distances  de  l'équateur,  dans  l'intérieur  du  globe 
ou  hors  des  limites  de  l'atmosphère,  dans  lOcéan  ou  dans 
les  difféientes  régions  de  fair.  On  en  déduira  la  connais- 
sance mathématique  des  grands  mouvements  qui  résultent 
de  l'influence  de  la  chaleur  combinée  avec  celle  de  la  gra- 
vité. Ces  mêmes  principes  serviront  à  mesurer  la  conducibi- 
lité  propre  ou  relative  des  différents  corps,  et  leur  capacité 
spécifique,  à  distinguer  toutes  les  causes  qui  modifient  l'émis- 
sion de  la  chaleur  à  la  surface  des  solides,  et  à  perfectionner 
les  instruments  thermométriques.  Cette  théorie  excitera  dans 

.  3 


i8  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

tous  les  temps  l'attention  des  géomètres ,  par  l'exactitude 
rigoureuse  de  ses  éléments  et  les  difficultés  d'analyse  qui  lui 
sont  propres,  et  sur-tout  par  l'étendue  et  l'utilité  de  ses  ap- 
plications ;  car  toutes  les  conséquences  qu'elles  fournit  inté- 
ressent la  physique  générale  ,  les  opérations  des  arts,  les 
usages  domestiques  ou  l'économie  civile. 

SECTION   IL 

Notions  générales ,  et  définitions  préliminaires. 

22. 

On  ne  pourrait  former  que  des  hypothèses  incertaines 
sur  la  nature  de  la  chaleur ,  mais  la  connaissance  des  lois 
mathématiques  auxquelles  ses  effets  sont  assujétis  est  indé- 
pendante de  toute  hypothèse  ;  elle  exige  seulement  l'examen 
attentif  des  faits  principaux  que  les  observations  communes 
ont  indiqués ,  et  qui  ont  été  confirmés  par  des  expériences 
précises. 

Il  est  donc  nécessaire  d'exposer,  en  premier  lieu,  les  ré- 
sultats généraux  des  observations  ,  de  donner  des  définitions 
exactes  de  tous  les  éléments  du  calcul ,  et  d'établir  les  prin- 
cipes sur  lesquels  ce  calcul  doit  être  fondé. 

L'action  de  la  chaleur  tend  à  dilater  tous  les  corps  so- 
lides, ou  liquides,  ou  aériformes;  c'est  cette  propriété  qui 
rend  sa  présence  sensible.  Les  solides  et  les  liquides  aug- 
mentent de  volume,  si  l'on  augmente  la  quantité  de  chaleur 
qu'ils  contiennent;  ils  se  condensent,  si  on  la  diminue. 

Lorsque  toutes  les  parties  d'un  corps  solide  homogène, 
par  exemple,  celles  dune  masse  métallique,  sont  également 


CHAPITRE  I.  19 

échauffées,  et  qu'elles  conservent,  sans  aucun  changement, 
cette  même  quantité  de  chaleur,  elles  ont  aussi  et  conser- 
vent une  même  densité.  On  exprime  cet  état  en  disant  cjue, 
dans  toute  l'étendue  de  la  masse ,  les  molécules  ont  une 
tempéi^ature  commune  et  permanente. 

23. 

Le  thermomètre  est  un  corps  dont  on  peut  apprécier  faci- 
lement les  moindres  changements  de  volume;  il  sert  à  mesu- 
rer les  températures  par  la  dilatation  des  liquides ,  ou  par 
celle  de  l'air.  Nous  supposons  ici  que  l'on  connaît  exactement 
la  construction ,  l'usage  et  les  propriétés  de  ces  instruments. 
La  température  d'un  corps  dont  toutes  les  parties  sont  égale- 
ment échauffées ,  et  qui  conserve  sa  chaleur ,  est  celle  qu'in- 
dique le  thermomètre ,  s'il  est  et  s'il  demeure  en  contact  par- 
fait avec  le  corps  dont  il  s'agit. 

Le  contact  est  parfait  lorsque  le  thermomètre  est  entière- 
ment plongé  dans  une  masse  liquide,  et,  en  général,  lors- 
qu'il n'y  a  aucun  point  de  la  surface  extérieure  de  cet  instru- 
ment qui  ne  touche  un  des  points  de  la  masse  solide  ou 
fluide  dont  on  veut  mesurer  la  température.  Il  n'est  pas 
toujours  nécessaire,  dans  les  expériences,  que  cette  condition 
soit  rigoureusement  observée;  mais  on  doit  la  supposer  pour 
que  la  définition  soit  exacte. 


oA. 


On  détermine  devrx  températures  fixes,  savoir  :  la  tempé- 
rature de  la  glace  fondante,  qui  est  désignée  par  o,  et  la 
température  de  l'eau  bouillante  que  nous  désignerons  par  i  : 
on  suppose  que  l'ébuUition  de  l'eau  a  lieu  sous  une  pression 
de  l'atmosphère  représentée  par  une  certaine  hauteur  du 

-  3. 


ao  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

baromètre  (  76  centimètres) ,  le  mercure  du  baromètre  étant 
à  la  température  o. 

25. 

On  mesure  les  différentes  quantités  de  chaleur  en  déter- 
minant combien  de  fois  elles  contiennent  une  quantité  que 
l'on  a  fixée  et  prise  pour  unité.  On  suppose  qu'une  masse 
de  glace  d'un  poids  déterminé  (un  kilogramme)  soit  à  la 
température  o,  et  que,  par  l'addition  d'une  certaine  quan- 
tité de  clialeur,  on  la  convertisse  en  eau  à  la  même  tempé- 
rature o  :  cette  quantité  de  cbaleur  ajoutée  est  la  mesure 
prise  pour  unité.  Ainsi  la  quantité  de  chaleur  exprimée  par 
un  nombre  C  contient  un  nombre  C  de  fois  la  quantité 
nécessaire  pour  résoudre  un  kilogramme  de  glace  cjui  a  la 
température  zéro ,  en  une  inasse  d'eau  qui  a  la  même  tem- 
pérature zéro. 

26. 

Pour  élever  une  masse  métallique  d'un  certain  poids,  par 
exemple,  un  kilogramme  de  fer,  depuis  la  température  o 
jusqu'à  la  température  i ,  il  est  nécessaire  d'ajouter  une 
nouvelle  c[uantité  de  chaleur  à  celle  qui  était  déjà  contenue 
dans  cçtte  masse.  Le  nombre  C,  qui  désigne  cette  quantité 
de  chaleur  ajoutée,  est  la  capacité  spécifique  de  chaleur  du 
fer;  le  nombre  C  a  des  valeurs  très-différentes  polir  les  diffé- 
rentes substances. 

Si  un  corps  d'une  nature  et  d'un  poids  déterminés  (un 
kilogramme  de  mercure)  occupe  le  volume  V,  étant  à  la 
température  o ,  il  occupera  un  volume  plus  grand  V  +  A , 
lorsqu'il  aura  acquis  la  température  i ,  c'est-à-dire  lorsqu'on 


CHAPITRE   i.  ■j.i 

aura  augmenté  la  chaleur  qu'il  contenait  étant  à  la  tempe'- 
rature  o,  d'une  nouvelle  quantité  C,  égale  à  sa  capacité 
spécifique  de  chaleur.  Mais  si,  au  lieu  d'ajouter  cette  quan- 
tité C,  on  ajoute  s  C  (z  étant  un  nombre  positif  ou  négatif), 
le  nouveau  volume  sera  V  +  .^,  au  lieu  d'être  V  +  A.  Or 
les  expériences  font  connaître  que  si  z  est  égal  à  ^,  l'ac- 
croissement de  volume  ^  est  seulement  la  moitié  de  l'accrois- 
sement total  A,  et  qvi'en  général,  la  valeur  de  ^  est  z  A,  lors- 
que la  quantité  de  chaleur  ajoutée  est  z  C. 

28. 
Ce  rapport  z  des  deux  quantités  de  chaleur  ajoutées  r;  C  et 
C ,  qui  est  aussi  celui  des  deux  accroissements  de  volume  ^ 
et  A,  est  ce  que  l'on  nomme  la  température  ;  ainsi  le  nombre 
qui  exprime  la  température  actuelle  d'un  corps  représente 
l'excès  de  son  volume  actuel  sur  le  volume  qu  il  occuperait 
à  la  température  de  la  glace  fondante,  l'unité  représentant 
l'excès  total  du  volume  qui  correspond  à  l'ébullition  de  l'eau, 
sur  le  volume  qui  correspond  à  la  glace  fondante. 

Les  accroissements  de  volume  des  corps  sont  en  général 
proportionnels  aux  accroissements  des  quantités  de  chaleur 
qui  produisent  les  dilatations  ;  il  faut  remarquer  que  cette 
proposition  n'est  exacte  que  dans  les  cas  oii  les  corps  dont 
il  s'agit  sont  assujétis  à  des  températures  éloignées  de  celles 
qui  déterminent  leur  changement  d'état.  On  ne  serait  point 
fondé  à  appliquer  ces  résultats  à  tous  les  liquides;  et,  à 
l'égard  de  l'eau  en  particulier,  les  dilatations  ne  suivent 
point  toujours  les  augmentations  de  chaleur. 

En  général ,  les  températures  sont  des  nombres  propor- 
tionnels aux  quantités  de  chaleur  ajoutées,  et  dans  les  cas 


^ 


23  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

que  nous  considérons,  ces  nombres  sont  aussi  proportionnels 
aux  accroissements  du  volume. 

3o. 

Supposons  qu'un  corps  termine'  par  une  surface  'plane 
d'une  certaine  étendue  (un  mètre  carré)  soit  entretenu  d'une 
manière  cpielconque  à  une  température  constante  i  ,  com- 
mune à  tous  ses  points,  et  que  la  surface  dont  il  s'agit  soit 
en  contact  avec  l'air,  maintenu  à  la  température  o  :  la  cha- 
leur qui  s'écovdera  continuellement  par  la  surface ,  et  passera 
dans  le  milieu  environnant,  sera  toujours  remplacée  par  celle 
qui  provient  de  la  cause  constante  à  l'action  de  laquelle  le 
corps  est  exposé  ;  il  s'écoulera  ainsi  par  la  surface ,  pendant 
un  temps  déterminé  (une  minute),  une  certaine  quantité  de 
chaleur  désignée  par  h.  Ce  produit  A,  d'un  flux  continuel  et 
toujours  semblable  à  lui-même,  qui  a  lieu  pour  une  unité 
de  surface  à  une  température  fixe,  est  la  mesure  de  la  con- 
ducibilité  extérieure  du  corps,  c'est-à-dire,  de  la  facilité 
avec  laquelle  sa  surface  transmet  la  chaleur  à  l'air  atmosphé- 
rique. 

On  suppose  que  l'air  est  continuellement  déplacé  avec 
une  vitesse  uniforme  et  donnée;  mais  si  la  vitesse  du  courant 
augmentait ,  la  quantité  de  chaleur  qui  se  communique  au 
milieu  varierait  aussi  ;  il  en  serait  de  même  si  l'on  augmentait 
la  densité  de  ce  milieu. 

3t. 

Si  l'excès  de  la  température  constante  du  corps  sur  la 
températui'e  des  corps  environnants,  au  lieu  d'être  égale 
à  I,  comme  on  l'a  supposé,  avait  une  valeur  moindre,  la 
(juantité  de  chaleur  dissipée  serait  moindre  que  h.  Il  résulte 
des  observations,  comme  on  le  verra  par  la  suite,  que  cette 


CHAPITRE   I.  23 

quantité  de  chaleur  perdue  peut  être  regardée  comme  sen- 
siblement proportionnelle  à  l'excès  de  la  température  du 
corps  sur  celle  de  l'air  et  des  corps  environnants.  Ainsi  la 
quantité  h  ayant  été  déterminée  par  une  expérience  dans 
laquelle  la  surface  échauffée  est  à  la  température  i ,  et  le 
milieu  à  la  température  o  ;  on  en  conclut  qu'elle  aurait  la 
valeur  hz,  si  la  température  de  la  surface  était  z,  toutes  les 
autres  circonstances  demeurant  les  mêmes.  On  doit  admettre 
ce  résultat  lorsque  z  est  une  petite  fraction. 

32. 

La  valeur  h  de  la  quantité  de  chaleur  cjui  se  dissipe  à 
travers  la  surface  échauffée,  est  différente  pour  les  différents 
corps;  et  elle  varie  pour  un  même  corps,  suivant  les  divers 
états  de  la  surface.  L'effet  de  l'irradiation  est  d'autant  moin- 
dre, que  la  surface  échauffée  est  plus  polie  ;  de  sorte  qu'en 
faisant  disparaître  le  poli  de  la  surface,  on  augmente  consi- 
dérablement la  valeur  de  h.  Un  corps  métallique  échauffé  se 
refroidira  beaucoup  plus  vite,  si  l'on  couvre  sa  surface  exté- 
rieure d'un  enduit  noir,  propre  à  ternir  entièrement  l'état 
métallique. 

33. 

Les  rayons  de  chaleur  qui  s'échappent  de  la  surface  d'un 
corps,  parcourent  librement  les  espaces  vides  d'air;  ils  se 
propagent  aussi  dans  l'air  atmosphérique  :  leur  direction 
n'est  point  troublée  par  les  agitations  de  l'air  intermédiaire: 
ils  peuvent  être  réfléchis,  et  se  réunissent  aux  foyers  des  mi- 
roirs métalliques.  Les  corps  dont  la  température  est  élevée, 
et  que  l'on  plonge  dans  un  liquide ,  n'échauffent  immédia- 
tement que  les  parties  de  la  masse  qui  sont  en  contact  avec 
leur  surface.  Les  molécules,  dont  la  distance  à  cette  surface 


24  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

n'est  pas  extrêmement  petite,  ne  reçoivent  point  de  chaleur 
directe;  il  n'en  est  pas  de  même  des  fluides  aériformes;  les 
rayons  de  chaleur  s'y  portent  avec  une  extrême  rapidité  à 
des  distances  considérables ,  soit  qu'une  partie  de  ces  rayons 
traverse  librement  les  couches  de  l'air,  soit  que  celles-ci  se 
les  transmettent  subitement  sans  en  altérer  la  direction. 

34. 
Lorsque  le  corps  échauffé  est  placé  dans  un  air  qui  con- 
serve sensiblement  une  température  constante ,  la  chaleur 
qui  se  communique  à  l'air  rend  plus  légère  la  couche  de  ce 
fluide  voisine  de  la  surface  ;  cette  couche  s'élève  d'autant  plus 
vite ,  qu'elle  est  plus  échauffée ,  et  elle  est  remplacée  par  une 
autre  masse  d'air  froid.  Il  s'établit  ainsi  un  courant  d'air 
dont  la  direction  est  verticale,  et  dont  la  vitesse  est  d'autant 
plus  grande,  que  la  température  du  corps  est  plus  élevée. 
C'est  pourquoi,  si  le  corps  se  refroidissait  successivement,  la 
vitesse  du  courant  diminuerait  avec  la  température, et  la  loi 
du  refroidissement  ne  serait  pas  exactement  la  même  que  si  le 
corps  était  exposé  à  un  courant  d'air  d'une  vitesse  constante. 

35. 
Lorsque  les  corps  sont  assez  échauffés  pour  répandre  une 
très-vive  lumière,  une  partie  de  leur  chaleur  rayonnante, 
mêlée  à  cette  lumière  ,  peut  traverser  les  solides  ou  les 
liquides  transparents;  et  elle  est  sujette  à  la  force  qui  pro- 
duit les  réfractions.  La  quantité  de  chaleur  qui  jouit  de  cette 
faculté  est  d'autant  moindre,  que  les  corps  sont  moins  en- 
tlammés;  elle  est,  pour  ainsi  dire,  insensible  pour  les  corps 
très-obscurs',  quelque  échauffés  qu'ils  soient.  Une  lame  mince 
t't  diaphane  intercepte  presque  toute  la  chaleur  directe  qui 
sort  d'une  masse  métallique  ardente  ;  mais  elle  s'échauffe 


CHAPITRE   I.  a5 

à  mesure  que  les  rayons  interceptes  s'y  accumulent;  ou,  si 
elle  est  formée  d'eau  glacée ,  elle  devient  liquide  ;  si  cette  lame 
de  glace  est  exposée  aux  rayons  d'un  flambeau,  elle  laisse 
passer  avec  la  lumière  une  chaleur  sensible. 

36. 
Nous  avons  pris  pour  mesure  de  la  conducibilité  extérieure 
d'un  corps  solide  un  coefficient  h,  exprimant  la  quantité  de 
chaleur  qui  passerait,  pendant  un  temps  déterminé  (une 
minute),  de  la  surface  de  ce  corps  dans  l'air  atmosphérique, 
en  supposant  que  la  surface  ait  une  étendue  déterminée  (un 
mètre  quarré),  que  la  température  constante  du  corps  soit 
I ,  que  celle  de  l'air  soit  o ,  et  que  la  surface  échauffée  soit 
exposée  à  un  courant  d'air  d'une  vitesse  donnée  invariable. 
On  détermine  cette  valeur  de  A  par  les  observations.  La  quan- 
tité de  chaleur  exprimée  par  le  coefficient  se  forme  de  deux 
parties  distinctes,  qui  ne  peuvent  être  mesurées  que  par  des 
expériences  très-précises.  L'une  est  la  chaleur  communiquée 
par  voie  de  contact  à  lair  environnant  ;  l'autre ,  beaucoup 
moindre  que  la  première ,  est  la  chaleur  rayonnante  émise. 
On  doit  supposer,  dans  les  premières  recherches,  que  la 
quantité  de  chaleur  perdue  ne  change  point,  si  Ton  aug- 
mente d'une  quantité  commune  et  assez  petite  la  tempéra- 
ture du  corps  échauffé  et  celle  du  milieu. 

Les  substances  solides  diffèrent  encore  ,  comme  nous 
l'avons  dit,  par  la  propriété  qu'elles  ont  d'être  plus  ou  moins 
perméables  à  la  chaleur  ;  cette  qualité  est  leur  conducibilité 
propre  :  nous  en  donnerons  la  définition  et  la  mesure  exacte, 
après  avoir  traité  de  la  propagation  uniforme  et  linéaire  de 
la  chaleur.  Les  substances  liquides  jouissent  aussi  de  la  faculté 

4 


z6  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

de  transmettre  la  chaleur  de  mote'cule  à  molécule,  et  la  va- 
leur numérique  de  leur  conducibilité  varie  suivant  la  nature 
de  ces  substances  ;  mais  on  en  observe  difficilement  l'effet 
dans  les  liquides,  parce  que  leuTs  molécules  changent  de  si- 
tuation en  changeant  de  température.  C'est  de  ce  déplace- 
ment continuel  que  résulte  principalement  la  propagation 
de  la  chaleur,  toutes  les  fois  que  les  parties  inférieures  de  la 
masse  sont  les  plus  exposées  à  l'action  du  foyer.  Si,  au  con- 
ti-aire,  on  applique  le  foyer  à  la  partie  de  la  masse  qui  est  la 
plus  élevée,  comme  cela  avait  lieu  dans  plusieurs  de  nos 
expériences,  la  transmission  de  la  chaleur,  qui  est  très-lente, 
n'occasionne  aucun  déplacement,  à  moins  que  l'accroisse- 
ment de  la  température  ne  diminue  le  volume,  ce  que  l'on 
remarque  en  effet  dans  des  cas  singuliers  voisins  des  chan- 
gements d'état. 

'^'^  38. 

"A. cet  exposé  des  résultats  principaux  des  observations,  il 
fatit  ajouter  une  remarque  générale  sur  l'équilibre  des  tem- 
pératures ;  elle  consiste  en  ce  que  les  différents  corps  qui 
sont  placés  dans  un  même  lieu ,  dont  toutes  les  parties  sont 
et  demeurent  également  échauffées,  y  acquièrent  aussi  une 
température  commune  et  permanente. 

Supposons  que  tous  les  points  d'une  masse  M  aient  une 
température  commune  et  constante  a,  qui  est  entretenue 
par  une  cause  quelconque  :  si  l'on  met  un  corps  moindre/» 
en  contact  parfait  avec  la  masse  M,  il  prendra  la  tempéra- 
ture commune  a.  A  la  vérité,  ce  résultat  n'aurait  lieu  rigou- 
reusement qu'après  un  temps  infini  ;  mais  le  sens  précis  de 
la  proposition  est  que  si  le  corps  m  avait  la  température  a 
avant  d'être  mis  en  contact,  il   la  conserverait   sans  aucun 


CHAPITRE   I.  27 

changement.  Il  en  serait  de  même  d'une  multitude  d'autres 
corps,  n,  p,  q,  r,  dont  chacun  serait  mis  séparément  en 
contact  parfait  avec  la  masse  M  ;  ils  acquerraient  tous  la  tem- 
pérature constante  a.  Ainsi  le  thermomètre  étant  successi- 
vement appliqué  aux  différents  corps  m,  n,  p,  q,  r.  .  .  .  in- 
diquerait cette  même  température. 

39. 

L'effet  dont  il  s'agit  est  indépendant  du  contact,  et  il  au- 
rait encore  lieu ,  si  le  corps  m  était  enfermé  de  toutes  parts 
dans  le  solide  M ,  comme  dans  une  enceinte ,  sans  toucher 
aucune  de  ses  parties.  Par  exemple,  si  ce  solide  était  une 
enveloppe  sphérique  d'une  certaine  épaisseur ,  entretenue 
par  une  cause  extérieure  à  la  température  a,  et  renfermant 
un  espace  entièrement  vide  d'air,  et  si  le  corps  m  pouvait 
être  placé  dans  une  partie  quelconque  de  cet  espace  sphé- 
rique, sans  qu'il  touchât  aucun  point  de  la  surface  intérieure 
de  l'enceinte,  il  acquerrait  la  température  commune  a, 
ou  plutôt  il  la  conserverait  s'il  l'avait  déjà.  Le  résultat  se- 
rait le  même  pour  tous  les  autres  corps  n,  p ,  q,  r,  soit 
qu'on  les  plaçât  séparément  ou  ensemble  dans  cette  même 
enceinte ,  et  quelles  que  fussent  d'ailleurs  leur  espèce  et  leur 
figure. 

4o. 

De  toutes  les  manières  de  se  représenter  l'action  de  la  cha- 
leur, celle  qui  paraît  la  plus  simple  et  la  plus  conforme  aux 
observations ,  consiste  à  comparer  cette  action  à  celle  de 
la  lumière.  Les  molécules  éloignées  les  unes  des  autres  se 
communiquent  réciproquement  à  travers  les  espaces  vides 

M. 


28  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

d'air  ;  leurs  rayons  de  chaleur ,  comme  les  corps  éclaires ,  se 

transmettent  leur  lumière.  , 

Si  dans  une  enceinte  fermée  de  toutes  parts,  et  entretenue 
par  une  cause  extérieure  à  une  température  fixe  a ,  on  sup- 
pose que  divers  corps  sont  placés  sans  qu'ils  touchent  au- 
cune des  parties  de  l'enceinte ,  on  observera  des  effets  dif- 
férents ,  suivant  que  les  corps  introduits  dans  cet  espace 
vide  d'air  sont  plus  ou  moins  échauffés.  Si  l'on  place  d'abord 
un  seul  de  ces  corps,  et  qu'il  ait  la  température  même  de 
l'enceinte,  il  enverra  par  tous  les  points  de  sa  surface  autant 
de  chaleur  qu'il  en  reçoit  du  solide  qui  l'environne,  et  c'est 
cet  échange  de  quantités  égales  qui  le  maintient  dans  son 
premier  état. 

Si  l'on  introduit  un  second  corps  dont  la  température  h 
soit  moindre  que  a,  il  recevra  d'abord  ,  des  surfaces  qui  l'en- 
vironnent de  tovites  parts  sans  le  toucher,  une  quantité  de 
chaleur  plus  grande  que  celle  qu'il  envoie  :  il  s'échauffera 
de  plus  en  plus,  et  il  perdra  par  sa  surface  plus  de  chaleur 
qu'auparavant.  La  température  initiale  h  s'élevant  continuel- 
lement, s'approchera  sans  cesse  de  la  température  fixe  a, 
en  sorte  qu'après  un  certain  temps,  la  différence  sera  presque 
insensible.  L'effet  serait  contraire,  si  l'on  plaçait  dans  la 
même  enceinte  un  troisième  corps  dont  la  température  se- 
rait plus  grande  que  a. 

4r. 
Tous  les  corps  ont  la  propriété  d'émettre  la  chaleur  par 
leur  surface;  ils  en  envoient  d'autant  plus,  qu'ils  sont  plus 
échauffés  ;  l'intensité  des  rayons  émis  change  très-sensible- 
ment avec  l'état  de  la  superficie. 


CHAPITRE  I.  29 

42. 

Toutes  les  surfaces  qui  reçoivent  les  rayons  de  la  chaleur 
des  corps  environnants,  eu  réfléchissent  une  partie,  et  ad- 
mettent l'autre  :  la  chaleur  qui  n'est  point  réfléchie ,  mais 
qui  s'introduit  par  la  surface,  s'accumule  dans  le  solide;  et 
tant  qu'elle  surpasse  la  quantité  qui  se  dissipe  par  l'irra- 
diation ,  la  température  s'élève. 

43. 

Les  rayons  qui  tendent  à  sortir  des  corps  échauffés  sons 
arrêtés  vers  la  surface  par  une  force  Cjui  en  réfléchit  une 
partie  dans  l'intérieur  de  la  masse.  La  cause  cpii  empêche 
les  rayons  incidents  de  traverser  la  superficie,  et  C[ui  divise 
ces  rayons  en  deux  parties,  dont  l'une  est  réfléchie,  et  dont 
l'autre  est  admise,  agit  de  la  même  manière  sur  les  rayons 
qui  se  dirigent  de  l'intérieur  du  corps  vers  l'espace  extérieur. 

Si  en  modifiant  l'état  de  la  surface ,  on  augmente  la  force 
avec  lac[uelle  elle  réfléchit  les  rayons  incidents,  on  aug- 
mente en  même  temps  la  faculté  cpielle  a  de  réfléchir  vers 
l'intéï'ieur  du  corps  les  rayons  qui  tendent  h  en  sortir.  La 
quantité  des  rayons  incidents  cpii  s'introduisent  dans  la 
masse,  et  celle  des  rayons  émis  par  la  surface,  sont  égale- 
ment diminuées. 

44.  . 

Si  l'on  plaçait  ensemble  dans  l'enceinte  dont  nous  avons 
parlé,  une  multitude  de  corps  éloignés  les  uns  des  autres  et 
inégalement  échauffés ,  ils  recevraient  et  se  transmettraient 
leurs  rayons  de  chaleur,  en  sorte  cjue  dans  cet  échange 
leurs  températures  varieraient  continuellement  ,  et  ten- 
draient toutes  à  devenir  égales  à  la  température  fixe  de 
l'enceinte. 


3o  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

Cet  effet  est  précisément  celui  qui  a  lieu  lorsque  la  cha- 
leur se  propage  dans  les  corps  solides  ;  car  les  molécules  qui 
composent  les  corps  sont  séparées  par  des  espaces  vides 
d'air,  et  ont  la  propriété  de  recevoir,  d'accumuler  et  d'é- 
mettre la  chaleur.  Chacune  d'elles  envoie  ses  rayons  de 
toutes  parts,  et  en  même  temps  elle  reçoit  ceux  des  molé- 
cules qui  l'environnent. 

45. 

La  chaleur  envoyée  par  un  point  situé  dans  l'intérieur 
d'une  masse  solide,  ne  peut  se  porter  directement  cju'à  une 
distance  extrêmement  petite;  elle  est,  pour  ainsi  dire,  inter- 
ceptée par  les  particules  les  plus  voisines;  ce  sont  ces  der- 
nières seules  qui  la  reçoivent  immédiatement ,  et  qui  agissent 
sur  les  points  plus  éloignés.  Il  n'en  est  pas  de  même  des 
fluides  aériformes;  les  effets  directs  de  l'iri^adiation  y  devien- 
nent sensibles  à  des  distances  très-considérables. 

46. 

Ainsi  la  chaleur  qui  sort  dans  toutes  les  directions  d'une 
partie  d'une  surface  solide,  pénètre  dans  l'air  jusqu'à  des 
points  forts  éloignés  ;  mais  elle  n'est  émise  que  par  les  mo- 
lécules du  corps,  qui  sont  extrêmement  voisines  de  la  sur-  | 
face.  Un  point  d'une  masse  échauffée,  placé  à  une  très- 
petite  distance  de  la  superficie  plane  qui  sépare  la  masse 
de  l'espace  extérieur,  envoie  à  cet  espace  inie  infinité  de 
rayons;  mais  ils  n'y  parviennent  pas  entièrement;  ils  sont 
diminués  de  toute  la  quantité  de  chaleur  qui  s'arrête  sur 
les  molécules  solides  intermédiaires.  La  partie  du  rayon 
qui  se  dissipe  dans  l'espace  est  d'autant  moindre,  qu'elle 
traverse  un  plus  long  intervalle  dans  la  masse.  Ainsi  le 
rayon  qui  sort  perpendiculairement  à  la  superficie  a  plus 


CHAPITRE  k;  •  3i 

d'intensité  que  celui  qui,  partant  du  rflêmë  point,  suit  une 
direction  oblique,  et  les  rayons  les  plus  obliques  sont  entiè- 
rement interceptés. 

La  même  conséquence  s'applique  à  tous  les  points  qui 
sont  assez  voisins  de  la  superficie  pour  concourir  à  l'émis- 
sion de  la  chaleur,  il  en  résulte  nécessairement  que  la  quan- 
tité totale  de  chaleur  qui  sort  de  la  surface  sôus  la  direction 
perpendiculaire  est  beaucoup  plus  grande  que  celle  dont  la 
direction  est  oblique.  Nous  avons  soumis  cette  question  au 
calcul  ,  et  l'analyse  que  nous  en  avons  faite  démontre  que 
l'intensité  du  rayon  est  proportionnelle  au  sinus  de  l'angle 
que  ce  rayon  fait  avec  l'élément  de  la  surface.  Les  expériences 
avaient  déjà  indiqué  un  résultat  semblable. 

47-       _ 

Ce  théorème  exprime  une  loi  générale  qui  a  une  con- 
nexion nécessaire  avec  l'équilibre  et  le  mode  d'action  de  la 
chaleur.  Si  les  rayons  qui  sortent  d'une  suiface  échauffée 
avaient  la  même  intensité  dans  toutes  les  directions ,  le  ther- 
momètre que  l'on  placerait  dans  un  des  points  de  l'espace 
terminé  de  tous  côtés  par  une  enceinte  entretenue  à  uhe 
température  constante,  pourrait  indiquer  une  température 
incomparablement  plus  ^ande  que  celle  de  l'enceinte.  Les 
corps  que  l'on  enfermerait  dans  cette  enceinte  ne  pren- 
draient point  une  température  commune  ,  ainsi  qu'on  le 
remarque  toujours  ;  celle  qu'ils  acquerraient  dépendrait  du 
lieu  qu'ils  occuperaient,  ou  de  leur  forme,  ou  de  celles  des 
corps  voisins. 

On  observerait  ces  mêmes  résultats  ou  d'autres  effets  éga- 
lement contraires  à  l'expérience  commune,  si  l'on  admettait 
entre  les  rayons  qui  sortent  d'un  même  point ,  des  rapports 


32  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

différents  de  ceux  que  l'on  a  énoncés.  Nous  avons  reconnu 
que  cette  loi  est  seule  compatible  avec  le  fait  général  de 
l'équilibre  de  la  chaleur  rayonnante. 

48.         ^ 

Si  un  espace  vide  d'air  est  terminé  de  tous  côtés  par  une 
enceinte  solide  dont  les  parties  sont  entretenues  à  une  tem- 
pérature commune  et  constante  a,  et  si  l'on  met  en  un  point 
quelconque  de  l'espace  un  thermomètre  qui  ait  la  tempéra- 
ture actuelle  /7,  il  la  conservera  sans  aucun  changement.  Il 
recevra  donc  à  chaque  instant  de  la  surface  intérieure  de 
l'enceinte  autant  de  chaleur  qu'il  lui  en  envoie.  Cet  effet  des 
rayons  de  chaleur  dans  un  espace  donné  est,  à  proprement 
parler,  la  mesure  de  la  température  :  mais  cette  considéra- 
tion suppose  la  théorie  mathématique  de  la  chaleur  rayon- 
nante. Si  l'on  place  maintenant  entre  le  thermomètre  et  une 
partie  de  la  surface  de  l'enceinte  un  corps  M  dont  la  tempé- 
rature soit  a,  le  thermomètre  cessera  de  recevoir  les  rayons 
d'une  partie  de  cette  surface  intérieure,  mais  ils  seront  rem- 
placés par  ceux  qu'il  recevra  du  corps  interposé  M.  Un  cal- 
cul facile  prouve  que  la  compensation  est  exacte,  en  sorte 
que  l'état  du  thermomètre  ne  sera  point  changé.  Il  n'en  est 
pas  de  même  si  la  température  du  corps  M  n'est  pas  égale  à 
celle  de  l'enceinte.  Lorsqu'elle  est  plus  grande,  les  rayons 
que  le  corps  interposé  M  envoie  au  thermomètre  et  qui  rem- 
placent les  rayons  interceptés,  ont  plus  de  chaleur  que  ces 
derniers;  la  température  du  thermomètre  doit  donc  s'élever. 

Si,  au  contraire,  le  corps  intermédiaire  a  une  température 
moindre  que  a,  celle  du  thermomètre  devra  s'abaisser;  car 
les  rayons  que  ce  corps  intercepte  sont  remplacés  par  ceux 
qu'il  envoie,  c'est-à-dire,  par  des  rayons  plus  froids  que  ceux 


CHAPITRE   I.  33 

de  l'enceinte,  ainsi  le  thermomètre  ne  reçoit  pas  toute  h 
chaleur  qui  serait  nécessaire  pour  maintenir  sa  tempéra- 
ture a.  ■ 

On  a  fait  abstraction  jusqu'ici  de  la  faculté  qu'ont  toutes 
les  surfaces  de  réfléchir  une  partie  des  rayons  qui  leur  sont 
envoyés.  Si  l'on  ne  considérait  point  cette  propriété,  on 
n'aurait  qu'une  idée  très -incomplète  de  l'équilibre  de  la 
chaleur  rayonnante.  ■■  •  , 

Supposons  donc  que  dans  la  surface  intérieure  de  l'en- 
ceinte entretenue  à  une  température  constante,  il  y  ait  une 
portion  qui  jouisse,  à  un  certain  degré,  de  la  faculté  dont  il 
s'agit  ;  chaque  point  de  la  surface  réfléchissante  enverra  dans 
l'espace  deux  espèces  de  rayons  ;  les  uns  sortent  de  l'intérieur 
même  de  la  substance  dont  l'enceinte  est  formée,  les  autres 
sont  seulement  réfléchis  par  cette  même  surface,  à  laquelle 
ils  ont  été  envoyés.  Mais  en  même -temps  que  la  surface 
repousse  à  l'extérieur  une  partie  des  rayons  incidents,  elle 
retient  dans  l'intérieur  une  partie  de  ses  propres  rayons.  Il 
s'établit  à  cet  égard  une  compensation  exacte,  c'est-à-dire, 
que  chacun  des  rayons  propres,  dont  la  surface  empêche 
l'émission ,  est  remplacé  par  un  rayon  réfléchi  d'une  égale 
intensité. 

Le  même  résultat  aurait  lieu  si  la  faculté  de  réfléchir  les 
rayons  affectait  à  un  degré  quelconque  d'autres  parties  de 
l'enceinte,  ou  la  superficie  des  corps  placés  dans  le  même 
espace,  et  parvenus  à  la  température  commune. 

Ainsi ,  la  réflexion  de  la  chaleur  ne  trouble  point  l'équi- 
libre des  températures,  et  n'apporte,  pendant  que  cet  équi- 

5 


34  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

libre  subsiste,  aucun  changement  à  la  loi  suivant  laquelle 
l'intensité  des  rayons  qui  partent  d'un  même  point  décroît 
proportionnellement  au  sinus  de  l'angle  d'émission. 


5o. 


Supposons  que  dans  cette  même  enceinte,  dont  toutes  les 
parties  conservent  la  température  a,  on  place  un  corps  isolé 
M,  et  une  surface  métallique  polie  R,  qui,  tournant  sa  conca- 
vité vers  le  corps,  réfléchisse  une  grande  partie  des  rayons 
qu'elle  en  reçoit  ;  si  l'on  place  entre  le  corps  M  et  la  surface 
réfléchissante  R,  un  thermomètre  qui  occupe  le  foyer  de  ce 
miroir,  on  observera  trois  effets  différents,  selon  que  la  tem- 
péi^ature  du  corps  M  sera  égale  à  la  température  commune 
a,  ou  sera  plus  grande,  ou  sera  moindre. 

Dans  le  premier  cas,  le  thermomètre  conserve  la  tempéra- 
ture a  ;  il  reçoit,  i°  des  rayons  de  chaleur  de  toutes  les  par- 
ties de  l'enceinte  qui  ne  lui  sont  point  cachées  par  le  corps 
M  ou  par  le  mircir  ;  2°  des  rayons  envoyés  par  le  corps  ; 
3°  ceux  que  la  surface  R  envoie  au  foyer,  soit  qu'ils  viennent 
de  la  masse  même  du  miroir,  soit  que  la  surface  les  ait 
seulement  réfléchis  ;  et  parmi  ces  derniers  on  peut  distinguer 
ceux  qui  sont  envoyés  au  miroir  par  la  masse  M,  et  ceux 
qu'il  reçoit  de  l'enceinte.  Tous  les  rayons  dont  il  s'agit  pro- 
viennent des  surfaces  qui,  d'après  l'hypothèse,  ont  une  tem- 
pérature commune  a,  en  sorte  que  le  thermomètre  est  préci- 
sément dans  le  même  état  que  si  l'espace  terminé  par  l'enceinte 
ne  contenait  point  d'autre  corps  que  lui. 

Dans  le  second  cas,  le  thermomètre  placé  entre  le  corps 
échauffé  M  et  le  miroir,  doit  acquérir  une  température  plus 
grande  que  a.  En  effet ,  il  reçoit  les  mêmes  rayons  que  dans 
la  première  hypothèse;  mais  il  y  a  deux  différences  remar- 


CHAPITRE  1.  35 

quables  :  l'une  provient  de  ce  que  les  rayons  envoye's  par  le 
corps  M  au  miroir,  et  réfléchis  sur  le  thermomètre,  con- 
tiennent plus  de  chaleur  que  dans  le  premier  cas.  L'autre 
différence  provient  des  rayons  que  le  corps  M  envoie  direc- 
tement au  thermomètre ,  et  qui  ont  plus  de  chaleur  qu'aupa- 
ravant. L'une  et  l'autre  cause,  et  principalement  la  première, 
concourent  à  élever  la  température  du  thermomètre. 

Dans  le  troisième  cas,  c'est-à-dire,  lorsque  la  température 
de  la  masse  M  est  moindre  que  a,  le  thermomètre  doit 
prendre  aussi  une  température  moindre  tpie  a.  En  effet,  il 
reçoit  encore  toutes  les  espèces  de  rayons  que  nous  avons 
distinguées  pour  le  premier  cas  :  mais  il  y  en  a  deux  sortes 
qui  contiennent  moins  de  chaleur  cjue  dans  cette  première 
hypothèse,  savoir  ceux  qui,  envoyés  par  le  corps  M,  sont 
réfléchis  par  le  miroir  sur  le  thermomèti'e,  et  ceux  c[ue  le 
même  corps  M  lui  envoie  directement.  Ainsi,  le  thermo- 
mètre ne  reçoit  pas  toute  la  chaleur  qui  lui  est  nécessaire 
pour  conserver  sa  température  primitive  a.  Il  envoie  plus 
de  chaleur  c|u'il  n'en  reçoit.  Il  faut  donc  que  sa  température 
s'abaisse  jusqu'à  ce  que  les  rayons  cju'il  reçoit  suffisent  pour 
compenser  ceux  qu'il  perd.  C'est  ce  dernier  effet  que  l'on  a 
nommé  la  réflexion  du  froid,  et  qui,  à  proprement  parler, 
consiste  dans  la  réflexion  d'une  chaleur  trop  faible.  Le  miroir 
intercepte  une  certaine  quantité  de  chaleur,  et  la  remplace 
par  une  moindre  quantité. 

Si  l'on  place  dans  l'enceinte  entretenue  à  une  température 
constante  a  un  corps  M  dont  la  température  d  soit  moinilre 
que  a ,  k  présence  de  ce  corps  fera  baisser  le  thermomètre 
exposé  à  ses  rayons,  et  l'on  doit  remarquer  qu'en  général 

5. 


36  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

ces  rayons,  envoyés  au  thermomètre  par  la  surface  du  corps 
M,  sont  de  deux  espèces,  savoir  ceux  qui  sortent  de  l'inté- 
rieur de  la  masse  M,  et  ceux  qui,  venant  des  diverses  parties 
de  l'enceinte,  rencontrent  la  surface  M,  et  sont  réfléchis  sur 
le  thermomètre.  Ces  derniers  ont  la  température  commune 
a,  mais  ceux  qui  appartiennent  au  corps  M  contiennent 
moins  de  chaleur,  et  ce  sont  ces  rayons  qui  refroidissent  le 
thermomètre.  Si  maintenant,  en  changeant  l'état  de  la  sur- 
face du  corps  M,  par  exemple,  en  détruisant  le  poli,  on 
diminue  la  faculté  qu'elle  a  de  réfléchir  les  rayons  incidents; 
le  thermomètre  s'abaissera  encore,  et  prendra  une  tempé- 
rature a  moindre  que  a!.  En  effet,  toutes  les  conditions 
seront  les  mêmes  que  dans  le  cas  précédent,  si  ce  n'est  que 
la  masse  M  envoie  une  plus  grande  quantité  de  ses  propres 
rayons,  et  réfléchit  une  moindre  quantité  des  rayons  qu'elle 
reçoit  de  l'enceinte  ;  c'est-à-dire ,  que  ces  derniers ,  qui  ont 
la  température  commune ,  sont  en  partie  remplacés  par  des 
rayons  plus  froids.  Donc,  le  thermomètre  ne  reçoit  plus 
autant  de  chaleur  qu'auparavant. 

Si,  indépendamment  de  ce  changement  de  la  surface  du 
corps  M,  on  place  un  miroir  métallique  propre  à  réfléchir 
sur  le  thermomètre  les  rayons  sortis  de  M,  la  température 
prendra  une  valeur  à"  moindre  que  d .  En  effet,  le  miroir 
intercepte  au  thermomètre  une  partie  des  rayons  de  l'en- 
ceinte qui  ont  tous  la  température  a,  Ç.X.  les  remplace  par 
trois  espèces  de  rayons  ;  savoir  :  i  °  ceux  qui  proviennent  de 
l'intérieur  même  du  miroir,  et  qui  ont  la  température  com- 
mune ;  2<*  ceux  que  diverses  parties  de  l'enceinte  envoient  au 
miroir  avec  cette  même  température,  et  qui  sont  réfléchis 
vers  le  foyer;  3°  ceux  qui,  venant  de  l'intérieur  du  corps  M, 


CHAPITRE  I.  3; 

tombent  sur  le  miroir,  et  sont  réfléchis  sur  le  thermomètre. 
Ces  derniers  ont  une  température  moindre  que  a  ;  donc  le 
thermomètre  ne  reçoit  plus  autant  de  chaleur  qu'il  en  rece- 
vait avant  que  l'on  ne  plaçât  le  miroir. 

Enfin ,  si  l'on  vient  à  changer  aussi  l'état  de  la  surface  du 
miroir,  et  qu'en  lui  donnant  un  poli  plus  parfait,  on  aug- 
mente la  faculté  de  réfléchir  la  chaleur,  le  thermomètre 
s'abaissera  encore.  En  effet ,  toutes  les  conditions  qui  avaient 
lieu  dans  le  cas  précédent  subsistent.  Il  arrive  seulement  que 
le  miroir  envoie  une  moindre  quantité  de  ses  propres  rayons, 
et  il  les  remplace  par  ceux  qu'il  réfléchit.  Or,  parmi  ces  der- 
niers, tous  ceux  qui  sortent  de  l'intérieur  de  la  masse  M  ont 
moins  d'intensité  que  s'ils  venaient  de  lintérieur  du  miroir 
métallique  ;  donc ,  le  thermomètre  reçoit  encore  moins  de 
chaleur  cju'auparavant  ;  il  prendra  donc  une  température  a" 
moindre  que  «a'".  ,  ^ 

On  explique  facilement  par  les  mêmes  principes  tous  les 
effets  coiuîus  de  l'irradiation  de  la  chaleur  ou  du  froid. 

Sa.  . 

Les  effets  de  la  chaleur  ne  peuvent  nullement  être  com- 
parés à  ceux  d'un  fluide  élastic|ue,  dont  les  molécules  sont 
en  repos.  Ce  serait  inutilement  que  l'on  voudrait  déduire 
de  cette  hypothèse  les  lois  de  la  propagation  que  nous  expli- 
quons dans  cet  ouvrage,  et  que  toutes  les  expériences  ont 
confirmées.  L'état  libre  de  la  chaleur  est  celui  de  la  lumière  ; 
l'habitude  de  cet  élément  est  donc  entièrement  différente  de 
celle  des  substances  aériformes.  La  chaleur  agit  de  la  même 
manière  dans  le  vide,  dans  les  fluides  élastiques,  et  dans  les 
masses  hquides  ou  solides,  elle  ne  s'y  propage  que  par  voie 


38  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

d'irradiation ,  mais  ses  effets  sensibles  différent  selon  la  nature 
des  corps. 

53. 

La  chaleur  est  le  principe  de  toute  élasticité  ;  c'est  sa  force 
répulsive  qui  conserve  la  figure  des  masses  solides,  et  le  vo- 
lume des  liquides.  Dans  les  substances  solides,  les  molécules 
voisines  céderaient  à  leur  attraction  mutuelle ,  si  son  effet 
n'était  pas  détruit  par  la  chaleur  qui  les  sépare. 

Cette  force  élastique  est  d'autant  plus  grande  que  la  tem- 
pérature est  plus  élevée;  c'est  pour  cela  que  les  corps  se 
dilatent  ou  se  condensent ,  lorsqu'on  élève  ou  lorsqu'on  abaisse 
leur  température. 

54. 

L'équilibi'e  qui  subsiste  dans  l'intérieur  d'une  masse  solide 
entre  la  force  répulsive  de  la  chaleur  et  l'attraction  molécu- 
laire est  stable;  c'est-à-dire  qu'il  se  rétablit  de  lui-même 
lorsqu'il  est  troublé  par  une  cause  accidentelle.  Si  les  molé- 
cules sont  placées  à  la  distance  qui  convenait  à  l'équilibre, 
et  si  une  force  extérieure  vient  à  augmenter  cette  distance 
sans  que  la  température  soit  changée ,  l'effet  de  l'attraction 
commence  à  surpasser  celui  de  la  chaleur,  et  ramène  les 
molécules  à  leur  position  primitive,  après  une  multitude 
d'oscillations  qui  deviennent  de  plus  en  plus  insensibles. 

Un  effet  semblable  s'opère  en  sens  opposé  lorsqu'une  cause 
mécanique  diminue  la  distance  primitive  des  molécules  ;  telle 
est  l'origine  des  vibrations  des  corps  sonores  ou  flexibles,  et 
de  tous  les  effets  de  leur  élasticité. 


G5. 


oc 

Dans  l'état  liquide  ou  aériforme,  la  compression  extérieure 
s'ajoute  ou  supplée  à  ratti\iction  moléculaire,  et,  s'exerçant 


CHAPITRE  I.  39 

sur  les  surfiices,  elle  ne  s'oppose  point  au  changement  de 
figure ,  mais  seulement  à  celui  du  volume  occupé.  L'emplo 
du  calcul  ferait  mieux  connaître  comment  la  force  répulsive 
de  la  chaleur,  opposée  à  l'attraction  des  molécules  ou  à  la 
compression  extérieure,  concourt  à  la  composition  des  corps 
solides  ou  liquides,  formés  d'un  ou  plusieurs  principes,  et 
détermine  les  propriétés  élasticjues  des  fluides  aériformes; 
mais  ces  recherches  n'appartiennent  point  à  l'objet  que  nous 
traitons,  et  l'entrent  dans  les  théories  dynamiques. 

56.  ■:  '  ■  ^>   ■'  r  -^^.-"^^^ 

On  ne  peut  douter  que  le  mode  d'action  de  la  chaleur  ne 
consiste  toujours ,  comme  celui  de  la  lumière ,  dans  la  com- 
munication réciproque  des  rayons ,  et  cette  explication  est 
adoptée  aujourd'hui  de  la  plupart  des  physiciens;  mais  il 
n'est  point  nécessaire  de  considérer  les  phénomènes  sous  cet 
aspect  pour  établir  la  théorie  de  la  chaleur.  On  reconnaîtra, 
dans  le  cours  de  cet  ouvrage,  que  les  lois  de  l'équilibre  de 
la  chaleur  rayonnante  et  celles  de  la  propagation ,  dans  les 
masses  solides  ou  liquides,  peuvent,  indépendamment  de 
toute  expHcation  physique,  être  rigoureusement  démontrées 
comme  des  conséquences  nécessaires  des  observations  com- 
munes. 

SECTION  III. 

Principe  de  la  communication  de  la  chaleur. 

Nous  allons  présentement  examiner  ce  cjue  les  expériences 
nous  apprennent  sur  la  communication  de  la  chaleur. 
Si  deux  molécules  égales  sont  formées  de  la  même  sub- 


4o  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

stance  et  ont  la  même  température,  chacune  d'elles  reçoit 
de  l'autre  autant  de  chaleur  qu'elle  lui  en  envoie;  leur  action 
mutuelle  doit  donc  être  regardée  comme  nulle,  parce  que 
le  résultat  de  cette  action  ne  peut  apporter  aucun  change- 
ment dans  l'état  des  molécules.  Si,  au  contraire,  la  première 
est  plus  échauffée  que  la  seconde,  elle  lui  envoie  plus  de 
chaleur  qu'elle  n'en  reçoit;  le  résultat  de  l'action  mutuelle 
est  la  différence  de  ces  deux  quantités  de  chaleur.  Dans  tous 
les  cas  ,  nous  faisons  abstraction  des  quantités  égales  de 
chaleur  que  deux  points  matériels  quelconques  s'envoient 
réciproquement;  nous  concevons  que  le  point  le  plus  échauffé 
agit  seul  sur  l'autre  ,  et  qu'en  vertu  de  cette  action  ,  le 
premier  perd  une  certaine  quantité  de  chaleur  qui  est  ac- 
quise par  le  second.  Ainsi  l'action  de  deux  molécules ,  ou 
la  quantité  de  chaleur  que  la  plus  échauffée  communique 
à  l'autre,  est  la  différence  des  deux  quantités  qu'elles  s'en- 
voient réciproquement. 

58. 
Supposons  que  l'on  place  dans  l'air  un  corps  solide  ho- 
mogène, dont  les  différents  points  ont  actuellement  des^ 
températures  inégales;  chacune  des  molécules  dont  le  corps 
est  composé  commencera  à  recevoir  de  la  chaleur  de  celles 
qui  en  sont  extrêmement  peu  distantes,  ou  leur  en  commu- 
niquera. Cette  action  s'exerçant  pendant  le  même  instant 
entre  tous  les  points  de  la  masse,  il  en  résultera  un  chan- 
gement infiniment  petit  pour  toutes  les  températures  :  le 
solide  éprouvera  à  chaque  instant  des  eftéts  semblables  ;  en 
sorte  que  les  variations  de  température  deviendront  de  plus 
en  plus  sensibles.  Considérons  seulement  le  système  de  deux 
molécules  égales  et  extrêmement  voisines,  m  et  n,  et  cher- 


CHAPITRE   I.  4t 

chons  quelle  esl  la  quantité  de  chaleur  que  la  première  peut 
recevoir  do  la  seconde  pendant  la  durée  d'un  instant;  on 
appliquera  ensuite  le  même  raisonnement  à  tous  les  autres 
points  qui  sont  assez  voisins  du  point  ni  pour  agir  immé- 
diatement sur  lui  dans  le  premier  instant. 

La  quantité  de  chaleur  comnnmiquée  })ar  le  point  //  au 
point  m  dépend  de  la  durée  de  l'instant ,  de  la  distance  ex- 
trêmement petite  de  ces  points,  de  la  température  actuelle  de 
chacun,  et  de  la  nature  de  la  substance  solide;  c'est-à-dire 
que  si  l'un  de  ces  éléments  venait  à  varier,  tous  les  autres 
demeui'ant  les  mêmes,  la  quantité  de  chaleur  transmise  va- 
rierait aussi.  Or,  les  expériences  ont  fait  connaître,  à  cet 
égard,  un  résultat  général  :  il  consiste  en  ce  que  toutes  les 
autres  circonstances  étant  les  mêmes,  la  quantité  de  chaleur 
que  l'une  des  molécules  reçoit  de  l'autre  est  proportionnelle 
à  la  différence  de  température  de  ces  deux  molécules.  Ainsi 
cette  quantité   serait   double,  triple,   quadruple,  si,   tout 
restant  d'ailleurs  le  même,  la  différence  de  la  température 
du  point  n  à  celle  du  point  ni  était  double,  ou  triple,  ou 
quadruple.    Pour  se   rendre   raison   de  ce  résultat,  il   fout 
considérer  que  l'action  de  n  sur  ni  est  toujours  d'autant  plus 
grande  qu'il  y  a  plus  de  différence  entre  les  températures 
des  deux  points;   elle  est  nulle,  si   les   températures    sont 
égales,  mais  si  la  molécule  n  contient  plus  de  chaleur  que 
la  molécule  égale  ni,  c'est-à-dire  si  la  température  de  ni  étant 
V ,  celle  de  n  est  v  -\-  A,  une  portion  de  la  chaleur  excédante 
passera  de  n  à  m.  Or,  si  l'excès  de  chaleur  était  double,  ou, 
ce  qui  est  la  même  chose,  si  la  température  de  n  était  v  +  aA, 
la  chaleur  excédante  serait  composée  de  deux  parties  éi;;iles 

(i 


42  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

correspondantes  aux  deux  moitiés  de  la  différence  totale  des 
températures  aA  ;  cTiacune  de  ces  parties  aurait  son  effet 
propre  comme  si  elle  était  seule  :  ainsi  la  quantité  de  chaleur 
communiquée  par  n  à  m  serait  deux  fois  plus  grande  que  si 
la  différence  des  températures  était  seulement  A.  C'est  cette 
action  simultanée  des  différentes  parties  de  la  chaleur  excé- 
dante qui  constitue  le  principe  de  la  communication  de  la 
chaleur.  Il  en  résulte  que  la  somme  des  actions  partielles, 
ou  la  quantité  totale  de  chaleur  que  m  reçoit  de  n ,  est  pro- 
portionnelle à  la  différence  des  deux  températures. 

En  désignant  par  v  et  v  les  températures  des  deux  molé- 
cules égales  m  et  n;  par  ^,  leur  distance  extrêmement 
petite  ,  et  par  d  t ,  la  durée  infiniment  petite  de  l'instant ,  la 
cjuantité  de  chaleur  que  m  reçoit  de  n,  pendant  cet  instant, 
sera  exprimée  par  (a'' — 1>^  o  {p).dt.  On  désigne  par  ip  (yj) 
une  certaine  fonction  de  la  distance  p  qui ,  dans  les  corps 
solides  et  dans  les  licjuides,  devient  nulle  lorsque/?  a  une 
grandeur  sensible.  Cette  fonction  est  la  môme  pour  tous  les 
points  d'une  même  substance  donnée;  elle  varie  avec  la  na- 
ture de  la  substance. 

60. 

La  quantité  de  chaleur  rjue  les  corps  perdent  par  leur 
surface  est  assujétie  au  même  principe.  Si  l'on  désigne  par 
c  l'étendue  ou  finie  ou  infiniment  petite  de  la  surface  dont 
tous  les  points  ont  la  température  v,  et  si  a  représente  la 
température  de  l'air  atmosphérique,  le  coefficient  h  étant  la 
mesure  de  la  conducibilité  extérieure,  on  aura  c  h  (v — a)  d  t 
pour  l'expression  de  la  quantité  de  chaleur  que  cette  surface 
<7  transmet  à  l'air  pendant  l'instant  d  t. 


CHAPITRE  I.  43 

Lorsque  les  deux  molécules,  dont  l'une  transmet  directe- 
ment à  l'autre  une  certaine  quantité  de  chaleur ,  appartien- 
nent au  même  solide,  l'expression  exacte  de  la  chaleur  com- 
muniquée est  celle  que  nous  avons  donnée  dans  l'article 
précédent  :  parce  que  les  molécules  étant  extrêmement  voi- 
sines ,  la  différence  des  températures  est  extrêmement  petite. 
Il  n'en  est  pas  de  même  lorsque  la  chaleur  passe  d'un  corps 
solide  dans  un  milieu  aériforme.  Mais  les  expériences  nous 
apprennent  que  si  la  différence  est  une  quantité  assez  petite, 
la  chaleur  transmise  est  sensiblement  proportionnelle  à  cette 
différence,  et  que  le  nombre  h  peut,  dans  les  premières  re- 
cherches,  être  considéré  comme  ayant  une  valeur  constante, 
propre  à  chaque  état  de  la  surface,  mais  indépendant  de  la 
température. 

6i. 
Ces  propositions  relatives  à  la  quantité  de  chaleur  com- 
muniquée, ont  été  déduites  de  diverses  observations.  On 
voit  d'abord ,  comme  une  conséquence  évidente  des  expres- 
sions dont  il  s'agit,  que  si  l'on  augmentait  d'une  quantité 
commune  toutes  les  températures  initiales  de  la  masse  solide, 
et  celle  du  milieu  où  elle  est  placée,  les  changements  suc- 
cessifs des  températures  seraient  exactement  les  mêmes  que 
si  l'on  ne  faisait  point  cette  addition.  Or  ce  résultat  est  sen- 
siblement conforme  aux  expériences  ;  il  a  été  admis  par  les 
premiers  physiciens  qui  ont  observé  les  effets  de  la  chaleur. 
•  62. 

Si  le  milieu  est  entretenu  à  une  température  constante , 
et  si  le  corps  échauffé  qui  est  placé  dans  ce  milieu  a  des  di- 
mensions assez  petites  pour  que  la  température,  en  s'abais- 
sant  de  plus  en  plus ,  demeure  sensiblement  la  même  dans 

^6. 


44  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

tous  ses  points ,  il  suit  des  mêmes  propositions  qu'il  s'e'chap- 
pera  à  chaque  instant,  par  la  surface  du  corps,  une  quantité 
de  chaleur  proportionnelle  à  l'excès  de  sa  température  ac- 
tuelle sur  celle  du  milieu.  On  en  conclut  facilement,  comme 
on  le  verra  dans  la  suite  de  cet  ouvrage ,  que  la  ligne  dont 
les  abscisses  représentei'aient  les  temps  écoulés ,  et  dont  les 
ordonnées  représenteraient  les  températures  qui  cori'espon- 
dent  à  ces  temps,  est  une  courbe  logarithmique  :  or,  les  ob- 
servations fournissent  aussi  ce  même  résultat,  lorsque  l'ex- 
cès de  la  température  du  solide  sur  celle  du  milieu  est  une 
quantité  assez  petite. 

63. 
Supposons  que  le  milieu  soit  entretenu  à  la  température 
constante  o,  et  que  les  températures  initiales  des  différents 
points  a,  h,c,  à,  etc.  d'une  même  masse  soient  a,  p,  y,  ^,etc. 
qu'à  la  fin  du  premier  instant  elles  soient  devenues  a',  fi',  y', 
^',  etc.  qu'à  la  fin  du  deuxième  instant  elles  soient  a',  p", 
y",  fï',  etc.  ainsi  de  suite.  On  peut  facilement  conclure  des 
propositions  énoncées,  que  si  les  températures  initiales  des 
mêmes  points  avaient  été  ^a,  gp,  gy,  rZâ,  etc.  (g-  étant  un 
nombre  quelconque),  elles  seraient  devenues,  en  vertu  de 
l'action  des  différents  points  à  la  fin  du  premier  instant,^»', 
g'^'i  g'i  y  g^\  etc.,  à  la  fin  du  second  instant  ga",  g-p",  g-{^ 
gè'\  etc  ,  ainsi  de  suite.  En  effet,  comparons  l'es  cas  wi  les 
températures  initiales  des  points  a,  b ,  c ,  d  étaient  a,  p ,  y,  rî , 
avec  celui  où  elles  sont  aa,  ap,  2y,  2^,  le  milieu  conservant, 
dans  l'un  et  l'autre  cas ,  la  température  o.  Dans  la  seconde 
hypothèse ,  les  différences  des  températures  des  deux  points 
quelconques  sont  doujoles  de  ce  qu'elles  étaient  dans  la  pre- 
mière, et  l'excès  de  la  temjjérature  de  chaque  point,  sur  celle 


CHAPITRE  I.  45 

de  chaque  molécule  du  milieu,  est  aussi  double  ;  par  consé- 
quent la  quantité  de  chaleur  qu'une  molécule  quelconque  en- 
voie à  une  auti'e,  ou  celle  qu'elle  en  reçoit,  est,  dans  la 
seconde  hypothèse,  double  de  ce  qu'elle  était  dans  la  pre- 
mière. Le  changement  que  chaque  point  subit  dans  sa  tempé- 
rature étant  proportionnel  à  la  quantité  de  chaleur  acquise, 
il  s'ensuit  que,  dans  le  second  cas,  ce  changement  est  double 
de  ce  qu'il  était  dans  le  premier.  Or,  on  a  supposé  que  la 
température  initiale  du  piemier  point,  qui  était  a,  devient  a' 
à  la  fin  du  premier  instant;  donc  si  cette  température  initiale 
eût  été  2a,  et  si  toutes  les  autres  eussent  été  doubles,  elle 
serait  devenne  2  a'.  Il  en  serait  de  même  de  toutes  les  autres 
molécules  h ,  c ,  d,  qX.  l'on  tirera  une  conséquence  semblable, 
si  le  rapport,  au  lieu  d'être  2, est  un  nombre  quelconque^. 
Il  résulte  donc  du  principe  de  la  communication  de  la  cha- 
leur, que  si  l'on  augmente  ou  si  l'on  diminue  dans  une  raison 
donnée  toutes  les  températures  initiales,  on  augmente  ou  l'on 
diminue  dans  la  même  raison  toutes  les  températures  suc- 
cessives. 

Ce  résultat,  comme  les  deux  précédents ,  est  confirmé  par 
les  observations.  Il  ne  pourrait  point  avoir  lieu  si  la  quantité 
de  chaleur  qui  passe  d'une  molécule  à  une  autre  n'était  point, 
en  effet,  proportionnelle  à  la  différence  des  températures. 

On  a  observé  avec  des  instruments  précis ,  les  températures 
permanentes  des  différents  point  d'une  barre  ou  d'une  armille 
métalliques ,  et  la  propagation  de  la  chaleur  dans  ces  mêmes 
corps  et  dans  plusieurs  autres  solides  de  forme  sphérique  ou 
cubique.  Les  résultats  de  ces  expériences  s'accordent  avec: 
ceux  que  l'on  déduit  des  propositions  précédentes.  Ils  se- 
raient entièrement  différents ,  si  la  quantité  de  chaleur  trans- 
mise par  une  molécule  solide  àiine  autre,  ou  à  une  molécule 


46  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

de  l'air,  n'était  pas  proportionnelle  à  l'excès  de  température. 
Il  est  d'abord  nécessaire  de  connaître  toutes  les  conséquences 
rigoureuses  de  cette  proposition  ;  par-là  on  détermine  la  par- 
tie principale  des  quantités  qui  sont  l'objet  de  la  question. 
En  comparant  ensuite  les  valeurs  calculées  avec  celles  que 
donnent  des  expériences  nombreuses  et  très-précises,  on  peut 
facilement  mesurer  les  variations  des  coefficients ,  et  perfec- 
tionner les  premières  recherches. 

SECTION  IV. 

Du  mouvement  uniforme  et  linéaire  de  la  chaleur. 

65. 

On  considérera,  en  premier  lieu,  le  mouvement  uniforme 
de  la  chaleur  dans  le  cas  le  plus  simple,  qui  est  celui  d'un 
solide  infini  compris  entre  deux  plans  pai^allèles. 

On  suppose  qu'un  corps  solide  formé  d'une  substance  ho- 
iuogène  est  compris  entre  deux  plans  infinis  et  parallèles  ;  le 
plan  inférieur  A  est  entretenu ,  par  une  cause  quelconque ,  à 
luie  température  constante  a  ;  on  peut  concevoir,  par  exemple, 
que  la  masse  est  prolongée,  et  que  le  plan  A  est  une  section 
commune  au  solide  et  à  cette  masse  intérieure  échauffée  dans 
tous  ses  points  par  un  foyer  constant  ;  le  plan  supérieur  B 
est  aussi  maintenu,  par  une  cause  semblable,  à  une  tempé- 
rature fixe  h ,  dont  la  valeur  est  moindre  c[ue  celle  de  a  :  il 
s'agit  de  déterminer  quel  serait  le  résultat  de  cette  hypothèse 
si  elle  était  continuée  pendant  un  temps  infini. 

Si  l'on  suppose  que  la  température  initiale  de  toutes  les 
parties  de  ce  corps  soit  b,  on  voit  que  la  chaleur  qui  sort 
du  foyer  A  se  propagera  de  plus  en  plus,  et  élèvera  la  tem- 
pérature des  molécules   comprises    entre   les  deux   plans  ; 


CHAPITRE  1.  4^ 

mais  celle  du  plan  supérieur  ne  pouvant,  d'après  l'hypo- 
thèse, être  plus  grande  queZ»,  la  chaleur  se  dissipera  dans  la 
masse  plus  froide  dont  le  contact  retient  le  plan  B  à  la  tem- 
pérature constante  b.  Le  système  des  températures  tendra 
de  plus  en  plus  à  un  état  final  qu'il  ne  pourra  jamais 
atteindre,  mais  qui  aurait,  comme  on  va  le  prouver,  la  pro- 
priété de  subsister  lui-même  et  de  se  conserver  sans  aucun 
changement  s'il  était  une  fois  formé. 

Dans  cet  état  final  et  fixe  que  nous  considérons,  la  tem- 
pérature permanente  d'un  point  du  solide  est  éviilemment 
la  même  pour  tous  les  points  d'une  même  section  parallèle 
à  la  base  ;  et  nous  allons  démontrer  que  cette  température 
fixe,  qui  est  commune  a  tous  les  points  d'une  section  inter- 
médiaire décroît  en  progression  arithmétique  depuis  la  base 
jusqu'au  plan  supérieur,  c'est-à-dire,  qu'en  représentant  les 
températures  constantes  a  et  b  par  les  ordonnées  A  a  et  B  (3, 
(J'^oy.fig.  i),  élevées  perpendiculairement  sur  la  distance  AB 
des  deux  plans  ,  les  températures  fixes  des  couches  intermé- 
diaires seront  représentées  par  les  ordonnées  de  la  droite  AB, 
qui  joint  les  extrémités  a  et  p  ;  ainsi ,  en  désignant  par  z  la 
hauteur  d'une  section  intermédiaire  ou  la  distance  perpendi- 
culaire au  plan  A,  par  e  la  hauteur  totale  ou  la  distance  AB, 
et  par  <'  la  température  de  la  section  dont  la  hauteur  est  z, 

on  doit  avoir  l'équation  v  =  a  -\ — ^^^-  z. 


En  effet ,  si  les  températures  étaient  établies  d'abord  sui- 
vant cette  loi ,  et  si  les  surfaces  extrêmes  A  et  B  étaient  tou- 
jours retenues  aux  températures  a  et  b,  il  ne  pourrait  sur- 
venir aucun  changement  dans  l'état  du  solide.  Pour  s'en  con- 
vaincre, il  suffira  de  comparer  la  quantité  de  chaleur  qui 


48  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR, 

traverserait  une  section  intermédiaire  A'  à  celle  qui ,  pen- 
dant le  même  temps ,  tiaverserait  une  autre  section  B'. 

En  se  représentant  que  l'état  final  du  solide  est  formé  et 
subsistant,  on  voit  que  la  partie  de  la  masse  qui  est  au-des- 
sous du  plan  A'  doit  communiquer  de  la  chaleur  à  la  partie 
qui  est  au-dessus  de  ce  plan,  puisque  cette  seconde  partie 
est  moins  échauffée  que  la  première. 

Imaginons  que  deux  points  du  solide  m  et  m  ,  extrême- 
ment voisins  l'un  de  l'autre,  et  placés  d'une  manière  c|uel- 
conque,  l'un  m  au-dessous  du  plan  A',  et  l'autre  w'  au-dessus 
de  ce  plan ,  exei'cent  leur  action  pendant  un  instant  infini- 
ment petit  :  le  point  le  plus  échauffé  m  communiquera  à  ni 
une  certaine  quantité  de  chaleur  qui  traversera  ce  plan  A'. 
Soient  or ,  y ,  z,  les  coordonnées  rectangulaires  du  point  ni, 
et  x ,  y' ,  z  ,  les  coordonnées  du  point  ni  ;  considérons  encore 
deux  points  n  et  li  extrêmement  voisins  l'un  de  l'autre,  et 
placés,  par  rapport  au  plan  B',  de  même  que  m  et  in  sont 
placés  par  rapport  au  plan  A':  c'est-à-dire,  qu'en  désignant 
par  (^  la  distance  perpendiculaire  des  deux  sections  A'  et  B', 
les  coordonnées  du  point  n  seront  x ,  y ,  z  +  X,^  et  celles  du 
point  n  seront  x, y',  z!  +  ^'^  les  deux  distances  mni  et  un 
seront  égales  :  de  plus,  la  différence  de  la  température  v  du 
point  m  à  la  température  c'  du  point  in  sera  la  même  que  la 
différence  des  températures  des  deux  points  n  et  n.  En  effet, 
cette  première  différence  se  déterminera  en  substituant  z  et 

ensuite  z  dans  l'équation  générale  i'  =  a  -\ z,  et  retran- 
chant la  seconde  équation  de  la  première  ,  on  en  conclura 
V  —  v'=^ [z — z).  On  trouvera  ensuite,  par  les  substitu- 


CHAPITRE  I.  49 

tions  de  z  +  'C  et  z  +  ^,  que  l'excès  de  la  température  du  point 

n  sur  celle  du  point  /i  a  aussi  pour  expression  — ~  [z  —  z). 

11  suit  de  là  que  la  quantité  de  chaleur  envoyée  par  le  point 
jn  au  point  m'  sera  la  même  que  la  quantité  de  chaleur  en- 
voyé par  le  point  n  au  point  7i' ,  car  tous  les  éléments  qui 
concourent  à  déterminer  cette  quantité  de  chaleur  transmise 
sont  les  mêmes. 

Il  est  manifeste 'que  l'on  peut  appliquer  le  même  raisonne- 
ment à  tous  les  systèmes  de  deux  molécules  qui  se  commu- 
niquent de  la  chaleur  à  travers  la  section  A'  ou  la  section  B'; 
donc,  si  l'on  pouvait  recueillir  toute  la  quantité  de  chaleur 
qui  sécoule,  pendant  un  même  instant,  à  travers  la  section 
A'  ou  la  section  B ',  on  trouvei'ait  que  cette  c|uantité  est  la 
même  pour  les  deux  sections. 

Il  en  résulte  c|ue  la  partie  du  solide  comprise  entre  A'  et 
B'  reçoit  toujours  autant  de  chaleur  cju'elle  en  perd,  et  comme 
cette  conséquence  s'ajiplique  à  une  portion  quelconque  de  la 
masse  comprise  entre  deux  sections  parallèles,  il  est  évident 
cju'aucune  partie  du  solide  ne  peut  acquérir  une  température 
plus  élevée  que  celle  c|u'elle  a  présentement.  Ainsi ,  il  est 
rigoureusement  démontré  que  l'état  du  prisme  subsistera 
continuellement  tel  qu'il  était  d'abord. 

Donc,  les  températures  permanentes  des  différentes  sec- 
tions d'un  solide  compris  entre  les  deux  plans  parallèles  infi- 
nis, sont  représentées  par  les  ordonnées  de  la  ligne  droite 

#r  p,  et  satisfont  à  l'équation  linéaire  v  =  a  -\ z. 

GG. 
On  voit  distinctement,  par  ce  qui  précède,  en  quoi  consiste 
ia  propagation  de  la  chaleur  dans  un  solide  compris  entre 

7 


5o  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

deux  plans  parallèles  et  infinis,  dont  chacun  est  maintenu  a. 
une  température  constante.  La  chaleur  pénètre  successive- 
ment dans  la  masse  à  travers  la  base  inférieure  :  les  tempé- 
ratures des  sections  intermédiaires  s'élèvent,  et  ne  peuvent 
jamais  surpasser  ni  même  atteindre  entièrement  une  certaine 
limite  dont  elles  s'approchent  de  plus  en  plus  :  cette  limite  ou 
température  finale  est  différente  pour  les  différentes  couches 
intermédiaires,  et  elle  décroît,  en  progression  arithmétique, 
depuis  la  température  fixe  du  plan  inférieur,  jusqu'à  la  tem- 
pérature fixe  du  plan  supérieur. 

Les  températures  finales  sont  celles  qu^'il  faudrait  donner 
au  solide  pour  fjue  son  état  fût  permanent;  l'état  variable  qui 
le  précède  peut  être  aussi  soumis  au  calcul ,  comme  on  le 
verra  par  la  suite  ;  mais  nous  ne  considérons  ici  que  le  sys- 
tème des  températures  finales  et  permanentes.  Dans  ce  der- 
nier état,  il  s'écoule,  pendant  chaque  division  du  temps,  à 
travers  une  section  parallèle  à  la  base  ou  une  portion  déter- 
minée de  cette  section ,  une  certaine  quantité  de  chaleur  qui 
est  constante,  si  les  divisions  du  temps  sont  égales.  Ce  flux 
uniforme  est  le  même  pour  toutes  les  sections  intermédiaires; 
il  est  égal  à  celui  cjui  sort  du  foyer  et  à  celui  que  perd,  dans 
le  même  temps,  la  surface  supérieure  du  solide  en  vertu  de 
la  cause  cjui  maintient  la  température. 

Il  s'agit  maintenant  de  mesurer  cette  quantité  de  chaleur 
qui  se  propage  uniformément  dans  le  solide,  pendant  un 
temps  donné,  à  travers  une  partie  déterminée  d'une  section 
parallèle  à  la  base:  elle  dépend,  comme  on  va  le  voir,  des 
deux  températures  extrêmes  a  et  b,  et  de  la  distance  e  des 
deux  bases;  elle  varierait,  si  l'un  quelconque  de  ces  éléments 


CHAPITRE  I.  5i 

venait  à  changer,  les  autres  demeurant  les  mêmes.  Supposons 
un  second  solide,  formé  de  la  même  substance  que  le  pu-niier, 
et  compris  entre  deux  plans  parallèles  infinis,  dont  la  distance 
perpendiculaire  est  è ;  {J'oy.jig.  2)  la  base  inférieure  est  entre- 
tenue à  la  température  lixe  a  ,  et  la  base  supérieure,  à  la 
température  fixe  V  :  l'un  et  l'autre  solides  sont  considérés 
dans  cet  état  final  et  permanent  qui  a  la  propriété  de  se  con- 
server lui-même  dès  qu'il  est  formé.  Ainsi  la  loi  des  tem- 
pératures est  exprimée,  pour  le  premier  corps,  par  l'équation 

v^^a-\ ^r-,  et  pour  le  second,  par  l'équation  «  =  «'  + 

; — z,  V  étant  dans  le  premier  solide,  et  u  dans  le  second,  la 

température  de  la  section  dont  z  est  la  hauteur. 

Cela  posé,  on  comparera  la  quantité  de  chaleur  qui ,  pen- 
dant l'unité  de  temps, traverse  une  étendue  égale  à  lunité  de 
surface  prise  sur  une  section  interniétliaire  L  du  premier 
solide,  à  celle  qui,  pendant  le  même  temps,  traverse  une 
égale  étendue  prise  sur  la  section  L'  du  second ,  s  étant  la 
hauteur  commune  de  ces  deux  sections,  c'est-à-dire,  la  dis- 
tance de  chacune  d'elles  à  la  base  inférieure.  On  considérera 
dans  le  premier  corps  deux  points  n  et  n  extrêmement  voi- 
sins,  et  dont  l'un  n  est  au-dessous  du  plan  L,  et  l'autre  lî 
au-dessus  de  ce  plan  :  x,y,z,  sont  les  coordonnées  de  n  ; 
et  3c  ,  y ,  z ,  les  coordonnées  de  n  ,  e  étant  moindre  que  i, 
et  plus  grand  que  z. 

On  considérera  aussi  dans  le  second  solide  l'action  instan- 
tanée de  deux  points  y^»  etyw',  qui  sont  placés,  par  rapport 
à  la  section  L',  de  même  que  les  points  n  et  n  par  rapport  à 
la  section  L  du  premier  solide.  Ainsi ,  les  mêmes  coordon-? 

,    ■  7.        '    - 


53  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR., 

nées  cc,y,  z,  et  x,  y ,  z ,  rapportées  à  trois  axes  rectangu- 
laires dans  le  second  corps,  fixeront  aussi  la  position  des 
points  p  et  p'. 

Or,  la  distance  du  point  n  au  point  n  est  égale  à  la  dis- 
tance du  point /j  au  point /V,  et  comme  les  deux  corps  sont 
formés  de  la  même  sulistance,  on^n  conclut,  suivant  le  prin- 
cipe de  la  communication  de  la  chaleur,  que  l'action  de  n  sur 
n,  ou  la  quantité  de  chaleur  donnée  par  n  à  n,  et  l'acticHi 
de  p  suv  p',  ont  entre  elles  le  même  rapport  que  les  diffé- 
rences de  températures  t'  —  t''  et  u  —  u'. 

En  substituant  r,  et  ensuite  t^'  dans  l'équation  qui  convient 

au  premier  solide,  et  retranchant  on  trouve  c — 1^'=  ( j 

(z  —  s'),  on  a  aussi,  au  moyen  de  la  seconde  équation, 
u  —  u=(- — ?  j  (z  —  ;:'),  donc  le  rapport  des  deux  actions 


dont  il  s'agit  est  celui  de à  — 


e 


On  peut  concevoir  maintenant  plusieurs  autres  systèmes 
de  deux  molécules  dont  la  première  envoie  à  la  seconde  à 
travers  le  plan  L,  une  certaine  quantité  de  chaleur,  et  chacun 
de  ces  systèmes,  choisi  dans  le  premier  solide,  pouvant  être 
comparé  à  un  système  homologue  placé  dans  le  second,  et 
dont  l'action  s'exerce  à  travers  la  section  L',  on  appliquera 
encore  le  raisonnement  précédent  pour  prouver  que  le  rap- 
port des  deux  actions  est  toujours  celui  de à  —^ — 


Or,  la  quantité  totale  de  chaleur  qui,  pendant  un  instant, 
traverse  la  section  L,  résulte  de  l'action  simultanée  d'une 
multitude  de  systèmes  dont  chacun  est  formé  de  deux 
points  ;  donc  cette  quantité  de  chaleur  et  celle  qui ,  dans  le 


\ 

CHAPITRE  I.  53 

second  solide,  traverse  pendant  le  même  instant  la  section 
L' ,  ont  aussi  entre  elles  le  rapport  de     ■  ^      à  — 7— ^• 

Il  est  donc  facile  de  comparer  entre  elles  l'intensité  des 
flux  constants  de  clialeur  qui  se  propagent  uniformément 
dans  l'un  et  lautre  solides,  c'est-à-dire  les  quantités  de  cha- 
leur qui,  pendant  l'unité  de  temps,  traversent  l'unité  de  sur- 
face dans  chacun  de  ces  corps.  Le  rapport  de  ces  deux  inten- 
sités est  celui  des  deux  quotients et  - — -, —  Si  les  deux 

J^  e  e 

quotients  sont  égaux,  les  flux  sont  les  mêmes,  quelles  que 
soient  d'ailleurs  les  valeurs  a,  h,  e;  a,  U ,  ë ;  en  général,  en 
désignant  par  F  le  premier  flux ,  et  par  F'  le  second ,  on  aura 

F ■^a  —  h\      r„'—h'-\ 

m. 
Supposons  que ,  dans  le  second  solide ,  la  température 
permanente  a  du  plan  inférieur  soit  celle  de  l'eau  l)ouillantc 
I  ;  que  la  température  h  du  plan  supérieur  soit  celle  de  la 
glace  fondante  o  ;  que  la  distance  ë  des  deux  plans  soit  l'unité 
de  mesure  (un  mètre)  ;  désignons  par  K  le  flux  constant  de 
chaleur  qui,  pendant  l'unité  de  temps  (une  minute),  traver- 
serait l'unité  de  surfoce  dans  ce  dernier  solide,  s'il  était  formé 
d'une  substance  donnée  ;  K  exprimant  un  certain  nombre 
d'unités  de  clialeur,  <;'est-à-dire  un  certain  nombre  de  fois  la 
chaleur  nécessaire  pour  convertir  en  eau  un  kilogramme  de 
glace  :  on  aura,  en  général,  pour  déterminer  le  flux  constant 
F,  dans  un  solide  formé  de  cette  même  substance,  l'équation 

F         a  —  b           „              a  —  b 
^= OU   i<  :=k -• 

La  valeur  de  F  est  celle  de  la  quantité  de  chaleur  qui , 


/ 

54  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

pendant  l'unité  de  temps,  passe  à  travers  une  étendue  égale 
à  l'unité  de  surfiice  prise  sur  une  section  parallèle  à  la  base.. 
Ainsi  l'état  thermométricfue  d'un  solide  compris  entre  deux 
bases  parallèles  infinies  dont  la  distance  perpendiculaire  est 
e ,  et  c|ui  sont  maintenues  à  des  températures  fixes  a  et  b , 
est  représenté  par  les  deux  équations: 

i'  =  a-{ z,  et  F  =  K ou  F  = — K  ^j— 

e  e  dz 

La  première  de  ces  équations  exprime  la  loi  suivant  la- 
quelle les  températures  décroissent  depuis  la  base  inférieure 
jusqu'à  la  face  opposée;  la  seconde  fait  connaître  la  quantité 
de  chaleur  qui  traverse,  pendant  un  temps  donné,  une  par- 
tie déterminée  d'une  section  parallèle  à  la  base. 

Nous  avons  choisi  ce  même  coefficient  K,  c[ui  entre  dans 
la  seconde  équation,  pour  la  mesure  de  la  conducibilité  spé- 
cifique de  chaque  substance;  ce  nombre  a  des  valeurs  très- 
différentes  pour  les  différents  corps. 

Il  représente,  en  général,  la  quantité  de  chaleur  qui ,  dans 
un  solide  homogène  formé  d'une  substance  donnée,  et  com- 
pris entre  deux  plans  parallèles  infinis,  s'écoule,  pendant 
une  minute,  à  travers  une  surface  d'un  mètre  qaarré  prise  sur 
une  section  parallèle  aux  plans  extrêmes ,  en  supposant  que 
ces  deux  plans  sont  entretenus,  l'un  à  la  température  de  l'eau 
bouillante,  fautre  à  la  température  de  la  glace  fondante,  et 
que  tous  les  plans  intermédiaires  ont  acquis  et  conservent 
une  température  permanente. 

On  pourrait  employer  une  autre  définition  de  la  conduci- 
bilité, comme  on  pourrait  estimer  la  capacité  de  chaleur  en 
la  rapportant  à  l'unité  de  volume,  au  lieu  de  la  rapporter  à 


CHAPITRE  I.  55 

runitë  de  masse.  Toutes  ces  définitions  sont  équivalentes, 
])ourvu  qu'elles  soient  claires  et  précises. 

Nous  ferons  connaître  par  la  suite  comment  on  peut  déter- 
miner par  l'observation  la  valeur  K  de  la  conducibilité  ou 
conductibilité  dans  les  différentes  substances. 

Pour  établir  les  équations  que  nous  avons  rapportées  dans 
l'article  68^  il  ne  serait  pas  nécessaire  de  supposer  que 
les  points  qui  exercent  leur  action  à  travers  les  plans , 
sont  extrêmement  peu  distants.  Les  conséquences  seraient 
encore  les  mêmes  si  les  distances  de  ces  points  avaient  une 
grandeur  quelconque  ;  elles  s'appliqueraient  donc  aussi  au 
cas  où  l'action  immédiate  de  la  chaleur  se  porterait  dans 
l'intérieur  de  la  masse  jusqu'à  des  distances  assez  considé- 
rables, toutes  les  circonstances  qui  constituent  Ihypothèse 
demeurant  d'ailleurs  les  mêmes. 

Il  faut  seulement  supposer  que  la  cause  qui  entretient  les 
températures  à  la  superficie  du  solide  n'affecte  pas  seulement 
la  partie  de  la  masse,  qui  est  extrêmement  voisine  de  la 
surface,  mais  que  son  action  s'étend  jusqu'à  une  profondeur 

finie.  L'équation  i'  =  û  —  ("\     j  :;  repr-ésentera  encore  dans 


ce  cas  les  températures  permanentes  du  solide.  Le  vrai  sens 
de  cette  proposition  est  que,  si  l'on  donnait  à  tous  les  points 
de  la  masse,  les  températures  exprimées  par  l'équation,  et  si 
de  plus  une  cause  quelconque ,  agissant  sur  les  deux  tranches 
extrêmes,  retenait  toujours  chacune  de  leurs  molécules  à  la 
température  que  cette  même  équation  leur  assigne, les  points 
intérieurs  du  solide  conserveraient,  sans  aucun  changement, 
leur  état  initial. 


56  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

Si  l'on  supposait  que  l'action  d'un  point  de  la  masse  pût 
s'e'ten die  jusqu'à  une  distance  finies,  il  faudrait  que  l'épais- 
seur des  tranches  extrêmes,  dont  l'état  est  maintenu  par  la 
cause  extérieure,  fût  au  moins  égale  à  e.  Mais  la  quantité 
e  n'ayant  en  effet,  dans  l'état  naturel  des  solides,  qu'une 
valeur  inappréciable,  on  doit  foire  abstraction  de  cette  épais- 
seur ;  et  iLsuffit  que  la  cause  extérieure  agisse  sur  chacune 
des  deux  couches,  extrêmement  petites,  qui  terminent  le 
solide.  C'est  toujours  ce  que  l'on  doit  entendre  par  cette 
expression, entretenir  la  température  constante  de  la  surface. 

V- 
Nous  allons  encore  examiner  le  cas  où  le  même  solide 

serait  exposé,  par  l'une  de  ses  faces,  à  l'air  atmosphérique 

entretenu  à  une  température  constante. 

Supposons  donc  que  ce  plan  inférieur  conserve,  en  vertu 
d'une  cause  extérieure  quelconc|ue,  la  température  fixe  a,  et 
que  le  plan  supérieur,  au  lieu  d'être  retenu,  comme  précé- 
demment, à  une  température  moindre  b,  est  exposé  à  l'air 
atmosphérique  maintenu  à  cette  température  b ,  la  distancé 
perpendiculaire  des  deux  plans  étant  toujours  désignée  par 
e  :  il  s'agit  de  déterminer  les  températures  finales. 

En  supposant  que,  dans  l'état  initial  du  solide,  la  tempé- 
rature commune  de  ses  molécules  est  b  ou  moindre  que  b, 
on  se  représente  facilement  que  la  chaleur  qui  sort  inces- 
samment du  foyer  A  pénètre  la  masse,  et  élève  de  plus  en 
plus  les  températures  des  sections  intermédiaires;  la  surface 
supérieure  s'échauffe  successivement,  et  elle  laisse  échapper 
dans  l'air  une  partie  de  la  chaleur  qui  a  pénétré  le  solide.  Le 
système  des  températures  s'approche  continuellement  d'un 
dernier  état  qui  subsisterait  de  lui-même  s'il  était  d'abord 


CHAPITRE  I.  57 

formé  ;  dans  cet  état  final ,  qui  est  celui  que  nous  considérons , 
la  température  du  plan  B  a  une  valeur  fixe,  mais  inconnue, 
que  nous  désignerons  par  p,  et  comme  le  plan  inférieur  A 
conserve  aussi  une  températui'c  permanente  a ,  le  système 
des    températures   est    représenté    par   l'équation   générale 

v=^a  +  !— ; — '.-. ,  V  désignant  toujours  la  température  fixe  de 

la  section  dont  la  hauteur  est  z.  La  quantité  de  chaleur 
qui  s'écoule  pendant  l'unité  de  temps ,  à  travers  une  surfiice 
égale  à  |kinité   et  prise  sur   une    section   quelconque,  est 

A-  — — ^,  k  désignant  la  conducibilité  propre. 

Il  faut  considérer  maintenant  que  la  surface  supérieure 
B,  dont  la  température  est  p,  laisse  échapper  dans  fair  une 
certaine  quantité  de  chaleur  qui  doit  être  précisément  égale 
à  celle  qui  traverse  une  section  quelconque  L  du  solide.  S'il 
n'en  était  pas  ainsi,  la  partie  de  la  masse  qui  est  comprise 
entre  cette  section  L  et  le  plan  B  ne  recevrait  point  une 
quantité  de  chaleur  égale  à  celle  qu'elle  pei'd  ;  donc  elle  ne 
conserverait  point  son  état ,  ce  qui  est  contre  l'hypothèse  ; 
donc  le  flux  constant  de  la  surface  est  égal  à  celui  qui  tra- 
verse le  solide:  or,  la  quantité  de  chaleur  qui  sort,  pendant 
l'unité  de  temps,  de  l'unité  de  surface  prise  sur  le  plan  B, 
est  exprimée  par  h  (jî  —  h);  b  étant  la  température  fixe  de 
l'air,  et  h  la  mesure  de  la  conducibilité  de  la  surfoce  B,  on 

doit  donc  former  l'équation  k  "^^~  :=:  h  (  |î  —  Z»  ) ,  qui  fera 
connaître  la  valeur  de  [B.  .,    .,, 

On  en  déduit  a — ?'=-^j^~j^,  équation  dont  le  second 

8 


5S  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

membre  est  connu  ;  car  les  tempe'ratures  aetb  sont  données 
ainsi  que  les  quantités  h,  k ,  e. 

En  mettant  cette  valeur  de  ^  —  (3  dans  1  équation  géne'rale 

t^  =  «+  ^      "  s ,  on  aura,  pour  exprimer  les  tempe'ratures 

de  toutes  les  sections  du  solide,  l'équation  a  —  v=   t     ,   t.- 

dans   laquelle  il  n'entre  que  des  quantités  connues  et  les 
variables  cox-respondantes  v  et  z. 

72-  m 

Nous  avons  déterminé  jusqu'ici  l'état  final  et  permanent 
des  températures  dans  un  solide  comptais  entre  deux  surfaces 
planes ,  infinies  et  parallèles ,  entretenues  à  des  températures 
inégales.  Ce  premier  cas  est ,  à  proprement  parler ,  celui  de 
la  propagation  linéaire  et  uniforme ,  car  il  n'y  a  point  de 
transport  de  chaleur  dans  le  plan  parallèle  aux  bases;  celle 
qui  traverse  le  solide  s'écovile  uniformément,  puisque  la 
valeur  du  flux  est  la  même  pour  tous  les  instants  et  pour 
toutes  les  sections. 

Nous  allons  rappeler  les  trois  propositions  principales  qui 
résultent  de  l'examen  de  cette  question;  elles  sont  suscep- 
tibles d'un  grand  nombre  d'applications,  et  forment  les  pre- 
miers éléments  de  notre  théorie. 

1°  Si  l'on  élève  aux  deux  extrémités  de  la  hauteur  e  du 
solide  deux  perpendiculaires  qui  représentent  les  tempéra- 
tures a  çX.  h  des  deux  bases,  et  si  l'on  mène  une  droite  qui 
joigne  les  extrémités  de  ces  deux  premières  ordonnées,  toutes 
les  températures  intermédiaires  seront  proportionnelles  aux 
ordonnées  de  cette  droite;  elles  sont  exprimées  par  l'équa- 


CHAPITRE  T.  59 

tion  générale  a  —  <'  =  (- )">  '•'  désignant  la  température 

de  la  section  dont  la  hauteur  est  z. 

1°  La  quantité  de  chaleur  qui  s'écoule  uniformément, 
pendant  l'unité  de  temps,  à  travers  l'unité  de  surface  prise 
sur  une  section  cpielconque  parallèle  aux  bases ,  est , 
toutes  choses  d'ailleurs  égales ,  en  raison  directe  de  la 
différence  a  —  h  des  températures  extrêmes  et  en  raison 
inverse  de  la  distance  c  qui  sépare  ces  bases.  Cette  quantité 

de  chaleur  est  exprimée  par  K  .  (  — —  j ,  ou  —  K  .  -j-  ,  en 
déduisant   de  l'équation  générale  la  valeur  de  -r^  qui  est 

constante;  ce  flux  uniforme  est  toujours  représenté  pour 
une  substance  donnée,  et  dans  le  solide  dont  il  s'agit,  par  la 
tangente  de  l'angle  compris  entre  la  perpendiculaire  e  et  la 
droite  dont  les  ordonnées  représentent  les  températures. 

3°  Si  l'une  des  surfaces  extrêmes  du  solide  étant  toujours 
assujétie  à  la  température  a,  l'autre  plan  est  exposé  à  l'air 
maintenu  à  une  température  fixe  h  ;  ce  plan  en  contact  avec 
l'air,  acquiert,  comme  dans  le  cas  précédent,  une  tempéra- 
ture fixe  p,  plus  grande  que  h,  et  il  laisse  échapper  dans 
l'air,  à  travers  l'unité  de  surface,  pendant  l'unité  de  temps, 
une  quantité  de  chaleur  exprimée  par  A  ( (3  —  h^^h  désignant 
la  conducibilité  extérieure  du  plan. 

Ce  même  flux  de  chaleur  h  (fi  —  Z»)  est  égal  à  celui  qui 
traverse  le  prisme  et  dont  la  valeur  est  K  [a.  —  [i),  on  a  donc 

l'équation  h  (p  —  Z')::=K  .  ?~^-,  qui  donne  la  valeur  de  p. 


8. 


6o  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

SECTION    V. 

liOi  des  températures  permanentes  dans  un  prisme  d'une 

petite  épaisseur. 

On  appliquera  facilement  les  principes  qui  viennent  d'être 
exposés  à  la  question  suivante,  qui  est  très-simple  en  elle- 
même  ,  mais  dont  il  importait  de  fonder  la  solution  sur  une 
théorie  exacte. 

Une  barre  métallique,  dont  la  forme  est  celle  d'un  parallé- 
lipipède  rectangle  d'une  longueur  infinie,  est  exposée  à  l'ac- 
tion d'un  foyer  de  chaleur  qui  donne  à  tous  les  points  de  son 
extrémité  A  une  température  constante.  Il  s'agit  de  déter- 
miner les  températuies  fixes  des  différentes  sections  de  la 
barre. 

On  suppose  que  la  section  perpendiculaire  à  l'axe  est  un 
quarré  dont  le  côté  2  /  est  assez  petit  pour  que  l'on  puisse 
sans  erreur  sensible  regarder  comme  égales  les  températures 
des  différents  points  d'une  même  section.  L'air  dans  lequel 
la  barre  est  placée  est  entretenu  à  une  température  constante 
o,  et  emporté  par  un  courant  d'une  vitesse  uniforme. 

La  chaleur  passera  successivement  dans  l'intérieur  du  so- 
lide, toutes  ses  parties  situées  à  la  droite  du  foyer,  et  qui 
n'étaient  point  exposées  immédiatement  à  son  action,  s'échauf- 
feront de  plus  en  plus,  mais  la  température  de  chaque  point 
ne  pourra  pas  augmenter  au-delà  d'un  certain  terme.  Ce 
maximum  de  température  n'est  pas  le  même  pour  chaque 
section  ;  il  est  en  général  d'autant  moindre  que  cette  section 


CHAPITTxE  I.  6i 

est  plus  éloignée  de  l'origine;  on  désignera  par  i'  la  tempé- 
rature fixe  dune  seetion  perpendiculaire  à  l'axe ,  et  placée  à 
la  distance  .r  de  l'origine  A. 

Avant  que  chaque  point  du  solide  ait  atteint  son  plus 
haut  degré  de  chaleur,  le  système  des  températures  varie 
continuellement,  et  s'approche  de  plus  en  plus  d'un  état  fixe, 
qui  est  celui  que  l'on  considère.  Cet  état  final  se  conserverait 
de  lui-même,  s'il  était  formé.  Pour  que  le  système  des  tem- 
pératures soit  permanent,  il  est  nécessaire  c]ue  la  quantité  de 
chaleur  qui  traverse,  pendant  l'unité  de  temps,  une  section 
placée  à  la  distance  r  de  l'origine,  compense  exactement 
toute  la  chaleur  qui  s'échappe,  dans  le  même  temps,  par  la 
partie  de  la  surface  extérieure  du  prisme  qui  est  située  à  la 
droite  de  la  même  section.  La  tranche,  dont  l'épaisseur  est 
dœ,  et  dont  la  surface  extérieure  est  8  Idx,  laisse  échapper 
dans  l'air,  pendant  l'unité  de  temps,  une  quantité  de  chaleur 
exprimée  par  8  hlvdx,  h  étant  la  mesure  de  la  conducibilité 
extérieure  du  prisme.  Donc,  en  prenant  Fintégi'aleyS  li.U'  dx 

depuis  .r:^o  jusqu'à  a'=  -  ,  on  trouvera  la  quantité  de  cha- 
leur qui  sort  de  toute  la  surface  de  la  barre  pendant  l'unité 
de  temps;  et  si  l'on  prend  la  même  intégrale,  depuis  x=o 
jusqu'à  x^x ^  on  aura  la  quantité  de  chaleur  perdue  par  la 
partie  de  la  surface  comprise  entre  le  foyer  et  la  section 
placée  à  la  distance  x.  Désignant  par  C  la  première  intégrale 
dont  la  valeur  est  constante,  et  \iiXY  fèhh-dx  la  valeur 
variable  de  la  seconde;  la  différence  C — f^lilvdx  expri- 
mera la  quantité  totale  de  chaleur  qui  s'échappe  dans  lair, 
à  travers  la  partie  de  la  surface  placée  à  la  droite  de  la  sec- 
tion. D'un  autre  côté,  la  tranche  du  solide,  comprise  entre 


62  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

deux  sections  infiniment  voisines  placées  aux  distances  x  et 
x-hdx,  doit  être  assimilée  à  un  solide  infini,  terminé  par 
deux  plans  parallèles,  assujétis  à  des  températures  fixes  c  et 
u-\^di>^  puisque,  selon  l'hypothèse,  la  température  ne  varie 
pas  dans  toute  l'étendue  d'une  même  section.  L'épaisseur  du 
sohde  est  dx,  et  l'étendue  de  la  section  est  4^'  '•  Jonc,  la 
quantité  de  chaleur  qui  s'écoule  uniformément,  pendant 
l'unité  de  temps ,  à  ti-avers  une  section  de  ce  solide ,  est , 

d'après  les  principes  précédents,  —  /^l'k^^,  k  étant  la  con- 

ducibilité  spécifique  intérieure;  on  doit  donc  avoir  l'équation 


■^T'  k  .  -7-!^  =  C — f^hlvdx,  o\xkl^-^=^h 


V, 


74- 
On  obtiendrait  le  même  résultat,  en  considérant  l'équilibre 
de  la  chaleur  dans  la  seule  tranche  infiniment  petite,  com- 
prise entre  les  deux  sections  dont  les  distances  sont  x  et 
X  +  dx.  En  effet,  la  quantité  de  chaleur  c[ui,  pendant  l'unité 
de  temps ,  traverse  la  première  section  placée  à  la  distance 

a?,  est — [\V  k~.  Pour  trouver  celle  cjui  s'écoule  pendant  le 

même  temps,  à  travers  la  section  suivante  placée  à  la  dis- 
tance X  +  dx ,  il  faut,  dans  l'expression  précédente,  changer 

X  en  X  +  dx,  ce  cjui  donue  —  4  ^'  ^'  (  j — \-  di  -j-  j  j-  Si  l'on 

retranche  cette  seconde  expression  de  la  première ,  on  con- 
naîtra combien  la  tranche  que  terminent  les  deux  sections, 
acquiert  de  chaleur  pendant  l'unité  de  temps;  et  puiscpe 
l'état  de  cette  tranche  est  permanent,  il  faudra  que  toute 
cette  chaleur  acquise  soit  égale  à  celle  cjui  se  dissipe  dans 
l'air  à  travers  la  surface  extérieure  èldx  de  cette  même 


CHAPITRE  I.  63 

tranche;  or, cette  dernière  quantité  de  chaleur  est  ^hlvdx; 
on    obtiendra  donc  la    même  équation 

B)  h  l  V  d  X  =■  lil\  k  d  ( -1^]  o\i'^-tA=-tt'>'- 

De  quelque  manière  que  l'on  forme  cette  équation,  il  est 
nécessaire  de  remarquer  que  la  quantité  de  chaleur  qui 
pénètre  dans  la  tranche  dont  l'épaisseur  est  dx ,  a  une  valeur 

finie ,  et  que  son  expression  exacte  est  —  4  ^  '  •  ^  t"  Cette 

tranche  étant  comprise  entre  deux  surfaces ,  dont  la  première 
a  la  température  v ,  et  la  seconde  une  température  moindre 
0) ,  on  aperçoit  d'abord  que  la  quantité  de  chaleur  cju'elle 
reçoit  par  la  première  surface  dépend  de  la  différence  v  —  v, 
et  lui  est  proportionnelle;  mais  cette  remarque  ne  suffit  pas 
pour  établir  le  calcul.  La  quantité  dont  il  s'agit  n'est  point 
une  différentielle  :  elle  a  une  valeur  finie,  puisqu'elle  équivaut 
à  toute  la  chaleur  cjui  sort  par  la  partie  de  la  surface  exté- 
rieure du  prisme  qui  est  située  à  la  droite  de  la  section. 
Pour  s'en  former  une  idée  exacte,  il  faut  comparer  la  tranche, 
dont  l'épaisseur  est  dx ,  à  un  solide  terminé  par  deux  plans 
parallèles  dont  la  distance  est  e,  et  c]ui  sont  retenus  à  des 
températures  inégales  a  et  b.  La  quantité  de  chaleur  qui 
pénètre  dans  un  pareil  prisme,  à  travers  la  surfoce  la  plus 
échauffée,  est  en  effet  proportionnelle  à  la  différence  a  —  b 
des  températures  extrêmes ,  mais  elle  ne  dépend  pas  seule- 
ment de  cette  différence:  toutes  choses  d'ailleurs  égales,  elle 
est  d'autant  moindre  que  le  prisme  a  plus  d'épaisseur,  et  en 

général  elle  est  proportionnelle  à C'est    pourquoi    la 

quantité  de  chaleur  qui  pénètre  par  la  première  surface  dans 


64  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

la  tranche,  dont  l'épaisseur  est  ri' .r,  est  proportionnelle  à 


d  X 

Nous  insistons  sur  cette  l'emarque  parce  que  l'omission 
cjue  l'on  en  avait  faite  a  été'  le  premier  obstacle  à  l'éta- 
blissement de  la  théorie.  En  ne  faisant  point  une  analyse 
complète  des  éléments  de  la  question,  on  obtenait  une  équa- 
tion non  homogène,  et,  à  plus  forte  raison ,  on  n'aurait  pu 
former  les  équations  qui  expriment  le  mouvement  de  la  cha- 
leur dans  des  cas  plus  composés. 

Il  était  nécessaire  aussi  d'introduire  dans  le  calcul  les 
dimensions  du  prisme,  afin  de  ne  point  regarder  comme 
générales  les  conséquences  que  l'observation  avait  fournies 
dans  un  cas  particulier.  Ainsi  l'on  a  reconnu  par  l'expérience 
cju'uné  barre  de  fer,  dont  on  échauffait  l'extrémité,  ne  pou- 
vait acquérir,  à  six  pieds  de  distance  du  foyer,  une  tempéra- 
ture d'un  degré  (octogésimal)  ;  car,  pour  produire  cet  effet,  il 
faudrait  que  la  chaleur  du  foyer  surpassât  beaucoup  celle 
qui  met  le  fer  en  fusion  ;  mais  ce  résultat  dépend  de  l'épais- 
seur du  prisme  que  l'on  a  employé.  Si  elle  eût  été  plus 
grande,  la  chaleur  se  serait  propagée  à  une  plus  grande 
distance,  c'est-à-dire,  cjue  le  point  de  la  barre  qui  acquiert 
une  température  fixe  d'un  degré,  est  d'autant  plus  éloigné 
du  foyer  que  la  barre  a  plus  d'épaisseur,  toutes  les  autres 
conditions  demeurant  les  mêmes.  On  peut  toujours  élever 
d'an  degré  la  température  de  l'extrémité  d'un  cylindre  de  fer, 
en  échauffant  ce  solide  par  son  autre  extrémité;  il  ne  faut 
que  donner  au  rayon  de  la  base  une  longueur  suffisante  ; 
cela  est,  pour  ainsi  dire,  évident,  et  d'ailleurs  on  en  trouvera 
la  pieuve  dans  la  solution  de  la  question  (art.  78). 


CHAPITRE  I.  65 

76. 
L'intégrale  de  l'e'quatioii  précédente  est 

V=Ae  '+Be   *         "'  A  et  B  étant  deux  con- 

tantes arbitraires;  or,  si  l'on  suppose  la  distance  a^  infinie, 
la  valeur  de  la  température  v  doit  être  infiniment  petite  ; 

donc  le  terme  B  e  '^  '  ne  subsiste  point  dans  l'intégrale; 

ainsi  l'équation  v  =  Ae  représente  l'état  permanent 

du  solide;  la  température  à  l'origine  est  désignée  par  la  con- 
stante A ,  puisqu'elle  est  la  valeur  de  v  lorsque  x  est  nulle. 

Cette  même  loi  suivant  laquelle  les  températures  décrois- 
sent, est  donnée  aussi  par  l'expérience;  plusieurs  physiciens 
ont  observé  les  températures  fixes  des  dit'térents  points 
d'une  barre  métallicjue  exposée  par  son  extrémité  à  l'action 
constante  d'un  foyer  de  chaleur,  et  ils  ont  reconnu  que  les 
distances  à  l'origine  représentent  les  logarithmes,  et  les  tem- 
pératures les  nombres  con-espondants. 

77. 

La  valeur  numérique  du  quotient  constant  de  deux  tem- 
pératures consécutives  étant  déterminée  par  l'observation  , 

on  en  déduit  facilement  celle  du  rapport  j  :  car,  en  dési- 
gnant par  a», ,  v, ,  les  températures  qui  répondent  aux  dis- 
tances a:,,  a',,  on  auiM  •  - 

( -r  ^  ]\y^''         1/**        lo£f.  7', — lo$r.  7',       /T 

V,  _  l-^'       ^'JV^Tî         i^T=-^ ■ ^ — -V    l 

^  — — ^  OU  x,—x,  V 

Quant  aux  valeurs  séparées  de  h  et  de  h ,  on  ne  peut  les 
déterminer  par  des  expériences  de  ce  genre  :  il  faut  observer 
aussi  le  mouvement  varié  de  la  chaleur. 

9 


66  THEORIE  DE  LA  CHALEUR.  . 

78- 
Supposons  que  deux  barres  de  même  matière  et  de  dimen- 
sions inégales,  soient  assujëties  vers  leur  extrémité  à  une 
même  température  A,  soit  /,  le  côté  de  la  section  dans  la 
première  barre,  et  /,  le  côté  de  la  section  dans  la  seconde, 
on  aura,  pour  exprimer  les  températures  de  ces  deux  so- 
lides ,  les  équations 

v,  =  ke  '''•  et  'y,  =  A  e  ''''  ' 

en  désignant,  dans  le  premier  solide,  par  v,  la  température 
de  la  section  placée  à  la  distance  x, ,  et  dans  le  second 
solide  ,  par  a»-,  la  température  de  la  section  placée  à  la 
distance  x^. 

Lorsque  ces  deux  barres  seront  parvenues  à  un  état  fixe , 
la  température  d'une  section  de  la  première,  placée  à  une 
certaine  distance  du  foyer,  ne  sera  pas  égale  à  la  tempéra- 
ture d'une  section  de  la  seconde,  placée  à  la  même  distance 
du  foyer;  pour  que  les  températures  fixes  fussent  égales^  1 

il  faudrait  que  les  distances  lussent  différentes.  Si  l'on  veut  1 

comparer  entre  elles  les  distances  x^  et  x^  comprises  depuis 
l'origine  jusqu'aux  points  qui  parviennent  dans  les  deux 
barres   à    la    même    température ,   on    égalera   les  seconds 

x"  l 

membres  des  équations,  et  l'on  en  conclura  -|  =  y-.  Ainsi 

X  ^  'a 

les  distances  dont  il  s'agit  sont  entre  elles  comme  les  racines 
quarrées  des  épaisseurs. 

79- 
Si  deux  barres  métalliques   de  dimensions  égales,  mais 

formées  de  substances  différentes  sont  couvertes  d'un  même 

enduit  qui  puisse  leur  donner  une  même  conducibilité  exté- 


CHAPITRE  I.  % 

rieure,  et  si  elles  sont  assujeties,  dans  lenr  extrémité',  à  une 
même  tempëratui'e,  la  chaleur  se  propagera  plus  facilement 
et  à  une  plus  grande  distance  de  l'origine  dans  celui  des  deux 
corps  qui  jouit  d'une  plus  grande  conducibilité.  Pour  com- 
parer entre  elles  les  distances  .r.  et  x, ,  comprises  depuis 
l'origine  commune  juscjuaux  points  qui  acquièrent  une 
même  températui'e  fixe,  il  faut,  en  désignant  par  /i\  et  Ii\ 
les  conducibilités  respectives  des  deux  substances,  écrire 
l'équation  - 


ou  -.  —  /. 


Ainsi  le  rapport  de  deux  conducibilités  est  celui  des  quarrés 
des  distances  comprises  entre  l'origine  commune  et  les  points 
qui  atteignent  luie  même  température  fixe. 

80. 
Il  est  facile  de  connaître  combien  il  s'écoule  de  chaleur 
pendant  l'unité  de  temps  par  une  section  de  la  barre  par- 
venue à  son  état  fixe  :  cette  quantité  a  pour  expression 

_  4  A- /' ^  ou  4  A  y/âTÂT^e  -  ^  l^!4 , 

et  si  on  la  prend  à  l'origine,  on  aura  4  A  y/ a  k  h  l\  pour 

la  mesure  de  la  quantité  de  chaleur  qui  passe  du  foyer  dans  . 
le  solide  pendant  l'unité  de  temps  ;  ainsi  la  dépense  de  la 
source  de  chaleur  est,  toutes  choses  d'ailleurs  égales,  pro- 
portionnelle à  la  racine  cjuarrée  du  cube  de  Tépaisseur.  Ou 
trouverait  le  même  résultat,  en  prenant  l'intégrale  y  8  A  Ivdx 
depuis  X  nulle  jusqu'à  x  infinie. 


es  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

SECTION  VL 

De  V Échauffement  des  espaces  clos. 

8r. 
Nous  ferons  encore  usage  des  théorèmes  de  l'article  72 
dans  la  question  suivante,  dont  la  solution  présente  des  ap- 
plications utiles;  elle  consiste  à  déterminer  le  degré  dechauf- 
fement  des  espaces  clos. 

On  suppose  cpi'un  espace  d'une  forme  quelconque,  rempli 
d'air  atmosphérique,  est  fermé  de  toutes  parts,  et  que  toutes 
les  parties  de  l'enceinte  sont  homogènes  et  ont  une  épais- 
seur commune  e,  assez  petite  pour  que  le  rapport  de  la 
surface  extérieure  à  la  surface  intérieure  diffère  peu  de  l'u- 
nité. L'espace  que  cette  enceinte  termine  est  échauffé  par 
un  foyer  dont  l'action  est  constante;  par  exemple,  au  moyen 
d'une  surface  dont  l'étendue  est  c,  et  qui  est  entretenue  à  la 
température  permanente  a. 

On  ne  considère  ici  que  la  température  moyenne  de  l'air 
contenu  dans  l'espace ,  sans  avoir  égard  à  l'inégale  distribu- 
tion de  la  chaleur  dans  cette  masse  d'air  ;  ainsi  l'on  suppose 
que  des  causes  subsistantes  en  mêlent  incessamment  toutes 
les  portions,  et  rendent  leur  température  uniforme. 

On  voit  d'abord  que  la  chaleur  qui  sort  continuellement 
du  foyer  se  répandra  dans  l'air  environnant,  et  pénétrera 
dans  la  masse  dont  l'enceinte  est  formée,  se  dissipera  en 
partie  par  la  surface,  et  passera  dans  l'air  extérieur  que  l'on 
suppose  entretenu  à  une  température  moins  élevée  et  per- 
manente n.  L'air  intérieur  s'échauffera  de  plus  en  plus;  il  en 
sera  de  même  de  l'enceinte  solide  :  le  système  des  tempéra- 


CHAPITRE  1.  69 

tures  s'approchera  sans  cesse  d'un  dernier  état  qui  est  l'objet 
de  la  question,  et  qui  aurait  la  propriété  de  subsister  de  lui- 
même  et  de  se  conserver  sans  aucun  changement,  pourvu 
que  la  surface  du  foyer  c  fût  maintenue  à  la  température  a, 
et  l'air  extérieur  à  la  température  n. 

Dans  cet  état  permanent  que  l'on  veut  déterminer,  l'air 
intérieur  conserve  une  température  fixe  711  :  la  température 
de  la  surface  intérieure  s  de  l'enceinte  solide  a  aussi  une  va- 
leur fixe  a;  enfin  la  surface  extérieure  s,  qui  termine  cette 
enceinte,  conserve  une  température  h  moindre  que  a ,  mais 
plus  grande  que  n.  Les  quantités  cr,  a,  ^,  e  et  «  sont  connues, 
et  les  quantités  m,  a  et  h  sont  inconnues. 

C'est  dans  l'excès  de  la  température  m  sur  celle  de  lair 
extérieur  n  que  consiste  le  degré  de  réchauffement;  il  dépend 
évidemment  de  l'étendue  a  de  la  surface  échauffante  et  de 
sa  température  a;  il  dépend  aussi  de  l'épaisseur  e  de  l'en- 
ceinte, de  l'étendue  s  de  la  surface  qui  la  termine,  de  la 
facilité  avec  laquelle  la  chaleur  pénètre  sa  surface  intérieure 
ou  celle  qui  lui  est  opposée;  enfin  de  la  conducibilité  spé- 
cifique de  la  masse  solide  qui  forme  l'enceinte  ;  car  si  l'un 
quelconque  de  ces  éléments  venait  à  être  changé,  les  autres 
demeurant  les  mêmes,  le  degré  de  réchauffement  varierait 
aussi.  Il  s'agit  de  déterminer  comment  toutes  ces  quantités 
entrent  dans  la  valeur  de  m  —  n, 

82. 

L'enceinte  solide  est  terminée  par  deux  surfaces  égales, 
dont  chacune  est  maintenue  à  une  température  fixe;  chaque 
élément  prismatique  du  solide  compris  entre  deux  portions 
opposées  de  ces  surfaces ,  et  les  normales  élevées  sur  le 
contour  des  bases,  est  donc  dans  le  même  étal  que  s'il  ap- 


70  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

partenait  à  un  solide  infini  compris  enti'e  deux  plans  paral- 
lèles, entretenus  à  des  températures  inégales.  Tous  les  élé- 
ments prismatiques  qui  composent  l'enceinte  se  touchent 
suivant  toute  leur  longueur.  Les  points  de  la  masse  qui 
sont  à  égale  distance  de  la  surface  intérieure  ont  des  tempé- 
ratures égales,  a  quelque  prisme  cju'ils  appartiennent;  par 
conséquent ,  il  ne  peut  y  avoir  aucun  transport  de  chaleur 
dans  le  sens  perpendiculaii'e  à  la  longueur  des  prismes.  Ce 
cas  est  donc  le  même  que  celui  que  nous  avons  déjà  traité, 
et  l'on  doit  y  appliquer  les  équations  linéaires  qui  ont  été 
rapportées  plus  haut. 

83. 

Ainsi,  dans  l'état  permanent  que  nous  considérons,  le  flux 
de  chaleur  qui  sort  de  la  surface  n  pendant  une  unité  de 
temps,  est  égal  à  celui  qui  passe,  pendant  le  même  temps, 
de  l'air  environnant  dans  la  surface  intérieure  de  l'enceinte  ; 
il  est  égal  aussi  à  celui  qui  traverse,  pendant  l'unité  de  temps, 
une  section  intermédiaire  faite  dans  l'enceinte  solide  par  une 
surface  égale  et  parallèle  à  celles  qui  terminent  cette  eh- 
ceinte  ;  enfin ,  ce  même  flux  est  encore  égal  à  celui  qui  passe 
de  l'enceinte  solide  à  travers  sa  surface  extérieure,  et  se 
dissipe  dans  l'air.  Si  ces  quatre  quantités  de  chaleur  écoulées 
n'étaient  point  égales,  il  surviendrait  nécessairement  quelque 
variation  dans  l'état  des  températures,  ce  qui  est  contre 
l'hypothèse. 

La  première  quantité  est  exprimée  par  c  (a  —  m)  g ,  en 
désignant  par  g  la  conducibilité  extérieure  de  la  surface  a 
qui  appartient  au  foyer. 

La  seconde  est  s  [m  —  a)  h,  le  coefficient  h  étant  la 


CHAPITRE  I.  ni 

mesure  de  la  conducibilité  extérieure  de  la  surfoce  s ,  qui 
est  exposée  à  l'action  du  foyer. 

La  troisième  est  s  - — ; — -  K,  le  coefficient  K  étant  la  me- 
sure de  la  conducibilité  propre  de  la  substance  homogène 
qui  forme  l'enceinte. 

La  quatrième  est  s  (b  —  n)  H ,  en  désignant  par  H  la 
conducibilité  extérieure  de  la  surface  s  dont  la  chaleur  sort 
pour  se  dissiper  dans  l'air.  Les  coëfficiens  h  et  H  peuvent 
avoir  des  valeurs  très-inégales  à  raison  de  la  différence  de 
l'état  des  deux  surfaces  qui  terminent  l'enceinte  ;  ils  sont 
supposés  connus  ainsi  que  le  coefficient  K  :  on  aura  donc, 
pour  déterminer  les  trois  quantités  inconnues  t??  ,  a  et  b, 
les  trois  équations  : 

COL  —  7fi  g=s  /H  —  ah  ' 


c  a.  —  ?il  ..«•  =  ■$' K. 

e 


b 


<r  a 


/H  g:^S   b 11.   H. 


84. 

La  valeur  de  m  est  l'objet  spécial  de  la  question.  On  la 
trouvera  en  mettant  les  équations  sous  cette  forme  : 


m 


-"=f-f  («-"0 


a  —  b=-^{a.  —  m) 
et  les  ajoutant  T  on  aura 


r- 


THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 


m  —  n  =  oL  —  ni  P,  en  désignant  par  P  la  quantité  connue 

^r^  +  £f  +  s\ 

s\,h^  k  ^  rJ 


on  en  conclut 

P 


f7l 


—  «  =  fa  —  II)  — 


(--)i(f-f^S) 


^-K!"^ 


85. 

Ce  résultat  fait  connaître  comment  le  degré  de  réchauffe- 
ment 711  —  n  dépend  des  quantités  données  qui  constituent 
l'hypothèse. 

Nous  indiquerons  les  principales  conséquences  que  l'on 
en  peut  déduire. 

1°  Le  degré  de  réchauffement  m — n  est  en  raison  directe 
de  l'excès  de  la  température  du  foyer  sur  celle  de  l'air  exté- 
rieur. 

2"  La  valeur  de  m  —  ii  ne  dépend  point  de  la  forme  de 

l'enceinte  ni  de  sa  capacité ,  mais  seulement  du  rapport  —  de 

la  surface  dont  la  chaleur  sort  à  la  surface  qui  la  reçoit,  et 
de  l'épaisseur  e  de  l'enceinte. 

Si  l'on  double  la  surface  a  du  foyer,  le  degré  de  réchauf- 
fement ne  devient  pas  double,  mais  il  augmente  suivant  une 
certaine  loi  que  l'équation  exprime. 

3*^  Tous  les  coëfficiens  spécifiques  qui  règlent  l'action  de 
la  chaleur,  savoir:  g,  K,  H  et  h,  composent,  avec  la  di- 
mension e,  dans  la  valeur  de  m  —  n,  un  élément  unique 

f  +  C^  "^  H  '  ^^^^^  *^"  P^^^  déterminer  la  valeur  par  les  ob- 
servations. 


CHAPITRE   I.  y3 

Si  l'on  doublait  1  épaisseur  e  de  l'enceinte,  on  aurait  le 
même  résultat  que  si  l'on  employait,  pour  la  former,  une 
substance  dont  la  conducibilité  propre  serait  deux  fois  plus 
grande.  Ainsi  l'emploi  des  substances  qui  conduisent  diffi- 
cilement la  chaleur  permet  de  donner  peu  d'épaisseur  à  l'en- 
ceinte; l'effet  que  l'on  obtient  ne  dépend  que  du  rapport  „• 

4°  Si  la  conducibilité  K  est  nulle ,  on  trouve  m  —  n  ^  a  ; 
c'est-à-dire  que  l'air  intérieur  prend  la  température  du 
foyer  :  il  en  est  de  même  si  H  est  nulle  ou  si  h  est  nulle. 
Ces  conséquences  sont  d'ailleurs  évidentes,  puisque  la  cha- 
leur ne  peut  alors  se  dissiper  dans  1  air  extérieur. 

5"  Les  valeurs  des  quantités  g,  H,  h,  K  et  a,  que  l'on 
suppose  connues ,  peuvent  être  mesurées  par  des  expé- 
riences directes,  comme  on  le  verra  par  la  suite;  mais,  dans 
la  question  actuelle  ,  il  suffirait  d'observer  la  valeur  de 
m — n  cjui  correspond  à  des  valeurs  données  de  g  et  de  a, 
et   on   s'en   servirait    pour   déterminer    le   coefficient   total 

(a  —  11)  ~  p 

'I  +  ^  +  ^  ,  au  moyen  de  l'équation  m  —  ii= — 

i  +  -  p 

s   i 

dans  laquelle  p  désigne  le  coefficient  cherché.  On  mettra 

dans  cette  équation,  au  lieu  de  -  et  de  a  —  7i ,    les  valeurs 

de  ces  quantités,  que  l'on  suppose  données,  et  celle  de 
m  —  n,  que  l'observation  aura  fait  connaître.  On  en  déduira 
la  valeur  de  p ,  et  l'on  pourra  ensuite  appliquer  la  formule  à 
une  infinité  d'autres  cas. 

6°  Le  coefficient  H  entre  dans  la  valeur  de  m  —  n  de  la 
même  manière  que  le  coefficient  h  ;  par  conséquent  l'état  de 


lO 


;4  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

la  superficie,  ou  celui  de  l'enveloppe  qui  la  couvre,  procure 
le  même  effet,  soit  qu'il  se  rapporte  à  la  surface  intérieure 
ou  à  la  surface  extérieure. 

On  aurait  regardé  comme  inutile  de  fiùre  remarquer  ces 
diverses  conséquences,  si  l'on  ne  traitait  point  ici  des  cjues- 
tions  toutes  nouvelles ,  dont  les  résultats  peuvent  être  d'une 
utilité  immédiate. 

86. 
On  sait  que  les  corps  animés  conservent  une  température 
sensiblement  fixe,  que  l'on  peut  regarder  comme  indépen- 
dante de  la  température  du  milieu  dans  lequel  ils  vivent. 
Ces  corps  sont,  en  quelque  sorte,  des  foyers  d'une  chaleur 
constante ,   de    même  que  les  substances  enflammées  dont 
la  combustion   est  devenue    uniforme.    On   peut   donc,   à 
faide  des  remarques  précédentes,   prévoir   et   régler   avec 
plus  d'exactitude  félévation  des  températures  dans  les  lieux 
où  l'on  réunit  un  grand  nombre  d'hommes.  Si  l'on  y  observe 
la  hauteur  du  thermomètre  dans  des  circonstances  données, 
on  déterminera  d'avance  quelle  serait  cette  hauteur ,  si  le 
nombre  d'hommes  rassemblés  dans  le  même  espace  deve- 
nait beaucoup  plus  grand. 

A  la  vérité ,  il  y  a  plusieurs  circonstances  accessoires  qui 
modifient  les  résultats  ,  telles  que  linégale  épaisseur  des 
parties  des  enceintes ,  la  diversité  de  leur  exposition ,  l'effet 
que  produisent  les  issues,  l'inégale  distribution  de  la  chaleur 
de  l'air.  On  ne  peut  donc  faire  une  application  rigoureuse 
des  règles  données  par  le  calcul  ;  toutefois,  ces  règles  sont 
précieuses  en  elles-mêmes ,  parce  qu'elles  contiennent  les 
vrais  principes  de  la  matière  :  elles  préviennent  des  raison- 
nements vagues  et  des  tentatives  inutiles  ou  confuses. 


CHAPITRE  I.  75 

87. 

Si  le  même  espace  e'tait  e'chauffé  par  deux  ou  plusieurs 
foyers  de  différente  espèce,  ou  si  la  première  enceinte  était 
elle-même  contenue  dans  une  seconde  enceinte  sépare'e  de 
la  première  par  une  masse  d'air,  on  déterminerait  facile- 
ment aussi  le  degré  de  réchauffement  et  les  températures 
des  surfaces. 

En  supposant  qu'il  y  ait,  outre  le  premier  foyer  ç,  une 
seconde  surface  échauffée  77  dont  la  température  constante 
soit  (3 ,  et  la  conducibilité  extérieure  j ,  on  trouvera ,  en 
conservant  toutes  les  autres  dénominations,  l'équation  sxii- 
vante  : 

g  ,  p  ">  /  ^  f  ''  ,  I  .  I  ^ 


m- 


■+(¥+¥)  (i  +  i  +  j)        . 

si  Ton  ne  suppose  qu'un  seul  foyer  a,  et  si  la  première  en- 
ceinte est  elle-même  contenue  dans  une  seconde,  on  repré- 
sentera par  S',  h',  li'.  H',  les  éléments  de  la  seconde  enceinte 
qui  correspondent  à  ceux  delà  première,  que  l'on  désigne 
par  S.  h.  k.  H,  et  Ton  trouvera,  en  nommant  p  la  tempé- 
rature de  l'air  qui  environne  la  surface  extérieure  de  la 
seconde  enceinte,  l'équation  suivante  : 

7.    —    ,l.P 

'  I +P 

La  quantité  P  représente 

^\h^    K    ^  Hy*  ^  S'  \K  ^    k'    ^  H' 

On  trouvei\ait  un  résultat  semblable  si.  l'on  supposait  trois 
ou  un  plus  grand  nombre  d'enceintes  successives;  et  l'on  en 

10. 


^6  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

conclut  que  ces  enveloppes  solides,  sépare'es  par  l'air,  con- 
courent beaucoup  à  augmenter  le  degré  de  réchauffement, 
cpelque  petite  que  soit  leur  épaisseur. 

88. 

Pour  rendi'e  cette  remarque  plus  sensible,  nous  compare- 
rons la  quantité  de  chaleur  qui  sort  de  la  surface  d'un  corps 
échauffé,  à  celle  que  le  même  corps  perdrait,  si  la  surface 
qui  l'enveloppe  en  était  séparée  par  un  intervalle  rempli 
d'air. 

Si  le  corps  A  est  échauffé  par  une  cause  constante,  en 
sorte  que  la  surface  conserve  la  température  fixe  b ,  l'air 
étant  retenu  à  la  température  moindre  a,  la  quantité  de 
chaleur  qui  s'échappe  dans  l'air  pendant  l'unité  de  temps, 
à  travers  une  surface  égale  à  l'unité ,  sera  exprimée  par 
h  (b  —  rt),  h  étant  la  mesure  de  la  conducibilité  extérieure. 
Donc,  pour  que  la  masse  puisse  conserver  la  température 
iixe  b,  il  est  nécessaire  que  le  foyer,  quel  qu'il  soit,  fournisse 
une  quantité  de  chaleur  égale  à  h  S  (b  —  «)i  S  désignant 
l'étendue  de  la  surface  du  solide. 

Supposons  que  l'on  détache  de  la  masse  A  une  tranche 
extrêmement  mince  qui  soit  séparée  du  solide  par  un  inter- 
valle rempli  d'air,  et  que  la  superficie  de  ce  même  solide  A, 
soit  encore  maintenue  à  la  température  b.  On  voit  que  l'air 
contenu  entre  la  tranche  et  le  corps  s'échauffera  et  prendia 
une  température  a  plus  grande  que  a.  La  tranche  elle-même 
parviendra  à  un  état  permanent  et  transmettra  à  l'air  exté- 
rieur dont  la  température  fixe  est  a  toute  la  chaleur  que  le 
corps  perd.  Il  s'ensuit  que  la  quantité  de  chaleur  sortie  du 
solide  sera  h  S  (b  —  a),  au  lieu  d'être  h  S  (b  —  «),  car 
on  suppose  que  la  nouvelle  superficie  du  solide  et  celles  qui 


CHAPITRE   I.  ^yy 

terminent  la  tranche  ont  aussi  la  même  conducibilité  exté- 
rieure II.  11  est  e'vident  que  la  dépense  de  la  source  de  cha- 
leur seia  moindre  qu'elle  n'était  d'abord.  Il  s'agit  de  con- 
naître le  rapport  exact  de  ces  Cjuantites. 

89. 

Soient  e  l'épaisseur  de  la  tranche,  m  la  température  fixe 

de  sa  surface  inférieure,  n  celle  de  la  surface  supérieure  et 

K  la  conducibilité  propre.  On  aura,  pour  l'expression  de  la 

quantité  de  chaleur  qui  sort  du  solide  par  sa  superficie, 

Pour  celle  de  la  quantité  qui  pénètre  la  surface  inférieure 
de  la  tranche  h  S  i^a  —  m'). 

Pour  celle  de  la  quantité  qui  traverse  une  section  quel- 

T'     O     ("' '0       1  ^  1 

conque  W  h  ^ de  cette  nieme  tranche. 

Enfin,  pour  celle  de  la  quantité  qui  passe  de  la  surface 
supérieure  dans  l'air  h  S  [n  —  a). 

Toutes  ces  cjuantités  doivent  être  égales,  on  a  donc  les 
équations  suivantes  : 

h  [il  —  a)=^-[in  —  /?)         •■     ■        '■  . 

h  (ji  —  a):=h(a  —  7)i) 
h  [n — a)  =  h(^b  —  à) 

Si  l'on  écrit  de  plus  l'équation  identique  h  {n  —  a)  =  h 
{n — a),  et  si  on  les  met  toutes  sous  cette  forme  : 


n — a) 


n  — 

a  — 

n  — 

-a 

m  — 

-»  = 

l,e 
'   K 

(« 

a!  — 

-711  = 

-n- 

-a 

h 

a! 

n  — 

-a 

yS  THEORIE  DE  LA  CHALEUR, 

on  trouvera,  en  les  ajoutant, 

b — a  =  (7i  —  a)(3+  -jv-j- 

La  quantité  de  chaleur  perdue  par  le  solide  était.... 
h  S  (b  —  a)  lorsque  sa  superficie  communiquait  librement  à 
l'air,  elle  est  maintenant  h  S  {b — a)  ou  h  S  {n — a)  qui  équi- 

l>  —  a 

vaut  à  A  s      Q       à  e 
3  +  X 

La  première  quantité  est  plus  grande  que  la  seconde ,  dans 

1  .10  k  e   r 

le  rapport  de  a  +  -j^-  a  i. 

Il  faut  donc,  pour  entretenir  à  la  température  b  le  solide 
dont  la  superficie  communique  immédiatement  à  l'air,  plus 
de  trois  fois  autant  de  chaleur  qu'il  n'en  faudrait  pour  le 
maintenir  à  la  même  température  b,  lorsque  l'exticme  sur- 
face n'est  pas  adhérente,  mais  distante  du  solide  d'un  inter- 
valle quelconque  rempli  d'air. 

Si  l'on  suppose  que  l'épaisseur  e  est  infiniment  petite,  le 
rapport  des  quantités  de  chaleur  perdues  sera  3,  ce  qui  au- 
rait encore  lieu  si  la  conducibilité  K  était  infiniment  grande. 

On  se  rend  facilement  raison  de  ce  résultat ,  car  la  chaleur 
ne  pouvant  s'échapper  dans  l'air  extérieur,  sans  pénétrer 
plusieurs  surfaces,  la  quantité  qui  s'en  écoule  doit  être  d'au- 
tant moindre  que  le  nombre  des  surfaces  intei'posées  est 
plus  grand;  mais  on  n'aurait  pu  porter,  à  cet  égard,  aucun 
jugement  exact  si  Ton  n'eut  point  soumis  la  question  au 
calcul. 

90. 

On  n'a  point  considéré,  dans  l'article  précédent,  l'effet  de 


CHAPITRE   I.  ;() 

rirratliatloii  à  travers  la  couche  d'air  qui  sépare  les  deux 
surfaces,  cependant  cette  circonstance  modifie  la  question, 
puisqu'il  y  a  une  partie  de  la  chaleur  qui  pénètre  immédia- 
tement au-delà  de  l'air  interposé.  Nous  supposerons  donc , 
pour  rendre  l'objet  du  calcul  plus  distinct,  que  l'intervalle 
des  surfaces  est  vide  d'air ,  et  que  le  corps  échaut'té  est 
couvert  d'un  nombre  quelconque  de  tranches  parallèles  et 
éloignées  les  unes  des  autres. 

Si  la  chaleur  qui  sort  du  solide  par  sa  superficie  plane 
entretenue  à  la  température  h ,  se  répandait  librement  dans 
le  vide  et  était  reçue  par  une  surfoce  parallèle  entretenue  à 
une  température  moindre  a ,  la  quantité  qui  se  dissiperait 
pendant  l'unité  de  temps  à  travers  l'unité  de  superficie  serait 
proportionnelle  à  la  différence  h — a  des  deux  températures 
constantes;  cette  quantité  serait  représentée  par  H  {b — «), 
H  étant  une  valeur  de  la  conducibilité  relative  qui  n'est 
pas  la  même  que  h. 

Le  foyer  qui  maintient  le  solide  dans  son  premier  état 
doit  donc  fournir,  dans  chaque  unité  de  temps,  une  quan- 
tité de  chaleur  égale  à  H  S  [h — «).  Il  faut  maintenant  dé- 
terminer la  nouvelle  valeur  de  cette  dépense  dans  le  cas  oii 
la  superficie  de  ce  corps  serait  recouverte  de  plusieurs  tran- 
ches successives  et  séparées  par  des  intervalles  vides  d'air, 
en  supposant  toujours  que  le  solide  est  soumis  à  l'action 
d'une  cause  extérieure  quelconque  qui  retient  sa  superficie 
à  la  température  h. 

Concevons  que  le  système  de  toutes  les  températures  est 
devenu  fixe;  soit  m  la  température  de  la  surface  inférieure 
de  la  première  tranche  qui  est  par  conséquent  opposée  à 
celle  du  solide,  soient  n  la  température  de  la  siu'fiice  supé- 


8o  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR, 

rieure  de  cette  même  tranche,  e  son  épaisseur,  et  K  sa  con- 
ducibilité  spécifique ,  désignons  aussi  par  m,  ii',  m ,  n , 
m'",  n'",  m",  n",  etc.  les  températures  des  surfaces  inférieure 
et  supérieure  des  différentes  tranches,  et  par  K,  e,  la  con- 
ducibilité  et  l'épaisseur  de  ces  mêmes  tranches,  enfin  sup- 
posons que  toutes  ces  surfaces  soient  dans  un  état  sem- 
blable à  la  superficie  du  solide,  en  sorte  que  la  valeur  du 
coefficient  H  leur  soit  commune. 

La  quantité  de  chaleur  cjui  pénètre  la  surface  inféineure 
d'une  tranche  correspondante  à  l'indice  quelconque  i  est 
H    S    (",_,  —  "^)i   celle    qui    traverse    cette    tranche    est 

■ — (/^  —  "'  +  !)•)  ^^  ^^  C|uantité  qui  en  sort  par  la  surface  su- 
périeure est  H  S  («V — "i+i)-  Ces  trois  quantités,  et  toutes 
celles  qui  se  rapportent  aux  autres  tranches,  sont  égales; 
on  pourra  donc  former  les  équations  en  comparant  toutes 
les  quantités  dont  il  s'agit  à  la  première  d'entre  elles,  qui 
est  H  S  {b  —  7«  )  ;  on  aui'a  ainsi,  en  désignant  par  y  le  nom- 
bre des  tranches  : 

b — in,=^b  —  m. 


m. 

—  n. 

K 

{b- 

-m 

) 

"■- 

—m. 

—  b- 

-m. 

m^ 

—  n. 

Ht- 
K 

(b- 

-m 

.) 

He  , ,  . 

'"j  — «1=1^  (b  —  m,) 

ti,  —  a=b  —  ?n. 


CHAPITRE  I.  8t. 

En  ajoutant  ces  équations ,  on  ti'ouvera     > 

b  —  a={b—m)j(^i+-~y         "'■        '  ■•     ; 

La  dépense  de  la  source  de  clialeur  nécessaire  pour  entre- 
tenir la  superficie  du  corps  A  à  la  température  i^  est 

H.S  (Z.  — «) 

lorsque  cette  superficie  envoie  ses  rayons  à  une  surfiice  fixe 
entretenue  à  la  température  b.  Cette  dépense  est  H  S  {h  —  m) 
lorsque  l'on  place  entre  la  superficie  du  corps  A  et  la  sur- 
face fixe  entretenue  à  la  température  b  un  nombre  j  de 
tranches  isolées;  ainsi  la  quantité  de  chaleur  que  le  fi^yer 
doit  fournir  est  beaucoup  moindre  dans  la  seconde  hypo- 
thèse que  dans  la  première,  et  le  rapport  de  ces  deux  quan- 


tités est   •   /  H.gA.  Si  l'on  suppose  que  l'épaisseur  e  des 

tranches  soit  infiniment  petite,  le  rapport  est-.-  La  dépense 

du  foyer  est  donc  en  raison  inverse  du  nombre  des  tran- 
ches qui  couvrent  la  superficie.  .  .    ,  ,  . 

84. 

L'examen  de  ces  résultats  et  de  ceux  que  l'on  obtient 
lorsque  les  intervalles  des  enceintes  successives  sont  occupés 
par  l'air  atmosphérique  exjîlique  distinctement  pomquoi 
la  séparation  des  surfaces  et  l'interposition  de  l'air  concou- 
rent beaucoup  à  contenir  la  chaleur.  r>-.  ,• 

Le  calcul  fournit  encore  des  conséquences  analogues 
lorsqu'on  suppose  que  le  foyer  est  extérieur  et  que  la  chaleur 
qui  en  émane  traverse  successivement  les  divei'ses  enveloppes 
diaphanes  et  pénètre  l'air  qu'elles  renferment.  C'est  ce  qui 

1 1 


82  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

avait  lieu  dans  les  expériences  où  l'on  a  exposé  aux  rayons 
du  soleil  des  thermomètres  recouverts  par  plusieurs  caisses 
de  verre,  entre  lesquelles  se  trouvaient  différentes  couches 
d'air. 

C'est  par  une  raison  semblable  que  la  température  des 
hautes  régions  de  l'atmosphère  est  beaucoup  moindre  qu'à 
la  surface  du  globe. 

En  général  les  théorèmes  concernant  réchauffement  de 
l'air  dans  les  espaces  clos  s'étendent  à  des  questions  très- 
variées.  Il  sera  utile  d'y  recourir  lorsqu'on  voudra  prévoir 
et  régler  la  température  avec  quelque  précision ,  comme  dans 
les  serres ,  les  étuves ,  les  bergeries ,  les  ateliers ,  ou  dans 
plusieurs  établissements  civils  ,  tels  que  les  hôpitaux ,  les 
casernes,  les  lieux  d'assemblée. 

On  pourrait  avoir  égard,  dans  ces  diverses  applications, 
aux  circonstances  accessoires  qui  modifient  les  conséquences 
du  calcul  comme  l'inégale  épaisseur  des  différentes  parties 
de  l'enceinte,  l'introduction  de  l'air  etc.  ;  mais  ces  détails 
nous  écarteraient  de  notre  objet  principal  qui  est  la  dé- 
monstration exacte  des  principes  généraux. 

Au  reste,  nous  n'avons  considéré,  dans  ce  qui  vient  d'être 
dit,  que  l'état  permanent  des  températures  dans  les  espaces 
clos.  On  exprime  aussi ,  par  le  calcul ,  l'état  variable  qui  le 
précède,  ou  celui  qui  commence  à  avoir  lieu  lorsqu'on  re- 
tranche le  foyer,  et  l'on  peut  connaître  par-là  comment  les 
propriétés  spécifiques  des  corps  que  l'on  emploie,  ou  leurs 
dimensions,  influent  sur  les  progrès  et  sur  la  durée  de 
réchauffement;  mais  cette  recherche  exige  une  analyse  diffé- 
rente, dont  on  exposera  les  principes  dans  les  chapitres 
suivants. 


CHAPITRE  I.  m 

SECTION  VIL 

Du  mouvement  uniforme  de  la  chaleur  suivant  les  trois 

dimensions.  ' 

85.      ■ 

Nous  n'avons  considéré  jusqu'ici  que  le  mouvement  uni- 
forme de  la  chaleur  suivant  une  seule  dimension ,  il  est 
facile  d'appliquer  les  mêmes  principes  au  cas  où  la  chaleur 
se  propage  uniformément  dans  trois  directions  orthogonales. 

Supposons  que  les  différents  points  d'un  solide  compris 
entre  six  plans  rectangulaires  aient  actuellement  des  tem- 
pératures inégales  et  représentées  par  l'équation  linéaire 
v^h.  +  a  X  +  by  +  c  z,  x,  y,  z,  étant  les  coordonnées 
rectangulaires  d'une  molécule  dont  la  température  est  v. 
Supposons  encore  que  des  causes  extérieures  quelconques, 
agissant  sur  les  six  faces  du  prisme,  conservent  à  chacune 
des  molécules  qui  sont  situées  à  la  superficie,  sa  tempéra- 
ture actuelle  exprimée  par  l'équation  générale 

v^=A.  +  ax  +  by  +  cz,  (a) 

nous  allons  démontrer  que  ces  mêmes  causes  qui,  par  hypo- 
thèse, retiennent  les  dernières  tranches  du  solide  dans  leur 
état  initial,  suffisent  pour  conserver  aussi  la  température 
actuelle  de  chacune  des  molécules  intérieures ,  en  sorte 
que  cette  température  ne  cessera  point  d  être  représentée 
par  l'équation  linéaire.        -:i    !  .i.  ~  ;  .i*     : 

L'examen  de  cette  question  est  un  élément  de  la  théorie 
générale,  il  servira  à  faire  connaître  les  lois  du  mouvement 
varié  de  la  chaleur  dans  l'intérieur  d'un  solide  d'une  forme 

1 1. 


84  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

quelconque,  car  chacune  des  molécules  prismatiques  dont 
le  corps  est  composé,  est  pendant  un  temps  inilniment  petit 
dans  un  état  semblable  à  celui  qu'exprime  l'équation 
linéaire  {a).  On  peut  donc,  en  suivant  les  principes  ordi- 
naires de  l'analyse  différentielle,  déduire  facilement  de  la 
notion  du  mouvement  uniforme  les  équations  générales  du 
mouvement  varié. 

m. 
Pour  prouver  que  les  extrémités  du  solide  conservant 
leurs  températures  il  ne  pourra  survenir  aucun  changement 
dans  l'intérieur  de  la  masse,  il  suffit  de  comparer  entre  elles 
les  quantités  de  chaleur  qui,  pendant  la  durée  d'un  même 
instant,  traversent  deux  plans  parallèles.  Soit  b  la  distance 
perpendiculaire  de  ces  deux  plans  que  l'on  suppose  d'abord 
parallèles  au  plan  horizontal  des  x  et  y.  Soient  m  et  m'  deux 
molécules  infiniment  voisines  dont  l'une  est  au-dessous  du 
premier  plan  horizontal  et  l'auti^e  au-dessus;  soient  oc^y,  z, 
les  coordonnées  de  la  première  et  x',  j ,  z,  les  coordonnées 
de  la  seconde.  On  désignera  pareillement  deux  molécules 
M  et  M'  infiniment  voisines,   séparées  par  le  second  plan 
horizontal  et  situées,  par  rapport  à  ce  second  plan,  de  la 
même  manière  que  m  et  m'  le  sont  par  rapport  au  premier, 
c'est-à-dire ,  que  les  coordonnées  de  M  sont  x ,  y,  z+  b ,  et 
celles  de  M',  sont  x,  y,  z  +  b.  Il  est  manifeste  que  la  dis- 
tance m  m  des  deux  molécules  m  et  m  est  égale  à  la  distance 
MM'  des  deux  molécules  M  et  M';  de  plus,  soit  v  la  tempé- 
rature de  m  et  a'"celle  de  m,  soient  aussi  V  et  V  les  tempé- 
ratures de  M  et  M',  il  est  facile  de  voir  que  les  deux  diffé- 
rences y  —  v  et  V — V  sont  égales  ;  en  effet ,  en  substituant 
d'abord  les  coordonnées  de  tji  et  ni  dans  l'équation  générale 


CHAPITRE  I.  Sj 

■v:=A  +  aa;  -h  ùj  +  cz,  on  trouve 

v  —  v'  =  a  {x  —  x')  +  Z»  if— y)  +  c  {z—z'), 

et,  en  substituant  ensuite  les  coordonnées  de  M  et  M',  on 
trouve  aussi  V  —  Y=a  (x  —  x')  +  b  (j  —  y')  +  c  (s  —  z). 
Or  la  quantité  de  chaleur  que  m  envoie  à  77^'  de'pend  de  la 
distance  ifi  m',  qui  sépare  ces  molécules,  et  elle  est  propor- 
tionnelle à  la  différence  -v  —  v  de  leurs  températures.  Cette 
quantité  de  chaleur  envoyée  peut  être  représentée  par 

g  Çv  —  v) d  t ; 

la  valeur  dvx  coefficient  q  dépend  d'une  manière  quelconque 
de  la  distance  m  m,  et  de  la  nature  de  la  substance  dont  le 
solide  est  formé,  dt  est  la  durée  de  l'instant.  La  quantité  de 
chaleur  envoyée  de  M  à  M',  où  l'action  de  M  sur  M'  a  aussi 
pour  expression  q  (V — V)  d  t ,  et  le  coefficient  q  est  le 
même  que  dans  la  valeur  q  (v  —  V)  d  t,  puisque  la  dis- 
tance M  M  est  égale  à  m  ni  et  que  les  deux  actions  s'opè- 
rent dans  le  même  solide;  de  plus  V — V  est  égal  à  v  —  v', 
donc  les  deux  actions  sont  égales. 

Si  l'on  choisit  deux  autres  points  n  et  lî  extrêmement 
voisins  l'un  de  l'autre  qui  s'envoient  de  la  chaleur  à  travers 
le  premier  plan  horizontal,  on  prouvera  de  même  que  leur 
action  est  égale  à  celles  de  deux  points  homologues  N  et  N' 
qui  se  communiquent  la  chaleur  à  travers  le  second  plan 
horizontal.  On  en  conclura  donc  que  la  quantité  totale  de 
chaleur  qui  traverse  le  premier  plan  est  égale  à  celle  qui 
traverse  le  second  pendant  le  même  instant.  On  tirera  la 
même  conséquence  de  la  comparaison  de  deux  plans  paral- 
lèles au  plan  des  x  çX.  z,  ou  de  deux  autres  plans  parallèles 
au  plan  des  y  et  z.  Donc,  une  partie  quelconque  du  solide 


86  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

comprise  entre  six  plans  rectangulaires  reçoit,  par  chacune 
des  faces,  autant  de  chaleur  qu'elle  en  perd  par  la  face  op- 
posée ;  donc  il  n'y  a  aucune  portion  du  solide  qui  puisse 
changer  de  température. 

On  voit  par  là  qu'il  s'écoule  à  travers  un  des  plans  dont 
il  s'agit  une  quantité  de  chaleur  qui  est  la  même  à  tous  les 
instants,  et  qui  est  aussi  la  même  pour  toutes  les  autres 
tranches  parallèles. 

Pour  déterminer  la  valeur  de  ce  flux  constant,  nous  la 
comparerons  à  la  quantité  de  chaleur  qui  s'écoule  uniformé- 
ment dans  un  cas  plus  simple  que  nous  avons  déjà  traité. 
Ce  cas  est  celui  d'un  solide  compris  entre  deux  plans  infinis 
et  entretenus  dans  un  état  constant.  Nous  avons  vu  que  les 
températures  des  différents  points  de  la  masse  sont  alors 
représentées  par  l'équation  v  =  A  +  cz;  nous  allons  dé- 
montrer que  le  flux  uniforme  de  chaleur  qui  se  propage  en 
sens  vertical  dans  le  solide  infini  est  égal  à  celui  qui  s'écoule 
dans  le  même  sens  à  travers  le  prisme  compris  entre  six 
plans  rectangulaires.  Cette  égalité  a  lieu  nécessairement  si  le 
coefficient  c  de  réquatiom;  =  A  +  cr ,  appartenant  au  pre- 
mier solide  est  le  même  que  le  coefficient  c  dans  l'équation 
plus  générale  'v  =  A  +  aœ  +  bj-  +  cz  qui  représente  l'état 
du  prisme.  En  effet,  désignons  par  H  dans  ce  prisme  un 
plan  perpendiculaire  aux  z,  et  par  m  et  [j.  deux  molécules 
extrêmement  voisines  l'une  de  l'autre  dont  la  première  /«  est 
au-dessous  du  plan  H,  et  la  seconde  est  au-dessus  de  ce 
plan,  soient  o)  la  température  de  ?}z  dont  les  coordonnées 
sont  as,  y,  z,  et  w  la  température  de  \j.  dont  les  coordonnées 
sont  a;+a,j+p,;:;  +  y.  Choisissons  une  troisième  molécule 


CHAPITRE  I.  87 

p.',  dont  les  coordonnées  soient  x  —  a,  j — ^,  2  +  y,  et  dont 
la  tempe'rature  soit  désignée  par  ir'.  On  voit  que  [^  et  ^'  sont 
sur  un  même  plan  horizontal,  et  que  la  verticale  élevée  sur 
le  milieu  de  la  droite  [x  ja',  qui  joint  ces  deux  points,  passe 
par  le  point  m,  ensorte  que  les  distances  /??  jjt,  et  j?i  ^'  sont 
égales.  L'action  de  in  sur  ;;.  ou  la  quantité  de  chaleur  que  la 
première  de  ces  molécules  envoie  à  l'autre  à  travers  le  plan 
H  dépend  de  la  diflérence  v  —  w  de  leurs  températures. 
L'action  de  m  sur  [a'  dépend  de  la  même  manière  de  la  diffé- 
rence V  —  w'  des  températures  des  molécules,  puisque  la 
distance  de  m  à  fz.  est  la  même  que  celle  de  7n  à  [;.'.  Ainsi 
en  exprimant  par  q  (v — iv)  l'action  de  //?  sur  [a  pendant 
l'unité  de  temps,  on  aura  q  (y  —  n-')  pour  exprimer  l'action 
de  771  sur  jx',  q  étant  un  facteur  inconnu,  mais  commun,  et 
qui  dépend  de  la  distance  ?»  a  et  de  la  nature  du  solide.  Donc 
la  somme  des  deux  actions  exercées  pendant  l'unité  de  temps 
est  q  ['V  —  iv  +  V  —  iv'). 

Si  l'on  substitue,  au  lieu  de  œ,yetz,  dans  l'équation 
générale  vt=K  +  ajc  +  ^ J  +  cz,  les  coordonnées  de  w  et 
ensuite  celles  de  ^.  et  [j.',  on  trouvera  j    . 

0)  —  iv  =  —  a  oi  —  b  <^  —  c^ 

v iv'=  +  aa  +  Z'P C  y 

La  somme  des  deux  actions  de  7)i  sur  ^  et  de  m  sur  ^.'  est 
donc  —  2.  q  c  Y- 

Supposons  maintenant  que  le  plan  H  appartienne  au 
solide  infini  pour  lequel  l  équation  des  températures  est 
v^^A  +  cz,  et  que  l'on  désigne  aussi,  dans  ce  solide,  les 
molécules  t7i,  jj.  et  ^.'  dont  les  coordonnées  sont  ,v,  y,  z, 
pour  la  première,  a;  +  a,j+p,z  +  y,  pour  la  seconde ,  et 


88  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

x  —  a,  j- — p,  -  +  y,  pour  la  troisième  :  on  trouvera,  comme 
précédemment,  v  —  w  +  v  —  (i''  =  —  2  c  y.  Ainsi  la  somme 
des  deux  actions  de  jn  sur  a  et  de  m  sur  r^.',  est  la  même  dans 
le  solide  infini  que  dans  le  prisme  compris  entre  six  plans 
l'ectangulaires.  ; 

On  trouverait  un  résultat  semblable,  si  l'on  considérait 
l'action  d'un  autre  point  n  inférieur  au  plan  H  sur  deux 
autres  v  et  v',  placées  à  une  même  hauteur  au-dessus  du  plan. 
Donc ,  la  somme  de  toutes  les  actions  de  ce  genre ,  qui  s'exer- 
cent à  travers  le  plan  H,  c'est-à-dire,  la  quantité  totale  de 
chaleur  qui ,  pendant  l'unité  de  temps ,  passe  au-dessus  de 
cette  surface ,  en  vertu  de  l'action  des  molécules  extrême- 
ment voisines  qu'elle  sépare,  est  toujours  la  même  dans  l'un 
et  l'autre  solide. 

Dans  le  second  de  ces  corps  qui  est  terminé  par  deux 
])lans  infinis  et  pour  lequel  l'équation  des  températures  est 
^'  =  A  +  c  z,  nous  savons  que  la  quantité  de  chaleur  écoulée 
pendant  l'unité  de  temps  à  travers  une  surface  égale  à  l'unité 
et  prise  sur  une  section  horizontale  quelconque  est  —  c  K , 
c  étant  le  coefficient  de  z,  et  K  la  conducibilité  spécifique  ; 
donc,  la  quantité  de  chaleur  qui,  dans  le  prisme  compris 
entre  six  plans  rectangulaires,  traverse  pendant  l'unité  de 
temps,  une  surface  égale  à  l'unité  et  prise  sur  une  section 
horizontale  quelconque,  est  aussi  —  c  K,  lorsque  l'équation 
linéaire  qui  représente  les  températures  du  prisme  est 
1^  =  x\  +  a  j?  +  h  y  +  c  z. 

On  prouve  de  même  que  la  quantité  de  chaleur  qui,  pen- 
dant l'unité  de  temps ,  s'écoule  uniformément  à  travers  une 
unité  de  surface  prise  sur  une  section  quelconque  perpendi- 


CHAPITRE   I.  89 

culaire  aux  x,  est  exprimée  par  —  «K,  et  que  la  chaleur 
totale  qui  traverse,  pendant  l'unité  de  temps,  l'unité  t!c  sur- 
face prise  sur  une  section  perpendiculaire  aux  }•,  est  exprimée 
par  —  ^  K. 

Les  théorèmes  que  nous  avons  démontrés  dans  cet  article 
et  dans  les  deux  pi^écédents ,  ne  supposent  point  que  l'action 
directe  de  la  chaleur  soit  bornée  dans  l'intérieur  de  la  masse 
à  une  distance  extrêmement  petite ,  ils  auraient  encore  lieu 
si  les  rayons  de  chaleur,  envoyés  par  chaque  molécule,  pou- 
vaient pénétrer  immédiatement  jusqu'à  une  distance  assez 
considérable,  mais  il  serait  nécessaire,  dans  ce  cas,  ainsi  que 
nous  l'avons  remarcjué  dans  l'article  70 ,  de  supposer  que  la 
cause  qui  entretient  les  températures  des  flices  du  solide , 
affecte  une  partie  de  la  masse  jusqu'à  une  profondeur  finie. 

■       '  f  ' 

SECTION  VIII. 

MesiC7'e  du  mouvement  de  la  chaleur  en  un  point  donné 
d'une  masse  solide. 

96. 

Il  nous  reste  encore  à  faire  connaître  un  des  principaux 
éléments  de  la  théorie  de  la  chaleur,  il  consiste  à  définir  et  à 
mesurer  exactement  la  quantité  de  chaleur  qui  s'écoule  en 
chaque  point  d'une  masse  solide  à  travers  un  plan  dont  la 
direction  est  donnée. 

Si  la  chaleur  est  inégalement  distribuée  entre  les  molécules 
d'un  même  corps,  les  températures  de  chacjue  point  varie- 
ront à  chacjue  instant.  En  désignant  par  t  le  temps  écoulé, 
et  par  v  la  température  que  reçoit  après  le  temps  t  une  mo- 

12 


90  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR, 

lécule  infiniment  petite  m,  dont  les  coordonne'es  sont  x,y,  z; 
l'ëtat  variable  du  solide  sera  exprime  par  une  équation  sem- 
blable à  la  suivante  ■v  =  F  {x,  y,  z,  t).  Supposons  que  la 
fonction  F  soit  donnée,  et  que  par  conséquent  on  puisse 
déterminer,  pour  chaque  instant,  la  température  d'un  point 
quelconque;  concevons  que  par  le  point  m  on  mène  un  plan 
horizontal  parallèle  à  celui  des  x  et  y,  et  que  sur  ce  plan  on 
trace  un  cercle  infiniment  petit  (o ,  dont  le  centre  est  en  m; 
il  s'agit  de  connaître  quelle  est  la  quantité  de  chaleur  qvii , 
pendant  l'instant  d  t,  passera  à  travers  le  cercle  w  de  la  partie 
du  solide  qui  est  inférieure  au  plan  dans  la  partie  supé- 
rieure. Tous  les  points  qui  sont  extrêmement  voisins  du 
point  m,  et  qui  sont  au-dessous  du  plan  ,  exercent  leur 
action  pendant  l'instant  infiniment  petit  d  t ,  sur  tous  ceux 
qui  sont  au-dessus  du  plan  et  extrêmement  voisins  du  point 
m,  c'est-à-dire,  que  chacun  de  ces  points  placés  d'un  même 
côté  du  plan,  enverra  de  la  chaleur  à  chacun  de  ceux  qui 
sont  placés  de  l'autre  côté.  On  considérera  comme  positive 
l'action  cpii  a  pour  effet  de  transporter  une  certaine  quan- 
tité de  chaleur  au-dessus  du  plan,  et  comme  négative  celle 
qui  fait  passer  de  la  chaleur  au-dessous  du  plan.  La  somme 
de  toutes  les  actions  partielles  qui  s'exercent  à  travers  le 
cercle  w,  c'est-à-dire,  la  somme  de  toutes  les  quantités  de 
clialcur  qui ,  traversant  un  point  quelconque  de  ce  cercle , 
passent  de  la  partie  du  solide  qui  est  inférieure  au  plan 
dans  la  partie  supérieure,  composent  le  flux  dont  il  faut 
trouver  l'expression. 

Il  est  facile  de  concevoir  c|ue  ce  flux  ne  doit  pas  être  le 
même  dans  toute  l'étendue  du  solide,  et  que  si  en  un  autfie 
point  m  on  traçait  un  cercle  horizontal  w'  égal  au  précédent, 

/' 


CHAPITRE  I.  91 

les  deux  quantités  de  chaleur  qui  s'élèvent  au-dessus  de  ces 
plans  b)  et  w'  pendant  le  même  instant  pourraient  n'ètic 
point  égales;  ces  quantités  sont  comparables  entre  elles  et 
leurs  rapports  sont  des  nombres  que  ron  peut  facilement 
déterminer. 

97- 
Nous  connaissons  déjà  la  valeur  du  flux  constant  pour  le 
cas  du  mouvement  linéaire  et  uniforme;  ainsi  dans  un  solide 
compris  entre  deux  plans  horizontaux  infinis  dont  l'un  est 
entretenu  à  la  température  a,  et  l'autre  à  la  température  b, 
le  flux  de  chaleur  est  le  même  pour  chaque  partie  de  la 
masse;  on  peut  le  considérer  comme  ayant  lieu  dans  le  sens 
vertical  seulement.  Sa  valeur  correspondante  à  l'unité  de 

surface  et  à  l'unité  de  temps  est  K  (- — ^  j  ,   e  désignant  la 


distance  perpendiculaire  des  deux  plans,  et  K  la  conducibi- 
lité  spécifique;  les  températures  des   différents  points  du 

solide,  sont  exprimées  par  l'équation  v  =  a  — 


Lorsqu'il  s'agit  d'un  solide  compris  entre  six  plans  rectan- 
gulaires parallèles  deux  à  deux,  et  lorsque  les  températures 
des  différents  points  sont  exprimées  par  l'équation  linéaire 
v  =  A  +  a  œ  +  by  +  c  z,  la  propagation  a  lieu  en  même 
temps  selon  les  trois  directions  des  x,  des  y  et  des  z;  la 
quantité  de  chaleur  qui  s'écoule  à  travers  une  portion  déter- 
minée d'un  plan  parallèle  à  celui  des  x  et  f ,  est  la  même 
dans  toute  l'étendue  du  prisme;  sa  valeur  correspondante  à 
lunité  de  surface  et  à  l'unité  de  temps  est  —  e  K  ,  dans  le 
sens  des  r;^  elle  est  —  6  K,  dans  le  sens  desj%  et  — a  K, 
dans  celui  des  x. 


12. 


92  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

En  général  la  valeur  du  flux  vertical,  dans  les  deux  cas 
que  l'on  vient  de  citer ,  ne  dépend  que  du  coefficient  de  z  et 
de  la  conducibilité  spécifique  K;  cette  valeur  est  toujours 

,      ,      ,  ,-    dv 

égale  a  —  K  -j-- 

*-"  a  z 

L'expression  de  la  quantité  de  chaleur  qui,  pendant  l'in- 
stant cl  t ,  s'écoule  à  travers  un  cercle  horizontal  infiniment 
petit,  dont  la  surface  est  u,  et  passe  ainsi  de  la  partie  du 
solide  qui  est  inférieure  au  plan  du  cercle,  dans  la  partie 

supérieure,  est,  pour  les  deux  cas  dont  il  s'agit,  — ^-rz  '^  ^t. 

98. 

Il  est  aisé  maintenant  de  généraliser  ce  résultat  et  de 
reconnaître  qu'il  a  lieu  quel  que  soit  le  mouvement  varié  de 
la  chaleur  exprimé  par  l'équation  a»  =  F  {x ,  y,  z,  t). 

En  effet,  désignons  par  x',y,  z,  les  coordonnées  du  point 
m ,  et  sa  température  actuelle  par  v.  Soient  x  +  ^ ,  j'  +  vi , 
z  +  'i,  les  coordonnées  d'un  point  \i.  infiniment  voisin  du 
point  m  et  dont  la  température  est  w;  ^,  n,  ^,  sont  des 
cpiantités  infiniment  petites  ajoutées  aux  coordonnées  x',f,  z; 
elles  déterminent  la  position  des  molécules  infiniment  voi- 
sines du  point  m,  par  rapport  à  trois  axes  rectangulaires, 
dont  l'origine  est  en  m ,  et  qui  seraient  parallèles  aux  axes 
des  X,  des  j;,   et  des  z.   En  différentiant   l'équation 

et  remplaçant  les  différentielles  par  ^,  -o,  C,  on  aura,  pour 
exprimer  la  valeur  de  w,  qui  équivaut  av  +  dv,  l'équa- 

!•        /     •  ,  d  v'  dv'  dv'   „         1  ..pr'     • 

tion  luieaire  w:=v  -\-  -j—  l  +  -3—  yi  +  -p  (^ ,  les  coefficients 

,    d  v'     dv'      dv'  \        c  ■  1  1 

"v^-j-^  ■^,  -^,  sont  des  lonctious  de  x,  j,   z,  t,   dans 


CHAPITRE   I.  93 

lesquelles  on  a  mis  pour  x,  j,  z,  les  valeurs  données  et  con- 
stantes X,  y',  z,  qui  conviennent  au  point  m. 

Supposons  cjue  le  même  point  m  appartienne  aussi  à  un 
solide  compris  entre  six  plans  rectangulaires,  que  les  tem- 
pératures actuelles  des  points  de  ce  prisme,  qui  a  des  di- 
mensions finies,  soient  exprimées  par  l'équation  linéaire 
(V  =  A  +  o  ^  +  />  y,  +  c  (^  ;  et  cjue  les  molécules  placées  sur 
les  faces  qui  terminent  le  solide  soient  retenues  par  une 
cause  extérieure  à  la  température  c[ui  leur  est  assignée  par 
l'équation  linéaire.  ^,  -/i ,  (^,  sont  les  coordonnées  rectangu- 
laires d'une  molécule  du  prisme,  dont  la  température  est 
IV,  et  qui  est  rapportée  aux  trois  axes  dont  l'origine  est 
en  m. 

Cela  posé,  si  l'on  prend  pour  valeurs  des  coefficients 
constants ^  A^a ,  ù,  c ,  qui  entrent  dans  l'équation  du  prisme 

les  quantités  v',  —j—-,  —r-^i  ~jz  ■<  ^^"^^  appartiennent  à  l'équa- 
tion différentielle  ;  l'état  du  prisme  exprimé  par  l'équation 

,         d  v'             dv'             d  v'  ••       •  I  1  1  '-1 

(V  =  y  H — -—  Ç  4 — —  Yi  H r-  z,    couicidera  ,    le   plus   ciuil 

d  X  dr  dz  ^  i 

est  possible,  avec  l'état  du  solide;  c'est-à-dire,  que  toutes 
les  molécules  infiniment  voisines  du  point  m  auront  la  même 
température,  soit  qu'on  les  considère  dans  le  solide  ou  dans 
le  prisme.  Cette  coïncidence  du  solide  et  du  prisme  est  en- 
tièrement analogue  à  celle  des  surfaces  courbes  avec  les  plans 
qui  les  touchent.  .    ' 

Il  est  évident,  d'après  cela,  que  la  quantité  de  chaleur  qui 
s'écoule  dans  le  solide  à  travers  le  cercle  w,  pendant  l'in- 
stant dt ,  est  la  même  que  celle  qui  s'écoule  dans  le  prisme 
à  travers  le  même  cercle;  car  toutes  les  molécules  dont  l'ac- 
tion concourt  à  l'un  et  à  l'autre  effet,  ont  la  même  tempe- 


94  THEORIE  DE  LA  CHALEUR, 

rature  dans  les  deux  solides.  Donc,  le  flux  dont  il  s'agit  a 
pour-expression,  dans  l'un  et  l'autre  solide,  — K  -jz  f^  d  t. 
Il  serait  —  K  -r-  oj  cl  t,  si  le  cercle  w ,  dont  le  centre  est  m  , 

cl  Y 

était  perpendiculaire  à  l'axe  des  j,  et  —  K  -r-  w  r/  f ,  si  ce 
cercle  était  perpendiculaire  à  l'axe  des  x. 

La  valeur  du  flux  que  l'on  vient  de  déterminer  varie  dans 
le  solide  d'un  point  à  un  autre,  et  elle  varie  aussi  avec  le 
temps.  On  pourrait  concevoir  qu'elle  a ,  dans  tous  les  points 
de  l'unité  de  surface,  la  même  valeur  qu'au  point  m,  et 
qu'elle  conserve  cette  valeur  pendant  l'unité  de  temps  ;  alors 

le  flux  serait  exprimé  par  —  }L  -j-  .,   il  serait  —  ^  T~  ^'^^^ 

le  sens  des  j,  et  —  K.  7~  daxis  celui  des  a;.  Nous  employons 

ordinairement  dans  le  calcul  cette  valeur  du  flux  ainsi  rap- 
portée à  l'unité  de  temps  et  à  l'unité  de  surface. 

99- 
Ce  théorème  sert  en  général  à  mesurer  la  vitesse  avec 
laquelle  la  chaleur  tend  à  traverser  un  point  donné  d'un 
plan  situé  d'une  manière  quelconqvie  dans  l'intérieur  d'un 
solide  dont  les  températui'cs  varient  avec  le  temps.  Il  faut, 
par  le  point  donné  m ,  élever  une  perpendiculaire  sur  le 
plan  et  élever  en  chaque  point  de  cette  perpendiculaire  des 
ordonnées  qui  représentent  les  températures  actuelles  de  ses 
différents  points.  On  formera  ainsi  une  courbe  plane  dont 
l'axe  des  abscisses  est  la  perpendiculaire.  La  fluxion  de  l'or- 
donnée de  cette  courbe,  qui  répond  au  point  m,  étant  prise 
avec  un  signe  contraire,  exprime  la  vitesse  avec  laquelle  la 
chaleur  se  porte  au-delà  du  plan.  On  sait  que  cette  fluxion 


CHAPITRE   I.  95 

de  l'ordonnée  est  la  tangente  de  l'angle  formé  par  l'élément 
de  la  courbe  avec  la  parallèle  aux  abscisses. 

Le  résultat  que  l'on  vient  d'exposer  est  celui  dont  on  fait 
les  applications  les  plus  fréquentes  dans  la  théorie  de  la  cha- 
leur. On  ne  peut  en  traiter  les  différentes  questions  sans  se 
former  une  idée  très-exacte  de  la  valeur  du  flux  en  chaque 
point  d'un  corps  dont  les  températures  sont  variables.  Il  est 
nécessaire  d'insister  sur  cette  notion  fondamentale  :  l'exemple 
que  nous  allons  rapporter  indicjuera  plus  clairement  l'usage 
que  l'on  en  foit  dans  le  calcul. 

100. 

Supposons  que  les  différents  points  d'une  masse  cubique 
dont  le  côté  est  ^  -  ,  aient  actuellement  des  températures 
inégales  représentées  par  l'équation  a>  =  cos.  x .  cos.  j^'.  cos.  z. 
Les  coordonnées  x,  y,  z,  sont  mesurées  sur  trois  axes  rec- 
tangulaires dont  l'origine  est  au  centre  du  cube,  et  qui  sont 
perpendiculaires  aux  faces.  Les  points  de  la  surface  exté- 
rieure du  solide  ont  actuellement  la  température  o,  et  l'on 
suppose  aussi  que  des  causes  extérieures  conservent  à  tous 
ces  points  leur  température  actuelle  o.  D'après  cette  hypo- 
thèse ,  le  corps  se  refroidira  de  plus  en  plus ,  tous  les  points 
situés  dans  l'intérieur  de  la  masse  auront  des  températures 
variables  et ,  après  un  temps  infini ,  ils  acquerront  tous  la 
température  o  de  la  surface. 

Or,  nous  démontrerons,  par  la  suite,  que  l'état  variable 
de   ce  solide  est  exprimé  par  l'équation 

'y  =  e~s'  cos.  x.  cos.  r-  cos.  z, 
le  coefficient  g-  est  égal  à  ttjc  ,  K  est  la  conducibilité  spéci- 


96  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

fique  de  la  substance  dont  le  solide  est  formé,  D  est  la  den- 
sité, et  C  la  chaleur  spécifique;  t  est  le  temps  écoulé. 

Nous  supposons  ici  que  l'on  admet  la  vérité  de  cette  équa- 
tion, et  nous  allons  examiner  l'usage  que  l'on  en  doit  faire 
pour  trouver  la  quantité  de  chaleur  qui  traverse  un  plan 
donné  parallèle  à  l'un  des  plans  rectangulaires. 

Si,  par  le  point  m,  dont  les  coordonnées  sont  œ ,  y,  z,  on 
mène  un  plan  perpendiculaire  aux  z,  on  trouvera,  d'après 
l'article  précédent,  que  la  valeur  du  flux,  en  ce  point  et  à 

travers  le  plan ,  est  —  K  -^ ,  ou  K  e~«^'  cos.  oc.  cos.y.  sin.  z. 

La  quantité  de  chaleur  qui  traverse,  pendant  l'instant  dt, 
un  rectangle  infiniment  petit,  situé  sur  ce  plan  et  qui  a  pour 
côtés  d  X  et  dj,  est 

Ke-«''  cos.  X.  COS.  j.  sin.  z.  dx  d  y  dt. 

Ainsi  la  chaleur  totale  qui,  pendant  l'instant  dt,  traverse 
l'étendue  entière  du  même  plan ,  est 

K  e  ~s'  sin.  z.  d  tycos.  x.  cos.  j'  d  x  dy; 

la  double  intégrale  étant  prise  depuis  x  =  — j  77,  jusqu'à 
a;  =  ^  iT,  et  depuis  J  =  —  j  ^ ,  jusqu'à  y  =  7  -.  On  trou- 
vera donc,  pour  l'expression  de  cette  chaleur  totale, 

4  Ke-fi^'  sin.  z.  d  t. 

Si  l'on  prend  ensuite  l'intégrale  par  rapport  à  t,  depuis 
^=0  jusqu'à  t=t,  on  trouvera  la  quantité  de  chaleur  qui 
a  traversé  le  même  plan  depuis  que  le  refroidissement  a 
commencé  ,  jusqu'au   moment   actuel.    Cette  intégrale   est 

- —  sin.  z  (i — e~^'),  elle  a  pour  valeur  à  la  surface 


CHAPITRE  I.  97 

en   sorte  qu'après  un  temps  infini  la  quantité  de  chaleur 

/  K 

perdue,  par  l'une  des  faces,  est-^-  Le  même  raisonnement 

sappliquant  à  chacune  des  six  faces,  on  conclut  que  le  solide 
a  perdu  par  son  refroidissement  complet  une  chaleur  totale 

dont  la  quantité  est  ^^^  ou  8  C  D ,  puisque  g  équivaut  à 
-f^y:-  Cette  chaleur  totale,  qui  se  dissipe  pendant  la  durée  du 

refroidissement,  doit  être  en  effet  indépendante  de  la  condu- 
cibilité  propre  K,  cjui  ne  peut  influer  que  sur  le  plus  ou 
moins  â&  vitesse  du  refroidissement. 

100. 

On  peut  déterminer  d'une  autre  manière  la  quantité  de 
chaleur  que  le  solide  perd  pendant  un  temps  donné ,  ce  qui 
servira,  en  quelque  sorte,  à  vérifier  le  calcul  précédent.  Eu 
effet  la  masse  de  la  molécule  rectangulaire,  dont  les  dimen- 
sions sont  dx,  d  y ,  dz,  est  jy.  d  x  dy  dz,  par  consé- 
quent la  quantité  de  chaleur  c|u  il  faut  lui  donner  pour  la 
porter  de  la  température  o  à  celle  de  l'eau  bouillante  est 
C\y.  dx  dy  d  z,  Gt  s  il  fallait  élever  la  molécule  h.  la  tem- 
pérature V,  cette  chaleur  excédente  serait  d  Cli  d x  dy  d z. 

Il  suit  de  là  que  pour  trouver  la  quantité  dont  la  chaleur 
du  solide  surpasse,  après  le  temps  t,  celle  qu'il  contiendrait 
à  la  température  o,  il  faut  prendre  l'intégrale  multiple 
/"(y  CD  dx  .d  y  .d  z)^  entre  les  limites  x  = —  ^  :-,a;  =  ^iv, 

On  trouve  ainsi,  en  mettant  pour  v  sa  valeur,  savoir  : 

cs'  COS.  X  cos.  y  cos.  z, 

que  l'excès  de  la  chaleur  actuelle  sur  celle  qui  convient  à  la 

i3 


98  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

température  o  est  8  CD  (i — e-^');  ou,  après  un  temps 
infini,  8  C  D,  comme  on  l'a  trouvé  précédemment. 

Nous  avons  exposé ,  dans  cette  introduction ,  tous  les  élé- 
ments qu'il  est  nécessaire  de  connaître  pour  résoudre  les 
diverses  questions  relatives  au  mouvement  de  la  chaleur 
dans  les  corps  solides ,  et  nous  avons  donné  des  applications 
de  ces  principes,  afin  de  montrer  la  manière  de  les  employer 
dans  le  calcul  ;  l'usage  le  plus  important  que  l'on  en  puisse 
faire  est  d'en  déduire  les  équations  générales  de  la  propaga- 
tion de  la  chaleur,  ce  qui  est  l'objet  du  chapitre  suivant. 


I 


•«•«.«/«.'«.  «^«/««.^ 


CHAPITRE   IL 

ÉQUATIONS    DU    MOUVEMENT    DE    LA    CHALEUR. 


SECTION  PREMIÈRE. 

Equation  du  mouvement  varié  de  la  chaleur  dans  une 

armille. 

ICI. 

vJn  pourrait  former  les  équations  ge'ne'rales  qui  représentent 
le  mouvement  de  la  chaleur  clans  les  corps  solides  d'une 
figure  quelconqu^e,  et  les  appliquer  aux  cas  particuliers.  Mais 
cette  méthode  entraîne  quelquefois  des  calculs  assez  compli- 
qués que  l'on  peut  facilement  éviter.  Il  y  a  plusieurs  de  ces 
questions  qu'il  est  préférable  de  traiter  d'une  manière  spé- 
ciale, en  exprimant  les  conchtions  qui  leur  sont  propres; 
nous  allons  suivre  cette  marche  et  examiner  séparément  les 
questions  que  l'on  a  énoncées  dans  la  première  section  de 
l'introduction  ;  nous  nous  bornerons  d'abord  à  former  les 
équations  différentielles ,  et  nous  en  donnerons  les  intégrales 
dans  les  chapitres  suivants. 

102. 

On  a  déjà  considéré  le  mouvement  uniforme  de  la  chaleur 
dans  une  barre  prismatique  d'une  petite  épaisseur  et  dont 
l'extrémité  est  plongée  dans  une  source  constante  de  chaleur. 
Ce  premier  cas  ne  piésentait  aucune  difficulté ,  pai'ce  qu'il 
ne  se  rapporte  qu'à  l'état  permanent  des  températures,  et 

i3. 


loo  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

que  l'équation  qui  l'exprime  s'intègre  facilement.  La  question 
suivante  exige  un  examen  plus  approfondi;  elle  a  povn-  objet 
de  déterminer  l'état  variable  d'un  anneau  solide  dont  les 
différents  points  ont  reçu  des  températures  initiales  entiè- 
rement arbitraires. 

L'anneau  solide  ou  armille  est  engendré  par  la  révolution 
d'une  section  rectangulaire  autour  d'un  axe  perpendiculaire 
au  plan  de  l'anneau  [Foyezfig.  3).  /  est  le  périmètre  de  la 
section  dont  S  est  la  surface,  le  coefficient  h  mesure  la  condu- 
cibilité  extérieure,  K  la  conducibilité  propre,  C  la  capacité 
spécifique  de  chaleur  ,  D  la  densité.  La  ligne  o  x  x  x" 
représente  la  circonférence  moyenne  de  l'armille  ou  celle  qui 
passe  par  les  centres  de  figure  de  toutes  les  sections  ;  la  dis- 
tance d'une  section  à  l'oi'igine  o,  est  mesurée  par  l'aix  dont 
la  longueur  est  x;  R  est  le  rayon  de  la  circonférence  moyenne. 

On  suppose  qu'à  raison  des  petites  dimensions  et  de  la 
forme  de  la  section  on  puisse  regarder  comme  égales,  les 
températures  des  différents  points  d'une  même  section. 

io3. 

Concevons  que  l'on  donne  actuellement  aux  différentes 
tranches  de  l'armille,  des  températures  initiales  arbitraires, 
et  que  ce  solide  soit  ensuite  exposé  à  l'air  qui  conserve  la 
température  o,  et  qui  est  déplacé  avec  une  vitesse  constante; 
le  système  des  températures  variera  continuellement,  la  cha- 
leur se  propagera  dans  l'anneau ,  et  elle  se  dissipera  par  la 
surface  :  on  demande  quel  sera  l'état  du  solide  dans  un 
instant  donné. 

Soit  v  la  température  que  la  section  placée  à  la  distance  x 
aura  acquise  après  le  temps  écoulé  î  ;  v  est  une  certaine 


CHAPITRE  II.  loi 

fonction  de  a?  et  de  t,  dans  laquelle  doivent  entrer  aussi  toutes 
les  températures  initiales  ;  c'est  cette  fonction  qu'il  s'agit  de 

découvrir. 

io4. 
On  considérera  le  mouvement  de  la  chaleur  dans  une 
tranche  infiniment  petite,  comprise  entre  une  section  placée 
à  la  distance  x,  et  une  autre  section  placée  à  la  distance 
œ+dœ.  L'état  de  cette  tranche  pendant  la  durée  d'un  instant 
est  celui  d'un  solide  infini  que  terminent  deux  plans  paral- 
lèles l'etenus  à  des  températures  inégales  ;  ainsi  la  quantité  de 
chaleur  qui  s'écoule  pendant  cet  instant  dt  à  travers  la  pre- 
mière section,  et  passe  ainsi  de  la  partie  du  solide  qui  pré- 
cède la  tranche  dans  cette  tranche  elle-même,  est  mesurée 
d'après  les  principes  établis  dans  l'introduction,  par  le  produit 
de  quatre  facteurs,  savoir,  la  conducibilité  K,  faire  de  la 

section  S,  le  rapport — ;7— et  la  durée  de  f  instant;  elle  a  pour 
expression — KSt-//^  Pour  connaître  la  quantité  de  chaleur 

qui  sort  de  la  même  tranche  à  travers  la  seconde  section,  et 
passe  dans  la  partie  contiguë  du  solide,  il  faut  seulement 
changer  x  en  x-^dx  xXàns  fexpression  précédente,  ou  ce  qui 
est  la  même  chose ,  ajouter  à  cette  expression  sa  différentielle 
prise  par  rapport  à  x  :  ainsi  la  tranche  reçoit  par  une  de  ses 

faces  une  quantité  de  chaleur  égale  à  —  KS-j-dt  et  perd 

par  la  face  opposée  une  quantité  de  chaleur  exprimée  par 

— KS-T^dt  —  KS-r—dxdt.  Elle  acquiert  donc  à  raison  de 

sa  position  une  quantité  de  chaleur  égale  à  la  différence  de 

11 

deux  quantités  précédentes,  qui  est  K  S  -y—,  dx  dt. 


102  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

D'un  autre  côté  cette  même  tranche  dont  la  surface  exté- 
rieure est  Idx  et  dont  la  température  diffère  infiniment  peu 
de  v ,  laisse  échapper  dans  l'air  pendant  l'instant  dt  une 
quantité  de  chaleur  équivalente  à  hlvdxdt;  il  suit  de  là 
que  cette  partie  infiniment  petite  du  solide  conserve  en  effet 
une  quantité  de  chaleur  représentée  par 

KS  -7-T  dxdt  —  hlvdxdt 

et  qui  fait  varier  sa  température.  Il  faut  examiner  quelle  est 
la  quantité  de  ce  changement. 

io5. 
Le  coefficient  C  exprime  ce  qu'il  faut  de  chaleur  pour 
élever  l'unité  de  poids  de  la  substance  dont  il  s'agit  depuis 
la  température  o  jusqu'à  la  température  i  ;  par  conséquent, 
en  multipliant  le  volume  j  c?  x  de  la  tranche  infiniment  pe- 
tite par  la  densité  D,  pour  connaître  son  poids,  et  par  la 
capacité  spécifique  de  chaleur  C,  on  aura  CDjc?.r,  pour 
la  c[uantité  de  chaleur  qui  élèverait  le  volume  de  la  tranche 
depuis  la  tempéi'ature  o  jusqu'à  la  température  i.  Donc  l'ac- 
croissement de  la  température  qui  résulte  de  l'addition  d'une 

quantité  de  chaleur  égale  à  K  S  -j—^  dxdt  —  h  Ivdxdt 

se  trouvera  en  divisant  cette  dernière  quantité  par  CDS^a;. 

Donc  en  désignant  selon  l'usage  par  -jj  dt  l'accroissement 

de  température  qui  a  lieu  pendant  l'instant  dt,  on  aura 

1,  /  .         dv  K      d'v  hl  / 1   \ 

1  équation  _  =  _  _  _  -^^^  ^.  {h.) 

Nous  expliquerons  par  la  suite  l'usage  que  l'on  doit  faire 
de  cette  équation  pour  en  déduire  une  solution  complette, 
et  c'est  en  cela  que  consiste  la  difficulté  de  la  question  ;  nous 


CHAPITRE  II.  io3 

nous  bornerons  ici  à  une  remarque  qui  concerne  l'état  per- 
manent de  l'armille. 

loG. 

Supposons  que  le  plan  de  l'anneau  étant  horizontal,  on 
place  au-dessous  de  divers  points  m  np  q  etc.,  des  foyers  de 
chaleur  dont  chacun  exerce  une  action  constante  ;  la  chaleur 
se  propagera  dans  le  solide,  et  celle  qui  se  dissipe  par  la 
surface  étant  incessamment  remplacée  par  celle  qui  émane 
des  foyers ,  la  température  de  chaque  section  du  solide  s'ap- 
prochera de  plus  en  plus  d'une  valeur  stationnaire  qui  varie 
d'une  section  à  l'autre.  Pour  exprimer,  au  moyen  de  l'équa- 
tion (è),  la  loi  de  ces  dernières  températures  qui  subsis- 
teraient d'elles-mêmes  si  elles  étaient  établies;  il  faut  supposer 
que  la  quantité  v  ne  varie  point  par  rapport  à  t ,  ce  qui  rend 

nul  le  terme  -j-.  On  aura  ainsi  l'équation 
dx  K  t> 

M  et  N  étant  les  deux  constantes. 

107. 

Supposons  qu'une  portion  de  la  circonférence  de  l'anneau, 
placée  entre  deux  foyers  consécutifs,  soit  divisée  en  parties 
égales,  désignons  par  v,  v^  v^  1^4,  etc. ,  les  températures  des 
points  de  division  dont  les  distances  à  l'origine  sont 
X,  a?,  ^3  0^4,  etc.,  la  relation  entre  v  el  x  sera  donnée  par 
l'équation  précédente,  après  que  l'on  aura  déterminé  les 
deux  constantes  au  moyen  des  deux  valeurs  de  v  qui  corres- 


hi 


pondent  aux  foyers.  Désignant  par  «  la  quantité  e 


-y-û 


io4  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

et  par  1  la  distance  x,  —  x,  de  deux  points  de  division  con- 
sécutifs ;  on  aura  les  équations  : 


'y.^Ma'^'  +  N 


a 


V 


=  Ma  '  a       ■  +Na' 


1 


d'où  l'on  tire  la  relation  suivante  — =  a    +  «      .  On 

trouverait  un  résultat  semblable  pour  les  trois  points  dont 
les  températures  sont  v^  v^  v^,  et  en  général  pour  trois  points 
consécutifs.  Il  suit  de  là  que  si  l'on  observait  les  tempéra- 
tures 'V,  o'^ 'Vj  z'4 1^5 ,  etc. ,  de  plusieurs  points  successifs,  tous 
placés  entre  les  deux  mêmes  foyers  7ii  et  n  et  séparés  par  un 
intervalle  constant  )i,  on  reconnaîtrait  que  trois  températures 
consécutives  quelconques  sont  toujours  telles  cjue  la  somme 
de  deux  extrêmes,  divisée  par  la  moyenne,  donne  un  quotient 

constant  «  +  a 

io8. 

Si,  dans  l'espace  compris  entre  deux  autres  foyers  n  etp, 
l'on  observait  les  températures  de  divers  autres  points  séparés 
par  le  même  intervalle  X,  on  trouverait  encore  que  pour  trois 
points  consécutifs  quelconques,  la  somme  des  deux  tempé- 
ratures extrêmes ,  divisée  par  la  moyenne,  donne  le  même 

quotient  a  +  a~  .  La  valeur  de  ce  quotient  ne  dépend  ni  de 
la  position ,  ni  de  l'intensité  des  foyers. 

Soit  q  cette  valeur  constante ,  on  aura  l'équation 


V 


,  =  qv,—v. 


CHAPITRE  II.  io5 

on  voit  par- là  que  lorsque  la  circonférence  est  divise'e  en 
parties  e'gales,  les  températures  des  points  de  division,  com- 
pris entre  deux  foyers  consécutifs,  sont  représentées  par  les 
termes  d'une  série  récurrente  dont  l'échelle  de  relation  est 
composée  de  deux  termes  ^  et  —  i. 

Les  expériences  ont  pleinement  confirmé  ce  résultat.  Nous 
avons  exposé  un  anneau  métallique  à  l'action  permanente  et 
simultanée  de  divers  foyers  de  chaleur,  et  nous  avons  observé 
les  températures  stationnaires  de  plusieurs  points  séparés 
par  un  intervalle  constant  ;  nous  avons  toujours  reconnu  que 
les  températures  de  trois  points  consécutifs  quelconques, 
non  séparés  par  un  foyer,  avaient  entre  elles  la  relation  dont 
il  s'agit.  Soit  que  l'on  multiphe  les  foyers,  et  de  quelque  ma- 
nière qu'on  les  dispose,  on  ne  peut  apporter  aucun  change- 
ment à  la  valeur  numérique  du  quotient  ~ —;  il  ne  dépend 

que  des  dimensions  ou  de  la  nature  de  l'anneau,  et  non  de 
la  manière  dont  ce  solide  est  échauffé. 

I  lo. 
Lorsqu'on  a  trouvé,  par  l'observation,  la  valeur  du  quotient 

constant  a  ou  — — —  ,  on  en  conclut  la  valeur  de  «\  au 
moyen  de  l'équation  /  +  a.~^T=q.  L'une  des  racines  est  a^, 
et  l'autre  racine  est  a~"^.  Cette  quantité  étant  déterminée,  on 
en  conclut  la  valeur  du  rapport  -^  i  1"i  ^^t  y  f  log.  v}  j . 
Désignant  «'  par  to,  on  aura  w' — q  w+  i  =o.  Ainsi  le  rapport 
des  deux  conducibilités  se  trouve  en  multipliant  ~  par  le 

quarré  du  logarithme  de  l'une  des  racines  de  l'équation 
w'  —  ^  w  +  I  =  o.  , 

i4 


loG  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

SECTION  IL 

Équation  du  niom'emeTit  varié  de  la  chaleur  dans  une 

sphère  solide. 

1 1 1. 

Une  masse  solide  homogène,  de  forme  sphérique,  ayant 
ëté  plongée  pendant  un  temps  infini  dans  un  milieu  entre- 
tenu à  la  température  permanente  i ,  est  ensuite  exposée  à 
l'air  qui  conserve  la  température  o,  et  qui  est  déplacé  avec 
une  vitesse  constante  :  il  s'agit  de  déterminer  les  états  suc- 
cessifs du  corps  pendant  toute  la  durée  du  refroidissement. 

On  désigne  par  x  la  distance  d'un  point  quelconque  au 
centre  de  la  sphère,  par  v  la  températm-e  de  ce  môme  point, 
îfprès  un  temps  écoulé  t;  on  suppose,  pour  l'endre  la  question 
plus  générale,  que  la  températui'e  initiale,  commune  à  tous 
les  points  qui  sont  placés  à  la  distance  x  du  centre,  est  dif- 
férente pour  les  différentes  valeurs  de  x  ;  c'est  ce  qui  aurait 
lieu  si  l'immersion  ne  durait  point  un  temps  infini. 

Les  points  du  solide,  également  distants  du  centre,  ne 
cesseront  point  d'avoir  une  température  commune;  ainsi  v  est 
une  fonction  de  x  et  de  t.  Lorsqu'on  suppose  ^  =  0,  il  est 
nécessaire  que  la  valeur  de  cette  fonction  convienne  à  l'état 
initial  qui  est  donné,  et  qui  est  entièrement  arbitraire. 

112. 

On  considérera  le  mouvement  instantané  de  la  chaleur 
dans  vnie  couche  infiniment  peu  épaisse,  terminée  par  les 
deux  surfaces  sphériques  dont  les  rayons  sont  .r  et  ^  4-  dx: 
la  quantité  de  chaleur  qui ,  pendant  un  instant  infiniment 
petit  dt,  traverse  la  moindre  surfiice  dont  le  rayon  est.r,  et 


CHAPITRE  II.  107 

passe  ainsi  de  la  partie  du  solide  qui  est  plus  voisine  du 
centre  dans  la  couche  splierique ,  est  égale  au  produit  de 
quatre  facteurs  qui  sont  la  conducibilité  K,  la  durée  dt , 

l'étendue  4"^'  de  la  surface,  et  le  rapport^,  pris  avec  un 

signe  contraire  ;  elle  est  exprimée  par  —  4  K  77  a'  -y^'  d  t. 

Pour  connaître  la  quantité  de  chaleur  qui  s'écoule  pendant 
le  même  instant  par  la  seconde  surface  de  la  même  couche , 
et  passe  de  cette  couche  dans  la  partie  du  solide  qui  l'enve- 
loppe ,  il  faut  changer ,  dans  l'expression  précédente ,  x  en 

X  -\-  d  X  ;  c'est-à-dire ,  ajouter  au  terme  —  4  K.  -  a;'  -5—  dtyXa. 

différentielle  de  ce  terme  prise  par  rapport  à  x.  On  trouve 

ainsi  —  4  K.  ~  ■^V~  ^^  —  ^Y^-dix^  -7-  jdt  pour  l'expression 

de  la  quantité  de  chaleur  qui  sort  de  la  couche  sphérique ,  en 
traversant  sa  seconde  surface  ;  et  si  l'on  retranche  cette  quan- 
tité de  celle  qui  entre  par   la  première  surface ,  on  aura 

l\¥^ -K  d  (x^  -j-  jdt.  Cette  différence  est  évidemment  la  quan- 
tité de  chaleur  qui  s'accumule  dans  la  couche  intermédiaire , 
et  dont  l'effet  est  de  faire  varier  sa  température. 

ii3. 

Le  coefficient  C  désigne  ce  qu'il  faut  de  chaleur  pour  élever 
de  la  température  o  à  la  température  i ,  un  poids  déterminé 
qui  sert  d'unité  ;  D  est  le  poids  de  l'unité  de  volume;  ^-x"  dx 
est  le  volume  de  la  couche  intermédiaire ,  ou  n'en  diffère  que 
d'une  quantité  qui  doit  être  omise  :  donc  ^i^CIi  x^  dx  est 
la  quantité  de  chaleur  nécessaire  pour  porter  la  tranche  in- 
termédiaire de  la  température  o  à  la  température  i.  Il  faudra 

14. 


io8  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

par  conséquent  diviser  la  quantité  de  chaleur  qui  s'accumule 
dans  cette  couche  par  /[  iz  CD  x'  d  ce,  et  l'on  trouvera  l'ac- 
croissement de  sa  température   v  pendant  l'instant  d  t.  On 

obtiendra  aussi    l'équation   d  v  :=^ -^-^d  t.  d  (x\  j^  )   ou 

x'  d X 
dv Y,.     /'  d'  V  1    dv  \  ,    , 

,i4. 

L'équation  précédente  représente  la  loi  du  mouvement  de 
la  chaleur  dans  l'intérieur  du  solide,  mais  les  températures 
des  points  de  la  surface  sont  encore  assujéties  à  une  condition 
particulière  qu'il  est  nécessaire  d'exprimer. 

Cette  condition  relative  à  l'état  de  la  surface  peut  varier 
selon  la  nature  des  questions  que  l'on  traite  ;  on  pourrait 
supposer,  par  exemple,  qu'après  avoir  échauffé  la  sphère,  et 
élevé  toutes  ses  molécules  à  la  température  de  l'eau  bouillante, 
on  opère  le  refroidissement  en  donnant  à  tous  les  points  de 
la  surface  la  température  o ,  et  les  retenant  à  cette  température 
par  une  cause  extérieure  quelconque.  Dans  ce  cas  on  pourrait 
concevoir  cjue  la  sphère  dont  on  veut  déterminer  l'état  va- 
riable est  couverte  d'une  enveloppe  extrêmement  peu  épaisse, 
sur  laquelle  la  cause  du  refroidissement  exerce  son  action. 
On  siqiposerait,  i°  que  cette  enveloppe  infiniment  mince  est 
adhérente  au  solide,  qu'elle  est  de  la  même  substance  que 
lui,  et  qu'elle  en  fait  partie,  comme  les  autres  portions  de 
la  masse  ;  a°  que  toutes  les  molécules  de  l'enveloppe  sont 
assujéties  à  la  température  o  par  une  cause  toujours  agissante 
qui  empêche  que  cette  température  puisse  être  jamais  au- 
dessus  ou  au-dessous  de  zéro.  Pour  exprimer  cette  même 
condition  dans  le  calcul,  on  doit  assujétir  la  fonction  v,  qui 


CHAPITRE   II.  109 

contient  x  et  t,  k  devenir  nulle,  lorsqu'on  donne  à  x  sa 
valeur  totale  X  égale  an  rayon  de  la  sphère,  quelle  que  soit 
d'ailleurs  la  valeur  de  t.  On  aurait  donc  dans  cette  hypothèse, 
en  désignant  par  ç  (x,  f)  la  fonction  de  x  et  t ,  qui  doit 
donner  la  valeur  de  'v,  les  deux  équations 


d  V  K.     /  fi"  i'  1    d  V 


dt  CD  V  dx"         x'  d 


X 


)  et9(X,  0-  =  o 


de  plus  il  faut  que  l'état  initial  soit  repi^ésenté  par  cette  même 
fonction  ©(.r,  t)\  on  aura  donc  pour  seconde  condition 
(f{x,  0)=  I.  Ainsi  l'état  variable  d'une  sphère  solide  dans 
la  première  hypothèse  que  nous  avons  décrite,  sera  repré- 
senté par  une  fonction  v,  qui  doit  satisfaire  aux  trois  équa- 
tions précédentes.  La  première  est  générale,  et  convient  à 
chaque  instant  à  tous  les  points  de  la  masse;  la  seconde 
affecte  les  seules  molécvdes  de  la  surface,  et  la  troisième  n'ap- 
partient qu'à  l'état  initial. 

1 15. 

Si  le  solide  se  refroidit  dans  l'air,  la  seconde  équation  est 
différente  ;  il  faut  alors  concevoir  que  l'enveloppe  extrêmement 
mince,  est  retenue  par  une  cause  extérieure,  dans  un  état 
propre  à  faire  sortir  à  chaque  instant  de  la  sphère,  une  quan- 
tité de  chaleur  égale  à  celle  que  la  présence  du  milieu  peut 
lui  enlever. 

Or  la  quantité  de  chaleur  qui  ,  pendant  la  durée  d  un 
instant  infiniment  petit  d  t ,  s'écoule  dans  l'intérieur  du  so- 
lide, à  travers  la  surface  sphérique  placée  à  la  distance  x , 

est  égale  à  —  l\Y^t.  x'  y-  d  t  ;  et  cette  expression  générale  est 

applicable  à  toutes  les  valeurs  de  x.  Ainsi,  en  y  supposant 
a;  =  X,  on  connaîtra  la  quantité  de  chaleur  qui,  dans  l'état 


iio  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

variable  de  la  sphère,  passerait  à  travers  l'enveloppe  extrê- 
mement mince  qui  la  termine  ;  d'un  autre  côté ,  la  surface 
extérieure  du  solide  ayant  une  température  variable,  que 
nous  désignerons  par  V,  laisserait  échapper  dans  Tair  une 
quantité  de  chaleur  proportionnelle  à  cette  température,  et 
à  l'étendue  de  la  surface,  qui  est  4  tv  X".  Cette  quantité  a 
pour  valeur  4  ^  t^  X'  V  ^  ?. 

Pour  exprimer,  comme  on  le  suppose,  que  l'action  de 
l'enveloppe  remplace  à  chaque  instant  celle  qui  résulterait  de 
la  présence  du  milieu,  il  suffit  d'égaler  la  quantité  /^h-\'\  dt 

à  la  valeur  que  reçoit  l'expression — /^[  K  t:  X.\ -r- d  t ,  lors- 
qu'on donne  à  .r  sa  valeur  totale  X  ;  et  l'on  obtient  par-là 
l'équation  -7-  ^  —  îf  v  ,  qui  doit  avoir  lieu  lorsque  dans  les 

fonctions  -j—  et  v  on  met,  au  lieu  de  jc,  sa  valeur  X,  ce  que 
l'on  désignera  en  écrivant  K -^ — i-  A  V=o. 

116. 
Il  faut  donc  que  la  valeur  de  ^,  prise  loi'squea;=X,  ait  un 
rapport  constant  —  ^  avec  la  valeur  de  v ,  qui  répond  au 

même  point.  Ainsi ,  on  supposera  que  la  cause  extérieure  du 
refroidissement  détermine  toujours  l'état  de  l'enveloppe  extrê- 
mement mince ,  en  sorte  que  la  valeur  de  -j-  qui  résulte  de 

cet  état,  soit  proportionnelle  à  la  valeur  de  v,  correspondante 
à  ^  =  X,  et  cjvie  le  rapport  constant  de  ces  deux  quantités 

soit  ■ —  ^.  Cette  condition   étant  lemplie   au   moyen  d'une 

cause  toujours  présente ,  qui  s'oppose  à  ce  que  la  valeur 


CHAPITRE   11.  m 

extrême  de  -r—  soit  autre  que  — y  ^  ^  l'action  de  l'enveloppe 

tiendra  lieu  de  celle  de  l'air. 

Il  n'est  point  nécessaire  de  supposer  que  l'enveloppe  exté- 
rieure soit  extrêmement  mince ,  et  l'on  verra  par  la  suite 
qu'elle  pourrait  avoir  une  épaisseur  indéfinie.  On  considère 
ici  cette  épaisseur  comme  infiniment  petite ,  pour  ne  fixer 
l'attention  que  sur  l'état  de  la  superficie  du  solide. 

Il  suit  de  là  que  les  trois  éc[uations  qui  doivent  déterminer 
la  fiDnction  <p  (.«,  ^)  ou  v  sont  les  suivantes, 

La  première  a  lieu  pour  toutes  les  valeurs  possibles  de  x  et 
de  t ;  la  seconde  est  satisfaite  lorsque  a,'  =  X,  quelle  que  soit 
la  valeur  de  t,  et  la  troisième  est  satisfaite  lorsque  ^  =  o, 
quelle  que  soit  la  valeur  de  x. 

On  pourrait  supposer  que  dans  l'état  initial ,  toutes  les 
couches  sphériques  n'ont  pas  une  même  température;  c'est 
ce  qui  arrive  nécessairement,  si  l'on  ne  conçoit  pas  que  l'im- 
mersion ait  duré  un  temps  infini.  Dans  ce  cas,  c|ui  est  plus 
général  que  le  précédent,  on  représentera  par  Fa;,la  fonction 
donnée,  qui  exprime  la  température  initiale  des  molécules 
placées  à  la  distance  x  du  centre  de  la  sphère;  on  rempla- 
cera alors  la  troisième  équation  par  celle-ci,  ?  (cT,  o)  =  Fa-. 

Il  ne  reste  plus  qu'une  question  purement  analytique 
dont  on  donnera  la  solution  dans  l'un  des  chapitres  suivants. 
Elle  consiste  à  trouver  la  valeur  de  n ,  au  moyen  de  la  con- 
dition générale  ,  et  des  deux  conditions  particulières  aux- 
quelles elle  est  assujétie. 


112      THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

SECTION  III. 

Equations  du  inou\>einent  varié  de  la  chaleur  dans  un 
cylindre  solide. 

ii8. 

Un  cylindre  solide,  d'une  longueur  infinie,  et  dont  le  côté 
est  perpendiculaire  à  la  base  circulaire,  ayant  été  entièrement 
plongé  dans  un  liquide  dont  la  températui'e  est  uniforme, 
s'est  échauffé  successivement,  en  sorte  que  tous  les  points 
également  éloignés  de  Taxe,  ont  acquis  la  même  température; 
on  l'expose  ensuite  à  un  courant  3'air  plus  froid  ;  il  s'agit  de 
déterminer  les  températures  des  différentes  couches,  après 
un  temps  donné. 

X  désigne  le  rayon  dune  surface  cylindrique,  dont  tous 
les  points  sont  également  distants  de  l'axe  ;  X  est  le  rayon  du 
cylindre;  v  est  la  température  que  les  points  du  solide,  situés 
à  la  distance  x  de  l'axe,  doivent  avoir  après  qu'il  s'est  écoulé 
un  temps  désigné  par  t,  depuis  le  commencement  du  refroi- 
dissement. Ainsi  a»  est  une  fonction  de  x  et  de  t,  et  si  l'on  y 
fait  ?=o,  il  est  nécessaire  que  la  fonction  de  x,  qui  en  pro- 
viendra, satisfasse  à  l'état  initial  qui  est  arbitraire. 

119. 

On  considérera  le  mouvement  de  la  chaleur  dans  une  por- 
tion infiniment  peu  épaisse  du  cylindre,  comprise  entre  la 
surface  dont  le  rayon  est  x ,  et  celle  dont  le  rayon  est  x  -\-  dx. 
La  quantité  de  chaleur  que  cette  portion  reçoit  pendant 
l'instant  dt,  de  la  partie  du  solide  qu'elle  enveloppe,  c'est- 
à-dire,  la  quantité  qui  traverse  pendant  ce  même  temps  la 
surface  cylindrique  dont  le  rayon  est  x ,  et  à  laquelle  nous 


CHAPITRE   II.  ii3 

supposons  une  longueur  égale  à  l'unité,  a  pour  expression 

—  iYs.r:x~dt.  Pour  trouver  la  quantité  de  ehaleur,  qui, 

traversant  la  seconde  sui'face  dont  le  rayon  est  x -\- ri  x , 
passe  de  la  couche  infiniment  peu  épaisse  dans  la  partie  du 
solide  qui  l'enveloppe,  il  faut,  dans  l'expression  précédente, 
changer  x  enx  +  dx,  ou,  ce  qui  est  la  même  chose,  ajouter 

au  terme  — aKr.  x~  dt,  la   différentielle  de  ce  terme, 

dx 

prise  par  rapport  à  x.  Donc  la  différence  de  la  chaleur  reçue 
à  la  chaleur  perdue ,  ou  la  quantité  de  chaleur  qui ,  s'accu- 
mulant  dans  la  couche  infiniment  petite  détermine  les  chan- 
gements de  température,  est  cette  même  différentielle,  prise 

avec  un  signe  contraire,  ou  Q.¥^-r:  d  t  d  (  x  -j-  j  ;  d'un  autre 

côté,  le  volume  de  cette  couche  intermédiaire  est  2  j:x  d  x  et 
2CD  ~  X  d  X  exprime  ce  qu'il  faut  de  chaleur  pour  l'élever 
de  la  température  o  à  la  température  i ,  C  étant  la  chaleur 
spécifique,  et  D  la  densité;  donc  le  quotient 

zKizdtdfx—j 
2C  .  Dt: X d X 

est  l'accroissement  que  reçoit  la  température  pendant  lins* 
tant  d  t.  On  obtient  ainsi  l'équation: 

d  v  K     /  d'  7>         I   d  , 


dt         C.Dydx' 


I   d  V  ^ 
X  dx  )' 


120. 

La  quantité  de  chaleur  qui  traverse,  pendant  l'instant  (7^, 
la  surface  cylindrique  dont  le  rayon  est  x ,  étant  généra- 
lement exprimée  par  2  K  x  a;  -7—  dt ,   il  s'ensuit    que  l'on 

i5 


ii4  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

trouvera  celle  qui  soi't  pendant  le  même  temps  de  la  super- 
ficie du  solide,  en  faisant,  dans  la  valeur  précédente,  x  =  X; 
d'un  autre  côté ,  cette  même  quantité  qui  se  dissipe  dans  l'air 
est,  selon  le  principe  de  la  communication  de  la  chaleur, 
égale  a2T:\kvdt;  on  doit  donc  avoir  à  la  surface  l'équa- 

tion  déterminée  —  K  ^—  =  A  a».  La  nature  de  ces  équations 

est  expliquée  avec  plus  d'étendue,  soit  dans  les  articles  qui 
se  rapportent  à  la  sphère,  soit  dans  ceux  où  l'on  donne  les 
équations  générales  pour  un  corps  d'une  figure  quelconque. 
La  fonction  v,  qui  représente  le  mouvement  de  la  chaleur 
dans  un  cylindre  infini  doit  donc  satisfaire,  i°  à  l'équation 

générale  _  =  _  (^  _  +  -  ^  J  ,  qm  a  heu  quelles  que 

soient  œ  et  t;  2°  à  l'équation  déterminée  jr  ^  "*"  ^^^  °'  ^"^ 

a  lieu ,  quelle  que  soit  la  variable  t,  lorsque  a;  =  X  ;  3°  à 
l'équation  déterminée  'y  =  F  (x).  Cette  dernière  condition 
doit  être  remplie  pour  toutes  les  valeurs  de  v,  où  l'on  fait 
t=o^  quelle  que  soit  la  variable  x.  La  fonction  arbitraire  F^ 
est  supposée  connue,  et  elle  correspond  à  l'état  initial. 

SECTION   IV. 

Équations  du  mouvement  uniforme  de  la  chaleur  dans 
un  piisnie  solide  d'une  longueur  infinie. 

I2Ï. 

Une  barre  prismatique  est  plongée  par  une  de  ses  extré- 
mités dans  une  source  constante  de  chaleur  qui  maintient 
cette  extrémité  à  la  température  A;  le  reste  de  cette  barre, 
dont  la  longueur  est  infinie ,  demeure  exposé  à  un  courant 


CHAPITRE  II.  ii5 

uniforme  d'air  athmospherique  entretenu  à  la  températui^e  o; 
il  s'agit  de  déterminer  la  plus  haute  température  qu'un  point 
donné  de  la  barre  puisse  acquérir. 

Cette  question  diffère  de  celle  de  l'article  ^3,  en  ce  qu'on 
a  égard  ici  à  toutes  les  dimensions  du  solide ,  ce  qui  est  né- 
cessaire pour  que  l'on  puisse  obtenir  une  solution  exacte. 
En  effet,  on  est  porté  à  supposer  que  dans  une  barre  d'une 
très-petite  épaisseur,  tous  les  points  d'une  même  tranche 
acquièrent  des  températures  sensiblement  égales  ;  cependant 
il  peut  rester  quelque  incertitude  sur  les  résultats  de  cette 
supposition.  Il  est  donc  préférable  de  résoudre  la  question 
rigoureusement ,  et  d'examiner  ensuite,  par  le  calcul,  jusqu'à 
quel  point,  et  dans  quel  cas,  on  est  fondé  à  regarder  comme 
égales  les  températui'cs  des  divers  points  d'une  même  section. 

122. 

La  section  faite  perpendiculairement  à  la  longueur  de  la 
barre,  est  un  quarré  dont  le  côté  est  2  /,  l'axe  de  la  barre 
est  l'axe  des  x,  et  l'origine  est  à  l'extrémité  A.  Les  trois  cooi'- 
données  rectangulaires  d'un  point  de  la  barre  sont  ^x:,  y,  z, 
la  température  fixe  du  même  point  est  désignée  par  v. 

La  question  consiste  à  déterminer  les  températures  que 
l'on  doit  donner  aux  divers  points  de  la  barre,  pour  qu'elles 
continuent  de  subsister  sans  aucun  changement,  tandis  que 
la  surface  extrême  A ,  qui  communique  avec  la  source  de 
chaleur,  demeure  assujétie,  dans  tous  ses  points,  à  la 
température  permanente  A;  ainsi  v  est  une  fonction  de  x, 
de  f  et  de  z. 


120. 


On  considérera  le  mouvement  de  la  chaleur  dans  une  mo- 
lécule prismatique, comprise  entre  six  plans  perpendiculaires 

i5. 


îi6  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

aux  trois  axes  des  x,  des  j  et  des  z.  Les  trois  premiers  plans 
passent  par  le  point  rn ,  dont  les  coordonnées  sont  œ,  y,  z  et 
les  autres  passent  par  le  point  7U  ,  dont  les  coordonnées 
sont  X  -h  d X ,  y  +  ^ j%  z  +  dz. 

Pour  connaître  la  quantité  de  chaleur  qui,  pendant  l'unité 
de  temps,  pénètre  dans  la  molécule,  à  travers  le  premier 
plan  passant  par  le  point  ni,  et  perpendiculaire  aux  x ,  il  faut 
considérer  que  la  surface  de  la  molécule  qui  est  située  sur  ce 
plan,  a  pour  étendue  dzdy,  et  que  le  flux  qui  traverse 

cette  aire  est  égal ,  suivant  le  théorème  de  l'art.  g8 ,  à  —  ^-j~'i 

ainsi  la  molécule  reçoit  à  travers  le  rectangle  d»-dy,  pas- 
sant par   le  point  m ,  une  quantité   de   chaleur  exprimée 

par  —  K  dz  dy  -j—.  Pour  trouver  la  quantité  de  chaleur  qui 

traverse  la  face  opposée ,  et  sort  de  la  molécule ,  il  faut  sub- 
stituer, dans  l'expression  précédente,  x  +  dx  à  x,  ou  ce  qui 
est  la  même  chose,  ajouter  à  cette  expression  sa  différen- 
tielle prise  par  rapport  à  x  seulement  ;  on  en  conclut  que  la 
molécule  perd,  par  sa  seconde  face  perpendiculaire  aux  x, 
une  quantité  de  chaleur  équivalente  à 

—  ¥^d  z  d  Y  -, K  d  z  d  Y  d  (  -—   ]; 

on  doit  par  conséquent  la  retrancher  de  celle  qui  était  entrée 
par  la  face  opposée;  la  différence  de  ces  deux  quantités  est 

dv\  -t^    j       i       -,      d"  V 


K  <7  S  .  dy  d  (-j-  j ,  ou  K  c/  s  dy  d  x 


dx' 


elle  exprime  combien  il  s'accumule  de  chaleur  dans  la  molé- 
cule, à  raison  de  la  propagation  suivant  le  sens  des  x;  et 
cette  chaleur  accumulée  ferait  varier  la  température  de  la 


CHAPITRE   II.  117 

molécule,  si  elle  n'était  point  compensée  par  celle  qui  se 
perd  dans  un  autre  sens. 

On  trouve,  de  la  même  manière,  qu'à  travers  le  plan  per- 
pendiculaire aux  Y,  et  passant  par  le  point  m,  il  entre  dans 

la  molécule  une  quantité  de  chaleur  égale  à  — Kdzdx-jzi 
et  que  la  quantité  qui  sort  par  la  face  opposée  est 

cette  dernière  différentielle  étant  prise  par  rapport  à  y  seu- 
lement.   Donc   la    différence    de    ces    deux   quantités  ,    ou 

Kdz  dx  dy  ^-4',  exprime  combien  la  molécule  acquiert  de 

chaleur,  à  raison  de  la  propagation  dans  le  sens  des  j. 

Enfin  on  démontre  de  même  que  la  molécule  acquiert,  à 
raison  de  la  propagation  dans  le  sens  des  z,  une  quantité 

de  chaleur  égale  k  Y^dx  dy  dz  '-jr^-  Or,  pour  qu'elle  ne 

change  point  de  température,  il  est  nécessaire  qu'elle  con- 
serve autant  de  chaleur  cpi'elle  en  contenait  d'abord  ,  en 
sorte  que  ce  qu'elle  en  acquiert  dans  un  sens  serve  à  com- 
penser ce  qu'elle  en  perd  dans  un  autre.  Donc  la  somme  des 
trois  quantités  de  chaleur  acquises  doit  être  nulle;  et  l'on 

„  .       .    ,,  ,  .  d^  V         d"  V         f/'  %' 

lorme  anisi  1  équation  ^—7  +  -j—^  +  -7-^  =  o. 

124.  — 

Il  reste  maintenant  à  exprimer  les  conditions  relatives  à 
la  surface.  Si  l'on  suppose  que  le  point  m  appartient  à  l'une 
des  faces  de  la  barre  prismatique ,  et  c[ue  cette  face  est  per- 
pendiculaire aux  z,  on  voit  que  le  rectangle  dx  dy  laisse 


ii8  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

échapper  dans  l'air,  pendant  l'unité  de  temps,  une  quantité 
de  chaleur  égale  à  h  dx  dy  V,  en  désignant  par  V  la  tem- 
pérature du  point  m  à  la  surface,  c'est-à-dire,  ce  que  de- 
vient la  fonction  cherchée  ©  (a;,  j,  z),  lorsqu'on  fait  z  =  l, 
demi -largeur  du  prisme.  D'un  autre  côté,  la  quantité  de 
chaleur  qui,  en  vertu  de  l'action  des  molécules ,  traverse , 
pendant  l'unité  de  temps ,  une  surface  infiniment  petite  &) , 
située  dans  l'intérieur  du  prisme,  perpendiculairement  aux  z, 

est ,  d'après  les  théorèmes  cités  ,  égale  à  —  K  w  -j-.  Cette 

expression  est  générale,  et  en  l'appliquant  aux  points  pour 
lesquels  la  coordonnée  z  a  sa  valeur  complète  /,  on  en  conclut 
que  la  quantité  de  chaleur  qui  traverse  le  rectangle  dx  dy , 

placé  à  la  superficie,  est  —  Y^  dx  dy  ■^,  en  donnant  à  z, 
dans  la  fonction  -7^ ,  «a  valeur  complète  /.  Donc  les  deux 

quantités  — Y^dx  dy  -j^  et  h  dx  dy  v,  doivent  être  égales, 

afin  que  l'action  des  molécules  convienne  avec  celle  du 
milieu.  Cette  égalité  doit  aussi  subsister  si  l'on  donne  à  z, 

dans  les  fonctions  -7^  et  a»,  la  valeur  —  /,  ce  qui  a  lieu  pour 

la  face  opposée  à  celle  que  l'on  considérait  d'abord.  De  plus, 
la  quantité  de  chaleur  qui  traverse  une  surface  plane  infi- 
niment  petite   là  ,  perpendiculaire    à    l'axe    des  y  ,    étant 

—  K  (d  T-^' ,  il  s'ensuit  que  celle  qui  s'écoule  à  travers  un 
rectangle  dx  dz,  placé  sur  une  face  du  prisme  perpendi- 
culaire aux  j,  est  — K  dx  dz  -j-^  en  donnant  a  y,  dans  la 

fonction  -^^  sa  valeur  complète  /.  Or,  ce  rectangle  dx  dz, 


CHAPITRE   II.  119 

laisse  échapper  dans  l'air  une  quantité  de  chaleur  exprimée 
par  h  dx  dz  v;  il  est  donc  nécessaire  que  l'on  ait  l'équation 

hv  =  — K-y^i  lorsqu'on  fait  y=h  ou /= — /,  dans  les 
fonctions  v  et  -7-. 

125. 

La  valeur  de  la  fonction  'v  doit  être,  par  hypothèse,  égale 
à  A ,  lorsqu'on  suppose  .x-  =  o ,  quelles  que  soient  les  valeurs 
de  y  et  de  z.  Ainsi ,  la  fonction  cherchée  v  est  déterminée 
par  les  conditions  suivantes  :  1°  elle  satisfait  pour  toutes 
les  valeurs  de  x ,  y,  z  à  l'équation  générale 

d'  V         d'  T         d"  V 
dx"  dy  dz^ 

2°  elle  satisfait  à  l'équation  J  ^'  +  j~  =  ^ ,  lorsque  y  équi- 
vaut à  /,  ou  — /,  cjuelles  que  soient  x  et  z,  ou  à  l'équation 
-jT  t;  +  -j^  =  o  ,  lorsque  z  équivaut  à  /^  ou  à  —  l,  quelles 

que  soient  x  et  j;  3°  elle  satisfait  à  l'équation  v=^K^  lors- 
que a;  =  o,  quelles  que  soient  j-  et  z. 

SECTION  V. 

Équations  du  mouvement  varié  de  la  chaleur  dans  i/n 

cube  solide. 

126. 

Un  solide ,  de  forme  cubique ,  dont  tous  les  points  ont  ac- 
quis une  même  température ,  est  placé  dans  un  courant  uni- 
forme d'air   atmosphérique,  entretenu  à  la  température  o. 


I20  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

Il  s'agit  de  détermiiiei'  les  états  successifs  du  corps  pendant 
toute  la  durée  du  refroidissement. 

Le  centre  du  cube  est  piis  pour  origine  des  coordonnées 
rectangulaires  ;  les  trois  perpendiculaires  ,  abaissées  de  ce 
point  sur  les  faces ,  sont  les  axes  des  x,  des  }^  et  du  z;  2 1  est 
le  côté  du  cube,  a»  est  la  température  à  laquelle  un  point 
dont  les  coordonnées  sont  x,  j,  z,  se  trouve  abaissé ,  après 
le  temps  t ,  qui  s'est  écoulé  depuis  le  commencement  du 
refroidissement  :  la  question  consiste  à  déterminer  la  fonc- 
tion V,  qui  contient  x ,  y,  z  et  t. 

127. 

Pour  former  l'équation  générale  à  laquelle  v  doit  satis- 
faire, on  cherchera  quel  est  le  changement  de  température 
qu'une  portion  infiniment  petite  du  solide  doit  éprouver 
pendant  l'instant  dt ,  en  vertu  de  l'action  des  molécules  qui 
en  sont  extrêmement  voisines.  On  considérera  donc  une 
molécule  prismatique  comprise  entre  six  plans  rectangu- 
laires; les  trois  premiers  passent  par  le  point  ?n,  dont  les 
coordonnées  sont  a:,  j,  z,  et  les  trois  autres ,  par  le  point  7?i', 
dont  les  coordonnées  sont  ce  +  dx ,  y  4-  dy,  z  +  dz. 

La  quantité  de  chaleur  qui  pénètre  pendant  l'instant  dt 
tlans  la  molécule,  à  travers  le  premier  rectangle  dy  dz  per- 
pendiculaire aux  jr,  est  —  K  dy  d z  -j-  dt,  et  celle  qui  sort 

dans  le  même  temps  de  la  molécule ,  par  la  face  opposée ,  se 
trouve  en  mettant  x-\-dx  au  lieu  de  x,  dans  l'expression 

précédente,  elle  est  — Y^dy  dz-j^  dt  — K^/j  dzd{-j-\dt, 

cette  différentielle  étant  prise  par  rapport  à  x  seulement. 
La  quantité  de  chaleur  qui  entre  pendant  l'instant  dt  dans 


CHAPITRE   II.  liïT 

la  molécule,  à  travers  le  premier  rectangle  dx  dz,  perpen- 
diculaire à  l'axe  des  y ,  est  —  K  dx  dz  -j-  dt ,  et  celle  qui 
sort  de  la  molécule,  dans  le  même  instant,  par  la  face  op- 
posée ,  est  —  K  dx  dz—j-  dt  —  K  dx  dz d [  -j-  j  dt,  la  dif- 
férentielle étant  prise  par  rapport  à  y  seulement.  La  quantité 
de  chalei;r  que  la  molécule  reçoit  pendant  l'instant  dt , 
par  sa  face   inférieure   perpendiculaire  à   l'axe  des  ;; ,    est 

—  K  ^^  dj-rz  dt ,  et  celle  qu'elle  perd  par  la  face  opposée 

est  —  K  dx  d  y  -j:  dt  —  K  dx  dy  d  V-jz)  d  t,  la  différen- 
tielle étant  prise  par  rapport  à  z  seulement. 

Il  faut  maintenant  retrancher  la  somme  de  toutes  les 
quantités  de  chaleur  qui  sortent  de  la  molécule  de  la  somme 
des  quantités  qu'elle  reçoit ,  et  la  différence  est  ce  qui  déter- 
mine son  accroissement  de  température  pendant  un  instant  : 
cette  différence  est 

Y^dydzd{-~\dt  -\-Y^dx  dzdf-^dt  +  Kd  x  dy  d  T-^^j  d  t , 

ou  K  dx  dy  dz     -y-^  +  -j-4  +  -j-t    dt. 

128.  : 

Si  l'on  divise  la  quantité  que  l'on  vient  de  trouver  par 
celle  qui  est  nécessaire  pour  élever  la  molécule  de  la  tem- 
pérature o  à  la  température  i ,  on  cormaîtra  l'accroissement 
de  température  qui  s'opère  pendant  l'instant  dt.  Or,  cette 
dernière  quantité  est  C  .  D  dx  dy  dz  :  car  C  désigne  la  capa- 
cité de  chaleur  de  la  substance;  D  sa  densité,  et  dx  dy  dz 
le  volume  de  la  molécule.  On  a  donc,  pour  exprimer  le  mou- 

16 


132  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

vement  de  la  chaleur  dans  l'intérieur  du  solide ,  l'équation 

d  V K     /  et  V         d"  V         d'  V  '\  ,  ,  . 

777      'c7D\^'d^ '^ 'dy '^  inj  J        ^    -' 

129. 

Il  reste  à  former  les  équations  qui  se  rapportent  à  l'état 

de  la  surface,  ce  qui  ne  présente  aucune  difficulté,  d'après  les 

principes  que  nous  avons  établis.  En  effet ,  la  quantité  de 

chaleur  qui  traverse,  pendant  l'instant  dt,  le  rectangle  djc  dj, 

tracé  sur  un  plan  perpendiculaire  aux  x,  est  —  Y^dydz-r-dt. 

Ce  résultat,  qui  s'applicjue  à  tous  les  points  du  solide,  doit 
avoir  lieu  aussi  lorsque  la  valeur  de  x  est  égale  à  /,  demi- 
épaisseur  du  prisme.  Dans  ce  dernier  cas,  le  rectangle  dy  dz 
étant  placé  à  la  superficie ,  la  quantité  de  chaleur  qui  le  tra- 
verse ,  et  se  dissipe  dans  l'air  pendant  l'instant  dt,  est 
exprimée  par  h  dy  dz  v  dt,  on  doit  donc  avoir,  lorsque 

.r  =  /,  l'équation  A^  =  —  K -y-.  Cette  condition  doit  aussi 

êti'e  satisfaite  lorsque  x^  —  /. 

On  trouvera  de  même  que,  la  quantité  de  chaleur  qui 
traverse  le  rectangle  dx  dz  situé  sur  ini  plan  perpendicu- 
laire à  l'axe  des  y  étant  en  général  —  K  dx  dz  -t-,  et  celle 

qui  à  la  superficie  s'échappe  dans  l'air  à  travers  ce  même 
lectangle  étant  h  dx  dz  v  dt,  il  est  nécessaire  que  l'on  ait 

réc[uation  h  v  +  K  -^r^o,  lorsque  r=^ou  = — /.  Enfin  on 

obtient  pareillement  l'équation  déterminée  h  v  -\-  K  -t^  =  o^ 
qui  estsatisfoite  lorscpie  zrr=/ou=:  —  /. 

i3o. 
La  fonction  cherchée,  qui  exprime  le  mouvement  varié  de 


CHAPITRE   If.  123 

la  chaleur  dans  l'intérieur   dun   solide   de   forme  cubique 
doit  donc  être  déterminée  par  les  conditions  suivantes  : 
\°  Elle  satisfait  à  l'écjuation  générale 

d  /'  K      /  </'  ?i  d'  7>         rt" 


dt  CD  \dx'  dy  dz' 

2°  Elle  satisfait  aux  trois  équi» lions  déterminées 

7  -wr  d  V  7  -i^  d"}*  j  TT  dv 

■«y  +  K-r-  =  o,  Aî^  +  K-7-  =  0,  flV  +  K-T-  =  o, 

dx  '  dj  ^  dz 

qui  ont  lieu  lorscjue  ^  =  d=  /,  j=  ±  /,  z=  àzl; 

3"  Si,  dans  la  fonction  -v  qui  contient  x,  y,  z,  t ,  on  fait 
^=o,  quelles  que  soient  les  valeurs  de  x,  j  et  z,  on  doit 
avoir,  selon  l'hypothèse ,  i' =  x\ ,  qui  est  la  valeur  initiale  et 
commune  de  la  température. 

i3i. 

L'équation  à  laquelle  on  est  parvenu  dans  la  question  pré- 
cédente, représente  le  mouvement  de  la  chaleur  dans  l'in- 
térieur de  tous  les  solides.  Quelle  cpie  soit  en  effet  la  forme 
du  corps,  il  est  manifeste  qu'en  le  décomposant  en  molécules 
prismatiques,  on  obtiendra  ce  même  résultat.  On  pourrait 
donc  se  borner  à  démontrer  ainsi  l'équation  de  la  propagation 
de  la  chaleiir.  Mais  afin  de  rendre  plus  complète  l'exposition 
des  principes,  et  pour  que  l'on  trouve  rassemblés  dans  un 
petit  nombre  d'articles  consécutifs  les  théorèmes  cjui  servent 
à  établir  l'équation  générale  de  la  propagation  dans  l'intérieur 
des  solides,  et  celles  qui  se  rapportent  à  l'état  de  la  surface, 
nous  procéderons,  dans  les  deux  sections  suivantes,  à  la  re- 
cherche de  ces  équations, indépendamment  de  toute  question 
particulière,  et  sans  recourir  aux  propositions  élémentaires 
que  nous  avons  expliquées  dans  l'introduction. 

i6. 


124  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

SECTION    VL 

Équation  générale  de  la  propagation  de  la  Chaleur  dans 
l'intérieur  des  solides. 

l32. 
THEOREME    I. 

Si  les  différents  points  d'une  masse  solide  homogène,  com- 
prise entre  six  plans  rectangulaires ,  ont  des  températures 
actuelles  déterminées  par  V équation  linéaire 

'V  =  A  —  ax  —  h  y  —  cz       (a) 

et  si  les  molécules  placées  à  la  suif  ace  extérieure  sur  les  six 
plans  qui  terminent  le  prisme  sont  retenues ,  par  une  cause 
quelconque ,  ii  la  température  exprimée p)ar  l'équation  (a); 
toutes  les  molécules  situées  dans  l'intérieur  de  la  masse  con- 
serveront d'elles-mêmes  leur  température  actuelle ,  en  sorte 
qu'il  ne  surviendra  aucun  changement  dans  l'état  du  prisme. 
V  désigne  la  température  actuelle  du  point  dont  les  coor- 
données sont  X ,  y ,  z;  k.^  a ,  h,  c ,  sont  des  coefficients 
constants. 

Pour  démontrer  cette  proposition  ,  considérons  dans  le 
solide  trois  points  quelconques  m  M  j^.,  placés  sur  une  même 
droite  m  (/, ,  que  le  point  M  divise  en  deux  parties  égales  ; 
désignons  par  x -^y ,  z,  les  coordonnées  du  point  m,  et  par  v 
sa  température,  par  :t-f-a,  j+p,  z  +  y  les  coordonnées 
du  point  ;;.,  et  par  w  sa  température,  par  x — a,  j-^[î,  z  —  y, 
les  coordonnées  du  point  m,  et  par  u  sa  température,  on 
aura 


CHAPITRE  II.  125 

v=A — ax — bj' — cz,  (i'=A — aÇx+a.) — ^(j+^) — <"('+y) 

d'où  l'on  conclut 

v  —  (c=(7a  +  ^3  +  ry,  et  u —  v=ax  +  h^  +  cy. 

Donc  V  —  (v  =  u  —  7^. 

Or  la  quantité  de  chaleur  qu'un  point  reçoit  d'un  autre 
dépend  de  la  distance  des  deux  points  et  de  la  différence  de 
leurs  températures.  Donc  l'action  du  point  M  sur  le  point  p. 
est  égale  à  l'action  de  7ji  sur  M,  ainsi  le  point  M  reçoit  autant 
de  chaleur  de  })}  qu'il  en  envoie  au  point  p.. 

On  tirera  la  même  conséquence  quelles  que  soient  la  direc- 
tion et  la  grandeur  de  la  ligne  qui  passerait  par  le  point  M, 
et  qu'il  diviserait  en  deux  parties  égales.  Donc  il  est  impos- 
sible que  ce  point  change  de  température,  car  il  reçoit  de 
toutes  parts  autant  de  chaleur  qu'il  en  donne.  Le  même  rai- 
sonnement s'applique  aux  autres  points  ;  donc  il  ne  pourra 
survenir  aucun  changement  dans  l'état  du  solide. 

i33. 

COROLLAIRE     r. 

Un  solide  étant  compris  entre  deux  plans  infinis  parallèles 
A  et  B ,  on  suppose  que  la  température  actuelle  de  ses  diffé- 
rents points  est  exprimé  par  l'équation  yr=  i  —  -,  et  que 
les  deux  plans  qui  le  terminent  sont  retenus  par  une  cause 
quelconque,  l'un  A  à  la  température  i  ,  et  l'autre  B  à  la  tem- 
pérature o  :  ce  cas  particulier  sera  donc  compris  dans  le 
lemme  précédent ,  en  faisant  A  =  i  ,  «  =  o,  b=^o^  c=i. 


126  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

i34. 

COROLLAIRE     II. 

Si  l'on  se  représente  dans  l'intérieur  du  même  solide  un 
plan  M  parallèle  à  ceux  qui  le  terminent ,  on  voit  qu'il 
s'écoule  à  travers  ce  plan  une  certaine  quantité  de  chaleur 
pendant  l'unité  de  temps;  car  deux  points  très -voisins,  tels 
que  m  et  n,  dont  l'un  est  au-dessous  du  plan  et  l'autre  au- 
dessus,  sont  inégalement  écliaulfés;  le  premier,  dont  la  tem- 
pérature est  plus  élevée,  doit  donc  envoyer  au  second ,  pen- 
dant chaque  instant,  une  certaine  quantité  de  chaleur  qui, 
au  reste,  peut  être  fort  petite,  et  même  insensible,  selon  la 
nature  du  coi^ps  et  la  distance  des  deux  molécules.  Il  en  est 
de  même  de  deux  autres  points  quelconques  séparés  par  le 
plan.  Le  plus  échauffé  envoie  à  l'autre  une  certaine  quantité 
de  chaleur,  et  la  somme  de  ces  actions  partielles,  ou  de  toutes 
les  quantités  de  chaleur  envoyées  à  travers  le  plan,  compose 
un  flux  continuel  dont  la  valeur  ne  change  point,  puisque 
toutes  les  molécules  conservent  leur  tempéiature.  Il  est 
facile  de  prouver  que  ce  flux  ou  la  quantité  de  chaleur  qui 
traverse  le  plan  M.  pendant  l'unité  de  temps,  équivaut  à  celle 
qui  traverse ,  pendant  le  même  temps,  un  autre  plan  ^pa- 
rallèle au  premier.  En  effet ,  la  partie  de  la  masse  qui  est 
comprise  entre  les  deux  sui  faces  M  et  N ,  recevra  continuel- 
lement, à  travers  le  plan  M,  autant  de  chaleur  qu'elle  en  perd 
à  travers  le  plan  N.  Si  la  quantité  de  chaleur  qui ,  pénétrant 
au-delà  du  plan  M,  entre  dans  la  partie  de  la  masse  que  l'on 
considère,  n'était  point  égale  à  celle  qui  en  sort  par  la  sur- 
face opposée  N,  le  solide  compris  entre  les  deux  surfaces 
acquérerait  une  nouvelle  chaleur,  ou  perdrait  une  partie  de 


CHAPITRE   II.  127 

celle  qu'il  a,  et  ses  températures  rie  seraient  point  constantes, 
ce  qui  est  contraire  au  lemrae  précédent. 

i35. 

On  prend  pour  mesure  de  la  conducibilité  spécifique  d'une 
substance  donnée  la  quantité  de  chaleur  qui,  dans  un  solide 
infini,  formé  de  cette  substance,  et  compris  entre  deux  plans 
parallèles,  s'écoule  pendant  l'unité  de  temps  à  travers  mie 
surface  égale  à  l'unité,  et  prise  sur  un  plan  intermédiaire 
quelconque,  parallèle  aux  plans  extérieurs  dont  la  distance 
est  égale  à  l'unité  de  mesuie,  et  dont  1  un  est  entretenu  à  la 
température  i ,  et  l'autre  à  la  température  o.  On  désigne  par 
le  coefficient  K  ,  ce  flux  constant  de  chaleur  qui  traverse 
toute  l'étendue  du  prisme,  et  qui  est  la  mesure  de  la  condu- 
cibilité. 

i3G. 


L  E  IH  M  E. 


Si  l'on  suppose  que  toutes  les  températures  du  solide  dont 
il  s'agit  dans  l'article  précédent ,  sont  multipliées  par  lai 
nom,hre  quelconque  g ,  en.  sorte  que  l'équation  des  tempé- 
ratures soit  'V^=^g  —  g  z,  au  lieu  d'être  v^x  — z,  et  si  les 
deux  plans  extérieurs  sont  entretenus ,  l'un  cl  la  température  g, 
et  l'autre  à  la  température  o,  le  flux  constant  de  chaleur , 
dans  cette  seconde  hypothèse ,  ou  la  quantité  qui ,  pendant 
l'unité  de  temps  traverse  l'unité  de  surface  prise  sur  un  plan 
intermédiaire  parallèle  aux  bases,  est  égale  au  prodidt  du 
premier  flux  K ,  multiplié  par  g. 

En  effet,  puisque  toutes  les  températures  ont  été  aug- 
mentées dans  le  rapport  d'un  à  g,  les  différences  des  tem- 


128  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

përatures  des  deux  points  quelconques  m  et  p.,  sont  aug- 
mentées dans  le  même  rapport.  Donc,  suivant  le  principe 
de  la  communication  de  la  chaleur,  il  faut,  pour  connaître 
la  quantité  de  chaleur  que  m  envoie  à  jj. ,  dans  la  seconde 
hypothèse,  multiplier  par  g  la  quantité  que  ce  point  m  en- 
voyait à  (A  dans  la  première.  Il  en  serait  de  même  des  deux 
autres  points  quelconques.  Or,  la  cpiantité  de  chaleur  qui 
traverse  un  plan  M  résulte  de  la  somme  de  toutes  les  actions 
que  les  points  m  m  m  m"  etc. ,  situés  d'un  même  côté  du 
plan,  exercent  sur  les  points  ;;,,  u.',  [j1\  jj.",  etc.,  situés  de  l'autre 
côté.  Donc ,  si  dans  la  première  hypothèse  le  flux  constant 
est  désigné  par  K,  il  sera  égal  à  gK,  lorsqu'on  aura  mul- 
tiplié toutes  les  températures  par  g. 

137. 

THÉORÈME    II. 

Dans  un  prisme  dont  les  températures  constantes  sont 
exprimées  par  l'équation  oir^A  —  a x  —  by  —  cz,  et  que 
terminent  six  plans  rectangulaires  dont  tous  les  points  sont 
entretenus  aux  températures  déterminées  par  l'équation  pré- 
cédente,  la.  quantité  de  chaleur  qui ,  pendant  l'unité  de 
temps ,  trai'erse  l'unité  de  surface  prise  sur  un  plan  inter- 
médiaire quelconcpie  perpendiculaire  aux  z,  est  la  même  que 
le  flux  constant  dans  un  solide  de  même  substance ,  qui 
serait  compiis  entre  deux  plans  parallèles  infinis ,  et  pour 
lequel  l'équation  des  températures  constantes  serait 'V^:^^ — cz. 

Pour  le  démontrer,  considérons  dans  le  prisme,  et  ensuite 
dans  le  solide  infini ,  deux  points  m  et  ^  extrêmement  voisins 
et  séparés  par  le  plan  IM,  perpendiculaire  à  l'axe  des  z;(a  étant 
au-dessus  du  plan  ,  et  m  au-dessous  (  Voy.  fig.  4-)5  choi- 


CHAPITRE   II.  129 

sissons  au-dessous  du  même  plan  un  point  m  tel  que  la 
perpendiculaire  abaissée  du  point  y.  sur  le  plan  soit  aussi 
perpendiculaire  sur  le  milieu  h  de  la  distance  m  ni.  Désignons 
par  X ,  y ,  z  +  h  les  coordonnées  du  point  j^,  dont  la  tem- 
pérature est  iv,  par  :v — ^a,j — [i,  z  les  coordonnées  de  m  , 
dont  la  température  est  v,  et  par  .r  +  a,  7  +  p,  z  les  coor- 
données de  m  dont  la  température  est  v. 

L'action  de  m  sur  r^.,  ou  la  quantité  de  chaleur  que  m 
envoie  à  [j.  pendant  un  certain  temps ,  peut  être  exprimée 
par  q  {v — w).  Le  facteur  q  dépend  de  la  distance  /«(x,  et 
de  la  nature  de  la  masse.  L'action  de  m  sur  [j.  sera  donc 
exprimée  par  q  [v  —  w)\  et  le  facteur  q  est  le  même  que 
dans  l'expression  précédente  ;  donc  la  somme  des  deux 
actions  de  m  sur  [a  ,  et  de  ni  sur  a ,  ou  la  quantité  de  chaleur 
que  [A  reçoit  de  ni  et  de  ni,  est  exprimée  par 

q  {v  —  w -h  v  —  w). 

Or,  si  les  points  m ,  ;;.,  ni  appartiennent  au  prisme,  on  a 


■  a  x  —  by  —  c  {z+  h)  ,  i'=A  —  ax  —  a  — h  y  — -p  —  < 


et  1^'=  A  —  fl.  ■^  +  *  —  h  y  +  p  —  cz;  et  si  ces  mêmes  points 
appartenaient  au  solide  infini,  on  aui\iit,  par  hypothèse, 


i^. 


«'  =  <?  —  c  z  +  h,    y  =  c  —  c  z,   et  v'  =  c  —  c 
Dans  le  premier  cas,  on  trouve 

q  {v  —  w  +  1)  —  i\>  )^2.q  c  h , 

et,  dans  le  second  cas,  on  a  encore  le  même  résultat.  Donc 
la  quantité  de  chaleur  cpie  ja  reçoit  de  m  et  de  ni  dans  la 
première  hypothèse ,  lorsque  l'équation  des  tempéiatures 
constantes    est  v=  h.  —  ax  —  bj  —  cz  ,    équivaut  à   la 


17 


i3o  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

quantité  de  chaleur  que  a  reçoit  de  m  et  de  ni\  lorsque 
l'e'quation  des  températures  constantes  est  a»  =  c  —  c  z. 

On  tirerait  la  même  conséquence  par  rapport  à  trois 
autres  points  quelconques  7?^'  ^!  in,  pourvu  que  le  second 
;/  fut  placé  à  égale  distance  des  deux  autres,  et  que  la  hau- 
teur du  triangle  isoscèle  771  [jI  m  fut  parallèle  aux  z.  Or,  la 
quantité  de  chaleur  qui  traverse  un  plan  qu^elconque  M 
résulte  de  la  somme  des  actions  que  tous  les  points  jn ,  m , 
ni' ,  m" ,  etc.  situés  d'un  côté  de  ce  plan ,  exercent  sur  tous 
les  points  [7.  ;;.'  ;/"  ;y.",  etc.  situés  de  l'autre  côté  :  donc  le  flux 
constant  qui,  pendant  l'unité  de  temps,  traverse  une  partie 
déterminée  du  plan  M  dans  le  solide  infini,  est  égale  à  la 
quantité  de  chaleur  qui  s'écoule  dans  le  même  temps  à 
travers  la  même  portion  du  plan  M  dans  le  prisme  dont  les 
températures  sont  exprimées  par  l'équation 

-v  =  A  —  a  X  —  h  y  —  c  z. 
i38. 

COROLLAIRE. 

Le  flux  a  pour  valeur  CK  dans  le  solide  infini,  lorsque 
la  partie  du  plan  qu'il  traverse  est  l'unité  de  surface.  //  a 

donc  aussi  dans  le  prisme  la  même  'valeur  cY^ou  —  K  -j-- 

On  prouve  de  la  même  manière  que  le  flux  constant  qui 
a  lieu,  pendant  l'unité  de  temps,  dans  le  même  prisme  a 
travers  l'unité  de  surface  sur  un  plan  quelconque  perpendi- 
culaire aux  y  est  égal  a  b  \  ou  —  K  -j-  \  et  que  celui  qui 
traverse  le  plan  perpendiculaire  aux  x  a  pour  valeur  a  K 
OU  —  K  -7-- 

a  X 


CHAPITRE   11.  i3i 

139. 
Les  propositions  que  l'on  a  démontre'es  dans  les  articles 
précédents  s'applic[ucnt  aussi  au  cas  où  l'action  instantanée 
d'une  molécule  s'exercerait  dans  l'intérieur  de  la  masse, 
jusqu'à  une  distance  appréciable.  Il  faut,  dans  ce  cas ,  sup- 
poser que  la  cause  qui  jetient  les  tranches  extérieures  des 
corps  dans  l'état  exprime  par  l'équation  linéaire,  affecte  la 
masse  jusqu'à  une  profondeur  iinie.  Toutes  les  observations 
concourent  à  prom-er  que,  dans  les  solides  et  les  licjuides, 
la  distance  dont  il  s'agit  est  extrêmement  petite. 

:'•'  ••  ,;  i4o.  ,    

THÉORÈME    Iir. 

Si  les  températures  des  points  d'un  solide  sont  exprimées 
par  l'équation  0»=/  {x ,  y,  z,  t)^  dans  laqixelle  x,  y,  z 
sont  les  coordonnées  de  la  molécule  dont  la  températui  e  est 
égale  à  v  après  le  temps  écoulé  t  ;  le  flux  de  chaleur  qui 
traverse  une  partie  d'un  plan  tracé  dans  le  solide,  et  per- 
pendiculaire à  l'un  des  trois  axes,  n'est  plus  constant;  sa 
valeur  est  différente  pour  les  différentes  parties  du  plan ,  et 
elle  varie  aussi  avec  le  temps.  Cette  quantité  variable  peut 
être  déterminée  par  le  calcul. 

Soit  w  un  cercle  infiniment  petit  dont  le  centre  coïncide 
avec  le  point  m  du  solide  et  dont  le  plan  soit  perpendicu- 
laire à  la  coordonnée  verticale  z  ;  il  s'écoulera  pendant 
l'instant  dt,  £)  travers  ce  cercle,  une  certaine  quantité  de 
chaleur  qui  passera  de  la  partie  du  sohde  inférieur  au  plan 
du  cercle ,  dans  la  partie  supérieure.  Ce  flux  se  compose  de 
tous  les  rayons  de  chaleur  qui  partent  d'un  point  inférieur, 
et  parviennent  à  un  point  supérieur,  en  traversant  un  point 

17- 


i32  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

de  la  petite  surface  to.  Nous  allons  démontrer  que  la  valeur 
du  flux  a  pour  expression  —  K.  7~.  '^  d  t. 

Désignons  par  x! y  z'  les  coordonnées  du  point  m  dont  la 
température  est  v  ;  et  supposons  que  l'on  rapporte  toutes 
les  autres  molécules  à  ce  point  m  choisi  pour  l'origine  de 
trois  nouveaux  axes  parallèlts  aux  précédents;  soient  ^,  r,,  i^, 
les  trois  coordonnées  d'un  point  rapporté  à  l'origine  m; 
on  aura  ,  pour  exprimer  la  température  actuelle  w  d'une 
molécule  inliniment  voisine  de  m,  l'équation  linéaire 

,  y  d  v'  du'         ^  d v' 

Les  coefficients  V,  -j— ,  -j—,  -77-  sont    les   valeurs    c[ue    l'on 

,        .  1  I  r  •  d  V        d  V       dv 

trouve,  en  substituant  dans  les  tonctions  v ,   -j—  ,   -j-.i  -r.  1 

aux  variables  x  ,y,  z,  les  quantités  constantes  x' ,  y ,  z,  C[ui 
mesurent  les  distances  du  point  m  aux  trois  premiers  axes 
des  X ,  des  j,  des  z. 

Supposons  maintenant  que  le  même  point  m  soit  aussi 
une  molécule  intérieure  d'un  prisme  rectangulaire  compris 
entre  six  plans  perpendiculaires  aux  trois  axes  dont  m  est 
l'origine;  que  la  température  actuelle  w  de  chaque  molécule 
de  ce  prisme,  dont  les  dimensions  sont  finies,  soit  exprimée 
par  l'équation  linéaire  w  =  A  +  a  ^  +  Z»  y;  +  c  ^,  et  que  les 
six  faces  qui  terminent  le  prisme  soient  retenues  aux  tem- 
pératures fixes  que  cette  dernière  équation  leur  assigne. 
L'état  des  molécules  intérieures  sera  aussi  permanent,  et  il 
s'écoulera  pendant  l'instant  dt,  a  travers  le  cercle  u,  une 
quantité  de  chaleur  que  mesure  l'expression  —  h  c  b»  dt. 


CHAPITRE  II.  ii3 

Ct'la  posé,  si  Ion  prend  ponr  les  valeurs  des  constantes 

,  ,  .    ,        ,  cl  v'      d  »'      d  v'      i>  '         p  1 

a,  b,  c,  les  quantités  i',-^ — ,  -y—,  -3— ■>  '  t't^t  lixe  du  prisme 
sera  exprimé  par  l'équation 

d  v'  d  -»'  d  v' 


(r  =:  2»    +  <;  +  -/) 


y 


dx  ^    '     dy    '    '     dz    '• 

Ainsi  les  molécules  infiniment  voisines  du  point  771  auront, 
pendant  l'instant  d  t,  la  même  température  actuelle  dans  le 
solide  dont  l'état  est  variable,  et  dans  le  prisme  dont  l'état 
est  constant.  Donc  le  flux  qui  a  lieu  au  point  771  pendant 
l'instant  d  t ,  à  travers  le  cercle  infiniment  petit  w,  est  le 
même  dans  l'un  et  l'autre  solide  :  donc  il  est  exprimé  par 

—  K  -J—  (o  d  t. 

a  z 

On  en  conclut  la  proposition  suivante  : 

Si  da77s  lui  solide  do7it  les  te/npe'reitu7vs  i7ite'7ieu7'es  'va7ie7it 
avec  le  te77ips ,  e7i  vertu  de  l'action  des  77iolécules ,  071  t/'ace 
une  ligne  droite  quelco7ique ,  et  que  l'on  élève  (voy.  fig.  ô), 
aux  différents poi7its  de  cette  ligne,  les  07'do7i7iées  p  m  d'u7ic 
courbe  pla7ie  égales  aux  températures  de  ces  points  prises  au, 
même  iiista7it  ;  le  flux  de  chaleur ,  e7i  chaque  point  p  de  la 
d7vite ,  se7^a  propo/'tion7iel  à  la  tange7ite  de  l'angle  «  que 
fait  l'élé7nerit  de  la  courbe  avec  la  parallèle  aux  abaisses  ; 
c'est-à-dire  que   si  l'on   plaçait  au   point  p  le  centre  d'un 
cercle  infiniment  petit   1^  ,   perpendiculaire   à  la   ligne ,   la 
quantité  de  chaleur  écoulée  pendant  un  instant  d  t,  à  travers 
ce  cercle,  dans  le  sens  suivant  lequel  les  abaisses  a  p  crois- 
sent, aurait  pour  mesure  le  produit  de  quatre  facteurs  cjui 
sont  la  tangente  de  l'angle  a,  un  coefficient  constant  K, 
l'aire  w  du  cercle,  et  la  durée  d  t  de  l'instant.        v      .  .  ^■.^■,^ 


i34  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

i4i. 

COROLLAIRE. 

Si  l'on  représente  par  e  l'abaisse  de  cette  courbe  ou  la 
distance  d'un  point/)  de  la  droite  à  un  point  fixe  o;  et  par 

V  l'ordonnée  qui  représente  la  température  du   point  p; 

V  variera  avec  la  distance  e  et  sera  une  certaine  fonction  y  £ 
de  cette  distance  ;  la  quantité  de  chaleur  qui  s'écoulerait  à 
travers  le  cercle  w,  placé  au  point/;»  perpendiculairement  à 

la  ligne,  sera  —  ^  ~/T  ^-^  dt  >  ou  —  K/"  (e)  (^  d  t ,  en  dési- 
gnant par/"  (s)  la  fonction      , ,   • 

Nous  donnerons  à  ce  résultat  l'expression  suivante,  qui 
facilite  les  applications. 

Pour  connaître  le  flux  actuel  de  la  chaleur  en  un  point  p 
d'une  droite  tracée  dans  un  solide ,  dont  les  températures 
'varient  par  l'action  des  molécules,  il  faut  diviser  la  diffé- 
rence des  températures  de  deux  points  infiniment  voisins  du 
point  p  par  la  distance  de  ces  points.  Le  flux  est  propor- 
tionnel au  quotient. 

THÉOREjME    IV. 

Il  est  facile  de  déduire  des  théorèmes  précédents  les 
équations  générales  de  la  propagation  de  la  chaleur. 

Supposons  que  les  différents  points  d'un  solide  homogène 
d'une  forme  quelconque ,  aient  reçu  des  températures  ini- 
tiales qui  varient  successivement  par  l'effet  de  l'action  mu- 
tuelle des  molécules ,  et  que  l'équation  v  =  f(x,y,  z,t) 
représente  les  états  successifs  du  solide  ,  on  va  démontrer  que 
la  fonction  v  de  quatre  variables  satisfait  nécessairement 
a  l'équation 


CHAPITRE   II.  i35 


Tt         CD  \dx'     '     ci  y 


l' V  d'il  el'-v-X 


En  effet,  considérons  le  mouvement  de  la  chaleur  dans 
une  molécule  comprise  entre  six  plans  perpendiculaires 
aux  axes  des*",  des  j,  et  des  z;  les  trois  premiers  de  ces 
plans  passent  par  le  point  m,  dont  les  coordonnées  sont 
x,  y,  z,  et  les  trois  autres  passent  par  le  point  j?i',  dont  les 
coordonnées  sont  a;  +  dœ,  y  +  dy ,  z  -k-  d  z. 

La  molécule  reçoit  pendant  l'instant  d  t ,  à  travers  le 
rectangle  inférieur  dx  dy,  c[ui  passe  par  le  point  m,  une 

quantité  de  chaleur  égale  à  —  K  d  x  dy  -j^  d  t.  Pour  con- 
naître la  quantité  qui  sort  de  la  molécule  par  la  face  opposée, 
il  suffit  de  changer  dans  l'expression  précédente  z  en  z  +  dz, 
c'est-à-dire  d'ajouter  à  cette  expression  sa  propre  différen- 
tielle prise  par  rapport  à  z  seulement;  on  aura  donc  ; 

—  Y\.  d  X .  dy  -j:  dt  —  K  d  x .  dy  d  {  -j-^  ]  d  z  d  t       •   ., 

dz 

pour  la  valeur  de  la  quantité  qui  sort  à  travers  le  rectangle 
supérieur.  La  même  molécule  reçoit  encore  à  travers  le  pre- 
mier rectangle  d  x  d  z  qui  passe  par  le  point  nj ,  une  quan- 
tité de  chaleur  égale  à  —  lS.-j-dx.dz.dt;  et  si  l'on  ajoute 

à  cette  expression  sa  propre  différentielle  prise  par  rapport 
à  y  seulement,  on  trouve  que  la  cjuantité  cjui  sort  à  travers 
la  face  opposée  d  x  d  z,  a  pour  expression 

—  K  -j—  dx  dz  d  t  —  ]s.  d  { -j-  j  dy  d  x  dz  dt. 

dy  :■  ':    ,:■  -Ji  jJ 


i36  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

Enfin  cette  mole'cule  reçoit,  par  le  premier  rectangle  dy  dz 
une  quantité  de  chaleur  égale  à  —  ^Zj~'  ^J  ^^^  ^^^  >  ^^  ^^ 

qu'elle  perd  à  travers  le  rectangle  opposé,  qui  passe  par  to', 
a  pour  expression 

—  K  -j-  (^y  d  z  d  t  —  K  f/  (  -j—  j  d  X  d  y  d  z  d  t. 

d  X 

Il  faut  maintenant  prendre  la  somme  des  quantités  de 
chaleur  que  la  molécule  reçoit,  et  en  retrancher  la  somme 
de  celles  qu'elle  perd.  On  voit  par-là  qu'il  s'accumule  durant 
l'instant  dt  dans  l'intérieur  de  cette  molécule,  une  quantité 

'd^  -v        d"  V        d"  -y> 

Il  ne  s'agit  plus  que  de  connaître  quel  est  l'accroissement  de 
température  qui  doit  résulter  de  cette  addition  de  chaleur. 

D  étant  la  densité  du  solide,  ou  le  poids  de  l'unité  de 
volume,  et  C  la  capacité  spécifique,  ou  la  quantité  de  chaleur 
c[ui  élève  l'unité  de  poids  de  la  température  o  à  la  tempéra- 
ture I  ;  le  produit  C .  D  dx  dy  dz  exprime  combien  il  faut 
de  chaleur  pour  élever  de  o  à  i  la  molécule  dont  le  volume 
est  dx  dy  dz.  Donc  en  divisant  par  ce  produit  la  nouvelle 
quantité  de  chaleur  que  la  molécule  vient  d'acquérir,  on 
aura  son  accroissement  de  température.  On  obtient  ainsi 
l'équation  générale 


totale  de  chaleur  égale  à  K( -^^^^  +  ^— ,  +  -^^/]dx  dy  dzdt. 


dv  K      [d^  V         d^  V  d^ 


■V 


dt  CD   \dx'  ^    dy  ^    d: 


(A) 


qui  est  celle  de  la  propagation  de  la  chaleur  dans  l'intérieur 
de  tous  les  corps  solides. 


CHAPITRE   11.  i37 

i43. 

Indépendamment  de  cette  équation ,  le  système  des  tem- 
pératures est  souvent  assujéti  à  plusieurs  conditions  déter- 
minées, dont  on  ne  peut  donner  une  expression  générale, 
puisqu'elles  dépendent  de  l'espèce  de  la  question. 

Si  la  masse  dans  laquelle  la  chaleur  se  propage  a  des  di- 
mensions finies,  et  si  la  superficie  est  retenue  par  une  cause 
spéciale  dans  un  état  donné;  par  exemple,  si  tous  ses  points 
conservent!,  en  vertu  de  cette  cause,  la  tempéi'ature  cons- 
tante o,  on  aura,  en  désignant  la  fonction  inconnue  v  par 
ç  {x,y,z,t),  l'équation  de  condition  9  {x,y,z,  t)  =  o;  il 
est  nécessaire  qu'elle  soit  satisfaite  pour  toutes  les  valeurs 
de  x,y,  z,  qui  appartiennent  aux  points  de  la  surface  exté- 
térieure,  et  pour  une  valeur  quelconque  de  t. 

De  plus,  si  l'on  suppose  que  les  températures  initiales  du 
corps  sont  exprimées  par  la  fonction  connue  F  {x,y,  z), 
on  a  aussi  l'équation  ip  {oc, y,  z,o)  =  F  [x,y,  z)\  la  condi- 
tion exprimée  par  cette  équation  doit  être  remplie  pour 
les  valeurs  des  coordonnées  x,y,  z,  qui  conviennent  à  un 
point  quelconque  du  solide. 

144. 
Au  lieu  d'assujétir  la  surface  du  corps  à  une  température 
constante,  on  peut  supposer  que  cette  température  n'est  pas 
la  même  pour  les  différents  points  de  la  surface ,  et  qu'elle 
varie  avec  le  temps  suivant  une  loi  donnée;  c'est  ce  qui  a 
lieu  dans  la  question  des  températures  terrestres.  Dans  ce 
cas  l'équation  relative  à  la  surface ,  contient  la  variable  t. 

145. 
Pour  examiner  en  elle-même,  et  sous  un  point  de  vue 
très-général,  la  question  de  la  propagation  de  la  chaleur,  il 

18 


i38  TPIÉOPlIE  de  la  CHALEUR. 

faut  supposer  que  le  solide,  dont  l'état  initial  est  donné,  a 
toutes  ses  dimensions  infinies  ;  alors  aucune  condition  spé- 
ciale ne  trouble  la  diffusion  de  la  chaleur,  et  la  loi  à  la- 
quelle ce  principe  est  soumis,  devient  plus  manifeste  :  elle 
est  exprimée  par  l'équation  générale 

d-v  Y.    r  d"  V       d'  V       d^  V 


dt       CD  V,â?='  ^  dy'    '    dz' 

à  laquelle  il  faut  joindre  celle  qui  se  rapporte  à  l'état  initial 
et  arbitraire  du  solide. 

Supposons  que  la  température  initiale  d  une  molécule  , 
dont  les  coordonnées  sont  x,j;  z,  soit  une  fonction  connue 
F{x,y,  z),  et  désignons  la  valeur  inconnue  v  parc  {x,y,  z,  f), 
on  aura  l'équation  déterminée  <ù(oe,  y,  z,  o)  =  F  (a:,  y,  z')'; 
ainsi  la  question  est  réduite  à  intégrer  l'équation  générale  (A) 
ensorte  qu'elle  convienne ,  lorsque  le  temps  est  nul ,  avec 
l'équation  qui  contient  la  fonction  arbitraire  F. 

SECTION   VIL 

Equation  générale  relative  à  la  surface. 

i46. 

Si  le  solide  a  une  forme  déterminée,  et  si  la  chaleur  pri- 
mitive se  dissipe  successivement  dans  l'air  atmosphérique 
entretenu  à  une  température  constante  ,  il  faut  ajouter  à 
l'équation  générale  (A)  et  à  celle  qui  représente  l'état  initial, 
une  troisième  condition  relative  à  l'état  de  la  surface.  Nous 
allons  examiner  dans  les  articles  suivants,  la  nature  de  l'équa- 
tion qui  exprime  cette  dernière  condition. 


CHAPITRE  II.  i39 

Considérons  l'état  varial)ie  d'un  solide  dont  la  chaleur  se 
ilissipe  dans  l'air,  entretenu  à  une  température  fixe  o.  Soit  w 
une  partie  infiniment  petite  de  la  surface  extérieure ,  et  ;;.  un 
point  de  w,  par  lequel  on  fait  passer  une  normale  à  la  sur- 
face ;  les  différents  points  de  cette  ligne  ont  au  même  in- 
stant des  températures  différentes. 

Soient  V  la  température  actuelle  du  point  ja,  prise  pour 
un  instant  déterminé,  et  w  la  température  correspondante 
d'un  point  v  du  solide  pris  sur  la  normale,  et  distant  du 
point  [i.  d'une  quantité  infiniment  petite  a.  Désignons  ])ar 
X ,y,z^  les  coordonnées  du  point  [i.,  et  par 

celles  du  point  v;  soient  y  (^,j-,  c)  =o  l'équation  connue 
de  la  surface  du  solide,  et  'v=(p(a?,  jy,  z,  t)  l'équation  géné- 
rale qui  doit  donner  la  valeur  de  v  en  fonction  des  quatre 
variables  x,y,  z,  t.  En  différentiant  réquationy(^^  j,  z)  =  o, 
on  aura  md x -[- n  d y +p  d z=zo-^Tn ,n, p  sont  des  fonc- 
tions de  x,y,  z.  '       '    ' 

Il  résulte  du  corollaire  énoncé  dans  farticle  i4i ,  que  le 
tlux ,  dans  le  sens  de  la  normale ,  ou  la  quantité  de  chaleur 
qui  traverserait  pendant  l'instant  d t  la.  surface  oj,  si  on  la 
plaçait  en  un  point  quelconque  de  cette  ligne,  perpendicu- 
lairement à  sa  direction  ,  est  proportionnelle  au  quotient 
c[ue  l'on  obtient  en  divisant  la  dittérence  de  température  de 
deux  points  infiniment  voisins  par  leur  distance.  Donc  l'ex- 
pression de  ce  flux  à  l'extrémité  de  la  normale  est 

—  K oi  d  t; 

a 

K  désignant  la  conducibilité  spécifique  de  la  masse.  D'un 

i8. 


i4o  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

autre  côté  la  surface  a>  laisse  échapper  dans  l'air,  pendant 
l'instant  dt,  une  quantité  de  clialeur  égale  a  hviùdt;  h  étant 
la  conducibilité  relative  à  l'air  atmospliéric[ue.  Ainsi  le  flux 
de  chaleur  à  l'extrémité  de  la  normale  a  deux  expressions 

différentes ,  savoir  :  hv  m  dtet  —  A- w  d t;  donc  ces  deux 

^  a 

quantités  sont  égales;  et  c'est  en  exprimant  cette  égalité, 
que  l'on  introduira  dans  le  calcul  la  condition  relative  à  la 
surface. 

147. 

On  a  iv  =  v  -h  ^v=v  +  -j-sx+-T-sy  +  -r-  0  z.  Or,  il 

dx  dy     ''  dz  ^ 

suit  des  principes  de  la  géométrie  ,  que  les  coordonnées 
^  X,  Ij,  dz,  qui  fixent  la  position  du  point  v  de  la  normale 
par  l'apport  au  point  p.,  satisfont  aux  conditions  suivantes  : 

p^  x^=^inl  z,pt  y  =  n^  z. 

On  a  donc 

i/       d  V  d  V  dv\  ^ 

,       '^-'^  =  pV''d^'^''dj-+^d-J^^-- 

on  a  aussi 

«=  Y^  x'+^f  +  §z'  =  -{j7i-  +  n'  -hp')^^z, 

ou  a  =  - 5  z,  en  désignant  par  q  la  quantité 

(m'  ■+-  n'  +/>')'; 
donc 

w — T /      dv  du  dv\  I 

a  V      dx  dj       ^  d  zj  q'' 

par  conséquent  l'égalité 

A  V  (d  dt==.  —  ki \iudt 


CHAPITRE   II.  i4i 

devient  la  suivante 


dv  d  V  d V        h 

m  -, — \-  n 


dx  dj 


cl  V         II  , ,, , 


Cette  e'quation  est  tleterminc'e  et  ne  s'applique  qu'aux  points 
de  la  surface;  elle  est  celle  que  l'on  doit  ajouter  à  lëquation 
générale  de  la  propagation  de  la  chaleur  (A),  et  à  la  con- 
dition qui  détermine  l'état  initial  du  solide  ;  m,  n,p,  q,  sont 
des  fonctions  connues  des  coordonnées  des  points  de  la 
surface. 

i48. 

L'équation  B  signifie  en  général  que  le  décroissement  de 
la  température,  dans  le  sens  de  la  normale,  à  l'extrémité  du 
solide ,  est  tel  que  la  quantité  de  chaleur  qui  tend  à  sortir 
en  vertu  de  l'action  des  molécules,  équivaut  toujours  à  celle 
que  le  corps  doit  perdre  dans  le  milieu. 

On  pourrait  concevoir  que  la  masse  du  solide  est  pro- 
longée, en  sorte  que  la  surface  au  lieu  d'être  exposée  à  l'air, 
appartient  à-la-fois  au  corps  qu'elle  temnine,  et  à  une  enve- 
loppe solide  qui  le  contient.  Si,  dans  cette  hypothèse,  une 
cause  quelconque  réglait  à  chaque  instant  le  décroissement 
des  températures  dans  l'enveloppe  solide,  et  la  déterminait 
de  manière  que  la  condition  exprimée  par  l'équation  B,  fût 
toujours  satisfaite,  l'action  de  l'enveloppe  tiendrait  lieu  de 
celle  de  l'air,  et  le  mouvement  de  la  chaleur  serait  le  même 
dans  l'ini  et  l'autre  cas  :  on  peut  donc  supposer  que  cette 
cause  existe  ,  et  déterminer,  dans  cette  hypothèse  ,  l'état 
variable  du  solide;  c'est  ce  que  l'on  fait  en  employant  les 
deux  équations  A  et  B. 

On  voit   par-là  comment  l'interruption    de  la   masse  et  ^ 


i42  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

l'action  du  milieu,  troublent  la  diffusion  de  la  chaleur  en 
l'assujétissant  à  une  condition  accidentelle. 

On  peut  aussi  conside'rer  sous  un  autre  point  de  vue  cette 
équation  (B),  qui  se  rapporte  a.  l'état  de  la  surface;  il 
faut  auparavant  déduire  une  conséquence  remarquable  du 
théorème  m  (art.  i4o)-  Nous  conserverons  la  construction 
rapportée  dans  le  corollaire  du  même  théorème  (art.  141  )• 
Soient  x,  j,  z  les  coordonnées  du  point  p  et 

X-+-  ^  X, y  +  èj;  z  +  ^  z, 

celles  d'un  point  q  infiniment  voisin  dep,  et  marqué  sur 
la  droite  dont  il  s'agit  ;  désignons  par  v  et  iv  les  tempéra- 
tures des  deux  points  p  et  q  prises  pour  le  même  instant , 
on  aura 

donc  le  quotient 

6  e        dx  à  £        dx  8  &       d  z  à  t  *^  "^ 

ainsi  la  quantité  de  chaleur  qui  s'écoule  à  travers  la  surface 
(0  placée  au  point  m,  perpendiculairement  à  la  droite,  est 

, ,        7     l  dv  § X        dv  8  y        d  7>  ^z) 
(  dx  S  e         dj-  d  £         d  z  ai) 

Le  premier  terme  est  le  produit  de —  k  -y-  par.  dt  et  par 

^x 

(jy-  Cette  dernière  quantité  est,  d'après  les  principes  de  la 
géométrie,  l'aire  de  la  projection  de  w  sur  le  plan  des  y  et  z; 


CHAPITRE   II.  i43 

ainsi  le  produit  représente  la  quantité  de  chaleur  qui  s  écou- 
lerait à  travers  l'aire  delà  projection ,  si  on  la  plaçait  au 
point/»,  perpendiculairement  à  Taxe  des  a: 

Le  second  terme  —  k  -j-  w  k—  d  t  représente  la  quantité 

de  chaleur  qui  traverserait  la  projection  de  w ,  faite  sur  le 
plan  des  a;  et  z,  si  on  plaçait  cette  projection  au  point  ^, 
parallèlement  à  elle-même. 

Enfin  le  troisième   terme  —  /.•   -^tji^clt  représente  la 

quantité  de  chaleur  qui  s'écoulerait  pendant  l'instant  d  t ,  k 
travers  la  projection  de  w  sur  le  plan  àesoeçty,  si  l'on  plaçait 
cette  projection  au  point  y;,  perpendiculairement  à  la  coor- 
donnée z. 

On  voit  par-là  que  la  quantité  de  chaleur  qui  s'écoule  à 
travei's  chaque  partie  infiniment  petite  d'une  surface  tracée 
dans  l'intérieur  du  solide ,  peut  toujours  être  décomposée 
en  trois  autres ,  qui  pénètrent  les  trois  projections  ortho- 
gonales de  la  surface ,  selon  des  directions  perpendiculaires 
aux  plans  des  projections.  Ce  résultat  donne  naissance  à 
des  propriétés  analogues  k  celles  que  l'on  remarque  dans 
la  théorie  des  forces. 

i5o. 

La  quantité  de  chaleur  qui  s'écoule  à  travers  une  surllicc 
plane,  iniîniment  petite  w,  donnée  de  figure  et  de  position  , 
étant  équivalente  à  celle  qui  traverserait  ses  trois  projections 
orthogonales,  il  s'ensuit  que,  si  l'on  conçoit  dans  l'intérieur 
du  solide  un  élément  d'une  figure  quelconque,  les  quantités 
de  chaleur  qui  pénètrent  dans  ce  polyèdre  par  ses  diffé- 
rentes liices,  se  compensent  l'éciproquement;  ou  plus  exacte- 


i44  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

ment,  la  somme  des  termes  du  premier  ordre,  qui  entrent 
dans  l'expression  de  ces  quantités  de  chaleur  reçues  par  la 
molécule,  est  zéro;  ensorte  que  la  chaleur  qui  s'y  accumule 
en  effet,  et  fait  varier  sa  température,  ne  peut  être  exprimée 
que  par  des  termes  infiniment  plus  petits  c[ue  ceux  du  pre- 
mier ordre. 

On  voit  distinctement  ce  résultat  lorsqu'on  établit  l'équa- 
tion générale  (A),  en  considérant  le  mouvement  de  la  chaleur 
dans  une  molécule  prismatique  (ai-ticles  12^  et  142);  on  le 
démontre  encore  pour  une  molécule  d'une  figure  quelcon- 
que, en  substituant  à  la  chaleur  reçue  par  chaque  face, 
celle  que  recevraient  ses  trois  projections. 

Il  est  d'ailleurs  nécessaire  que  cela  soit  ainsi  :  car,  si  une 
des  molécules  du  solide  acquérait  pendant  chaque  instant 
une  quantité  de  chaleur  exprimée  par  un  terme  du  premier 
ordre,  la  variation  de  sa  température  serait  infiniment  plus 
grande  que  celle  des  autres  molécules,  c'est-à-diie,  que 
pendant  chaque  instant  infiniment  petit,  sa  température  aug- 
menterait ou  diminuerait  d'une  quantité  finie;  ce  qui  est 
contraire  à  l'expérience. 

i5i. 

Nous  allons  appliquer  cette  remarque  à  une  molécule 
placée  à  la  surface  extérieure  du  solide. 

Par  un  point  a  {voy.  fig.  6),  pris  sur  le  plan  des  x  et 
y ,  menons  deux  plans  perpendiculaires  ,  l'un  à  l'axe  des 
X,  l'autre  à  l'axe  des  y.  Par  un  autre  point  h  du  même 
plan ,  infiniment  voisin  de  a ,  menons  aussi  deux  plans 
parallèles  aux  deux  précédents;  les  ordonnées  z,  élevées 
aux  points  a,  h,  c,  d,  jusqu'à  la  surface  extérieure  du 
solide,  marqueront  sur  cette  surface  quatre  points  a',  h' ,  c ,  d, 


I 


CHAPITRE    II.  i45 

et  seront  les  arêtes  d'un  prisme  tronqué,  dont  la  base  est 
le  rectangle  abcd.  Si  par  le  point  d ,  qui  désigne  le  moins 
élevé  des  quatre  points  d ,  V ,  d ,  cl'  on  fait  passer  un  plan 
parallèle  à  celui  des  xcty,  on  retranchera  du  prisme  tron- 
qué une  molécule,  dont  une  des  faces,  savoir  :  d  b'  c  d'  se 
confond  avec  la  superficie  du  solide.  Les  valeurs  des  quatre 
ordonnées  ad  ce  dd'  hU  sont  les  suivantes  :     .     ,,..,,  ,     '-, 

ad  =■  z 
,  d  z   -, 

ce   ^=:  Z+  -r-  d  X 

ax 
dd  :=^  z  +  ^dv 

bb' z:::^  Z^-y-^-d  X  +~  d  y 
l52. 

L'une  des  faces  perpendiculaires  aux  x  est  un  triangle,  et 
la  face  opposée  est  un  trapèze.  L'aire  du  triangle  est 

et  le  flux  de  chaleur  dans  la  direction  perpendiculaire  à 
cette  surface  étant  — k  ~  on  a,  en  omettant  le  facteur  dt, 

,  d  V    dy  d  z   j 
dx     1    dy      "^ 

pour  l'expression  de  la  quantité  de  chaleur  qui  pénètre  pen- 
dant un  instant  dans  la  molécule,  à  travers  le  triangle  dont 

il  s'agit.  '    ' 

L'aire  de  la  face  opposée  est  -      ';,■;.    'ij   <  X  ,-.() 


\^y(^ià^^  +  ''iidx-v'if-dy 


'<7 


i46  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

et  le  flux  perpendiculaire  à  cette  face  est  aussi  —  J;  j~_ ,    en 

supprimant  les  termes  du  second  ordre  ,  infiniment  plus 
petits  que  ceux  du  premier;  on  retranchera  la  quantité  de 
chaleur  qui  sort  par  cette  seconde  face,  de  celle  qui  entre 

par  la  première  et  l'on  trouvera  k-, ~  dx  dr. 

'■  ^  dx  dx  "^ 

Ce  terme  exprime  combien  la  molécule  reçoit  de  chaleur 
par  les  faces  perpendiculaires  aux  x. 

On  trouvera,  par  un  calcul  semblable,  que  la  même  mo- 
le'cule  reçoit,  par  les  faces  perpendiculaires  aux  y,  une  quan- 
tité de  chaleur  é^ale  à  Ti  -, — ^-dxdr. 

°  dy  dy  "^ 

La  quantité  de  chaleur  que  la  molécule  reçoit  par  la  base 

rectangulaire  est  —  ^'  tt  '^'^  ^y-   Enfin, elle  laisse  échapper 

dans  l'air,  à  travers  la  surface  supérieure  a'  b' c  d' ,  une  cer- 
taine quantité  de  chaleur  égale  au  produit  de  hv,  par 
l'étendue  co  de  cette  surface.  La  valeur  de  u  est,  selon  les 
principes  connus,  celle  de  dx  dy,  multipliée  par  le  rapport 

-;  è  désigne  la  longueur  de  la  noi^male,  depuis  la  surface 

"extériem^e  jusqu'au  plan  des  x  et  y ,  et 


3=3  1+^ 


dx)    +  KjFy) 


donc   la  molécule   perd   à  travers  sa   surface  a  b' c  d  une 
quantité  de  chaleur  égale  à  h  v  d  x  dy  -■ 

Or,  les  termes  du  premier  ordre  qui  entrent  dans  l'ex- 
pression de  la  quantité  totale  de  chaleur  acquise  par  la 
molécule,  doivent  se  détruire,  afin  que  la  variation  des  tem- 


CHAPITRE  ïl.  r47 

pératures  ne  soit  pas  à  chaque  instant  une  quantité  finie  ; 
ou  doit  donc  avoir  l'équation 

k'^^.^-  dxdy  +  A-^'-'-r- dx  dy—h-^dx  dy—h  v  - dxdr=o^ 

dx  dx  •'  dj  dj  •  dz  ''  z  ' 

;T,i>'-'   ',-  W'  ; 

h         i  dv   dz         di'  dz         dv 

k         z  dx  dx        df  dy         dz 

lOJ. 

En  mettant  pour  -j^  et  -^_  leurs  valeurs  tirées  de  l'éqna- 
tion  mdx  +  ndy^pdz  =  0,  et  désignant  par  q  la  quan- 
tité [ni-  +  7f  +jj')'  on  a  ■•;■_;    ••.. 

j  j  j         •,'-.■•'.  .\      .'  ■  :<  -i  '.!  i'iiri- 

7  d  V         -,       d  i>         T       d  V        j  /i,, 

A-  7?z  -J hk  71  -. 1-  A-  T?  -7-  +  /;  T  (7  =  o ,  (B) 

dx  dy  '     dz  ■'■  ^ 

on  connaît  ainsi  d'une  manière  distincte  ce  que  représente 
chacun  des  termes  de  cette  équation.  •  '■';  ''  -;>-'■  i- 
En  les  prenant  tous  avec  des  signes  contraires  et  les  mul- 
tipliant par  le  rectangle  dx  dy,  le  premier  exprime  com- 
bien la  molécule  reçoit  de  chaleur  par  les  deux  faces  per- 
pendiculaires aux  X ,  le  second  combien  elle  en  reçoit  par 
ses  deux  faces  perjîcndiculaires  aux  y,  le  troisième  combien 
elle  en  reçoit  par  la  face  perpendiculaire  aux  z,  et  le  qua- 
trième combien  elle  en  reçoit  du  milieu.  L'équation  exprime 
donc  que  la  somme  de  tous  ces  termes  du  premier  ordre 
est  nulle,  et  que  la  chaleur  acquise  ne  peut  être  représentée 
que  par  des  termes  du  second  ordre. 

i54. 
Pour  parvenir  à  cette  équation  (B)  il  faut  considérer  ime 
des  molécules  dont  la  base  est  à  la  surface  du  solide,  comme 


i48  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

un  vase  qui  reçoit  ou  perd  la  chaleur  par  ses  dilTëreutes 
faces.  L'équation  signifie  que  tous  les  termes  du  premier 
ordre  qui  entrent  dans  l'expression  de  la  chaleur  acquise 
se  détruisent  mutuellement  ;  ensorte  que  cet  accroisse- 
ment de  chaleur  ne  peut  être  ex})rimé  cjue  par  des  termes 
du  second  ordre.  On  peut  donner  à  cette  molécule,  ou  la 
forme  d'un  prisme  droit,  dont  l'axe  est  perpendiculaire  à  la 
surface  du  solide,  ou  celle  d'un  prisme  tronqué,  ou  une 
forme  cjuelconque. 

L'équation  générale  (A)  suppose  que  tous  les  termes  du 
premier  ordre  se  détruisent  dans  l'intérieur  de  la  masse ,  ce 
qui  est  évident  pour  des  molécules  prismatiques  comprises 
dans  le  solide.  L'équation  (B)  exprime  le  même  résultat  pour 
les  molécules  placées  aux  limites  des  corps. 

Tels  sont  les  points  de  vue  généraux  sous  lesquels  on  peut 
envisager  cette  partie  de  la  théorie  de  la  chaleur. 

_  ,  ,  .  d  i'  K      /  d"  V         d"  V         d^  v  \  ,        .       , 

L équation   _==:_(^_  +  _+— J    représente  le 

mouvement  de  la  chaleur  dans  l'intérieur  des  corps.  Ce 
théorème  fait  connaître  la  distribution  instantanée  dans 
toutes  les  substances  solides  ou  liquides;  on  en  pourrait 
déduire  l'équation  qui  convient  à  chaque  cas  particulier. 

Nous  ferons  cette  application  dans  les  deux  articles  sui- 
vants, à  la  question  du  cylindre  et  à  celle  de  la  sphère. 


CHAPITRE  II.  i49 

SECTION   VIII. 

Application   des   équations  générales. 

i55. 

Désignons  par  /•  le  rayon  variable  d'une  enveloppe  cylin- 
drique quelconque,  et  supposons,  comme  pre'cédemraent 
dans  l'art.  1 18,  que  toutes  les  molécules  également  éloignées 
de  l'axe  ont  à  chaque  instant  une  température  commune; 
a»  sera  une  fonction  de  /•  et  t;  r  est  une  fonction  de  j%  z, 
donnée  par  l'équation  /■'=z'  -\-y^-  H  est  évident,  en  premier 
lieu  que  la  variation  de  a»  par  rapport  à  x  est  nulle;  ainsi 

le  terme  -r—  doit  être  omis.   On  aura  maintenant,  suivant 

dx 

les  principes  du  calcul  différentiel,  les  équations  : 

d  V        dvdr        d'  v d^  i'    f  d  r\'        d v  d'  r 

ZT"^  77' 71  ^^  dl}'^dT''y7~z  )  '^  TH'dl}  ' 

di'         dvdr        d"  ï> d' ï<  /  d  r\''        d  i>  d'  )\ 

7}-^^d~r'7}^^7J'~7T\7j)  "*"  ZT'ZP' 
donc  ■  .     ' 

d^v        d'v        d'7'{/dr\'        /" 'l ''^'l      dvid'r        d' r\)      ,    . 

di^  +  7r=d?  \X7i)  +  C<7) f  -d-r  U--^  57  j|-  («) 

Il  faut  l'emplacer  dans  le  second  membre  les  cjuantités 

d  r     d  r     d'  r     d^  r 
71'  Tj'  Tï^'  dy 

par  leurs  valeurs  respectives  ;  pour  cela  on  tirera  de  l'équa- 
tion z^  +  y-  =  r  ..._-. 

dr  f  dr\^  d' r 

d  r  /  f/  r  N  ^  d'  r 

dj  V  dj  J  d  y' 


i5o  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

et  parconséqueat 

dz)  -^{dJ-J  +''\dï^  +  d?, 
la  première  équation ,  dont  le  premier  membre  est  égal  à  r, 
donne 


(Sï-m  ■ 

la  seconde  donne 

,  lorsqu'on  met  pour 

sa  valeur  i 

d"-  r         d' r         i            .     x 

Si  maintenant  on  substitue  dans  l'équation  (a)  les  valeurs 
données  par  les  équations  (i)  et  (c) ,  on  aura 

d^v         d^v d^v         I  dv 

d  z"         dy         d  r'         r  d  r 

Donc  l'équation  cpi  exprime  le  mouvement  de  la  chaleur 
dans  le  cylindre ,  est 

dv  K     f  d''v         I    d v\ 

Z7  "~  CTD  V77^  "^  l-"dr)  ' 

comme  on  l'a  trouvé  précédemment,  art.  119. 

Ou  pourrait  aussi  ne  point  supposer  que  les  molécules 
également  éloignées  de  l'axe,  ont  reçu  une  température  ini- 
tiale commune;  dans  ce  cas  on  parviendrait  à  une  équation 
beaucoup  plus  générale. 

i5G. 

Pour  déterminer,  au  moyen  de  l'équation  (A),  le  mouve- 


I 


CHAPITRE  II.  i5i 

ment  de  la  clialeur  dans  une  sphère  qui  a  été  plongée  dans 
un  liquide ,  on  regai-deia  v  comme  une  lonction  de  /■  et  t; 
r  est  une  fonction  de  ce,  y,  z,  donnée  par  l'équation 

/•  étant  le  rayon  variable  d'une  enveloppe.  On  aura  ensuite 

d  V dv  d  r        d'  v d"  v  /  d  r\'        dv  d^  r 

dx        ëfl' dv        dlë        d  r''\dx  )  d^-' d:c'  'c.:..  ir- 

d  v dvdr        d"  v d' v  /' d  r\'       dv  d'' r 

dj'         dl''7}-        jy         d~?  yl}  J    ^  Ti'TJ' 

d  T>         dv  d  r        d'v         d' v  /'dr\'        dv  d' r 
et 


riz  d  r  dz        d  z'         d  r'-  \dzj  dr  dz 

En  Tiûsant  les  suljstitutions  dans  l'équation 

dv  K     /r/'î'        d^  V      d^- V 


d  t         CD  \dz'         df  '  d; 

on  aura  ■  " 

dv         K     fd'v\(dr\       fdry       rdr\\       dv  fd' r      d' r    .  d^  r\\  ,    , 

L'équation  .r'  +  j'^  -f-  s'  =  r  fournit  les  résultats  sui\'ants  : 

dx  \dxj  dx^ 

dr     ^  fdr\'  d^  r 

dr  /" dr\  '  d''  r 

"-=-'•  11'''''=  {Tz)  +''d^-    ■        ■  : 

Les  trois  équations  du  premier  ordre  donnent  : 
Les  trois  équations  du  second  ordre  donnent 


.1. 


d  r\'  /'dr\'         /  d  r\'  {  d' r         d' r        d' r] 


d  r\' 


i52  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR, 

et  mettant  pour 

/-dry         /'d'-Y        ('dry 

la  valeur  i ,  on  a 

d'  r         d' r         d' r 2 

d~?  ~^  dy  '^  JI'       r' 

Faisant  les  substitutions  clans  l'équation  (<*),  on  aura  l'équation 

dv  K      /  d''  21         '2   d  V 

7^  + 


d  t         C .  D  V  rf'  '■'         r  dr 
qui  est  la  même  que  celle  de  l'art.  1 14- 

L'équation  contiendrait  un  plus  grand  nombi'e  de  termes , 
si  l'on  ne  supposait  point  que  les  molécules  également 
éloignées  du  centre  ont  reçu  la  même  température  initiale. 

On  pourrait  aussi  déduire  de  l'équation  déterminée  (B), 
celles  qui  expriment  l'état  de  la  surface  dans  les  équations  par- 
ticulières ,  où  l'on  suppose  cju'un  solide  d'une  forme  donnée, 
communique  sa  chaleur  à  l'air  atmosphérique  ;  mais  le  plus 
souvent  ces  équations  se  présentent  d'elles-mêmes,  et  la 
forme  en  est  très  -  simple ,  lorsque  les  coordonnées  sont 
choisies  convenablement. 

SECTION   IX. 

Remarques  générales. 

157. 

La  recherche  des  lois  du  mouvement  de  la  chaleur,  dans 
les  solides  consiste  maintenant  à  intégrer  les  équations  que 
nous  avons  rapportées  ;  c'est  l'objet  des  chapitres  suivants  ; 


CHAPITRE   II.  i53 

ïious  terminerons  celui-ci  par  des  remarques  générales  sur 
la  nature  des  quantités  qui  entrent  dans  notre  analyse. 

Pour  mesurer  ces  quantités  et  les  exprimer  en  nombre, 
on  les  compare  à  diverses  sortes  d'unités,  au  nombre  de 
cinq,  savoir  :  l'unité  de  longueur,  1  unité  de  temps,  celle  de 
la  température,  celle  du  poids,  et  enfin  1  unité  qui  sert  à 
mesurer  les  quantités  de  chaleur.  On  aurait  pu  choisir  pour 
cette  dernière  unité  la  quantité  de  chaleur  qui  élève  un 
volume  donné  d'une  certaine  substance ,  depuis  la  tempéra- 
ture o  jusqu'à  la  température  i.  Le  choix  de  cette  unité 
serait  prélérable  à  plusieurs  égards  à  celui  de  la  quantité  de 
chaleur  nécessaire  pour  convertir  une  masse  de  glace  d'un 
poids  donné,  en  une  masse  pareille  deau,  sans  élever  la  tem- 
pérature o.  Nous  n'avons  adopté  cette  dernière  unité,  que 
parce  qu'elle  était  en  quelque  sorte  fixée  d'avance  dans  plu- 
.sieurs  ouvrages  de  physique;  au  reste,  cette  supposition 
n'apporterait  aucun  changement  dans  les  résultats  du  calcul. 

i58. 

Les  éléments  spécifiques  qui  déterminent  dans  chaque 
corps  les  effets  mesurables  de  la  chaleur,  sont  au  nombi'e  de 
trois,  savoir  :  la  conducibilité  propre,  la  conducibilité  rela- 
tive à  l'air  atmosphérique,  et  la  capacité  de  chaleur. 

Les  nombres  qui  expriment  ces  quantités  sont  comme  la 
pesanteur  spécifique  autant  de  caractères  naturels  propres 
aux  diverses  substances.  .  '  -  - 

Nous  avons  déjà  remarqué,  art.  36,  que  la  conducibilité 
de  la  surface  serait  mesurée  d'une  manière  ph.is  exacte,  si 
l'on  avait  des  observations  suffisantes  sur  les  effets  de  la  cha- 
leur rayonnante  dans  les  espaces  vides  d'air. 

On  peut  voir,  comme  nous  l'avons  annoncé  dans  la  pre- 

20 


i54  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

mière  section  du  chap.  I ,  art.  1 1 ,  qu'il  n'entre  dans  le 
calcul  que  trois  coefficients  spécifiques  k,  A^  C  ;  ils  doivent 
être  déterminés  par  des  observations,  et  nous  indiquerons 
par  la  suite  les  expériences  propres  à  les  faire  connaître  avec 
précision. 

r 
109. 

Le  nombre  C ,  qui  entre  dans  le  calcul ,  est  toujours 
multiplié  par  la  densité  D,  c'est-à-dire,  par  le  nombre 
d'unités  de  poids  C|ui  équivalent  au  poids  de  l'unité  de  vo- 
lume ;  ainsi  ce  produit  C  D  peut  être  remplacé  par  le  coeffi- 
cient c.  Dans  ce  cas  on  doit  entendre,  par  capacité  spécifique; 
de  chaleur,  la  quantité  nécessaire  pour  élever  de  la  tem- 
pérature o  à  la  température  i  l'unité  de  volume  d'une 
substance  donnée,  et  non  l'unité  de  poids  de  cette  substance. 
C'est  pour  ne  pas  s'éloigner  des  définitions  communes,  que 
Ion  a  rapporté  dans  cet  ouvrage  la  capacité  de  chaleur  au 
poids  et  non  au  volume  ;  mais  il  serait  préférable  d'employer 
le  coefficient  c  tel  que  nous  venons  de  le  définir;  alors  il 
n'entrera  dans  les  expressions  analytiques  aucune  grandeur 
mesurée  par  l'unité  de  poids:  on  aura  seulement  à  considérer .^ 
1°  la  dimension  linéaii^e  x ,  la  température  v ,  et  le  temps  t ; 
ctP  les  coefficient  c,  h,  et  k.  Les  trois  premières  quantités  sont 
des  indéterminées,  et  les  trois  autres  sont,  pour  chacjue 
substance ,  des  éléments  constants  que  l'expérience  fait  con- 
naître. Quant  à  l'unité  de  surface  et  à  l'unité  de  volume, 
elles  n'ont  rien  d'absolu,  et  dépendent  de  l'unité  de  longueur. 

160. 

Il  faut  maintenant  remarquer  que  chaque  grandeur  indé- 
terminée ou  constante  a  une  dimension  qui  lui  est  propre,  et 
que  les  termes  d'une  même  écjuation  ne  pourraient  pas  être 


i 


CHAPITRE   II.  i5:) 

comparés ,  s'ils  n'avaient  point  le  même  exposant  de  dimension. 
Nous  avons  introduit  cette  considération  dans  la  théorie  de  la 
chaleur  pour  rendre  nos  définitions  plus  fixes,  et  servir  à  véri- 
fier lecalcul  ;  elle  dérive  des  notions  primordiales  sur  les  quan- 
tités ;  c'est  pour  cette  raison  que ,  dans  la  géométrie  et  dans 
la  mécanique,  elle  équivaut  aux  lemmes  fondamentaux  que 
les  Grecs  nous  ont  laissés  sans  démonstration. 

iGi.         -  ■  • 

Dans  la  théorie  analytique  de  la  chaleur,  toute  équa- 
tion (E)  exprime  une  relation  nécessaire  entre  des  grandeurs 
subsistantes  x ,  t ,  v ,  c,  h,  k.  Cette  relation  ne  dépend  point 
du  choix  de  l'unité  de  longueur,  qui  de  sa  nature  est  contin- 
gent, c'est-k-dire  que,  si  l'on  prenait  une  unité  différente  pour 
mesurer  les  dimensions  linéaires,  l'équation  (E)  serait  encore 
la  même.  Supposons  donc  que  l'unité  de  longueur  soit 
changée ,  et  que  sa  seconde  valeur  soit  équivalente  à  la  pre- 
mière, divisée  par  ?n.  Une  quantité  quelconque  x  qui  dans 
l'équation  (E)  représente  une  certaine  ligne  a  ù,  et  qui,  par- 
conséquent,  désigne  un  certain  nombre  de  fois  l'unité  de 
longueur,  deviendra  Jiix,  afin  de  correspondre  à  la  même 
grandeur  a  h  ;  la  valeur  t  du  temps  et  la  valeur  v  de  la  tem- 
pérature ne  seront  point  changées  ;  il  n'en  sera  pas  de  même 

des  éléments  spécifiques  h ,  k,  c  :  le  premier  h  deviendra  —,  ; 

car  il  exprime  la  quantité  de  chaleur  qui  sort  pendant  l'unité 
de  temps,  de  funité  de  surface  à  la  température  i.  Si  l'on 
examine  avec  attention  la  nature  du  coefficient  k ,  tel  que 
nous  l'avons  défini  dans  les  art.  Q^  et  i35,  on  reconnaîtra 

qu'il  devient  —  :  car  le  flux  de  chaleur  est  en  raison  directe 

20, 


i56  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

de  retendue  de  la  surface,  et  en  raison  inverse  de  la  distance 
des  deux  plans  infinis  (art.  ja).  Quant  au  coefficient  c  qui 
représente  le  produit  C  D,  il  de'pend  aussi  de  l'unité  de  lon- 
gueur et  devient  —,  ;  donc  l'équation  (E)  ne  doit  subir  aucun 
changement,  si  Ion  écrit,  au  lieu  de  x ,  inx ,  et  en  même 
temi)s— ,  -A,  — ;,  au  lieu  de  k,  h,  c  ;  le  nombre  m  disparaîtra 

*      m     m     m  ' 

de  lui-même  après  ces  substitutions  :  ainsi  la  dimension  de 
oc,  par  rapport  à  l'unité  de  longueur  est  i  ;  celle  de  k  est —  i  , 
celle  de  h  est  —  2,  et  celle  de  c  est  —  3.  Si  l'on  attribue  à 
chaque  quantité  son  exposant  de  dirnensioii ,  l'équation  sera 
homogène  ,  parce  que  chaque  terme  aura  le  même  exposant 
total.  Les  nombres  tels  que  .y,  qui  représenteraient  des  sur- 
faces ou  des  solides ,  ont  la  dimension  2  dans  le  premier 
cas,  et  la  dimension  3  dans  le  second.  Les  angles,  les  sinus 
et  autres  fonctions  trigonométriques ,  les  logarithmes  ou 
exposants  de  puissance  sont ,  d'après  les  principes  du  calcul , 
des  nombres  absolus  qui  ne  changent  point  avec  l'unité  de 
longueur  ;  on  doit  donc  trouver  leur  dimension  égale  à  o , 
qui  est  celle  de  tous  les  nombre  abstraits. 

Si  l'unité  de  temps ,  qui  était  d'abord  i ,  devient  —,  le 
nombre  t  sera  n  t ,  et  les  nombres  x  et  v  ne  changeront 
point.  Les  coefficients  k,  h,  c  seront  -,  -,  c.  Ainsi  les  dimen- 
sions de  X,  t,  -v,  par  rapport  à  l'unité  de  temps,  sont 
o,  I  ,  o,  et  celles  de  k,  h,  c,  sont —  i ,  —  1,0. 

Si  l'unité  de  température  était  changée ,  en  sorte  que  la 
température  i  devînt  celle  qui  répond  à  un  autre  effet  que 
l'ébullition  de  l'eau  ;  et  si  cet  effet  exigeait  une  température 


CHAPITRE  II. 


ib- 


moindre,  qui  fut  à  celle  de  l'eau  bouillante  dans  le  rapport 
de   I  au  nombre  p ;  v  deviendrait  vj),  .v  et  t  conserveraient 

k      h       c 

leurs  valeurs,  et  les  coëlficiens />, /?,  c  seraient  -,  -,   -• 

P    P    P 

Le  tableau  suivant  représente  les  dimensions  des  trois 
indéterminées  et  des  trois  constantes,  par  rapport  à  chaque 
sorte  d'unité.  ,  ■ 


LONG  U  EUR. 

DURÉE. 

TEMPÉRATUBE. 

1 

■• 

"-» 

o 

I 

o 

o 

O 

I 

-  I 

-  ï 

—   I 

—    2 

—   I 

—    i 

—  3 

o 

—    I 

Ilxposaut  de  dimension  de x 

t 

V 

La   couducibilité  spécifique A 

La  conducJLilité  de  la  surface.  .  .   h 
La  capacité  de  chaleur c 


162. 

Si  l'on  conservait  les  coefficients  C  et  D  ,  dont  le  produit  a 
été  repi'ésenté  par  c ,  on  aurait  encore  à  considérer  l'unité 
de  poids,  et  l'on  trouverait  que  l'exposant  de  dimension, 
par  rapport  à  l'unité  de  longueur,  est  — 3  pour  la  densité  D, 
et  o  pour  C. 

En  appliquant  la  règle  précédente  aux  différentes  équations 
et  à  leurs  transformées,  on  trouvera  qu'elles  sont  homo- 
gènes par  rapport  à  chaque  sorte  d'unité,  et  que  la  dimen- 
sion de  toute  quantité  angulaire  ou  exponentielle  est  nulle. 
Si  cela  n'avciit  point  lieu ,  on  aurait  commis  quelque  erreur 


i58  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

clans  le  calcul,  ou  l'on  y  aurait  intx'oduit  des  expressions 
abi'égées. 

Si  l'on  choisit,  par  exemple,  l'équation  (Z»)  de  lart.  io5 

dv K      cr  V  hl 

dl        (î?D"dx-         CTdI' 

on  trouve  que,  par  rapport  à  l'unité  de  longueur,  la  dimen- 
sion de  chacun  des  trois  termes  est  o;  qu'elle  est  i  pour 
l'unité'  de  température,  et  —  i  pour  l'unité  de  temps. 

Dans  l'équation  a'  =  A  e  'de  l'art.  76,  la  dimen- 

sion linéaire  de  chaque  terme  est  o,  et  l'on  voit  que  celle  de 

l'exposant  x  \/ _    est   toujours    nulle ,  soit    pour   l'unité 

A'  ù 

linéaire,  soit  pour  la  durée  ou  la  température. 


%  V^/V  «  V«  V»«  ^%^  ^^^  «% 


«vx^v^^v^^ 


CHAPITRE   HT. 

PUOl'AG  ATIO\    DE    LA    CHALEUR    DANS    UN    SOLIDE 
RECTANGULAIRE    INFINI. 


SECTION  PREMIERE. 

Exposition  de  la  question. 

i63. 

LjES  questions  relatives  à  la  propagation  uniforme  ou  au 
mouvement  varie  de  la  chaleur  dans  l'intérieur  des  solides, 
sont  re'duites,  par  ce  cjui  précède,  à  des  problèmes  d'ana- 
lyse pure,  et  les  progrès  de  cette  partie  de  la  pliysique 
dépendront  désormais  de  ceux  que  fera  la  science  du  calcul. 
Les  équations  différentielles  que  nous  avons  démontrées, 
contiennent  les  résultats  principaux  de  la  théorie  ,  elles 
expriment,  de  la  manière  la  plus  générale  et  la  plus  concise, 
les  rapports  nécessaires  de  l'analyse  numéricpie  avec  ime 
classe  très -étendue  de  phénomènes,  et  réunissent  pour 
toujours  aux  sciences  mathématiques ,  une  des  branches  les 
plus  importantes  de  la  philosophie  naturelle.  Il  nous  reste 
maintenant  à  découvrir  l'usage  que  l'on  doit  faire  de  ces 
équations  pour  en  déduire  des  solutions  complètes  et  d'une 
application  facile.  La  question  suivante  offre  le  premier 
exemple  de  l'analyse  qui  conduit  à  ces  solutions;  elle  nous 


i6o  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

a  paru  plus  propre  qu'aucune  autre  à  faire  connaître  les 
éléments  de  la  niëtliode  que  nous  avons  suivie. 

164. 

Nous  supposons  qu'une  masse  solide  homogène  est  con- 
tenue oître  deux  plans  verticaux  B  et  C  parallèles  et  infinis . 
et  c{u'on  la  divise  en  deux  parties  par  un  plan  A  perpen- 
diculaire aux  deux  auties  [yoy.  fig.  7);  nous  allons  con- 
sidérer les  tempèratuies  de  la  masse  BAC  comprise  entre 
les  trois  plans  infinis  A,  B,  C.  On  suppose  que  l'autre 
partie  B'  A  C  du  solide  infini  est  une  source  constante  de 
chaleur,  c'est-à-dire  que  tous  ses  points  sont  retenus  à  la 
température  i,  qui  ne  peut  jamais  devenir  moindre,  ni  plus 
grande.  Quant  aux  deux  solides  latéraux  compris  l'un  entre 
le  plan  C  et  le  plan  A  prolongé,  l'autre  entre  le  plan  B  et  le 
plan  A  prolongé ,  tous  leurs  points  ont  une  température 
constante  o ,  et  vme  cause  extérieure  leur  conserve  toujours 
cette  même  température;  enfin  les  molécules  du  solide  com- 
pris entre  A,  B  et  C ,  ont  la  température  initiale  o.  La  chaleur 
passera  successivement  du  foyer  A  dans  le  solide  BAC;  elle 
s'y  propagera  dans  le  sens  de  la  longueur  qui  est  infinie,  et 
en  même  temps  elle  se  détournera  vers  les  masses  froides 
B  et  C  qui  en  absorberont  une  grande  partie.  Les  tempéra- 
tures du  solide  BAC  s'élèveront  de  plus  en  plus  ;  mais  elles 
ne  pourront  outre-passer  ni  même  atteindre  un  maximum 
de  température,  qui  est  différent  pour  les  différents  points 
de  la  masse.  Il  s'agit  de  connaître  l'état  final  et  constant  dont 
l'état  variable  s'approche  de  plus  en  plus. 

Si  cet  état  final  était  connu  et  qu'on  le  formât  d'abord ,  il 
subsisterait  de  lui-même,  et  c'est  cette  propriété  qui  le  dis- 
tingue de  tous  les  autres.  Ainsi  la  question  actuelle  consiste 


CHAPITRE  m.  i6i 

a  déterminer  les  températures  permanentes  d'un  solide  rec- 
tangulaire infini ,  comj)ris  entre  deux  masses  de  glace  B  et  C 
et  une  masse  d'eau  bouillante  A;  la  considération  des  ques- 
tions simples  et  primordiales  est  un  des  moyens  les  plus  cer- 
tains de  découvrir  les  lois  des  phénomènes  naturels,  et  nous 
voyons,  par  l'histoire  deâ  sciences,  que  toutes  les  théories  se 
sont  formées  suivant  cette  méthode.  ..         . 

i65. 
Pour  exprimer  plus  brièvement  la  même  question,  on  sup- 
pose qu'une  lame  rectangulaire  BAC,  d'une  longueur  infinie, 
est  échauffée  par  son  extrémité  A,  et  conserve  dans  tous  les 
points  de  cette  base  une  température  constante  i ,  tandis  que 
chacune  des  deux  arêtes  infinies  B  et  C,  perpendiculaires  à 
la  première,  est  aussi  assujétie  dans  tous  ses  points  à  une 
température  constante  o  ;  il  s'agit  de  déterminer  qu'elles  doi- 
vent être  les  températures  stationnaires  de  chaque  point  de 
la  lame. 

On  suppose  qu'il  ne  se  fait  à  la  superficie  aucune  déper- 
dition de  chaleur,  ou,  ce  qui  est  la  même  chose, on  considère 
un  solide  formé  par  la  super-position  d'une  infinité  de  lames 
pareilles  à  la  précédente;  on  prend  pour  l'axe  des  œ  la  droite 
o.T,  qui  partage  la  lame  en  deux  moitiés,  et  les  coordonnées 
de  chaque  point  m  sont  .x  et  j-;  enfin  on  représente  la  lar- 
geur A  de  la  lame  par  2  /,  ou,  pour  abréger  le  calcul,  par  t:, 
valeur  de  la  demi -circonférence. 

Concevons  qu'un  point  i)i  de  la  lame  solide  BAC,  qui  a  pour 
coordonnées  a:  et  y,  ait  la  température  actuelle  v ,  et  que  les 
quantités  v,  qui  répondent  aux  différents  points,  soient  telles 
qu'il  ne  puisse  survenir  aucun  changement  dnns  les  tempé- 
ratures ,  pourvu  que  celle  de  chaque  point  de  la  base  A  soit 

2[ 


i62  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

toujours  I ,  et  que  les  côtés  B  et  G  conservent  dans  tous  leurs 
points  la  température  o. 

Si  l'on  élevait  en  chaque  point  m  une  coordonnée  verticale 
égale  à  la  température  v ,  on  formerait  une  surface  courbe 
qui  s'étendrait  au-dessus  de  la  lame  et  se  prolongerait  à  l'in- 
fini. Nous  chercherons  à  connaître  la  nature  de  cette  surface 
qui  passe  par  une  ligne  parallèle  élevée  au-dessus  de  l'axe 
des  }-,  à  une  distance  égale  à  l'unité,  et  qui  coupe  le  plan 
horizontal ,  suivant  les  deux  arêtes  infinies  parallèles  aux  x. 

i66. 

Pour  appliquer  l'équation  générale 

dv K     r  d'' V        d'il        d' v\ 

It         CTD  Kjdx^  "^  ~d^  "^  'JIF)  ' 

on  considérera  que,  dans  le  cas  dont  il  s'agit,  on  fait  abstrac- 
tion d'une  coordonnée  z,  en  sorte  que  le  terme  ^,  doit  être 
omis  ;  quant  au  premier  membre  -j- ,  il  s'évanouit  ,  puis- 
qu'on veut  déterminer  les  températures  stationnaires  ;  ainsi 
l'équation  qui  convient  à  la  question  actuelle ,  et  détermine 
les  propriétés  de  la  surface  courbe  cherchée  est  celle-ci, 


dx"  dj 


(a). 


La  fonction  de  ce  et  j,  9  {jc,j)  qui  représente  l'état  perma- 
nent du  solide  BAC,  doit  1°  satisfaire  à  l'équation  (a);  2°  de- 
venir nulle  lorsqu'on  substitue ir  ou  +  -  r  au  lieu  de  y, 

quelle  que  soit  d'ailleurs  la  valeur  de  a-;  3°  elle  doit  être 
égale  à  l'unité,  si  l'on  suppose  a:=^o ,  et  si  l'on  attribue  à  j 


CHAPITRE   III.  i6S 

une  valeur  quelconque  comprise  entre  —  -  -k  el  -i-  -%.  Il  faut 

ajouter  que  cette  fonction  o  {x,j)  doit  devenir  extrêmement 
petite  lorsqu'on  donne  à  x  une  valeur  très-grande,  puisque 
foute  la  chaleur  sort  du  seul  foyer  A.  ... 

167. 

Afin  de  considérer  la  question  dans  ses  éléments,  on  cher- 
chera en  premier  lieu  les  plus  simples  fonctions  de  a;  et  j, 
qui  puissent  satisfaire  à  l'équation  (a);  ensuite  on  donnera  à 
cette  valeur  de  v  une  expression  plus  générale,  afin  de  rem- 
plir toutes  le  conditions  énoncées.  Par  ce  moyen  la  solution 
acquerra  toute  l'étendue  qu'elle  doit  avoir, et  l'on  démontrera 
que  la  question  proposée  ne  peut  admettre  aucune  autre 
solution. 

Les  fonctions  de  deux  variables  se  réduisent  souvent  à 
une  expression  moins  composée,  lorsqu'on  attribue  à  l'une 
des  variables  ou  à  toutes  les  deux  une  valeur  infinie;  c'est  ce 
que  l'on  remarque  dans  les  fonctions  algébriques  qui ,  clans 
ce  cas ,  équivalent  au  produit  d'une  fonction  de  x  par  une 
fonction  de  y.  Nous  examinerons  d'abord  si  la  valeur  de  v 
peut  être  représentée  par  un  pareil  produit;  car  cette  fonc- 
tion v  doit  représenter  l'état  de  la  lame  dans  toute  son 
étendue,  et  par  consécjuent  celui  des  points  dont  la  coor- 
donnée œ  est  infinie.  On  écrira  donc  v^^Fx  .J'y,  substituant 

dans  1  équation  a  et  désignant  — ')    .  '  par  r  .r    et  — '-^, 
par  /  f,  on  aura  —r^ — -  +     ^''  '  =  o  ;  on  pourra  donc  sup- 

r  oc  J  y  .    . 

F"  07  f  Y  .  1 

poser  -J, —  =  VI  et  '—-  ^^  —  m  ,  m  étant  une  constante  quel- 
conque, et  comme  on  se  propose  seulement  de  trouver  une 

31. 


• 


i64  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

valeur  particulière  de  v,  on  déduira  des  équations  précé- 
dentes F  .2'  =  e  ,  yy=cos.  my. 

iG8. 

On  ne  pourrait  point  supposer  que  m  est  un  nombre  né- 
gatif, et  l'on  doit  nécessairement  exclure  toutes  les  valeurs 

particulières  de  v,  où  il  entrerait  des  termes  tels  que  e  .,m 
étant  un  nombre  positif,  parce  que  la  température  v  ne  peut 
point  devenir  infinie,  lorsque  .v  est  infiniment  grande.  En 
effet  la  chaleur  n'étant  fournie  que  par  la  source  constante 
A,  il  ne  peut  en  parvenir  qu'une  portion  extrêmement  petite 
dans  les  points  de  l'espace,  qui  sont  très-éloignés  du  foyer. 
Le  reste  se  détourne  de  plus  en  plus  vers  les  arêtes  infinies 
B  et  C ,  et  se  perd  dans  les  masses  froides  qu'elles  terminent. 

L'exposant  m  qui  entre  dans  la  fonction  e  '  .  cos.  J7iy 
n'est  pas  déterminé,  et  l'on  peut  choisir  pour  cet  exposant 
lin  nombre  positif  quelconque  :  mais ,  pour  que  v  devienne 

nulle  en  faisant  j^=^ n  ou  ^^=4-  -  tc,  quelle  que  soit  a;, 

on  prendra  pour  }n  un  des  termes  de  la  suite,  i,  3,  5, 
^,9,  etc.  ;  par  ce  moyen  la  seconde  condition  sera  remplie. 

i6g. 

On  formera  facilement  une  valeur  plus  générale  de  'v,  en 
ajoutant  plusieurs  termes  semblables  aux  précédents,  et  l'on 

aura -v^ (7  e      '  cos.y+l>e  cos.  3  j+ ce  cos.  5j 

+  de     ^     .  COS.  7  J  + etc.       (ù).   Il  est  évident  que 

cette  fonction  v  désignée  par  ç  {x,y)  satisfait  à  l'équation 

7-  ,  H — T-7  =  o,  et  à  la  condition  o  (a:,  ±  i  -)  =o.  ll.r.este 


CHAPITRE  III.  i6;? 
à  remplir  une  troisième  condition,  qui  est  exprimée  ainsi  : 
<û  (o,  >')  =  I ,  et  il  est  nécessaire  de  remarquer  que  ce  ré- 
sultat doit  avoir  lieu  lorsqu'on  met  pour  j  une  valeur  quel- 
conque ,  comprise  entre t;  et  H —  tt.  On  ne  peut  en  rien 

inférer  pour  les  valeurs  que  pi'endrait  la  fonction  <p  {o,f)^ 
si  1  on  mettait  au  lieu  de  y  une  quantité  non  comprise  entre 

les  limites 77  et  +  -  vr.  L'équation  (Z»)  doit  donc  être  as- 

sujétie  à  la  condition  suivante  : 

I  =acos.y  +  bcos.  3j>'  +  ccos.J^  +  ^cos.  7J  +  etc. 

C'est  au  moyen  de  cette  équation  que  l'on  déterminera  les 
coefficients  a,  h,  c,  cl,  . .  .  etc.  dont  le  nombre  est  infini. 

Le  second  membre  est  une  fonction  de  y ,  qui  équivaut  à 
l'unité ,  toutes  les  fois  que  la  variable  y  est  comprise  entre 

et  +  -  77.  On  pourrait  douter  qu'il  existât  une  pareille 

fonction ,  mais  cette  question  sera  pleinement  éclaircie  par  la 
suite. 


lyo. 


Avant  de  donner  le  calcul  des  coefficients,  nous  remar- 
querons l'effet  que  représente  chacun  des  termes  de  la  série 
dans  lequation  (&). 

Supposons  que  la  température  fixe  de  la  base  A,  au  lieu 
d'être  égale  à  l'unité  pour  tous  ses  points,  soit  d'autant 
moindre  que  le  point  de  la  droite  A  est  plus  éloigné  du  mi- 
lieu o,  et  qu'elle  soit  proportionnelle  au  cosinus  de  cette 
distance;  on  connaîtra  facilement  dans  ce  cas  la  nature  de  la 
surface  courbe ,  dont  l'ordonnée  verticale  exprime  la  tempé- 
rature  V  ou  ç>  {x,  y).  Si  l'un  coupe  cette  surface  à  l'origine 


i66  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR, 

par  un  plan  perpendiculaire  à  l'axe  des  x,  la  courbe  qui  ter- 
mine la  section  aura  pour  équation  ^'  =  rt  ces.  j;  les  valeurs 
des  coefficients  seront  les  suivantes  : 

az^^a,  h^^o,  c  =  o,  d=o, 

ainsi  de  suite ,  et  l'e'quation  de  la  surface  courbe  sera 

i;  ==  rt  e        .  cos.  y. 

Si  l'on  coupe  cette  surface  perpendiculairement  à  l'axe  des 
y,  on  aura  une  logarithmique  dont  la  convexité  est  tournée 
vers  l'axe  ;  si  on  la  coupe  perpendiculairement  à  l'axe  des  x, 
on  aura  une  courbe  trigonométrique  qui  tourne  sa  concavité 

vers  l'axe.  Il  suit  de  là  qvie  la  fonction  -j—^  a  toujours  une  va- 
leur positive,  et  que  celle  de  -^-^  est  toujours  négative.  Or 

la  quantité  de  chaleur  qu'une  molécule  acquiert  à  raison  de  sa 
place  entre  deux  autres  dans  le  sens  des  x,  est  proportionnelle 

à  la  valeur  de  -j—;  •  (  art.  1 23  )  ;  il  s'ensuit  donc  que  la  molé- 
cule intermédiaire  reçoit  de  celle  qui  la  précède,  dans  le  sens 
des  X ,  plus  de  chaleur  qu'elle  n'en  communique  à  celle  qui 
la  suit.  Mais ,  si  l'on  considère  cette  même  molécule  comme 
placée  entre  deux  autres   dans  le  sens   des  y ,  la  fonction 

^— i"  étant  négative,  on  voit  que  la  molécule  intermédiaire 

communique  à  celle  qui  la  suit  plus  de  chaleur  qu'elle  n'en  re- 
çoit de  celle  qui  la  précède.  Il  arrive  ainsi  que  l'excédent  de  cha- 
leur qu'elle  acquiert  dans  le  sens  des  x ,  compense  exactement 
ce  cju'elle  perd  dans  le  sens  des  j,  comme  l'exprime  l'équa- 


i 


CHAPITRE   III.  167 

tion  -j~^  +  -j-r  =  o.  On  connaît  ainsi  la  rovite  que  suit  la 

chaleur  qui  sort  du  foyer  A.  Elle  se  propage  dans  le  sens 
des  X,  et  en  même  temps  elle  se  décompose  en  deux  parties, 
dont  lune  se  dirige  vers  une  des  arêtes  ,  tandis  que  l'autre 
partie  continue  de  s'éloigner  de  l'origine,  pour  être  décom- 
posée comme  la  précédente  et  ainsi  de  suite  à  l'infini.  La 
surface  que  nous  considérons  est  engendrée  par  la  courbe 
trigonométriquc,  qui  répond  à  la  base  A,  et  se  meut  perpen- 
diculairement à  l'axe  des  x  en  suivant  cet  axe ,  pendant  que 
chacune  de  s^es  ordonnées  décroît  à  l'infini ,  proportionnel- 
lement aux  puissances  successives  d'une  même  fraction. 

On  tirerait  des  conséquences  analogues,  si  les  tempéra- 
tures fixes  de  la  base  A  étaient  exprimées  par  le  terme 

h  COS.  3  j"  ou  c  COS.  5j-  etc.  ; 

et  l'on  peut,  d'après  cela,  se  former  une  idée  exacte  du  mou- 
vement de  la  chaleur  dans  les  cas  plus  généraux;  car  on 
verra  par  la  suite  que  ce  mouvement  se  décompose  toujours 
en  une  multitude  de  mouvements  élémentaires,  dont  chacun 
s'accomplit  comme  s'il  était  seul. 

'     r'\      SECTION  II. 

Premier  exemple  de  l'usage  des  séries  trigonome'friques  dans 
la  théorie  de  la  chaleur. 

171. 

Nous  reprendrons  maintenant  l'équation      *• 

I  =  a  COS.  r  +  b  cos.  3 j  +  c  cos.  Sy  +  d  cos.  7 j+  etc. , 


i68  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR, 

dans  laquelle  il  faut  déterminer  les  coefficients  a,  h,  c,  r/,  etc. 
Pour  que  cette  équation  subsiste,  il  est  nécessaire  que  les 
constantes  satisfassent  aux  équations  que  l'on  obtient  par 
des  différenîiations  successives,  ce  qui  doniie  les  l'ésultats 
suivants  : 

i=acos.  j+Z»  cos.3j)'-+  <:cos.o_7+  c^cos.y  j+etc. 
o  =  a  sin.  j  +  3  h  sin.3j+  5  csin.  5j  +  7  rZsin.  yj  +  etc. 
o  =  «  cos.  jH-3'ècos.  3j+o'ccos.  5j+7Vcos.  yj+etc. 
o  =  rt  sin.  r  +  3'/'-'eos.3r  +  5'ceÉ«sr5v-+7We»sr.  7/4- etc. , 

ainsi  de  suite  à  l'iniini. 

Ces  équations  devant  avoir  lieu  lorsque  J/'=  o,  on  aura 

i=(^+      b  +     c-h     d-\-     e  +      f+  g+  •  .  .   etc. 

o  =r  rt  +  3'  Z;  +  5' c  +  7V/  +  9' e  +  1 1'/+  .  .  .   etc. 

o  =  a  +  3''  Z*  +  5^c  +  7W  +  g^^e  +  .  .  .   etc. 

o  =  fl  -{-  3^  Z*  +  5"c  +  7V/  +  .  . .   etc. 

o  =  <2  +  3'  6  +  5V  +  . . .  etc. 

etc. 

Le  nombre  de  ces  équations  est  infini  comme  celui  des 
indéterminées  a ,b,  c ,  d,e.  . .  etc.  La  question  consiste  à 
éliminer  toutes  les  inconnues ,  excepté  une  seule. 

172. 
Pour  se  former  une  idée  distincte  du  résultat  de  ces  élimi- 
nations, on  supposera  que  le  nombre  des  inconnues  a,  h,  c, 
d .  .  .  etc. ,  est  d'abord  défini  et  égal  à  m.   On  emploiera  les 
m,  premières  équations  seulement,  en  effaçant  tous  les  termes 


I 


CHAPITRE  III.  169 

où  se  trouvent  les  inconnues  qui  suivent  les  m  premières.  Si 
l'on  fait  successivement^??  =  3, 7??=:3,7??  =  4i"^  =  ^^!  ainsi  de 
suite,  on  trouvera  dans  chacune  de  ces  suppositions,  les  valeurs 
des  indéterminée?.  La  quantité  a ,  par  exemple,  recevra  une 
valeur  pour  le  cas  de  deux  inconnues ,  une  autre  pour  le  cas  de 
trois  inconnues,  ou  pour  le  cas  de  quatre  inconnues,  ou  succes- 
sivement pour  un  plus  grand  nombre.  Il  en  sera  de  même  de  l'in- 
de'terminëe  b,  qui  recevra  autant  de  valeurs  différentes  que  Ton 
aura  effectué  de  fois  l'élimination;  chacune  des  autres  indéter- 
minées est  pareillement  susceptible  dune  infinité  de  valeurs 
différentes.  Or  la  valeur  d'une  des  inconnues,  pour  le  cas 
ou  leur  nombre  est  infini,  est  la  limite  vers  laquelle  tendent 
continuellement  les  valeurs  qu'elle  reçoit  au  moyen  des  éli- 
minations successives.  Il  s'agit  donc  d'examiner  si,  à  mesiu'e 
que  le  nombre  des  inconnues  augmente,  chacune  des  valeurs 
a ,  h ,  c ,  cl,.  .  .  etc.  ne  converge  point  vers  une  limite  finie, 
dont  elle  approche  continuellement. 

Supposons  que  l'on  emploie  les  sept  équations  suivantes  : 

I  =  rt+       h -\'       c+       d+       e+        f+         g 

o  =  «  +  3'   ^  +  5=   c+  'j'  d+^'   e+  II-  /+  1 3'  g 

o  =  a  +  ?)^   b  +  S'   c+  n'*  d+  ly   e  +  1 1^  /+  i3'   g 

o  =  a  +  y   b-h^'  c+f  d  +  cf   e+  II'  f+  l'i'  g 

o  =  «  +  3'  ^  +  5**  c+f  d+  (j^  e  +  1 1*  /+  1 3'  g 

o  =  rt  +  3"°  b  +  o'"  c  +  7'°  d  +  9'^  e  +  I  V°f+  13'"  g 

o  =  a  -{-  Z''  b  +  S"  c  -\-  7"'  d  +  9'-  e  +  11"  f+  i3"  g. 

-        '  -        -  •  22 


170  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

Les  six  équations  qui  ne  contiennent  plus  g,  sont  : 

i3'=«(i3'— 1')+  ^(i3'— 3')+  c(i3'— 5')-t-  r/(i3'— 7')+  e(i3'— 9')+  /(i3'— 11') 
o  =a  (i3'— i=)-f-3'  5(13'— 3')+5'  c  (i3'— 5=)+7'  ^(i3'— j'J+g--  e  (i3'— 9')  +  iiy(i3'— 11'} 
o=a(i3'— l'-^+S'^CiS'— 3')4-5^c(r3'— 5')+7^rf(i3'— 7')+9^e(i3'— 9')+iiy(i3'— II') 
o=«(i3'— iO+3^'5{i3'— 3')+5V(i3'— 5')+7'^^(i3'— 7';+9''e(i3'— 9')+ii''/(i3'— ir) 
o  =  rt(i3'— i')+3'i(i3— 3'}4-dV(i3'— 50+7'«'(i3'— 7'J+9'e(i3'— 9')+iiy(i3'— II') 

o=a(i3'— i')4-3''5(i3'— 3'}+5'"c(i3'— 5')+7-''r/(i3'— 7')+9"'e(i3'— 9')+ii-y(i3— II')- 

En  continuant  l'élimination ,  on  obtiendra  l'équation 
finale  en  a,  qui  est  : 

fl(i3'— i=)(ii'— 1')(9'— 1')(7'— r)(5'— 1')(3'— I')=rI3^II^9^7^5^3^I^ 

Si  l'en  avait  employé  un  nombre  d'équations  plus  grand 
d'une  unité,  on  aurait  trouA'é,  pour  déterminer  a,  une  équa- 
tion analogue  à  la  précédente,  ayant  au  premier  membre  un 
facteur  de  plus,  savoir:  i5' — 1\  et  au  second  membre  i5% 
pour  nouveau  facteur.  La  loi  à  laquelle  ces  différentes  va- 
leurs de  a  sont  assujéties  est  évidente,  et  il  s'ensuit  que  la 
valeur  de  a,  qui  correspond  à  un  nombre  infini  d'équations- 
est  exprimée  ainsi  : 

3'  5'  7'  Q'  II'  i3' 

(7, -; i . il . . .  etc. 

3' — i   5"' — 1   7' — i  9' — I  II' — I   i3' — i 

3.3  5.5   7.7    Q.q    II. II    i3.i3 

ou  a  =  — -r-Ta-ir^-Q- 7-  •  •  ^t^- 

2.4  4-0    O-O    o.IO     10.12     12.14 

Or  cette  dernière  expression  est  connue  et,  suivant  le 
théorème  de  Wallis,  on    en  conclut  a  =  -.  Il  ne   .s'agit 


CHAPITRE   III.  i"£ 

donc   maintenant  que  de  connaître  les  valeurs  des  autres 
indéterminées. 

174. 
Les  six  équations  qui  restent  après  rélimination  de  g- 
peuvent  être  comparées  aux  six  équations  plus  simples  que 
Ion  aurait  employées,  s'il  n'y  avait  en  que  six  inconnues. 
Ces  dernières  équations  difièrent  des  équations  (c),  en  pe 
que,  dans  celles-ci,  les  lettres  y,  e,  d,  c,  h,  a  se  trouvenr 
multipliées  respectivement  par  les  facteurs 

i3'— II'    i3'— 9'    i3'— 7'    i3'  — 5'    i3'  — 3^     i3'— r 


'  I  ■'.'        '  .  "ÎJ        '  t'X^        ' 


i3'     '       i3'      '       i3' 

Il  suit  de  là  que  si  on  avait  résolu  les  six  équations 
linéaires  que  l'on  doit  employer  dans  le  cas  de  six  indéter- 
minées, et  que  l'on  eût  calculé. la  valeur  de  chaque  inconnue, 
il  serait  facile  d'en  conclure  la  valeur  des  indéterminées  de 
même  nom,  correspondantes  au  cas  où  l'on  aurait  employé 
sept  équations.  Il  sullirait  de  multiplier  les  valeurs  àe/,e, 
d ,  c,  b ,  a ,  trouvées  dans  le  premier  cas  par  des  facteurs 
connus.  Il  sera  aisé,  en  général,  de  passer  de  la  valeur  de 
l'une  des  c|uantités,  prise  dans  la  supposition  d'un  certain 
nombi'e  d'équations  et  d  inconnues,  à  la  valeur  de  la  même 
cjuantité,  prise  dans  le  cas  où  il  y  aurait  une  inconnue  et 
luie  équation  de  plus.  Par  exemple,  si  la  valeur  de/trouvée 
dans  l'hypothèse  de  six  équations  et  six  inconnues,  est  repré- 
sentée par  F,  celle  de  la  même  quantité  prise  dans  le  cas  d'une 

i3' 
inconnue  de  plus,  sera  F.    ,,__ — ,•  Cette  même  valeur,  prise 

dans  le  cas  de  huit  inconnues,  sera,  par  la  même  raison, 

i5' 


F.  - 

i3'  — 11"    i5'  —  n* 


22. 


172  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

et  dans  le  cas  de  neuf  inconnues,  elle  sera 
■p       iJ "^       .___LZ__ 

i3' — II'    i5"— II"    in" — 11"' 

ainsi  de  suite.  Il  suffira  de  même  de  connaître  la  valeur  de  b, 
correspondante  au  cas  de  deux  inconnues ,  pour  en  conclure 
celle  de  la  même  lettre  qui  correspond  au  cas  de  trois , 
quatre,  cinq  inconnues,  etc.  On  aura  seulement  à  multiplier 
cette  première  valeur  de  b  par 

Jl 71 9^ 'JL.        etc 

5'— 3=  7'  — 3'    9'— 3'    11^— 3'*"'"' 

Pareillement  si  l'on  connaît  la  valeur  de  c  pour  le  cas  de 
trois  inconnues,  on  multipliera  cette  valeur  par  les  facteurs 
successifs 

on  calculera  de  même  la  valeur  de  d  par  le  cas  de  quatre 
inconnues  seulement,  et  on  multipliera  cette  valeur  par 

9^  II'  i3'  i5' 

^^^=5^'ii'— 7^"i3'— 7'"i5'— 7''  •  • 

Le  calcul  de  la  valeur  de  a  est  assujéti  à  la  même  règle,  car 
si  on  prend  cette  valeur  pour  le  cas  d'une  seule  inconnue, 
et  cju'on  la  multiplie  successivement  par 


3'  — i'    5'— I'    7'— i'    9'—!"' 
on  trouvera  la  valeur  finale  de  cette  quantité'. 

La  question  est  donc  re'duite  à  déterminer  la  valeur  de  a 
dans  le  cas  d'une  inconnue,  la  valeur  de  b  dans  le  cas  de 
deux  inconnues,  celle  de  c  dans  le  cas  de  trois  inconnues,  et 
ainsi  de  suite  pour  les  autres  inconnues. 


CHAPITRE  III.  173 

Il  est  facile  de  juger,  à  l'inspection  seule  des  équations  et 
sans  aucun  calcul ,  que  les  résultats  de  ces  éliminations  suc- 
cessives doivent  être  ,       c>      :   ■     -.'.i         I 


a  =  1 


b  = 


d 


I'  3'  5' 

I'  3'  5' 


'"— 9"'  3'— 9'  5^—9'  7'— 9'  ,; 

.     /"^-  '.    /      \    , 

Il  ne  reste  qu'à  multiplier  les  quantités  précédentes  par 

les  séries  des  produits  qui  doivent  les  compléter  et  que  nous 
avons  donnés  (art.  174)-  On  aura  en  conséquence,  pour  les 
valeurs  finales,  des  inconnues  a,h,c,d,e,f,  etc.,  les  ex- 
pressions suivantes  :  ..,.1  „  o    ,  ! 

^=1-       T^ î-ri v-^ — .■  ^^—■—. — T  etc. 

o  —  I     5  —  I     7' —  1    g —  I"   II  —  V  ••( 

7  l'  5'  7'  Q'  II' 

I=_j>  5'_3>      r;^_3-     g=_3-      II»  — 3'     ^ 


I' 


^3 


9'      "' 


1° — 5'  3' — 5'      7'  —  5'  9'  —  5-    II'  —  5 
I'  3'  5-  9'  II 


-,  etc. 
etc. 


V-f    V-f   5'-7'       9'-7'   ii=_7'  . 

e=-^: 1 2: Zl_.  '3- 

1-9'    3'-9'   5'-9'    7=-9^       II -9'    i3'-9'  ^'^•'• 

f  =       ''  3'  5'  7'  9'     !    ,      i3'  i5' 

•^  I'— n'"3'— ii''5'~ii'*7'~n''9=— lï''      i3'— ii'"i5'— 11'^^^' 


174 

OU<ï=  + 1 


THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

3.3     5.5    7-7 
2.3  ■  4.6  '  6.8 


etc. 


c=  + 


I .  I 
I .  I 


7-7      9-9 


etc. 


+ 


2.8       4' lO      6.12 

3^_  7-7       9-9      11" 

4-6    2.8    1.13    4- 14     6. i6 

i.i  3.3  5.5  9.9  II. II 
6.8  4- 10  2.12  2.16  4- 18 
i.i      3.3      5.5      7.7     II. II 


etc. 


t3.i3 


etc. 
5. i3    i5 .  i5 


6.20 


8.10    6.12    4-^4    2.16     2.20 
i.i       3.3     5.5      7.7     9.9 


4.22     6.24 

ô.  iS        I.l.IJ         I 


etc. 


etc. 


10.12   8.14   6.16  4- li^   2.20     2.24     4-26      6.28 
La  quantité  -  7;  ou  le  quart  de  la  circonférence  équivaut, 

suivant  le  théorème  de  Wallis,  à 

2.2    4-4    6-6    8.8     10.10    12.1a    i4-i4 


1.2     3.5 


9.11 


1 1 .  i3     i3. i5 


etc. 


Si  l'on  remarque  maintenant  quelles  sont,  dans  les  valeurs^ 
de  a,b,c,d,e,  etc.,  les   facteurs  que  l'on  doit  écrire  aux 
numérateurs  et  aux  dénominateiu^s ,  pour  y  compléter  la 
double  série  des  nombres  impairs  et  des  nombres  pairs ,  on 
trouvera  que  les  fiicteurs  à  suppléer  sont  : 


pour  b 
pour  c 
pour  d 
pour  e 
pour/ 


3.3 
~6~ 
5^ 
10 

7-7 
14 

9-9 
18 

1 1 .  II 

22 


a 


1. 


et  l'on  en  conclut 


i=— 2. 


T 
2 
2 

2 

5~S 


r/=-2.  ^ 


e  — 

2. 

7  ■'• 
2 

9  ■^' 

f— 

-2. 

2 

CHAPITRE   III.  175 


/ 


177- 


C'est  ainsi  qu'on  est  parvenu  à  effectuer  entièrement  les 
éliminations  et  à  déterminer  les  coefficients  a,h  ,c ,  d ,  etc., 
de  l'équation 

I ^=a  COS. 0^+  h  COS.  ?>x-\-c  eos.  5  x  +  r/eos.  "j  x-\-c  cos.  9  x,  +  etc. 

La  substitution  de  ces  coefficients,  donne  l'équation 
sui\ante  : 


Tî 


I             r,             I              cr  I 

:COS.J'" ^   COS.  0}   +   ^  COS.  0}" -  COS.  y  7" 


H —  COS.  0  Y COS.  I  I  r  +-  etc. 

Le  second  membre  est  une  fonction  de  7 ,  qui  ne  change 
point  de  valeur  quand  on  donne  à  la  variable  >■  une  valeur 

comprise  entre T^et  +  -  77-    Userait  aisé  de  prouver  que 

cette  série  est  toujours  convergente,  c'est- à -dire  ffue,  en 
mettant  au  lieu  de  j  un  nombre  quelconque,  et  en  pour- 
suivant le  calcul  des  coefficients ,  on  approche  de  plus  en 
plus  d'une  valeur  fixe,  en  soite  que  la  différence  de  cette 
valeur  à  la  somme  des  termes  calculés,  devient  moindre  que 
toute  grandeur  assignable.  Sans  nous  arrêter  à  cette  démons- 
tration, cjue  le  lecteur  peut  suppléer,  nous  ferons  l'emar- 
quer  que  la  valeur  fixe,  dont  on  approche  continuellement, 

est  -  -,  si  la  valeur  attribuée  à  y  est  comprise  entre  o  et 
-  -,  mais  c[u'elle  est  —  -t.^  si  y  est  comprise  entre  -  -  et  -  -  ; 

car,  dans  ce  second  intervalle,  chaque  terme  de  la  série 
change  de  signe.  En  général  la  limite  de  la  série  est  alterna- 
tivement positive  et  négative  ;  au  reste ,  la  convergence  n'est 


176  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

point  assez  rapide  pour  procurer  une  appi^oximation  facile , 
mais  elle  suffit  pour  la  vérité  de  l'équation. 

178. 
L'équation 

y  :=  COS.  ce  —  t:  COS.  o  X  +  ^  COS.  ù  X COS.  'j  X  +  etc. , 

•^  j  5  7 

appartient  à  une  ligne  qui,  ayant  x  pour  abcisse  et  j  pour 
ordonnée,  est  composée  de  droites  séparées  dont  chacune 
est  parallèle  à  l'axe  et  égale  à  la  demi-circonférence.  Ces 
parallèles  sont  placées  alternativement  au-dessus  et  au-des- 
sous de  l'axe,  à  la  distance  -;  r,  et  jointes  par  des  perpendicu- 
laires qui  font  elles-mêmes  partie  de  la  ligne.  Pour  se  former 
une  idée  exacte  de  la  nature  de  cette  ligne ,  il  faut  supposer 
que  le  nombre  des  termes  de  la  fonction 

t:os.  X  —  5  cos.  3  X  +  ^  COS.  5  X  —  etc. 
o  5 

reçoit  d'abord  une  valeur  déterminée.  Dans  ce  derner  cas 
l'équation 

y  =  cOS   X  „  COS.   3  X  +  -z   COS.   5  X  CtC. 

appartient  à  une  ligne  courbe  qui  passe  alternativement 
au-dessus  et  au-dessous  de  l'axe ,  en  le  coupant  toutes  les 
fois  que  l'abcisse  x  devient  égale  à  l'une  des  quantités 

o,  ±-  :t,±  -77,  ±-t7.  etc., 

a  mesure  que  le  nombre  des  termes  de  l'équation  augmente, 
la  courbe  dont  il  s'agit  tend  de  plus  en  plus  à  se  confondre 
avec  la  ligne  précédente,  composée  de  droites  parallèles  et 


CHAPITRE  III.  inr 

J  J 

de  droites  pei'pendiculaires;  on  sorte  que  cotte  ligne  est  la 
limite  des  diff'éiTutes  courbes  que  l'on  obtiendrait  en 
augmentant  successivement  le  nombre  des  termes. 

SECTION   III. 

Remarques  sur  ces  séries. 

On  peut  envisager  ces  mêmes  équations  sous  un  autre 
point  de  vue,  et  démontrer  immédiatement  l'équation 

T.  \  ry  X  >-  \  I 

-^cos.o;  —  ttCos.  ox  4-ïCOs.  d  j? cos.  n  x  +-cos.f).r — etc. 

Le  cas  ou  x  est  nulle  se  vérifie  par  la  série  de  Léibnitz , 

r  1  I  I  I 

7=1  —  ^  +  -F 1 etc. 

4  3579 

Ensuite  on  supposera  que  le  nombre  des  termes  de  la  série 

cos.  X  — ;ï  cos.  "i  X  +  ^  cos.  Sx cos.  n  X  +  etc. 

0  ô  7 

au  lieu  d  être  infini  est  déterminé  et  égal  à  m.  On  considé- 
rera la  valeur  de  cette  suite  finie  comme  une  fonction  de  x 
et  de  m.  On  réduira  la  valeur  de  la  fonction  en  une  série 
cyxlonnée  suivant  les  puissances  négatives  de  m;  et  Ion 
reconnaîtra  que  cette  valeur  approche  d'autant  plus  d'être 
constante  et  indépendante  de  x ,  que  m  est  un  plus  grand 
nombre. 

Soit  y  la  fonction  cherchée  qui  est  donnée  par  l'équation  ; 

y=.cos,.x  —  iiCos.ôx+  pcos.  ox cos.  n  x  +  ....-\ cos.  2.111 — ix 

''  6  5  7  2  /M  —  1 

23 


178  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

le  nombre  m  des  termes  étant  supposé  pair.  Cette  équation 
différenciée  par  rapport  à  x,  donne 

-^  z=:  sin.  X  —  sin.  ?>  x  +  sin.  'Sx  —  sin.  'j  x . . . . 


dx 


+  sin.  2  m  —  i.x  —  sin.  1111  —  \.x\ 

en  multipliant  par  2  sin.  1  x ,  on  a 

—  2  -;-  sin.  2  a?  =r  2  sin.  x  .  sin.  2.,x  —  2  sin.  3  x  .  sin.  2  x 
dx 


+  2  sin.  5  a?.sin.  o.  x . .  .  +  ù.  sin.  2  m  —  "à  x  sin.  2  cr 


—  2  sni.  2  7??  —  I  a-.sni  2  a?. 

Chaque  terme  du  second  membre  étant  remplacé  par  la  dif- 
férence de  deux  cosinus ,  on  en  conclura  : 

—  2  -r-  sin.  2.x-=  COS.  ( — x)  —  COS.  3  x 

COS.  X  +  COS.   5  X 

+  COS.  3  X  —  COS.  7  X 
■ —  COS.  5  X+  COS.  9  X 
+  COS.  7  X — COS.  1 1  X 


+  COS.2  7?i Sx COS.2  7?i I 


X 


COS.  2/71 3^  +  COS.2W  +  IX. 


Le  second  membre  se  réduitàcos.  2  m+  r  x  —  cos. 2.111 — ix 
ou  —  2  sin.  2  7?i  .r.sin.  x;  donc 


2^     V  COS.  X       J 


CHAPITRE   III.  i^c, 

i8o. 
On  intégrera   le  second  membre  par  parties,  en  distin- 
guant dans  l'intégrale  le  facteur  sin.  iinx  .dx ,  qui  doit  être 

intégré  successivement ,  et  le  facteur ou  sec.  x  que  Ion 

"  COS.  X  1 

doit  différencier  successivement;  désignant  les  résultats  de 
ces  différenciations  par  sec'  x ,  sec."  x ,  sec."'  x,. . .  etc.,  on 

I 
aura  2  r  =  const. cos. imx . sec. x 

"^  2  m  ,  . 

I         •  il  II 

+ sin.  2.  m  X  sec  x — -  cos.  2  m  x  sec.  x  +  etc. 

1  .m  1  .  »i 

ainsi  la  valeur  de  j  ou 

cos.  X — ôCos.  oa-h-cos.  t)x cos.  "0;...+-^ coi.im — \x, 

O  3  1  '  2  7« — I  ' 

qui  est  une  fonction  de  x  et  m ,  se  trouve  exprimée  par  une 
série  infinie;  et  il  est  manifeste  que  plus  le  nombre  m  aug- 
mente, plus  la  valeur  de  y  approche  de  celle  de  la  con- 
stante. C'est  pourquoi,  lorsque  le  nombre  m  est  infini,  la 
fonction  y  a  une  valeur  déterminée  qui  est  toujours  la 
même,  quelle    que   soit  la  valeur  positive  de  x,  moindre 

fjue  -  -JT.  Or,  si  l'on  suppose  l'arc  x  nul,  on  a 

I        I        I        1  , 

r=i  —  ^  +^ 1 etc., 

-  3  D  -  9 

qui  équivaut  à  -  t:.  Donc  on  aura  généralement  7  tt  =  cos.  x 


4  ■      °         ^4 

I  I 

-  cos.  70;+- 
7  ^  9 


5  cos.  3.r  +  ^  cos.  5  a; cos.  70;+-  cos.  i^x  —  etc.  {b). 


a3. 


[8o  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

i8i. 
Si  dans  cette  équation  on  suppose  o?^-  •  -  on  trouvera 


ir  iiiiiii 

-77-,     =    I    +Q    K 1 1 5 K-+-  •   '   •    etc. 

2V  0579111015 

*^ 

En  donnant  à  l'arc  x  d'autres  valeurs  particulières,  on  trou- 
veia  d'autres  séries,  qu'il  est  inutile  de  rapporter,  et  dont 
plusieurs  ont  déjà  été  pul^liéts  dans  les  ouvrages  d'Euler. 
Si  on  multiplie  l'équation  (Z»)  par  d  x,  et  que  l'on  intègre, 
on  aura 

-,  =  sin. X  —  ,jr  sin.  3  x  +  —  sin.  5  x ,sin.  n  x  -h  etc. 

En  faisant  dans  cette  dernière  équation  ^  :=:  ^  t:  ,  on  trouve 

I    ,  I         I         I         I  ^ 

:st^=i+-t:  +  —  +  —+-  +  etc., 

8  5'        o'        7         9 

série  déjà  connue.  On  pourrait  énumérer  à  l'infini  ces  cas 
particuliers;  mais  il  convient  mieux  à  l'objet  de  cet  ouvrage 
de  déterminer,  en  suivant  le  même  procédé,  les  valeurs 
de  diverses  séries  formées  de  sinus  ou  de  cosinus,  d'arcs 
multiples. 

182. 

Soit  r  =  sin.  x sin.  2.  x  +  tj  sin.  3x —  -  sin.  A  x.. . . 

•^  2  o  4 


I 


H Sin.  ni —  IX sm.  ni  x , 

m  —  I  m  ' 


m  étant  un  nombre  pair  quelconque.  On  tire  de  cette  équation 
-r^  =  cos.  X  —  COS.  2.  X  ■+■  COS.  3  X  —  COS.  Ax 

+    COS.    771 IX COS.  171  X  ; 


CHAPITRE  Ilf.  i8i 

multipliant  par   2  sin.  x,  et   remplaçant  chaque  terme  du 
second  membre  par  la  différence  de  deux  sinus,  on  auia  : 

2.sm.  x-f^=sin.a-{-x — sui.^' — x 

(ta; 


sm.  li  a;  +  x  +  sni.  2  x  — x 


4-  sin.  d  X  +  X  —  sin.  3  x  —  x 


+sin.  (/;<! — I  X — x) — sin.  (»^  +  i  x — x) 
—  sin.  (^jiix  +  x)  -f-sin.  (mx — x); 
et,  en  réduisant 

*  d  Y  * 

2.  sni,  a"  y-  =  sm.  X  +  sin.  m  x  —  sin.  (m  x  +  x)^ 

la  quantité  sin.  mx — sin.  {inx+x)  ousin.  {mx+  -  x  —  -x) 
..  .  — ^\xi.{nix-\- -  X  +  -  X) 

^  ■2.  1         ' 

équivaut  à  —  2  sin  -  :c . cos.  {^mx-\-  ~x)\  on  a  donc  ; 


.         ,        sin.  -  X 

a  y        X  2 


COS.  {^inx  +  -  x^^ 


,  COS.  (jnx  -\ —  x) 

OU  -f-=z ; 

ax       2  I  ' 

2  COS.  -  X 
2 

on  en  conclut 

COS.  {m  X  +  -  x) 


y  =  \  x—Jdx. 


I 

2.  COS.  -  V*; 
2 


COS.  -  X, 


182  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

Si  l'on  intègre  par  parties,  en  distinguant  le  facteur 
ou  sec.  -  X,  qui  doit  être  successivement  différencié,  et  le 
facteur  cos.  {m  x  +  ^-  x)  que  l'on  intégrera  plusieurs  fois  de 
suite ,  on  formera  une  série  dans  laquelle  les  puissances  de 

m  +  -  entrent  aux  dénominateurs.  Quant  à  la  constante,  elle 

2 

est  nulle ,  parce  que  la  valeur  de  y  commence  avec  celle  de  x. 
Il  suit  de  là  que  la  valeur  de  la  suite  finie 

sin.  X sin.  2  jr  +  Tjsin.  Zx —  -p  sin.  5  a;  4-  -  sin.  nx... sin.  m  x, 

a  0  5  'j  '  m 

diffère  extrêmement  peu  de  -  x ,  lorsque  le  nombre   des 

tei'mes  est  très-grand ,  et  si  ce  nombre  est  infini,  on  à  l'équa- 
tion déjà  connue 

I  .  I-  I.o  !■/  \     ■        f 

- a;=sni. X sni. ix-v  ôSni. ox — -, sni. L^x  +  psni. bx — etc. 

2  2  o  45 

On  pourrait  ainsi  déduire  de  cette  dernière  série,  celle  que 
nous  avons  donnée  plus  haut  pour  la  valeur  de  -  tt. 

i83. 
Soit  maintenant  r  =  -  cos. 2 a'  —  -  cos.  4-^  +  ^  cos.  6  x.,.. 


1 
I  I 

H cos.  2  m —  2  X cos.  2  m  x. 

%  m  —  2  im 


Différenciant,  multipliant  par  2  sin.  2  a,  substituant  les  dif- 
férences de  cosinus  et  réduisant ,  on  aura  : 


d  Y  sin.  7.  in-\-  \  X 

2  j=-  =  —  tang.  X  H 

ax  o  COS.  X 


CHAPITRE  III.  i83 


OU  2.  y  =  c  — J  a  X  tang.  x  -\-  J  a  x . 


COS.  .r 


intégrant  par  parties  le  dernier  terme  du  second  membre,  et 
supposant  /;/  infini  ,  on  a  j-  :=  c  +  -  log.    cos.   x.    Si    dans 

1  équation 

7-  :=:  -  COS.  2  0? -CQ?,.\x  +  7,  COS.  6x ^  COS.   8^  +  .  .  .  CtC. 

on  suppose  x  nulle,  on  trouve  ; 

j=.  ^ -^  +  |- ;.  +  ...  etc.  =^log.  .9.; 

donc  y  =  -  log.  2  +  -  log.  cos.  x.  On  parvient  ainsi  à  la 
série  donnée  par  Euler  :        .       • 

log:.  (2  cos.  -  ^)  =  cos.  X cos.  2  0;+  5 cos.  Zx — -cos.4.i"  +  etc. 

0^2'  2  o  4 

184. 
En  appliquant  le  même  procédé  à  l'équation 

I       .  o  I      .  ;^  I      . 

Y  =  sin.  X  -\-  ^  sin.  a  jc  +  p  sni.  ^  x  -\-  -  sm.  ^  x  +  etc. , 

-'  i>  5  r-  /  ' 

on  trouvera  la  série  suivante,  c[ui  n'avait  pas  été  i^emar- 
quée , 

I  .  I.o  I.-  I.  I. 

-■::=sni..r  +  jsni.  o>r+  7;  sin.  o  j:+  -sm.  n  x-\-  -  sm.  na -f-ctc. 
4  ^  5  7  9' 

Il  faut  observer  à  l'égard  de  toutes  ces  séries,  que  les 
équations  qui  en  sont  formées  n'ont  lieu  que  lorsque  la 
variable  x  est  comprise  entre  certaines  limites.  C'est  ainsi 
que  la  fonction 


i84  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

COS.  X  —  .7  COS.  o  x  +  ^  COS.  ox COS.  n  X  +  etc. 

•>  5  7 

n'est  équivalente  à  -^  r,  que  si  la  variable  œ  est  contenue 

entre  les  limites  que  nous  avons  assignées.  Il  en  est  de  même 
de  la  série 


sin.  œ sin.  2.x  +  ^  sin.  3x  —  -.  sin.4'2?+  ^sin.  5x  —  etc. 

Cette  suite  infinie,  qui  est  toujours  convergente,  donne  la 

valeur  -  x  toutes  les  fois  que  l'arc  x  est  plus  grand  que  o, 

et  moindre  c[ue  tt.  Mais  elle  n'équivaut  plus  a  ~  x,   si   l'arc 

surpasse  7:;  elle  a  au  contraire   des  valeurs  très -différentes 

de  -  X ;  car  il  est  évident  que  dans   l'intervalle  de  x=-::  a. 

a;  =  2  r,  la  fonction  reprend  avec  le  signe  contraire  toutes  les 
valeurs  qu'elle  avait  eues  dans  l'intervalle  précédent,  depuis 
^=0,  jusqu'à  x=:t-.  Cette  série  est  connue  depuis  long- 
temps, mais  l'analyse  qui  a  servi  à  la  découvrir  n'indique 
pas  pourquoi  le  résultat  cesse  d'avoir  lieu  lorsque  la  variable 
surpasse  tt. 

Il  faut  donc  examiner  attentivement  la  méthode  que  nous 
venons  d'employer  et  y  chercher  l'oiigine  de  cette  limitation, 
à  laquelle  les  séries  trigonométriques  sont  assujéties. 

i85. 

Pour  y  parvenir,  il  suffit  de  considérer  que  les  valeurs 
exprimées  par  les  suites  infinies,  ne  sont  connues,  avec  une 
entière  certitude,  que  dans  les  cas  où  l'on  peut  assigner  les 
limites  de  là  somme  des  termes  qui  les  complètent;  il  faut 


CHAPITRE  II.  i85 

donc  supposer  qu'on  emploie  les  premiers  termes  seule- 
ment de  ces  suites  et  trouver  les  limites  entre  lesquelles  le 
reste  est  compiis. 

Nous  appliquerons  cette  remarque  à  1  équation 


I  o  I  r  I  COS.  1  >n  —  Zx 

r=cos.  ce  —  :;  COS.  ôx  +  pcos.  OA' cos.  7.r...  +  — ::; 

"^  5  5  7  '  2  «2 i 


COS.  2  m  —  I  X 
im  —  I 

le  nombre  des  termes  est  pair  et  représente  par  m;  on  en 

d'j    V          1^        '         i-                 d  }■         s\n.  7.111  X        r    ^      r  ^ 

eduit    cette    équation    2   -f- ^ ■>    ci  ou    Ion    peut 

A  dx  COS.  X  1 

tirer  la  valeur  de  j,  en  intégrant  par  parties.  Or,  l'intégrale 
f  u .V  d  X  peut  être  résolue  en  une  série  composée  d'autant 
de    termes   qu'on   le   voudra  ^  u  €t  v  étant   des  fonctions 
de  X.  On  peut  écrire,  par  exemple  : 

fu.v  dx=c+u/  vdx — -j—fdxf  v  dx  +  -j-^  fdxfdxf'vdx 

~f^^{7S)fdxfdxf'vdx), 


équation  qui  se  vérifie  d'elle-même  par  la  différentiation. 
En  désignant  sin.  i  mx  par  v  et  sec.  x  par  u,  on  trouvera 

I  I  ,        . 

2  y  =z  c sec. .r COS.  imx  -\ — : — -  sec.  x  sm.  a  m  x 


\i  r*  /     1  S6C.        X 

sec.   X  COS.  1  m  X  —  /  (  «  -^ — r-  cos.  2  mx 


sec."  X 


l86. 
Il  s'agit  maintenant  de  connaître  les  limites  entre  lesquelles 

est  comprise  l'intégrale  ~ — 5- /(«^  (sec")  cos.  2mx)  qui  com- 


i86  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

plète  la  suite.  Pour  former  cette  intégrale  il  faudrait  donner 
à  l'arc  X  une  infinité  de  valeurs,  depuis  o,  terme  oii  l'inté- 
grale commence,  jusqu'à  x,  qui  est  la  valeur  finale  de  l'arc, 
déterminer  pour  chacune  des  valeurs  de  oc  celles  de  la  diffé- 
rentielle d  (sec."  a?),  et  celle  du  facteur  cos.  inix ,  et  ajouter 
tous  les  produits  partiels  :  or  le  facteur  variable  cos.  ^  m  x 
est  nécessairement  une  fraction  positive  ou  négative  :  par 
conséquent  l'intégrale  se  compose  de  la  somme  des  valeurs 
variables  de  la  différentielle  d  (sec."  x)^  multipliées  respec- 
tivement par  des  fractions.  La  valeur  totale  de  cette  inté- 
grale est  donc  moindi'e  que  la  somme  des  différentielles 
d  (sec.":r),  prises  depuis  .r  =  o  jusqu'à  x ,  et  elle  est  plus 
grande  que  cette  même  somme  prise  négativement  :  car, 
dans  le  premier  cas,  on  remplace  le  facteur  variable  cos.  imx 
par  la  quantité  constante  i  ,  et  dans  le  second  cas  on 
remplace  ce  facteur  par  —  i  :  or  cette  somme  des  différen- 
tielles d  (sec",  ir),  ou  ce  qui  est  la  même  chose,  l'intégrale 
f  d  (sec."  x),  prise  depuis  x=o,  est  sec.  .r — sec."  o;sec."^' 
est  une  certaine  fonction  de  x,  et  sec."  o  est  la  valeur  de  cette 
ibnction,  prise  en  supposant  l'arc  x  nul. 

L'intégi'ale  cherchée  est  donc  comprise  entre 

+  (  sec."  a; — sec."  o)  et-^— (sec."x  —  sec."o); 

c'est-à-dire,  qu'en  représentant  par  k  une  fraction  inconnue 
positive  ou  négative,  on  aura  toujours 

/  {d  [  sec."  X )  COS.  a.  m  x)  =  k  ( sec."  x  —  sec.''  o ). 

On  parvient  ainsi  à  l'équation 


CHAPITRE  IL  187 

2  Y=  c sec.  X  COS.  2.  ni  X  -{ — - — -  •  sec.  x  sin.  ^  ni  x 

H — 5 — 5  sec."  X  COS.  2  ni  x  ^•  -^ — rfsec."  x — sec."  o), 

dans  laquelle  la  quantité  -:; (  sec."  x  — sec."  o)  exprime 

ex:ictement  la  somme  de  tous  les  derniers  termes  de  la  série 
infinie.  , 

187. 
Si  l'on  eût  cherché  deux  termes  seulement,  on  aurait  eu 


l'équati 


on 


I  I  ,        . 

2  y=:  c sec.  X  cos.  sinix  +  ■ — ■  sec.  x  sni.  2  in  x 

''  a  ni  '±  lu 

-\ — :; — -  (sec' a;'  —  sec.'o). 

Il  résulte  de  là  que  l'on  peut  développer  la  valeur  de  j  en 
autant  de  termes  que  l'on  voudra,  et  expi'imer  exactement 
le  reste  de  la  série;  on  trouve  ainsi  cette  suite  d'équations  : 

2  Y=^c sec.  x  COS.  2  ni  x  — — ,  (sec.  x  —  sec.  o  ) 

I  I  ,         . 

2,y=c sec.  .-rcos.  2/?ixH-  -; — ;sec.  x  sui.  2/«a; 

■^  nui  2    iiL' 

H — ; — L  (  sec.  X  —  sec.  o  ). 

1  1  ,  . 

2  r  =:=  C sec.  X  cos.  2.  m  x  -\ — ; — -  sec.   x  sm.   2  m  x 

•^  2  m  2  m 

-{ — ; — .  sec."  X  cos.  2  m  x  +  -,  -,  f  sec'  x  —  sec."  o  ). 

1  .       , 

Le  nombre  K  qui  entre  dans  ces  équations  n'est  pas  le  même 
pour  toutes ,  et   il  représente   dans    chacune   une   certaine 

24. 


i88  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

quantité  qui  est  toujours  comprise  entre  i  et  — i  .m  est 
égal  au  nombre  des  termes  de  la  suite 

COS.  X  —  rrcos.  '5x  +  ^cos.5x.  .  . COS.  ^m —  ix. 

dont  la  somme  est  désignée  par  j. 

i88. 
On  ferait  usage  de  ces  équations,  si  le  nombre  m  était 
donné,  et  quelque  grand  que  fût  ce  nombre,  on  pourrait 
déterminer  aussi  exactement  qu'on  voudrait,  la  partie  va- 
riable de  la  valeur  de  j.  Si  le  nombre  /??  est  infini,  comme  on 
le  suppose,  on  considérera  la  première  équation  seulement; 
et  il  est  manifeste  que  les  deux  termes  qui  suivent  la  con- 
stante, deviennent  de  plus  en  plus  petits;  en  sorte  que  2.  y 
a  dans  ce  cas  pour  valeur  exacte  la  constante  c  ;  on  déter- 
mine cette  constante  en  supposant  x=o  dans  la  valeur  de 
y,  et  l'on  en  conclut 

-=cos.  a; — o  cos.3.r  +  pcos.  5x cos.  70;+  -cos.qo^ — etc. 

4  3  5  7         '^  9         ^ 

Il  est  facile  de  voir  maintenant  que  le  résultat  a  néces- 
sairement lieu,  si  l'arc  x  est  moindre  que  -  tt.  En  effet,  attri- 
buant à  cet  arc  une  valeur  déterminée  X  aussi  voisine  de 
-77  qu'on  voudra  le  supposer,  on  pourra  toujours  donner  à 
m  une  valeur  si  grande,  que  le  terme  —  (sec.  x  —  sec.  o) 

qui  complète  la  série ,  devienne  moindre  qu'une  quantité 
quelconque  ;  mais  l'exactitude  de  cette  conclusion  est  fondée 
sur  ce  que  le  terme  sec.  x  n'acquiert  point  une  valeur  qui 


CHAPITRE  II.  189 

excède  toutes  les  limites  possibles,  d'où  il  suit  que  le  même 
raisonnement  ne  peut  s'appliquer  au  cas  où  l'arc  x  n'est  pas 

moindre  que  -  77. 

On  fera  usage  de  la  même  analyse  pour  les  se'ries  qui 
expriment  les  valeurs  de  -  r,  log.  cos.  .r,  et  l'on  pourra  dis- 
tinguer par  ce  moyen  les  limites  entre  lesquelles  la  variable 
doit  être  comprise,  pour  que  le  résultat  du  calcul  soit  exempt 
de  toute  incertitude;  au  reste,  ces  mêmes  questions  seront 
traitées  ailleurs  par  une  méthode  l'ondée  sur  d'autres  prin- 
cipes. 

•      .  189.      ' 

L'expression  de  la  loi  des  températures  fixes,  dans  une 
lame  solide,  suppose  la  connaissance  de  l'équation 

■::  loir'  i 

--r=cos.T — tCos.  o  .r+  ^cos.  Dx cos.  7^+  -  cos.na: — etc. 

4  ^  3  7  '  9         ^ 

Voici  le  moyen  le  plus  simple  d'obtenir  cette  équation  : 

Si  la  somme  de  deux  arcs  équivaut  au  quart  de  la  circon- 
férence -  77,  le  produit  de  leurs  tangentes  est  i ,  on  a  donc  en 

général  -  tt  =  arc .  tang.  u  +  arc .  tang.  -  (c)  ;  le  signe  arc.tang.  it 

indique  la  longueur  de  l'arc  dont  la  tangente  est  k  ,  et  l'on 
connaît  depuis  long-temps  la  série  qui  donne  la  valeur  de 
cet  arc  ;  on  aura  donc  le  résultat  suivant  : 


ô.lir;. 


tgo  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

si  maintenant  on  écrit  e  ^  ^~  '  au  lieu  de  u  clans  l'e'qua- 
tioji  (c)  et  dans  1  équation  {cV)  on  aura  : 

\  T.  =arc.tang.  e^'^~  '  +  arc.tang.  e  ~~  ^^~~  ^ 
et  -,-^  =  cos.a: — *cos.3j;  +  |cos.5a7 — -cos.  70; +  ^005.90;  —  etc. 

la  série  de  l'équation  {d)  est  toujours  divergente,  et  celle  de 

l'équation  (b)  est  toujours  convergente;  sa  valeur  est  ^  ^  o" 
I 

SECTION^  VL 

Solution  générale. 

190. 
On  peut  maintenant  former  la  solution  complète  de  la 
question   que  nous  nous  sommes   proposée  ;  car  les  coeffi- 
cients de  l'équation  (b)  (art.  i()8)  étant  déteruiinés,  il  ne 
reste  plus  qu'à  les  substituer,  et  l'on  aura  : 

-—  =  e        cos.  j  —  :t    e  COS.  a  j  +  ^   e  cos.  o  jr 
e     ^      cos.jy+e     ^     cos.  9 j+ etc.    (a). 

/~i  1  1  .    f,  .     .    1,  '  •        d^  V       d''  V  111 

Cette  valeur  de  v  satisiait  a  1  équation  — -  +  -, -=  o  ;  elle  de- 

1  dx^        df 

vient  nulle  lorsqu'on  donne  à  7  une  valeur  égale  à  -tc ou —   -; 
enfui ,  elle  équivaut  à  l'unité ,  toutes  les   fois  <jue  x  étant 


CHAPITRE   II.  19c 

nulle ,  y  est  comprise  entre  —  -  -  et  4-  -  r.  Ainsi  toutes  les 

conditions  physiques  de  la  question  sont  exactement  rem- 
plies, et  il  est  certain  que,  si  l'on  donnait  à  chaque  point  de 
la  lame  la  température  que  l'équation  (a)  détermine ,  et  en 
même  temps  si  l'on  entretenait  la  base  A  à  la  température  i , 
et  les  arêtes  infinies  B  et  C  à  la  température  o  ,  il  serait 
impossible  qu'il  survînt  aucun  changement  dans  le  système 
des  températures.  .       ,         , 

191. 

Le  second  membre  de  l'équation  (a)  étant  réduit  en  une 
série  extrêmement  convergente ,  il  est  toujours  facile  de 
•déterminer  en  nombre  la  température  d  un  point  dont  les 
coordonnées  j:  et  y  sont  connues.  Cette  solution  donne  lieu 
à  diverses  conséquences  qu'il  est  nécessaire  de  remarcjuer , 
parce  qu'elles  appartiennent  aussi  à  la  théorie  générale. 

Si  le  point  7îi ,  dont  on  considère  la  température  fixe,  est 
très -éloigné  de  l'origine  A,  le  second  membre  de  l'équa- 
tion (a)  aura  pour  valeur  extrêmement  approchée ,  e  cos. }  v 
il  se  réduit  à  ce  premier  terme ,  si  x  est  infinie. 

L'équation  r>=  -  e  cos.  j^représente  aussi  un  état  du  so- 
lide qui  se  conserverai  t  sans  aucun  changement,  s'il  était  d'abord 
foimé ;  il  en  serait  de  même  de  l'état  exprimé  par  l'équation 

D  =  ^-  e  •  cos.  3 y,  et  en  général  chaque  terme  de  la  sé- 

rie correspond  à  un  état  particulier  qui  jouit  de  la  même  pro- 
priété. Tous  ces  systèmes  partiels  existent  à-la-f'ois  dans  celui 
que  représente  l'équation  (a)  ;  ils  se  superposent ,  et  le  mouve- 
ment de  la  chaleur  a  lieu  pour  chacun  d'eux  de  la  même 


192  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

manière  que  s'il  e'tait  seul.  Dans  l'état  qui  re'pond  à  l'un 
quelconque  de  ces  termes ,  les  températures  fixes  des  points 
de  la  base  A  diffèrent  d'un  point  à  un  autre,  et  c'est  la  seule 
condition  de  la  question  cjui  ne  soit  pas  remplie  ;  mais  l'état 
général  qui  résulte  de  la  somme  de  tous  les  termes  satisfait 
à  cette  même  condition. 

A  mesure  que  le  point  dont  on  considère  la  température 
est  plus  éloigné  de  l'origine,  le  mouvement  de  la  chaleur 
est  moins  composé  :  car,  si  la  distance  x  a  une  valeur  assez 
grande,  chaque  terme  de  la  série  est  fort  petit,  par  rapport 
au  précédent,  de  sorte  que  l'état  de  la  lame  échauffée  est 
sensiblement  représenté  par  les  trois  premiers  termes,  ou 
par  les  deux  premiers,  ou  par  le  premier  seulement,  pour 
les  parties  de  cette  lame  qui  sont  de  plus  en  plus  éloignées 
de  l'origine. 

La  surface  courbe ,  dont  l'ordonnée  verticale  mesure  la 
température  fixe  v ,  se  forme  en  ajoutant  les  ordonnées 
d'une  multitude  de  surfaces  particulières,  qui  ont  pour 
équations 

TZV,  X  TZV,  I  Zx  o'Tî'i  5^  r 

——.  =  e         cos.j)',— ;— =  —  ^e.  cos.of,—j-=e  cos.  5/ etc. 

La  première  de  celles-ci  se  confond  avec  la  surface  générale, 
lorsque  x  est  infinie,  et  elles  ont  une  nappe  asymptotique 
commune. 

Si  la  différence  v — v,  de  leurs  ordonnées  est  considérée 
comme  l'ordonnée  d'une  surface  courbe ,  cette  surface  se 
confondra  lorsque  x  est  infinie,  avec  celle  dont  l'équation  est 

-T  X  a»,  = — ^  e  COS.  3  j.  Tous  les  autres  termes  de  la 

série  donnent  une  conclusion  semblable. 


CHAPITRE  ni.  193 

On  trouverait  encore  les  mêmes  re'sultats  si  la  section ,  à 
l'origine,  au  lieu  d'être  terminée  comme  dans  l'hypothèse 
actuelle  par  une  droite  parallèle  à  l'axe  des  j,  avait  une  figure 
quelconque  formée  de  deux  parties  symétriques.  On  voit 
donc  que  les  valeurs  particulières 

a  e        COS.  y,  h  c  cos.  Z  y,  ce  cos.  5  j,  etc. 

prennent  leur  origine  dans  la  question  physique  elle-même, 
et  ont  une  relation  nécessaire  avec  les  phénomènes  de  la 
chaleur.  Chacun  d'eux  exprime  un  mode  simple  suivant  le 
quel  la  chaleur  s'établit  et  se  propage  dans  une  lame  rec- 
tangulaire ,  dont  les  côtés  infinis  conservent  une  température 
constante.  Le  système  général  des  températures  se  compose 
toujours  d'une  multitude  de  systèmes  simples,  et  l'expres- 
sion de  leur  somme  n'a  d'arbitraire  que  les  coefficients 
a,  h,  c,  d,  etc. 

192. 
On  peut  employer  l'équation  (a)  pour  déterminer  toutes  les 
circonstances  du  mouvement  permanent  de  la  chaleur  dans 
une  lame  rectangulaire  échauffée  à  son  origine.  Si  Ion 
demande,  par  exemple,  cjuelle  est  la  dépense  de  la  source 
de  chaleur,  c'est- tà-dire ,  quelle  est  la  quantité  qui,  pendant 
un  temps  donné,  pénètre  à  travers  la  base  A  et  remplace 
celle  qui  s'écoule  dans  les  masses  froides  BetC;il  faut  con- 
sidérer  que   le    flux  perpendiculaire  à  l'axe  des  y  a  pour 

expression  —  k  -j--  la  quantité  qui ,   pendant  l'instant  d  t 

s'écoule  à  travers  une  particule  d  y  de  l'axe,  est  donc 

25 


^k%dydt; 


194  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

et,  comme  les  tempe'ratures  sont  permanentes,  le  produit  du 

flux,  pendant  l'unité  de  temps,  est  —  k  j^^y.  On  intégrera 

cette  expression  entre  les  Inmtes  y  = 7:et  j=  +  -  r, 

afin  de  connaître  la  quantité  totale  qui  traverse  la  base,  ou, 
ce  qui  est  la  même  chose,  on  inte'grera  depuis  j=o  jusqu'à 

j  ==  -  ,7,  et  l'on  prendra  le  double  de  la  somme.  La  quantité 

-T^  est  une  fonction  de  x  et  y,  dans  laquelle  on  doit  faire 

:r  =  o,  afin  que  le  calcul  se  rapporte  à  la  base  A,  qui  coïn- 
cide avec  l'axe  des  y.  La  dépense  de  la  source  de  chaleur  a 

donc  pour  expression  2  /  (  —  ^'  ;7~  "  ^J  )  •  L'intégrale  doit 
être  prise  depuis  y  =  o  jusqu'à  j-  =  ^  tt  ;  si  dans  la 
fonction  y—  on  ne  suppose  point  ,r  =  o,  mais  x  =  x^  l'inté- 
grale sera  une  fonction  de  x  qui  fera  connaître  comj^ien  il 
s'écoule  de  chaleur  pendant  l'unité  de  temps  à  travers  une 
arête  transversale  placée  à  la  distance  x  de  l'origine. 

193. 

Si  l'on  veut  connaître  la  quantité  de  chaleur  qui ,  pendant 
l'unité  de  temps,  pénètre  au-delà  d'une  ligne  tracée  sur  la 
lame  parallèlement  aux  arêtes   B  et  C  ,  on   se    servira  de 

l'expression  — k  -7—,  et,  la  multipliant  par  l'élément  dx  delà 

ligne  tracée ,  on  intégrera  par  rapport  à  x  entre  les  termes 

donnés  de  la  ligne;  ainsi  l'intégrale  /  i  —  k~j--dx  j  fera 

connaître   combien   il  s'écoule   de  chaleur  à  travers  toute 


CHAPITRE  III.  193 

l'étendue  de  la  ligne  ;  et  si  avant  ou  après  l'intégration  on 

fait  7  ^  -  TT ,  on  connaîtra  la  quantité  de  chaleur  qui ,  pen- 

tlant  l'unité  de  temps ,  sort  de  la  lame  en  traversant  l'arête 
infinie  C.  On  pourra  ensuite  comparer  cette  dernière  quan- 
tité à  la  dépense  de  la  source  de  chaleur  ;  car  il  est  néces- 
saire que  le  foyer  supplée  continuellement  la  chaleur  qui 
s'écoule  dans  les  masses  B  et  C.  Si  cette  compensation  n'avait 
pas  lieu  à  chaque  instant,  le  système  des  températures  serait 
vai-iable. 


L'équation  (a)  donne 


Ï94- 


Kd  V         4K/     — X  — Zx  o  — 5^  r 

-r- ^^ -^[    e       •  COS.  j  —  e  COS.  oj+e         cos.oy 

•    \      ■  — e     ^^  COS.  7j+etc.  j 

multipliant  par  dj-,  intégrant  depuis _}-=o,  on  a 


4  K    /     — X     .  l       — Zx     ■         o  I      — 3^     .        r 

—  le         sni.j — 7T  e  sui.oy+^e  ""   ^ 


sm.  oy 

I     — nx    .  \ 

-  e     ^     sni.  y  7+ etc.  ]• 


Si  l'on  fait j-^:-  -,  et  si  l'on  double  l'intégrale,  on  trouvera: 

8K/    —  X        I     —  Z  x        I      —  5.r        1     —  n  X  A 

e         +ôe  +^e  +-e^+  etc. 

71     V  >>  3  7  -J 


pour  l'expression  de  la  quantité  de  chaleur  qui,  pendant 
l'unité  de  temps,  traverse  une  ligne  parallèle  à  la  base  et 
dont  la  distance  à  cette  base  est  x. 

25. 


196  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

On  déduit  aussi  de  l'équation  (a) 

—  K^=-^fe        sin-J — e  sm.  3j  +  e  sin.  b j 

—  e     ^^  sin.  7  /+  •    )  ; 

donc  l'intégraley —  KT  j^  j  dx^  prise  depuis 

4K    /,  — X.    ■  ,  — 'ix^    .      Q 

x^^ot&X- —  f(i — e        jsin.jK — (i — ^  )  sni.  0  j 

+  (i — e         )  sin.  5  j — (i — e     '    )sm.  yj+etc.  J 

Si  l'on  retranche  cette  quantité  de  la  valeur  qu'elle  prend 
lorsqu'on  y  fait  x  infinie,  on  trouvei^a  : 

4K/    — X   .  I    — Zx  .      o         I    — 5.r  ■      t-  ^    \ 

—  (e        sin.j^ — ^e  sni.oj  +  ^e  sm.  oj — etc.  ), 

et,  en  faisant  j=-  ir,  on  aura  l'expression  de  la   quantité 

totale  de  chaleur  qui  traverse  l'arête  infinie  C,  depuis  le 
point  dont  la  distance  à  l'origine  est  x ,  jusqu'à  l'extrémité 
de  la  lame:  cette  quantité  est 

4K/     — X       I     — Zx       I     — ^x       I     — nx         ^     \ 
—  y^        +3^  +5^  +7^  +etc.J; 

on  voit  qu'elle  équivaut  à  la  moitié  de  celle  qui  pénètre  pen- 
dant le  même  temps  au-delà  de  la  ligne  transversale  tracée 
sur  la  lame  à  la  distance  x  de  l'origine.  Nous  avons  déjà 
remarqué  que  ce  résultat  est  une  conséquence  nécessaire  des 
conditions  de  la  question;  s'il  n'avait  pas  lieu,  la  partie  de  la 
lame  qui  est  placée  au-delà  de  la  ligne  transversale  et  se  pro- 


CHAPITRE  III.  197 

longe  à  l'infini,  ne  recevrait  point  par  ses  bases  une  quantité 
de  chaleur  e'gale  à  celle  qu'elle  perd  par  ses  deux  arêtes, 
elle  ne  pourrait  donc  point  conserver  son  état,  ce  qui  est 
contraire  à  l'hypothèse. 

195. 
Quant  à  la  dépense  de  la  source  de  chaleur,  on  la  trouve 
en  supposant  ^=0  dans  l'expression  précédente;  elle  acquiert 
par-là  une  valeur  infinie,  et  l'on  en  connaîtra  la  raison  si  l'on 
remarque  que,  d'après  l'hypothèse,  tous  les  points  de  la  ligne 
A  ont  et  conservent  la  température  i  ;  les  lignes  parallèles 
qui  sont  très-voisines  de  cette  base  ont  aussi  une  température 
extrêmement  peu  différente  de  l'unité  ;  donc  les  extrémités 
de  toutes  ces  lignes  qui  sont  contiguës  aux  masses  froides  B 
et  C  leur  communiquent  une  quantité  de  chaleur  incompa- 
rablement plus  grande  que  si  le  décroissement  de  la  tempé- 
rature était  continu  et  insensible.  Il  existe  dans  cette  pi-e- 
mièi'e  partie  de  la  lame ,  aux  extrémités  voisines  de  B  ou  de 
C ,  une  cataracte  de  chaleur  ou  un  flux  infini.  Ce  résultat 
cesse  d'avoir  lieu  lorsque  la  distance  x  reçoit  une  valeur  ap- 
préciable.    - 

On  a  désigné  par  t  la  longueur  de  la  base.  Si  on  lui  attribue 
une  valeur  quelconque  2  l,  il  faudra  éci'ire,  au  lieu  de  y, 

-  r.  ^ ,  et  multipliant  aussi  les  valeurs  de  x  par  ~,  on  écrira 

-  t:  -j  au  lieu  de  x.  Désignant  par  A  la  température  constante 
de  la  base,  on  remplacera  v  par  -r.  Ces  substitutions  étant 
faites  dans  l'équation  (a)  on  a 


2 


198  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

—  -  e      '  ^/ .  COS.  7  ^^7  +  etc.  J  (  B). 

Cette  équation  repre'sente  exactement  le  système  des  tempé- 
ratures permanentes  dans  un  prisme  rectangulaire  infini, 
compi'is  entre  deux  masses  de  glace  B  et  C ,  et  une  source  de 
chaleur  constante. 

197- 
Il  est  facile  de  voir,  soit  au  moyen  de  cette  équation  ,  soit 

d'après  l'art.  171 ,  que  la  chaleur  se  propage  dans  ce  solide, 
en  s'éloignant  de  plus  en  plus  de  l'origine,  en  même  temps 
qu'elle  se  dirige  vers  les  faces  infinies  B  et  C.  Chaque  section 
parallèle  à  celle  de  la  l)ase  est  traversée  par  une  onde  de 
chaleur  qui  se  renouvelle  à  chaque  instant ,  et  conserve  la 
même  intensité  :  cette  intensité  est  d'autant  moindre,  que  la 
section  est  plus  distante  de  l'origine.  Il  s'opère  un  mouve- 
ment semblable,  par  rapport  à  un  plan  quelconque  parallèle 
aux  faces  infinies;  chacun  de  ces  plans  est  traversé  par  une 
onde  constante  qui  porte  sa  chaleur  aux  masses  latérales. 

Nous  aurions  regardé  comme  inutiles  les  développements 
contenus  dans  les  articles  précédents,  si  nous  n'avions  point 
à  exposer  une  théorie  entièrement  nouvelle,  dont  il  est  né- 
cessaire de  fixer  les  principes.  C'est  dans  cette  même  vue  que 
nous  ajouterons  les  remarques  suivantes. 

198. 
Chacun  des  termes  de  l'équation  (a)  correspond  à  un  seul 
système  particulier  de  températures ,  qui  pourrait  subsister 
dans  une  lame  rectangulaire  échauffée  par  son  extrémité ,  et 


CHAPITRE   III.  199 

dont  les  arrêtes  infinies   sont  retenues  à  une  température 

constante.  Ainsi  l'équation  v  =e  cos.  y  représente  les 
températures  permanentes,  lorsque  les  points  de  la  base  A 
sont  assujétis  à  une  température  fixe,  désignée  par  cos.j.  On 
peut  concevoir  maintenant  que  la  lame  échauffée  fait  partie 
du  plan  qui  se  prolonge  à  l'infini  dans  tous  les  sens,  et  en 
désignant  par  x  et  >  les  coordonnées  d'un  point  quelconque 
de  ce  plan,  et  par  v,  la  température  du  même  point,  on 

appliquera  au  plan  tout  entier  l'équation  a»  =  e  cos.  y; 
par  ce  moyen ,  les  arêtes  B  et  C  auront  la  température  con- 
stante o  ;  mais  il  n'en  sera  pas  de  même  des  parties  contigués 
BB  et  ce  ;  elles  recevront  et  conserveront  une  température 
moindre.  La  base  A  aura  dans  tous  ses  points  la  température 
permanente,  désignée  «par  cos.  j-,  et  les  parties  contigués  AA 
auront  une  température  plus  élevée. 

Si  l  on  construit  la  surface  courbe  dont  l'ordonnée  verti- 
cale équivaut  à  la  température  permanente  de  chaque  point 
du  plan ,  et  si  on  le  coupe  par  un  plan  vertical  passant  par 
la  ligne  A,  ou  pai^allèle  à  cette  ligne,  la  figure  de  la  section 
sera  celle  d'une  ligne  trigonométrique  dont  l'ordonnée  re- 
présente la  suite  infinie  et  périodique  des  cosinus.  Si  l'on 
coupe  cette  même  surface  courbe  par  un  plan  vertical  paral- 
lèle à  l'axe  des  x^  la  figure  de  la  section  sera  dans  toute  son 
étendue  celle  d'une  courbe  logarithmique. 

On  voit  par-là  de  cjuelle  manière  le  calcul  satisfait  aux 
deux  conditions  de  l'hypothèse,  qui  assujétissent  la  ligne  à 
une  température  égale  à  cos.  y,  et  les  deux  cotés  B  et  C  à  la 
température  o.  Lorsqu'on  exprime  ces  deux  conditions,  on 


200  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

résout  en  effet  la  question  suivante  :  Si  la  lame  e'chauffe'e 
faisait  partie  d'un  plan  infini,  quelles  devraient  être  les  tem- 
pératures de  tous  les  points  de  ce  plan ,  pour  que  le  système 
fût  de  lui-même  permanent,  et  que  les  températures  fixes 
des  côtés  du  rectangle  infini  fussent  celles  qui  sont  données 
par  l'hypothèse? 

Nous  avons  supposé  précédemment  que  des  causes  exte'- 
ineures  cjuelconques  retenaient  les  faces  du  solide  rectan- 
gulaire infini,  l'une  à  la  température  i,  et  les  deux  autres  à 
la  température  o.  On  peut  se  représenter  cet  effet  de  diffé- 
rentes manières;  mais  l'hypothèse  propre  au  calcul,  consiste 
à  regarder  le  prisme  comme  une  partie  d'un  solide  dont 
toutes  les  dimensions  sont  infinies,  et  à  déterminer  les  tem- 
pératures de  la  masse  qui  l'environne,  en  sorte  cjue  les  con- 
ditions relatives  à  la  surface  soient  toujours  observées. 

200. 

Pour  connaître  le  système  des  températures  permanentes 
dans  une  lame  rectangulaire  dont  l'extrémité  A  est  entretenue 
à  la  température  i ,  et  les  deux  arêtes  infinies  à  la  tempé- 
rature o,  on  pourrait  considérer  les  changements  que  subis- 
sent les  températures ,  depuis  l'état  initial  qui  est  donné 
jusqu'à  l'état  fixe  qui  est  l'objet  de  la  question.  On  détermi- 
nerait ainsi  l'état  variable  du  solide  pour  toutes  les  valeurs 
du  temps,  et  l'on  supposerait  ensuite  cette  valeur  infinie. 

La  méthode  que  nous  avons  suivie  est  différente,  et  con- 
duit plus  immédiatement  à  l'expression  de  l'état  final,  parce 
qu'elle  est  fondée  sur  une  propriété  distinctive  de  cet  état. 
On  va  prouver  maintenant  que  la  question  n'admet  aucune 
autre  solution  que  celle  que  nous  avons  rapportée.  Cette 
démonstration  résulte  des  propositions  suivantes. 


CHAPITRE   m.  20I 

20 1. 
Si  Ion  donne  à  tous  les  points  d'une  laine  rectangulaire 
infinie  les  températures  exprimées  par  l'équation  (a),  et  si 
l'on  conserve  aux  deux  arêtes  B  et  C  la  température  fixe  o 
pendant  cjue  l'extrémité  A  est  exposée  à  une  source  de 
chaleur  cjui  retient  tous  les  points  de  la  ligne  A  à  la  tempé- 
rature fixe  I  ;  il  ne  pourra  survenir  aucun  changement  dans 

l'état  du  solide.  En  effet,  l'équation  -^  +  — ^==0  étant  satis- 
faite, il  est  manifeste  que  la  cjuantité  de  chaleur  qui  déter- 
mine la  température  de  chaque  molécule  ne  pourra  être  ni 
augmentée  ni  diminuée. 

Supposons  les  différents  points  du  même  solide  ayant 
reçu  les  températui'es  exprimées  par  l'équation  (a)  ou 
v  =  f^  {a:,j-),  qu'au  lieu  de  retenir  l'arête  A  à  la  tempéra- 
ture I  ,  on  lui  donne  ainsi  qu'aux  deux  lignes  B  et  C  la  tem- 
pérature fixe  o;  la  chaleur  contenue  dans  la  lame  BAC 
s'écoulera  à  ti'avers  les  trois  arêtes  A,B,C,  et  d'après  l'hypo- 
thèse elle  ne  sera  point  remplacée ,  en  sorte  que  les  tempé- 
ratures diminueront  continuellement,  et  cjue  leur  valeur 
finale  et  commune  sera  zéro.  Cette  conséquence  est  évidente 
parce  que  les  points  infiniment  éloignés  de  l'origine  A  ont 
une  température  infiniment  petite  d'après  la  manière  dont 
l'équation  (a)  a  été  formée. 

Le  même  effet  aurait  lieu  en  sens  opposé,  si  le  système 
des  températui-es  était  1;  =  — ip  (.r,  j),  au  lieu  d'être 
a>  =  cp  (.r,  j)  ;  c'est-à-dire  que  toutes  les  températures  ini- 
tiales négatives  varieraient  continuellement ,  et  tendraient 
de  plus  en  plus  vers  leur  valeur  finale  o,  pendant  cjue  les 
trois  arêtes  A ,  B ,  C  conserveraient  la  température  o. 

26 


202  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

202. 

Soit  'v=f{^x,y')  une  équation  donnée  qui  exprime  la 
température  initiale  des  points  de  la  lame  BAC,  dont  la 
base  A  est  retenue  à  la  température  i ,  pendant  que  les 
arêtes  B  et  C  conservent  la  température  o. 

Soit  'y=F(.r;,  j)  une  autre  équation  donnée  qui  exprime 
la  température  initiale  de  chaque  point  d'une  lame  solide 
BAC  parfaitement  égale  à  la  précédente,  mais  dont  les 
trois  arêtes  B,  A,  C  sont  retenues  à  la  température  o. 

Supposons  que  tians  le  premier  solide  l'état  variable  qui 
succède  à  l'état  initial  soit  déterminé  par  l'équation 

t  désignant  le  temps  écoulé,  et  que  l'équation  v=^  {.^ij}  0 
détermine  l'état  variable  du  second  solide,  pour  lequel  les 
températures  initiales  sont  '^{^x,y'). 

Enfin ,  supposons  un  troisième  solide  égal  à  chacun  des 
deux  précédents;  soit  v ^f  [^x , y^ -\-  F(j',j-)  l'équation  qui 
l'eprésente  son  état  initial,'  et  soient  i  la  température  con- 
stante de  la  base  A,  o  et  o  celles  des  deux  arêtes  B  et  C. 

On  va  démontrer  que  l'état  variable  du  troisième  solide 
sera  déterminé  par  l'équation  i>  =  ^(j;;,  j,  t)-\-<^{^x ,y,  t). 

En  effet,  la  température  d'un  point  m  du  troisième  solide 
varie,  parce  que  cette  molécule,  dont  M  désignera  le  volume, 
acquiert  ou  perd  une  certaine  quantité  de  chaleur  A.  L'ac- 
croissement de  la  température  pendant  l'instant 

dt  est  — —  dt, 

c  .m. 

le  coefficient  c  désignant  la  capacité  spécifique  rapportée  au 


CHAPITRE  m.  2o3 

volume.    La  variation  de  la  température  du  même  point, 

dans  le  premier  solide,  sera  — rr  dt ,  et  elle  sera  — ^^  dt 

dans  le  second ,  les  lettres  d  et  H  repi^îsentant  la  quantité 
de  chaleur  positive  ou  négative  que  la  molécule  acquiert  en 
vertu  de  l'action  de  toutes  les  molécules  voisines.  Oi-  il  est 
facile  de  reconnaîti^e  que  A  équivaut  à<f+D.  Pour  s'en  con- 
vaincre il  suffit  de  considérer  la  quantité  de  chaleur  que  le 
point  in  reçoit  d'un  autre  point  m'  appartenant  à  l'intérieur 
de  la  lame,  ou  aux  arêtes  qui  la  limitent. 

Le  point  /// , ,  dont  la  température  initiale  est  désignée  par/; , 
transmettra,  pendant  l'instant  dt,  à  la  molécule  m,  une  quan- 
tité de  chaleur  exprimée  par  q,{f, — f)  dt,  le  facteur  q,  re- 
présentant une  certaine  fonction  de  la  distance  des  deux 
molécules.  Ainsi  la  quantité  totale  de  chaleur  acquise  par  ni 
sera  2  q^  {/, — f)dt,  le  signe  2  exprimant  la  somme  de  tous 
les  termes  que  l'on  trouverait  en  considérant  les  autres  points 
7??,,  m^,  771  y  etc.  qui  agissent  sur  771;  c'est-à-dire,  en  mettant 
^,,y, ,  ou  q^,  fi,  ou  ^4,y^,  ainsi  de  suite,  à  la  place  de  q,-if- 
On  ti^ouvera  de  même  2  ^,  (F,  —  ¥)dt  pour  l'expression  de 
la  quantité  totale  de  chaleur  acquise  par  le  même  point  771 
du  second  solide;  et  le  facteur  q,  est  le  même  que  dans  le 
terme  2  q,  {/, — f)dt ,  puisque  les  deux  solides  sont  formés 
de  la  même  matière,  et  que  la  situation  des  points  est  la 
même;  on  a  donc 

^  =  2^.(/.-/)^^etD  =  2^.  (F.— F)f;?f. 

On  trouvera  par  la  même  raison  '  -  ^  ^       '>  .  ' 

A  =  2^.(/  +  F,-(/+F))./f;         :-;/,.:. 

26. 


2o4  THEORIE  DE  LA  CHALEUR.    . 

donc  A  =  rZ+  D  et  -^  =  — ^  +  — ^r^-  Il  suit  de  là  que  cha- 
c.m         c.JVl         cm.  ' 

que  molécule  771  du  troisième  solide  acquerra,  pendant  l'ins- 
tant df ,  un  accroissement  de  température  égal  à  la  somme 
des  deux  accroissements  qui  auront  lieu  pour  le  même  point 
dans  les  deux  premiers  solides.  Donc  à  la  fin  du  premier 
instant,  l'hypothèse  primitive  subsistera  encore,  puisqu'une 
molécule  quelconque  du  troisième  solide  aura  une  tempé- 
rature égale  à  la  somme  de  celles  qu'elle  a  dans  les  deux 
autres.  Donc  cette  même  relation  aura  lieu  au  commence- 
ment de  chaque  instant,  c'est-à-dire  que  l'état  variable  du 
troisième  solide  sera  toujours  représenté  par  l'équation 

2o3. 

La  proposition  précédente  s'applique  à  toutes  les  questions 
relatives  au  mouvement  uniforme  ou  varié  de  la  chaleur. 
Elle  fait  voir  que  ce  mouvement  peut  toujours  être  décom- 
posé en  plusieurs  aut^s  dont  chacun  s'accomplit  séparément 
comme  s'il  avait  lieu  seul.  Cette  superposition  des  effets  sim- 
ples, est  un  des  éléments  fondamentaux  de  la  théorie  de 
la  chaleur.  Elle  est  exprimée  dans  le  calcul,  par  la  nature 
même  des  équations  générales ,  et  tire  son  origine  du  principe 
de  la  communication  de  la  chaleur. 

Soit  maintenant  v  =  (f{œ, y)  l'équation  (a),  qui  exprime 
l'état  permanent  de  la  lame  solide  BAC,  échauffée  par  son 
extrémité  A ,  et  dont  les  arêtes  B  et  C  conservent  la  tempé- 
rature I  ;  l'état  initial  de  cette  lame  est  tel,  d'après  l'hypo- 
thèse, que  tous  ses  points  ont  une  température  nulle,  excepté 
ceux  de  la  base  A  ,  dont  la  température  est  1 .  Cet  état  initial 


CHAPITRE  m.  2o5 

pourra  donc  être  considéré  comme  formé  de  deux  autres , 
savoir  :  un  premier ,  pour  lequel  les  températures  initiales 
seraient — <p(^-,  }),  les  trois  arêtes  étant  maintenues  à  la 
température  o ,  et  un  second  état ,  pour  lequel  les  tempéra- 
tures initiales  sont  +  (^(jc,  y)^  les  deux  arêtes  B  et  C  con- 
servant la  température  o ,  et  la  base  A  la  température  i  ;  la 
superposition  de  ces  deux  états  produit  l'état  initial  qui  ré- 
sulte de  l'hypothèse.  Il  ne  reste  donc  qu'à  examiner  le  mou- 
vement de  la  chaleur  dans  chacun  des  deux  états  partiels. 
Or,  pour  le  second ,  le  système  des  températures  ne  peut 
svdiir  aucun  changement;  et  pour  le  premier,  il  a  été  remaïqué 
dans  l'article  201  que  les  températures  varient  continuelle- 
ment ,  et  finissent  toutes  par  êti'e  nulles.  Donc  l'état  final , 
proprement  dit ,  est  celui   que  représente  1  équation  (a)  ou 

Si  cet  état  était  formé  d'abord,  il  subsisterait  de  lui-même, 
et  c'est  cette  propriété  qui  nous  a  servi  à  le  déterminer.  Si 
l'on  suppose  la  lame  solide  dans  un  autre  état  initial,  la  dif- 
férence entre  ce  dernier  état  et  l'état  fixe  forme  un  état  par- 
tiel, qui  disparaît  insensiblement.  Après  un  temps  considéra- 
ble, cette  différence  est  presque  évanouie,  et  le  système  des 
températures  fixes  n'a  subi  aucun  changement.  C'est  ainsi 
que  les  températures  variables  convergent  de  plus  en  plus 
vers  un  état  final,  indépendant  de  réchauffement  primitif.     • 


204. 


On  reconnaît  par-là  que  cet  état  final  est  unique;  car,  si 
l'on  en  concevait  un  second ,  la  différence  entre  le  second  et 
le  premier  formerait  un  état  partiel ,  qui  devrait  subsister  de 
lui-même,  quoique  les  arêtes  A,B,  C  fussent  entretenues  à 


2o6  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

la  température  o.  Or  ce  dernier  effet  ne  peut  avoir  lieu  :  il 
n'en  serait  pas  de  même  si  l'on  supposait  une  autre  source 
de  chaleur  indépendamment  de  celle  qui  s'écoule  à  l'ori- 
gine A  :  au  reste  cette  hypothèse  n'est  point  celle  de  la 
question  que  nous  avons  traitée,  et  pour  laquelle  les  tem- 
pératures initiales  sont  nulles.  Il  est  manifeste  que  les 
parties  très  -  éloignées  de  l'origine  ne  peuvent  acquérir 
qu'une  température  extrêmement  petite. 

Puisque  l'état  final  qu'il  fallait  déterminer  est  unique,  il 
s'ensuit  que  la  question  proposée  n'admet  aucune  autre  solu- 
tion que  c(  lie  cj^ui  résulte  de  l'équation  (a).  On  peut  donner 
une  autre  forme  à  ce  même  résultat ,  mais  on  ne  peut  ni 
étendre,  ni  restreindre  la  solution,  sans  la  rendre  inexacte. 

La  méthode  que  nous  avons  exposée  dans  ce  chapitre, 
consiste  à  former  d'abord  des  valeurs  particulières  très-sim- 
ples ,  qui  conviennent  à  la  question ,  et  à  rendre  la  solution 
plus  générale,  jusqu'à  ce  que  la  fonction  "v  ou  9  {^yj)  satis- 
fasse à  trois  conditions  ,  savoir  : 

.7^+  <P  =  ^'   (p(^,o)=  I,   <p  (^,  ±  -  t:)  =  o. 

11  est  visible  que  l'on  pourrait  suivre  une  marche  contraire , 
et  la  solution  que  l'on  obtiendrait  serait  nécessairement  la 
même  que  la  précédente.  Nous  ne  nous  arrêterons  point  à 
ces  détails,  qu'il  est  facile  de  suppléer,  dès  qu'une  fois  la 
solution  est  connue.  Nous  donnerons  seulement  dans  la 
section  suivante  une  expression  remarc[uable  de  la  fonction 
ç  [x ,  j)')  dont  la  valeur  est  développée  en  série  convergente 
dans  l'équation  (aj. 


CHAPITRE   III.  207 

SECTION   V. 

Expression  finie  du  résultat  de  la  solution. 

2o5. 
On  pourrait  déduire  la  solution  précédente  de  l'intégrale 

de  l'équation  j— ^  +  -7—  =  o ,  qui  contient   des  quantités 

imaginaires,  sous  le  signe  des  fonctions  arbitraires.    Nous 
nous  bornerons  ici  à  faire  remarquer  que  cette  intégrale 

a  une  relation  manifeste  avec  la  valeur  de  v  donné  par  l'é- 
quation 

TZ  V  —X  I      —  'h  X  o  I      —  5  a'  r 

— -  =  e         cos.j' — ^e  cos.  oj"+F^  cos.  oj'  —  etc. 

En  effet,  en  remplaçant  les  cosinus  par  leurs   expressions 
imaginaires,  on  a  ' 

5  5 

TT  V  

La  première  série  est  une  fonction  de  x — jl/ —  i,  et  la  se- 
conde est  la  même  fonction  de  x  +  j  V^ —  i. 

En  comparant  ces  séries  au  développement  connu  de  l'arc 
arc.tang.  z  en  fonction  de  z  sa  tangente,  on  voit  sur-le- 


2o8  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

champ  que  la  première  est  arc .  tang  e  ,  et  que 

la  seconde  est  arc.  tang.  e~  ^^'^^    ~~^   -,  ainsi  l'équation  (a) 
prend  cette  forme  finie , 

_  =  arc. tang.  e      ^       -^  ^  +  arc. tang.  e     ^       -^  >      [V,) 

2  ° 

C'est  de  cette  manière  qu'elle  rentre  dans  l'intégrale  générale 

■v  =  rf{x+j]y~l)  +  ^{x—y\y-^~[)         (A); 

la  fonction  9  [z)  est  arc.tang.  e""",  et  il  en  est  de  même  de 
la  fonction  <\i  (z). 

Si  dans  l'équation  (B)  on   désigne  le  premier  terme  du 
second  membre  par  p  et  le  second  par  q ,  on  aura 

:t'y=jD  +  ^,  tang./»=e      ^       -^  ^tang.  §-  =  6 

,  .  tang./)  +  tane.^  2  e     ^.cos.  r  2  cos.  y 

donc  tang.  («  +  ^)  ou — ^-!-  = 77^= ^^i 

^    ^^  -' ^  1 — tang. /?. tang.  ^  i — c~^'^  e^ e~' 

1  '  1    •     i>  '          •         I                          ^           /    2  COS.  r   \  ^    N 

on  en  déduit  1  équation  -  tt  1'=: arc.tang.  ( -^ £7^  j  (cj. 

C'est  la  forme  la  plus  simple  sur  laquelle  on  puisse  présenter 
la  solution  de  la  question. 

206. 
Cette  valeur  de  v  ou  9  (a,  j)   satisfait  aux  conditions 
relatives  aux  extrémités  du  solide  qui  sont  (p(a;,±^7r)  =  o 


CHAPITRE   III.  209 

et  9  (  o ,  j  )  =  I  ;   elle  satisfait  aussi  à  l'équation  générale 

-T—^  +  ——^=0,  puisque  l'équation  [c]  est  une  transformée 

de  l'équation  (B).  Donc  elle  représente  exactement  le  sys- 
tème des  températures  permanentes  ;  et  comme  ce  dernier 
état  est  unique,  il  est  impossible  qu'il  y  ait  aucune  autre 
solution ,  ou  plus  générale  ou  plus  restreinte. 

L'équation  (c)  fournit ,  au  moyen  des  tables ,  la  valeur  de 
l'une  des  trois  indéterminées  d ,  x,  y,  lorsque  les  deux 
autres  sont  données  ;  elle  fait  connaître  très-clairement  la 
nature  de  la  surface  qui  a  pour  ordonnée  verticale  la  tem- 
pérature permanente  d'un  point  donné  de  la  lame  solide. 
Enfin  on  déduit   de   cette  même  équation   les  valeurs  des 

coefficients  différentiels  -7—  et  -7—   qui   mesurent    la  vitesse 

dx  d  Y      i 

avec  laquelle  la  chaleur  s'écoule  dans  les  deux  directions 
orthogonales  ;  et  l'on  connaîtra  par  conséquent  la  valeur 
du  flux  dans  toute  autre  direction. 

Ces  coefficients  sont  exprimés  ainsi 

e   +e  V    ^y  —  ■' 


=  _2cos.j   -j^ _,.  ^—asm.j 


2  X 

e 


2  COS.  2^4- e  J''dj  '"        ''^   \e     +2cos.2^-f-<î 


On  remarquera  que,  dans  l'article   ig4  la  valeur  de  ^, 
et  celle  de  -j^  sont  données  par  des  séries   infinies   dont 

il  est  facile  de  trouver  la  somme  ,  en  remplaçant  les 
quantités  trigonométriques  par  des  exponentielles  imagi- 
naires. On  obtient  ainsi  ces  mêmes  valeurs  de  ^  et  ^  que 
nous  venons  de  rapporter. 

27 


yio  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

La  question  que  l'on  vient  de  traiter  est  la  première  que 
nous  ayons  résolue  dans  la  théorie  de  la  chaleur ,  ou  plutôt 
dans  la  partie  de  cette  théorie  qui  exige  l'emploi  de  l'ana- 
lyse. Elle  fournit  des  applications  numériques  très-faciles , 
soit  que  l'on  fasse  usage  des  tables  trigonométriques  ou  des 
séries  convergentes,  et  elle  représente  exactement  toutes 
les  circonstances  du  mouvement  de  la  chaleur.  Nous  passe- 
rons maintenant  à  des  considérations  plus  générales. 

SECTION  VL 

Développement  d'une  Jonction   arbitraire  en  séries 
trigonométriques. 

207. 

La   question   de  la  propagation  de  la  chaleur  dans  un 

solide  rectangulaire  a  conduit  à  l'équation^— ^  +  -j—^  =  o  ; 

et  si  Ion  suppose  que  tous  les  points  de  l'une  des  faces  du 
solide  ont  une  température  commune ,  il  faut  déterminer 
les  coefficients  a,h ,  c ,  cl,  e,  etc.  de  la  série 


a 


COS.  X  +  h  cos.  ?)  X  +  c  COS.  5  .r  +  f/  cos.  7x4-...  etc. , 


en  sorte  que  la  valeur  de  cette  fonction  soit  égale  à  une 
constante  toutes  les  fois  que  l'arc  x  est  compris  entre 
—  7  t:  et  +  7  77.  On  vient  d'assigner  la  valeur  de  ces  coeffi- 
cients ;  mais  on  n'a  traité  qu'un  seul  cas  d'un  problême  plus 
général ,  qui  consiste  à  développer  une  fonction  quelconque 


CHAPITRE   III.  21  r 

en  une  suite  infinie  de  sinus  ou  de  cosinus  d'arcs  multiples. 
Cette  question  est  liée  à  la  tliéorie  des  équations  aux  dilfé- 
rences  partielles  et  a  été  agitée  dès  l'origine  de  cette  analyse. 
Il  était  nécessaire  de  la  résoudre  pour  iiitégier  convenable- 
ment les  écjuations  de  la  propagation  de  la  chaleur  ;  nous 
allons  en  exposer  la  solution. 

On  examinera,  en  premier  lieu,  le  cas  où  il  s'agit  de 
réduire  en  une  série  de  sinus  d'arcs  multiples,  une  fonction 
dont  le  développement  ne  contient  que  des  puissances  im- 
paires de  la  variable.  Désignant  une  telle  fonction  par  f  a: , 
on  posera  l'équation 

fX  =  asin.ji'  +  i^sin.  2..v  H-  csin.  3.v  -h  ds\n.  4-f  +  .  .  .  etc. 

et  il  s'agit  de  déterminer  la  valeur  des  coefficients  a,  h,  c,  cl,  etc. 
On  écrira  d'abord  l'équation 


^x  =  x<^'o  +  ^<p"o  +  ±^^"'o+-^'fo  +  -^j^o  +  ...  etc. 


dans  laquelle  ç'o,  (p'o,  ?  "o,  <p"o,  etc.  désignent  les  valeurs 
que  prennent  les  coefficients  .    -       ,     ■ 

d.n^x     d-.ti^x     (P.is^x     d'.r^x 

lorsqu'on  y  suppose  oc  =  o.  Ainsi  en  représentant  le  déve- 
loppement selon  les  puissances  de  x  par  l'équation 

i.Jc=Aœ  —  B  ^  +  C     .,        — D — ^   ,  r  a ^  E — .,    .  ^ ^. ~ — -etc. 

2.J  2.0.4.5  2.0.4.^.0.7  2.0.4.5.0.7.8.9 

27. 


J2I2 

THEORIE  DE  LA  CHALEUR 

on  aura 

90      0 

et 

y    0  —  A 

f  0  —  0 

9"'  o  =  B 

ç'^o      0 

f  0  — C 

(f'O        0 

f'O  — D 

etc. 

etc. 

Si    maintenant    on    compare    l'équation    préce'dente    à 
celle-ci 

(fx  =  asm..x  +  Z'sin.  2^'  +  csm.3x  ■+■  dsin./^x  +  esin.  5x  +  etc. 

En  développant  le  second  membre  par  rapport  aux  puis- 
sances de  Jc ,  on  aura  les  équations 

A-=a  -h  2.  b  +  3  c  +  4  fl  +  5  e  -h  etc. 
B  =a  +  2^  b  -h  3' c  +  ^^ d  -h  5^ e  +  etc. 
C=«  +  2'Z'4-3'<?  +  4'c?+5'e  +  etc. 
D  =  <z  +  2'(^  -H  3'c  +  4'^+  5'e  +  etc. 
E  =r  rt  -f-  2^  Z»  +  3V  +  4®  ^  +  5'  e  +  etc.  (<2) 

etc. 

Ces  équations  doivent  servir  à  trouver  les  coefficients 
a,  b,  c,  d,  e,  etc.,  dont  le  nombre  est  infini.  Pour  y 
parvenir ,  on  regardera  d'abord  comme  déterminé  et  égal  à 
m  le  nombre  des  inconnues,  et  l'on  conservera  un  pareil 
nombre  ui  d'équations  ;  ainsi  l'on  supprimera  toutes  les 
équations  qui  suivent  les  m  premières,  et  l'on  omettra  dans 
chacune  de  ces  équations  tous  les  termes  du  second  membre 
qui  suivent  les  m  premières  que  l'on  conserve.  Le  nombre 
entier  m  étant  donné,  les  coefficients  a,  b,  c,  d,  e etc. 


CHAPITRE  III.  2i3         ♦ 

ont  des  valeurs  fixes  que  l'on  peut  trouver  par  l'élimination. 
On  obtiendrait  pour  ces  mêmes  quantités  des  valeurs  diffé- 
rentes ,  si  le  nombre  des  équations  et  celui  des  inconnues 
était  plus  grand  d Une  unité.  Ainsi  la  valeur  des  coefficients 
varie  à  mesure  que  l'on  augmente  le  nombre  de  ces  coeffi- 
cients et  celui  dss  équations  qui  doivent  les  déterminer. 
Il  s'agit  de  chercher  quelles  sont  les  limites  vers  lesquelles 
les  valeurs  des  inconnues  convergent  continuellement  à 
mesure  que  le  nombre  des  équations  devient  plus  grand. 
Css  limites  sont  les  véritables  valeurs  des  inconnues  qui 
satisfont  aux    équations   précédentes  lorsque  leur  nombre 

est  infini. 

208. 
On  considérera  donc  successivement  les  cas  où  l'on  aurait 
à  déterminer  luie  inconnue  par  une  équation,  deux  incon- 
nues par  deux  équations,  trois  inconnues  par  trois  équa- 
tions ,  ainsi  de  suite  à  l'infini.  Supposons  que  l'on  désigne 
comme  il  suit  différents  systèmes  d'équations  analogues  à 
celles  dont  on  doit  tirer  les  valeurs  des  coefficients  : 

rt,=A,     rt,  +  2  Z>,=:A,     a,  +  Q.b,-h3  C3=A3     a^^  +  ti  b^  +  3  c^-h^  d^=A^ 

a,  +  2'b,=B,     ai  +  2'bi  +  3'c,=B,     a^  +  2'b^-i-'5'c,-^-/^'d,=B^ 

ai  +  2.''bi  +  3'Ci=Ci     a,  +  2.'b^  +  3'c^-h^'di,=C^ 

a,  + 2  bs  +  3  c,  + i^  ds  + 5  e,^A, 
a,  + 2.'b,  +  3'c.,  + ^'d^  + ■5'e,  =  Bs 

■■■:b  :■/>!•-•.■;•.:  a,  +  2.- b,  +  3' c,  + /i- d,  +  5' e,=^Di 

a,  +  2.''b,  +  3'^c,-h:i^d,  +  o^e,  =  Es 
etc.  (è) 


2i4  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

Si  maintenant  on  élimine  la  dernière  inconnue  e^ ,  au 
moyen  des  cinq  équations  qui  contiennent  A;  Bj  C5  D5E5 ,  etc. 
on  trouvera 

a.^  (5'_  I  =)  +  2  ^5  (5  —  2O  4-  3  cj  (5  —  3')  +  4  d,  (5=—  4^)  =  5'  A,-  —  B5 
a,  (5'—  x)  +  i'h  (5=—  2')  +  3'  c,  (5  —  3^  +  ^'  d,  (5^—  40  =  5^  B5  —  C, 
«^(5=_i)  +  2=^.j(5'_20  +  3'c5(5-— 30+4'^5(5=— 40=5=C5  — D, 
^,  (5=_  I  )  +  a'  Z-s  (5^—  2')  +  3'  c,  (5^—  3^  +  4'  d,  (5^—  40  =  5^  D^  —  E^ 

On  aurait  pu  déduire  ces  quatre  éclations  des  quatre 
qui  forment  le  système  précédent,  en  mettant  dans  ces 
dernières  au  lieu  de 

«4        (5=— I  )  a, 

c,  (5^  —  3=)  c'' 

d,  (5^-40^^. 

et  au  lieu  de  A4  5'  A5  —  Bj 

B,  5B,_C, 

C,  5C,  — D, 
D4  5'D5— E, 

On  pourra  toujours,  par  des  substitutions  semblables, 
passer  du  cas  qui  répond  à  un  nombre  m  d'inconnues  à 
celui  qui  répond  à  un  nombre  w  +  i .  En  éci'ivant  par  ordre 


i 


J» 


CHAPITRE  III.  2i5 

toutes  ces  relations  entre  les  quantités  qui  répondent  à  l'un 
des  cas  et  celles  qui  répondent  au  cas  suivant ,  on  aura 


Q=c.(7'-3')     d,=d,{f-4')     ..=,,(7'-5')    /,==/(7'-6")  ; 
etc. 


a,^=a,{2'~-i) 

a.=«,(a'— i) 

b^ — 1^3(3' — 2') 

«j=''..(4'— 0 

b—bii^—^^) 

a,=n,{^'—i) 

b—b,{^^—i-') 

ai=af.{6'—i) 

b,=ù,(6'-2') 

a^a,(y-i) 

'^«='^7(7'— 2') 

on  aura  aussi 


A,  =  3A3— B,     B,  =  3B3— C, 

A3  =  4A,— B,     B3  — 4B,  — C     C,  =  4C,— D, 


{d) 


:5A,  — Bj     B,==5B,— C,     C,  =  5C5- 

etc. 


-D,     D,  =  5D,  — E,, 


On  conclut  des  équations  [c)  qu'en  représentant  par 
a ,  h ,  c ,  cl ,  e , . .  .  etc. ,  les  inconnues  dont  le  nombre  est 
infini ,  on  doit  avoir 


/     a 


(-'- 

-0(3'- 

-0(4'- 
K 

-I  )(6'- 

-0 

(3'- 

-2^)(4'- 

-20(5^- 

-2^)(6'- 

-2") 

(4'- 

-30(5^- 

-3^)(6'- 

-^'W- 

-30 

■(5^_4^)(6'_4=)(7'_4')(8'_4'). 
etc. 


(^) 


ai6  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

209. 
Il  reste  donc  à  déterminer  les  valeurs  de  <?,  b^  c,  d^  e^  etc. ; 
la  première  est  donnée  par  une  équation ,  dans  laquelle 
entre  A,;  la  seconde  est  donnée  par  deux  équations  dans 
lesquelles  entrent  A,  B,  ;  la  troisième  est  donnée  par  trois 
équations,  dans  lesquelles  entrent  A5B3C3,  ainsi  de  suite.  Il 
suit  de  là  que  si  l'on  connaissait  les  valeurs  de 

A.  A,B,  A3B3C,  A.BjC.D^...  etc., 

on  trouverait  facilement  a,  en  résolvant  une  équation ,  a^  b, 
en  résolvant  deux  équations ,  a^  b^  c,  en  résolvant  trois  équa- 
tions, ainsi  de  suite  ;  après  quoi  on  déterminerait  a,  b,  c,  d,  e, 
etc.  Il  s'agit  maintenant  de  calculer  les  valeurs  de 

A.  A,B,  A3B3C3  AiB,C,D,  A.B.CsD.Es  etc., 

au  moyen  des  équations  [cl).  1°  on  trouvera  la  valeur  de  A. 
en  A,  et  B,  ;  2°  par  deux  substitutions  on  trouvera  cette  va- 
leur de  A,  en  A3  B3  C,  ;  3°  par  trois  substitutions  on  trouvera 
la  même  valeur  de  A,  en  AJB4C4DJ,  ainsi  de  suite.  Ces  va- 
leurs successives  de  A,  sont  : 

A.=A,  2'— B, 

A,=A,  2'.3'— B3(2'  +  3')4-C3 

A,=A,  2\3\4'— B,(2'.3'  +  2'.4'  +  3'.4')  +  C4(2'+3'  +  4')— D, 

A.=A,  2\3\4\5^— B5(2'.3'.4'  +  2'-3'.5^  +  2'.4'.5'4-3\4\5') 

+  C,  (2'.  3'+  2' .  4'+  2' .  5'+  3' .  4'+  3' .  5'+4= .  5')— D,  (2'+3'+  4'+  5')+E, , 

etc. , 

dont  il  est  aisé  de  remarquer  la  loi.  La  dernière  de  ces  va- 
leurs, qui  est  celle  que  l'on  veut  déterminer,  contient  les 


CHAPITRE   111.  217 

quantités  A,  B ,  C ,  D,  E,  etc.  avec  un  indice  infini ,  et  ces  quan- 
tités sont  connues  ;  elles  sont  les  mêmes  que  celles  qui  en- 
trent dans  les  équations  (a). 

En  divisant  cette  dernière  valeur  de  A,  par  le  pi'oduit  infini 

2\3'.4\5'.6' etc., 

on  a 

+  etc. 

Les  coefficients  numériques  sont  les  sommes  des  produits 
que  l'on  formerait  par  les  diverses  combinaisons  des  frac- 

IIIIII  V  .,,, 

tions  "TTôTTTFTgT et,  apres  avon-  sépare  la  pre- 
mière fraction  — ;•.  Si  l'on  représente  ces  différentes  sommes 

de  produits  par  P,  Q,  R,  S,  T, .  .  .  etc. ,  et  si  l'on  emploie  la 
première  des  équations  (e)  et  la  première  des  équations  (h) , 
on  aura,  pour  exprimer  la  valeur  du  premier  coefficient  a , 
l'équation 

^'''"'"v^.'.y.T'.'.'''"'''  •-^-BP.+CQ.-DR.+ES.-FT.+etc.; 

or  les  quantités  P,  Q,  R,  S,  T,. . .  etc. ,  peuvent  être  facilement 
déterminées  comme  on  le  verra  plus  bas  ;  donc  le  j^remier 
coefficient  a  sera  entièrement  connu.  •>  ■«, 

28 


2i8  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

2IO. 

Il  faut  passer  maintenant  à  la  recherche  des  coefficients 
suivants  hcdef...  etc.,  qui  d'après  les  équations  [e)  dé- 
pendent des  quantités  h^  c^  d^  e^f^ .  .  .  etc.  On  reprendra  pour 
cela  les  équations  (b)  ;  la  première  a  déjà  été  employée  pour 
trouver  la  valeur  de  a,  ;  les  deux  suivantes  donnent  la  va- 
leur de  b,_;  les  trois  suivantes  la  valeur  de  c^  ;  les  quatre  sui- 
vantes la  valeur  de  d^^  ainsi  de  suite. 

En  effectuant  le  calcul,  on  trouvera,  à  la  seule  inspection 
des  équations ,  pour  les  valeurs  de  b, c^d^e^.  .  .  etc ,  les  résul- 
tats suivants  : 

2^,(l'— 2')  =  A,  I'— B, 

3  <?3  (i'— 3')  (2'— 3')  =  A3  i'.2'— B3  (i'4- 2')  +  C3 

4  d, (i'— 4')  (2'— 4')  (3'— 4") = A,  i'.2\3"— B,(i'.2'+ 1'.3'+  2'.3')  +  C,  (i'+  2'+  3')—  D, 

5  e,  (i'— 5')  (2'— 50(3'— 5')  (4'— 5')= A,  i'.2'.3\4^— B,  (i\2'.3"+ 1=.2'.4'+  i'.3'.4'+2'.3'.4') 

+C,(I^2'^-I^3'+l^4'+2^3=+2^4'+3^4')— D,(i'+2'+3'+40+E, 

etc. 

La  loi  que  suivent  ces  équations  est  facile  à  saisir;  il  ne 
reste  plus  qu'à  déterminer  les  quantités 

A,R,  A3B3C3  A,B,C,  etc. 

Or,  les  quantités  A,  B^  peuvent  être  exprimées  en  A3B3C3, 
ces  dernières  en  A4B4C4D4  etc.  Il  suffit  pour  cek  d'opérer 
les  substitutions  indiquées  par  les  équations  (d)  ;  ces  chan- 
gements successifs  réduiront  les  seconds  membres  des  équa- 
tions précédentes  à  ne  contenir  que  les  quantités  ABCD 
etc. , avec  un  indice  infini,  c'est-à-dire,  les  quantités  connues 


CHAPITRE   III.  219 

ABCD  etc.  qui  entrent  dans  les  équations  («;);  les  coeffi- 
cients seront  les  différents  produits  que  l'on  peut  faire  en 
combinant  les  quarrés  des  nombres  i'2'3'4'5'  à  l'infini.  Il 
faut  seulement  remarquer  que  le  premier  de  ces  quari'és  i' 
n'entrera  point  dans  les  coefficients  de  la  valeur  de  «, ;  que 
le  second  quarré  2'  n'entrera  point  dans  les  coefficients  de 
la  valeur  de  b^  ;  que  le  troisième  quarré  3'  sera  seul  omis 
parmi  ceux  qui  servent  à  former  les  coefficients  de  la  valeur 
de  03,  ainsi  du  reste  à  l'infini.  On  aura  donc  pour  les  valeurs 
de  h^c^d^er,  etc. ,  et  par  conséquent  pour  celles  de  bcde  etc., 
des  résultats  entièrement  analogues  à  celui  que  l'on  a  trouvé 
plus  haut  pour  la  valeur  du  premier  coefficient  a,. 

21 1. 

Si  maintenant  on  représente 

parP,lesquantités^  +  ^  +  ^-l-  ^  +  .  .  .  ! 

■n  ^  I  I  I  I 


i'.3\4'      i'.3'.5=      3\3\4'^3\4\5' 
S. 


I^3^4^5'      i\4\5\6'  ^  *  •/  j 
etc. , 

que  l'on  forme  par  les  combinaisons  des  fractions 


I    I    I    I    I 

F  2^  F  F  5^  ■  ■  ■        ' 


18. 


220  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

à  l'infini ,  en  omettant  la  seconde  de  ces  fractions  — ■  :  on 
aura ,  pour  de'terminer  la  valeur  de  b^  l'équation 

2  è, -^^^l;^^;^^^  =  A,-BP,  +  CQ,  — DR,  +  ES,— FT, -1- etc. 

En  représentant  en  général  par  P„  Q„  R„  S„  T„ les 

sommes  des  produits  que  l'on  peut  faire  en  combinant  di- 
versement toutes  les  fractions  -7  -r  tt  jr  7^ à  l'infini, 

après  avoir  seulement  omis  la  fraction  —^  ;  on  aura  en  gé- 
néral, pour  déterminer  les  quantités  a^h^Cid^e,,. . .  etc.,  les 
équations  suivantes  : 

A,— BP.  +  CQ.— DR.  +  ES.— etc.=  a,  - 


2\3\4\5' 


A,_BP,4-CQ,— DR,+ES,— etc.^aZ»,  ^33!^^  5?^, 
A3-BP3+CQ3-DR3+ES3— etc.=3c3  ['.V.y.i'V.^'.^ 

A,-BP,+CQ.-DR,+ES,-etc.=4^.  "^-^^^^-^ 

etc. 


212. 

Si  l'on  considère  maintenant  les  équations  {è)  qui  don- 
nent les  valeurs  des  coefficients  abcd. . .  etc.,  on  aura  les 
résultats  suivants  : 


CHAPITRE   III.  221 

2^>(''--'^^^'-t^t^.r^^''~^'^•••=^A-BP.  +  CQ.-DR.  +  ES-etc■ 

I  .3  .4  .5 

i'.2\4'.5' 

(r_40i£:_^:)g^^ 

I    .2    .0    .5 

etc.  '  '•        -' '     - 

En  distinguant  quels  .sont  les  facteurs  qui  manquent  aux 
numérateurs  et  aux  dénominateurs  pour  y  compléter  la 
double  série  des  nombres  naturels,  on  voit  que  la  fraction 


se  réduit ,  dans  la  première  équation  ,  à ;    dans  la  se 

2  2 

â"4 

4  8 


conde  à -^  ;  dans  la  troisième  à  ^-^  ;  dans  la  quatrième  à 

—  y  I  ;  en  sorte  que  les  produits  qm  multiplient 


a,  2.b,  3c,  l^d ,  etc. , 

sont  alternativement  -  et .  Il  ne  s'agit   donc  plus  que 

de  trouver  les  valeurs  de 

P.  Q.  R.  S.  P,  Q.  R.  S,  P3  Q3  R3  S3 .  . .  etc. 

Pour  y  parvenir,  on  remarquera  que  l'on  peut  faire  dépen- 
dre ces  valeurs  de  celles  des  quantités  PQRST...  etc., 
qui  représentent  les  différents  produits  que  l'on  peut  former 

avec  les  fractions  ^  -^  ttt  tt  —  sr  •  •  •  etc. ,  sans  en  omettre 


222  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

aucune.  Quant  à  ces  derniers  produits,  leurs  valeurs  sont 
données  par  les  séries  des  développements  de  sinus.  Nous 
représenterons  donc  les  séries 

7^  +  î^  +  F  +  F  +  ^  +  ^*^-  P^^P' 

rrr^  +  T^+T^-^i^  +  ^  +  iTir  +  ^^'-P^'Q' 

ainsi  de  suite. 

La  série  sin.  a:  =  a; ^  H „    .  _  +  — „    .  „  „ h  etc.  ; 

2.0       2.J.4.5       2. 0.4. 5. 6. 7  ' 

nous  fournira  les  quantités  P  Q R  S  T  etc.  En  effet,  la  valeur 
du  sinus  étant  exprimée  par  l'équation 

sin.x=:r(i— ^)(i-^)(i-3^)(i-^)(i-^)etc. 

on  aura  i 5  H 5— rr ,   .  g  ^ 1-  etc. 

2.0      2.0.4.5      2. i. 4-5. 0.7 

d'où  l'on  conclut  immédiatement 


I 


77 

2.3 

i    /î 

■K* 

1 

a  .  3 . 4 .  5 

■^M-.,9 

1T« 

*1£^ 

;     - 

.9  H- ..H 

a. 3. 4. 5. 

.6. 

•^ 

% 

.7 

jr^j' 

2.3.4.5. 

13 

•7- 

8.9 

etc. 

I 

■  1 

CHAPITRE   III.  22:3 

Q 

R 

S 


2l3. 

Supposons  maintenant  que  P„QrtR„S„...  etc.,  représentent 
les  sommes  de  produits  différents  que  l'on  peut  faire  avec 

1  c  ■  I  I  I  1  I  {    '    ,- .  _  ,  ,      , 

les  tractions  — r  — r  tt  -tt  ^^.  •  •   etc. ,  dont  ôti  aura  sépare  la 
120^43  ' 

fraction  -7,  n  étant  un  nombre  entier  quelconque;  il  s'agit 

de  déterminer  P„Q„R„S„...  etc. ,  au  moyen  de  PQRS...  etc. 
Si  l'on  désigne  par  i  —  qV^-\-q'  Q„ —  q^  R„  +  q"  S,,*^  etc. ,  les 
produits  des  facteurs      >  .  .  .c  ,}.,l  ,fi,i  =^  3n3nrovic;ô^;ooiië 

-  ab'  asilso  ;  .oJa  .  .  . ,%  Ji  ,9  .^,  9^j 

(-f)(-^)('-F)('-^)-"-««.îî-C).* 

parmi  lesqûels'on  aurait  omis  le  seul  fdcteiir  i — ^;'I1  fâu- 

afro'!(;r!j;ei  ^nb  sahirfi-  b  ,  .-jJo  .".  .'i^^;)*i.R 
dra  qu'en  multipliant  par  i  — -^  la  quantité 

I — ^P„  +  ^^Q„  — 7'R„  +  ^''S„  — etc.,     .     . 

•.,■.■;■  ■■     .  -i-  i\  'P.  -V  V^--:,  --  - 

on  trouve  i  — qV  +  î^^'Q'^— -^'^TtH-y'S*— i-étc.'  +  ^" 

,     .0J9 


224  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

Cette  comparaison  donne  les  relations  suivantes  : 


"     «' 

Q„+P„ 

'      Q 

R„  +  Q„ 

n' 

S.,+  R„ 

■\      S 

etc 

iP.  — P 

1 

•'  q,.=q_4p  +  -1 

R„=R— 4q+4p— 4 

.3l'>  ...anpa  ob  no-  ^nc  i  ,  ^*.^-  m. y,'!  '>:r9i)  sb 

..En  employant  les  valeurs  connues  de  PQRS,  et  faisant 

successivement  n=  i,2,3,4i5.  .  .  etc.,  on  aura  les  valeurs 

de  P,Q,R.  S, . .  .  etc.;  celles  de  P,Q,R,S, .  .  .  etc.;  celles  de 

P3Q3R3S3...  etc.  -    '  ]  '       -  . 

214. 
,11   résulte  de   tout]  ce  qui   précède  que  les  valeurs   de 
abc  de.  .  .  etc. ,  déduites  des  équations 

a  +  2.  Z>  +  3  t  +  /i  d  +  5  e  +  etc.  =  A 
a  +  2.^  b  +  y  c  +  ^^  d  +  5'  e  +  etc.  =  B 
<a^ -H  2' ô  +  3' c  +  4^  <^  +  5' e  +  etc.  =  C 
a  +  2'  è  -b  3lc  +  4'c?  +  5'  e  +  etc.  =  D 
^.  +  29^  +  3'c  +  4  ^'  +  5  e«  +  etc.  =  E 
etc. 


CHAPITRE  III.  225 

sont  exprimées  ainsi, 

2  \'2..i  I  V  V2-J-4-3  I        2.3  iV 

U. 3.4.5.6.7     T^'2.3.4.5"*"7^'275     T^j 
"^     V2.3.4.5.6.7.8.9      ""2.3.4.5.7"'"  F' 1X45      T^"Z3"'"W 


—  etc. 


p.   /  77^  17:*  I        1T'  I    \ 

V2.3.4.5.6.7     7^*  1.3.4.5"'' 7^'^     W 

p,  /  tt'  I  tc*  I         r*  I      Tî'  I  \ 

"'"•     V2.3.4.5.6.7.8.9      I^"2.3.4.5.7"'"2^'2.3.4.5      P""2:3  "^â»y 


—  etc. 


2  V2.3       iv  V2.3.4.D       3'   2.3       3v 

V,2.3.4.5.6'.7       3' ■2.3.4.5'^  3^" ^~  3^ j  ;. 

p,  /  tt'  I         tt"  I        t:*  r     ir"  r  \ 

"^     \.2.3.4.5.6.7.8.9       3^'2.3.4.5.7  ^  F" 2.3.4.5 ~F'ï^  "^   F^ 

—  etc. 

1^/2.3.4.5.6.7         I         .t*  I     ir"  i\ 

\       ^'  4^'2.3.4.5"'"4^'2^      4^j 

p,  /  tt'  I  tt®  I         tt*  I     x'  I  \ 

"'"     V2.3.4.5.6.7.8.9~4^' 2.3.4.5.7  "*"  J^'^M^~4^'^'i  '^4^) 

—  etc. 

•'     '  ■  etc.  • 

29 


\    ..y 


:i26  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

21  5. 
Connaissant  les  valeurs  de  ahcdef. .  .  etc. ,  on  les  sub- 
stituera dans  l'équation  proposée 

({,x  =  asm.ûi;  +  bsin.  2.x  +  dûn.  3^  +  esm.^x  +  etc.  ; 

et  mettant  aussi  au  lieu  des  quantités  ABC  DE,  etc.  leurs 
valeurs  «p'o,  !p'"o,  ç'o,  9"'o,  «p'^o. .  .  etc.,  on  aura  l'équation 
générale 

^       \.2.3.4.3.o.7       I-  2.3.4.5       i"   2.0       i^y  ) 

I    .  (  /tt'         I  >  /     7r^  I     17'         I  \ 

— ^sui.2.rjcp'o  +  <p-o(^-3--J  +  9  0^^3^g--.-3  +  -J 

"*=?  ^U.3.4.5.6-7~i^"iX4:5  +  r^*;:3— ^;  +  ^*^i 

+  3sm.3a:|9  0  +  <p    o(^--3-3^J  +  9o(^3-p-p.^+3,J 

■^^    "^  U.3.4.5.6.7"~ 3^"  2-34:5  +  3^T3 ~  W  "^^*'^-  j 
^-^sm.4^J9-o  +  ro(^-^)  +  f  0(^^-^.53  +  ^)    • 

+  90         :,    ,  r  ^ 77"   q   /  r  +  7- 3 Tê  )  +  CtC.       (A) 

^       V2. 3. 4. 5. 6.7       4'   2.3.4.5       4     2.3       4V  j  ^    ^ 

4- etc. 

On  peut  se  servir  de  la  série  précédente  pour  réduire  en 
séries    de   sinus ,   d'arcs  multiples    une   fonction    proposée 


CHAPITRE   III.  227 

dont  le  développement  ne  contient  que  des  puissances  im- 
paires de  la  variable. 

210. 
Le  cas  qui  se  présente  le  premier  est  ct4ui  où  l'on  aurait 
(fXr=a;;  on  trouve   alors  (p'o  ==  i ,  (p"'o  =  o,  ç'o  =::o.  . .  , 
ainsi  du  reste.  On  aura  donc  la  série 

-^  =  sin.a^ sin.  q.x  +  ^  sin.  3.r  —  -,  sin.  lix  +  etc., 

2  2  3  4 

qui  a  été  donnée  par  Euler.    ;  :       ,. 

Si  l'on  suppose  cjue  la  fonction  proposée  soit  ^^  on  aura 

9"  o  =  o ,  (p'"  0  =  2.3,  ç'  o  ^  o ,  9"'  0  =  0.  .  .  etc. , 

ce  qui  donne  l'équation 

-x^=('k'  —  ^  jsin.o;  —  Ttc'  —  ^  j -sin.2a.'4-  Ttc' — ^7  j  ^sin.3a;+etc. 

On  parviendrait  à  ce  même  résultat  en  partant  de  l'équa- 
tion précédente, 

-  a;  =  sin.  X sin.  Q.x  +  ^sm.Zx  —  -sin.  4'^  +  etc. 

2  2  3  4        ^ 

En  effet,  en  multipliant  chaque  membre  par  dx,  et  inté- 
grant ,  ou  aura  •    ■ 

C r=cos.  * rcos.  Q.x  -\-  ^cos.  "ix — -7;  COS.  4 -^ -^  etc.  ; 

4  2'  3  4 

la  valeur  de  la  constante  c  est 


I       I        I       I 


29. 


228  THEORIE  DE  LA  CHALEUR 

TV' 

73 


série  dont  on  sait  que  la  somme  est  H 5.  Multipliant  par 


dx  les  deux  membres  de  l'ëquation 

ô -=cos.  X -COS.  2.X  +  ij-  COS.  ôx — etc. 

et  intégrant,  on  aura 


I  it".  j:        r    a-'  .  1       . 

5^sin.a; -sin.  2 


X  +  -x-  sin.  3^7 — etc. 


2    2.3        2   2.3  '  2'         *  3' 

Si  maintenant  on  met  au  lieu  de  x ,  s>2l  valeur  tirée  de  l'é- 
quation 

I  .  I      .  I      .  o  I       .  / 

-o^^sm.o-' sin.  2.x  —  ^sm.  ôx  —  -,  sni.A-s?  +  etc., 

2  2  3  4         ^  ' 

on  obtiendra  la  même  équation  que  ci-dessus,  savoir  : 

1  X*          .         /it'         I  \        I    .              /tc'         I  \ 
5  =  sm.ir{^, -) sm.  2^^      „ -) 

2  2.3  \2.3  I  V  2  V2.3  2    / 

-l-3sin.3^(5-f)  +  Jsin.  4a^g-^)-etc. 

On  parviendrait  de  la  même  manière  à  développer  en 
séries  de  sinus  multiples ,  les  puissances  x^  x'  x"^ .  .  .  etc. ,  et 
en  général  toute  fonction  dont  le  développement  ne  con- 
tiendrait que  des  puissances  impaires  de  la  variable. 

217. 

L'équation  (A)  (art.  2r6)  peut  être  mise  sous  une  forme 
plus  simple  que  nous  allons  faire  connaître.  On  remarque 
d'abord  qu'une  partie  du  coefficient  de  sin.  x,  est  la  série 


CHAPITRE   III.  .  '2-2g 

qui  représente  la  quantité  -91Ï.  En  effet,  on  a  en  général 


9'^  =  ?o+^ç'o  +  f  9"o  +  ^9"'o  +  ^<p"o  +  ^^<p'o+...etc. 

Or,  la  fonction  9  x  ne  contenant  par  hypothèse  que  des  puis- 
sances impaires;  on  doit  avoir  90=0,  9"o=o,  9'''o=o, 
ainsi  de  suite.  Donc 

9  0^  =  a- 9' o  +  ^  9- o  +  — ^  9^- o  4- etc.  ; 

une  seconde  partie  du  coefficient  de  sin.  x  se  trouve,  en 
multipliant  par ,  la  série        _ 

y 

©"" OH ^ ©'' o H 5-7-^ 9' o H o  /  >  fi  „ •  ?"■  o  +  etc. , 

*  2.0'  2.0.4-3  2.0.4.3.0.7      •  .  ' 

dont  la  valeur  est  -  <p"r.  On  déterminera  de  cette  manière  les 

différentes  parties  du  coefficient  de  sin.  œ,  et  celles  qui  com- 
posent les  coefficients  de  sin.  2.0c,  sin.  3^?;,  sin.  /^x,  sin.  5jc. 
etc.  On  emploiera  pour  cela  les  équations  : 


,,  ■ 

le'                                 «^ 
n    1             ^"'  ni                      /r'    n    1 

-Tc"' 

-  9'"oH-etc. 

I 

^9  ^ 

V 

°   '   2.3*!'     0  1  2.3.4.5?    °   '    2.3 

.4.5 

.6, 

" 

n     1       '^      r-'     r>     1             '^            m"'n     1 

IV» 

1^"  r»  -1-  ptp 

tt" 

t 

°   '    2.3Î'     °    '   2.3.4.5'P     °   '    a. 3 

.4.5 

.6, 

.7^ 

» 

^1              -»ii^     1                         -"ni    nfr 

f:' 

.•.■7; 

-.?"- 

V 

0|--,,9      OH-        „     /k"?      01    cit.. 

2.3^              a.  3. 4.5'^ 

f" 

'OH Kf"  OH- etc. 

_    9". 

.1;..  ^iii  .:_,-.'r"   :-;;',(■=  •■       .aj;, 


23o  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

au  moyen  de  cette  réduction  on  donnera  à  l'équation  (A) 
la  forme  suivante  : 

sin.  2.x  Ut; ;<p"  ir  +  — ?"tc êf^'"^  +  etc. 

+  3sin.  3x  Utt — ôT"?"  TV  + T-i'p"'^ — 3^'P"'"  ~*~  ^''^' 

— ^sin.  ^x  Ltc — Ti?"TC-l-Tï9"w — -Têf'-^  +  etc. 
+  etc.  (B) 

ou  celle-ci 

-T:(fX  =  f  TC  sin. x^ -  sin.  2.x  +  0  sin.  3x  —  etc.  | 

—  (p"TC  sin.x iSin.  2.x  +  :^sïîi.  3x —  etc. 

+  (p"ir  sin.^ ^  sin.  2  a;  +  ■--jSin.  3  a; —  etc. 

—  <p"tc  sin.cr — -^sin.  2.x — y^sin.  3x  —  etc. 

+  etc.  (C) 

218. 
On  peut  appliquer  l'une  ou  l'autre  de  ces  formules ,  toutes 
les  fois  que  l'on  aura  à  développer  une  fonction  proposée, 
en  une  série  de  sinus  d'arcs  multiples.  Si  par  exemple  la 

fonction  proposée  est  e    —  e       ,  dont  le  développement  ne 
contient  que  des  puissances  impaires  de  x,  on  aura 


.r 

1  e  — e 

-  Tf  •  — 

2  1 


CHAPITRE   III.  23i 

—  =  f  sin.a- sin.ax  +  _  sin.  3  j;- — etc.  ) 

—  rsin.or jsin.2a; 4-  ô^sin. 3a; — etc.  ] 

+  fsin.x ;sin.  2^  + YsSin.Sx^  —  etc.  j 

—  f  sin.  j; ôsin.  2j: -l-^sin.3.r  —  etc.  j 

+  r.sin.x ;^sin.2a;  + ~^sin.3.r — etc.  j 

—  etc. 

En  distinguant  les  coefficients  de  sin.  x,  sin.  ix,  sin.  ?ix, 

4                                        1-        1     I        II         I 
X,  etc. ,  et  mettant  au  lieu  de ,  +  — , -.  -\-  etc. , 

sa  valeur  — ,  on  aura 


/i  «-  Il  TV 

j" 


I      le  — e        )         sin.:e         sin.ajr         sin.Sj;         „.....,  .^ 

-  -îi  ^=^ =  — r^  —  ■ — r-r  +  -ô-r-^ -TT-^  +  ^t^- 


sin.  4  -^ 


On  pourrait  multiplier  ces  applications  et  en  déduire  plu- 
sieurs séries  remarqualiles.  On  a  choisi  l'exemple  précédent 
parce  qu'il  se  présente  dans  diverses  questions  relatives  à  la 
propagation  de  la  chaleur. 

Nous  avons  supposé  jusqu'ici  que  la  fonction  dont  on  de- 
mande le  développement  en  séries  de  sinus  d'arcs  multiples, 
peut  être  développée  en  une  série  ordonnée,  suivantles  puis- 
sances de  la  variable  x ,  et  qu'il  n'entre  dans  cette  dernière 
séi'ie  que  des  puissances  impaires.  On  peut  étendre  les  mêmes 
conséquences  à  des  fonctions  quelconques,  même  à  celles 


232  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

qui  seraient  discontinues  et  entièrement  arbitraires.  Pour 
établir  clairement  la  vérité  de  cette  proposition ,  il  est  néces- 
saire de  poursuivre  l'analyse  qui  fournit  l'équation  précé- 
dente (B)  et  d'examiner  quelle  est  la  nature  des  coëfficents 
qui  multiplient  sin.a;,  sin.  2.x,  sin.  3  œ,  sin.  ^x.  En  désignant 

par  -  la  quantité  qui  multiplie  dans  cette  équation  -  sin.  nx, 
si  n  est  impair,  et sin.  nx,  si  n  est  pair;  on  aura 


S:=f  7c  —  -<p"iT  +  ^-^,<p"-rr — -„<p"n:  +  etc. 

Considérant  s  comme  une  fonction  de  tc,  différentiant  deux, 
fois,  et  comparant  les  résultats,  on  trouve  s  -\ — -  j—,  :^  <p  ■^ ; 
équation  à  laquelle  la  valeur  précédente  de  s  doit  satisfaire. 
Or,  l'équation  .y  +  —  -7— ^=9  x,  dans  laquelle  s  est  considérée 
comme  une  fonction  de  x,  a  pour  intégrale 

j=<2COS.  nx  -\-  h  sin.  nx  +  n  sin.rea' /cos.  nx.a^  x.dx 

—  n  COS.  n  x  j  sin.  nx.(fxd x. 

n  étant  un  nombre  entier,  et  la  valeur  de  x  étant  égale  à  r, 
on  a  s=^±/} I  (px.sin.  nx  dx.  Le  signe -f- doit  être  choisi  lors- 
que n  est  impair,  et  le  signe  —  lorsque  ce  nombre  est  pair. 
On  doit  supposer  x  égal  à  la  demi -circonférence  r,  après 
l'intégration  indiquée;  ce  résultat  se  vérifie,  lorqu'on  déve- 
loppe au  moyen  de  l'intégration  par  parties,  le  terme 


/■ 


ç  X  sin.  nx.dx 


CHAPITRE  III.  233 

en  remarquant  que  la  fonction  <pcc  ne  contient  que  des  puis- 
sances impaires  de  la  variable  et  en  prenant  l'intégrale  de- 
puis .r=o  jusqu'à  ,r=-n:. 

On  en  conclut  immédiatement  que  ce  terme  équivaut  à 


Si  l'on  substitue  cette  valeur  de  -  dans  l'équation   (B),   en 

prenant  le  signe  +  lorsque  le  terme  de  cette  équation  est  de 
rang  impair,  et  le  signe  ■ —  lorsque  n  est  pair;  on  aura  en 
général  S((p^.sin.  iix .dx)  pour  le  coefficient  de  sin.  n.x ;  on 
parvient  de  cette  manière  à  un  résultat  très -remarquable 
exprimé  par  l'équation  suivante  : 

-77(p^  =  sin.  xS  (sin.  x.<s^x .d x)  +sin.  i  x  S  [sin.  '2  x  <!^ x  d x) 

-(-sin.  3  .r  S  (sin.  i  x.<fx  dx) -f-  sin.  i x  S  (sin.  ix  (fx  dx)  -|-etc.  ; 

(D) 

le  second  membre  donnera  toujours  le  développement  cher- 
ché de  la  fonction  (p.r,  si  l'on  effectue  les  intégrations  de- 
puis x=o^  jusqu'à  x=i:. 

220. 

On  voit  par-là  que  les  coefficients  abc  clef.  .  .  etc.,  qui 
entrent  dans  l'équation 

-7r(px=;a  sin.  x-\-  b  sin.  "xx  ->!-  c  sin.  Z  x  +  d  un.  âx-\-GXc. 

et  que  nous  avons  trouvés  précédemment  par  la  voie  des  éli- 
minations successives,  sont  des  valeurs  intégrales  définies 
exprimées  par  le  terme  général  S  (sin.  «.z. ça;  r/ a),  /étant 
le  numéro  du  terme  dont  on  cherche  le  coefficient.   Cette 

•        "  3o 


234  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

remarque  est  importante,  en  ce  qu'elle  fait  connaître  com- 
ment les   fonctions   entièrement   arbitraires   peuvent  aussi 
être  développées  en  séries  de  sinus  d'arcs  multiples.  En  effet, 
si   la   fonction   9  x  est  représentée  par  l'ordonnée  variable 
d'une  courbe  quelconque  dont  l'abscisse  s'étend  depuis  x^o 
jusqu'à  a'=-^  et  si  l'on  construit  sur  cette  même  partie  de 
l'axe  la  courbe  trigonométrique  connue  ,  dont  l'ordonnée  est 
j  =  sin.  x;  il  sera   facile  de  se  représenter  la  valeur  d'un 
terme  intégral.  Il  faut  concevoir  que  pour  chaque  abscisse  x, 
à  laquelle  répond  une  valeur  de  9  x,  et  une  valeur  de  sin.  x, 
on  multiplie  cette  dernière  valeur  par  la  première,  et  qu'au 
même  point  de  l'axe  on  élève  une  ordonnée  proportionnelle 
au  produit  9  a;. sin.  x.  On  formera,  par  cette  opération  conti- 
nuelle, une  troisième  courbe,  dont  les  ordonnées  sont  celles 
de  la  courbe  trigonométrique,  réduite  proportionnellement 
aux  ordonnées  de  la  courbe  arbitraire  cjui  représente  9  x. 
Cela  posé,  l'aire  de  la  courbe  réduite  étant  prise  depuis  x  =  o 
jusqu'à  a"=7r,  donnera  la  valeur  exacte  du  coefficient  de  sin.  x; 
et  quelle  que  puisse  être  la  courbe  donnée  qui  répond  à  9  a;, 
soit  qu'on  puisse  lui  assigner  une  équation  analytique,  soit 
qu'elle  ne   dépende  d'aucune  loi  régulière,  il  est   évident 
qu'elle  servira  toujours  à  réduire  d'une  manière  quelconque 
la  courbe  trigonométrique;  en  sorte  que  l'aire  dç  la  courbe 
réduite  a,  dans  tous  les  cas  possibles,  une  valeur  déterminée 
qui  donne  celle  du  coefficient  de  sin.  x  dans  le  développe- 
ment de  la  fonction.  Il  en  est  de  même  du  coefficient  sui- 
vant b  ou  S  (9 a;. sin.  2.x  dx). 

Il  faut  en  général,  pour  constniire  les  valeurs  des  coeffi- 
cients ahcde.  .  .  etc.,  imaginer  que  les  courbes,  dont  les 
équations  sont 


CHAPITRE  III.  335 

f=sin.  X ,  y=s\n.  2 X ,  y=sin.  3a:,  f=sin.  i^x,  etc., 

ont  été  tracées  pour  un  même  intervalle  sur  l'axe  des  x,  de- 
puis x  =  o  jusqu'à  x^t;  et  qu'ensuite  on  a  changé  ces 
courbes  en  multipliant  toutes  leurs  ordonnées  par  les  or- 
données correspondantes  d'une  même  courbe,  dont  l'équa- 
tion est  j-=9X.  Les  équations  des  courbes  réduites,  sont: 

^=sin.  a?,  f  a^',j^=sin.  2X.^  x,j^=sm.  3x.(p  x,j''=sin.  4'^.  ?  a?.,  etc. 

Les  aires  de  ces  dernières  courbes,  prises  depuis  a;=o  jus- 
qu'à a-  =  TT ,  seront  les  valeurs  des  coëlficients  a  b  c  d  etc. , 
dans  l'équation 

-  rç.r=r  rt  sin.  x  ~{-  b  sin.  zx  -\-  c  sin.  Z  x  -\-  d  sin.  ^x-\-  etc. 

2 

221. 

On  peut  aussi  vérifier  l'équation  précédente  (D)  (art.  220), 
en  déterminant  immédiatement  les  quantités  a,a^a^...a^  etc., 
dans  l'équation 

r^x=a,  sin.x  +  a,  sin.2.r  4-  a^  sin. 3^  +  ...  a^  sin.  /\r +  ...  etc.; 

pour  cela  on  multipliera  chacun  des  membres  de  la  dernière 
équation,  par  sin.  ix.dx,  i  étant  im  nombre  entier,  et  l'on 
prendra  l'intégrale  depuis  x,=  o  jusqu'à  a'=-,  on  aura 

S  ((px.sin.  ix.dx):=^a,  S  (sin.  x  sin.  ix.dx)-\-a,  S(sin.  2  jr.sin.  ix.d x) 

+ .  .  .  «j  S  (sin.yA-.sin.  ix.dx)  + .  .  .  elc. 

Or  on  peut  facilement  prouver,  1°  que  toutes  les  inté- 
grales qui  entrent  dans  le  second  membre,  ont  une  valeur 
nulle,  excepté  le  seul  terme  a^  S(sin.  «.x.sin.  ix  dx);  oP  que 
la  valeur  de  S  (sin.  j  a;,  sin.  ix.dx)  est  ^  t.;  d'où  l'on  con- 

3o. 


236  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

,          ,          ,            ,                  .            s  ((ûx.s'in.  ix.dx)     rr      ^  > 

dura  la  valeur  de  «;,  qui  est  -^^ , -•  lout  se  re- 

duit  à  considérer  la  valeur  des  intégrales  qui  entrent  dans 
le  second  membre ,  et  à  démontrer  les  deux  propositions 
précédentes.  L'intégrale  2  S (sin.  y  x.sin.  ?'^.<5?x) ,  prise  de- 
puis if  r=  o  jusqu'à  ,r  ==  TT,  et  dans  laquelle  i  et  j  sont  des 
nombres  entiers ,  est 

^.sin.  ij^.x)  —  j^.  sin.  (7T/'a;)  +  C. 

L'intégrale  devant  commencer  lorsque  j?=o,  la  constante  C 
est  nulle,  et  les  nombres  «ety  étant  entiers,  la  valeur  de  l'in- 
tégrale deviendra  nulle  lorsqu'on  fera  x^=^t.\  il  s'ensuit  que 
chacun  des  termes  tels  que 

rt,  S  (sin.  J"  sin.  /  jr.^f  j:),a,  S(sin.  ix.ûn.ix.dx) ,  a^  S  (sin.  3  .rsin.  ix.dx)G\.c. 

s'évanouit,  et  que  cela  aura  lieu  toutes  les  fois  que  les  nom- 
bres i  ety  seront  différents.  Il  n'en  est  pas  de  même  lorsque 


les  nombres  i  ety  sont  égaux,  car  le  terme  ^— -r  sin.  [i — jx  ) 

auquel  se  réduit  l'intégrale,  devient  -,  et  sa  valeur  est  tc.  On 

a  parconséquent  2  S  (sin.  ix  .svx\..ix  .dx')=^T;\  on  obtient  ainsi 
de  la  manière  la  plus  briève,  les  valeurs  de  a,  «,<7.3«^...rt,etc. 
qui  sont  : 

S  (cp.r.sin.  jr.i^x)  S((p.r.sin.  2  j:.û?j:) 

S((p  jT.sin.  3  x.dx)  S  ((f  x. sin.  ix.dx) 

«3 — p— ...   <Zi  — r-z 

En  les  substituant  on  a 


CHAPITRE   III.  23" 

-7Tip*-=:sin.  X  S  (ç  J:^  sin.  a.•.(Y.^')  +  sin.  2a:S(<p^.sin.  2  j:.(^^) 

+  sin.  3  jrS(ç.a7sin.  "hx.dx)....  +  sin.  /a:  S  (cpx  sin.  ix.dx) 

H-  etc. 

222. 

Le  cas  le  plus  simple  est  celui  où  la  fonction  donnée  a 
une  valeur  constante  pour  toutes  les  valeurs  de  la  variable  x 
comprises  entre  o  et  r  ;  dans  ce  cas,  l'intégrale  y  sin.  ix  d  x 

est  égale  à-,  si  le  nombre  i  est  impair,  et  égal  à  o   si   le 

nombre  i  est  pair.  On  en  déduit  l'équation 

I  .  i.o  I-r  !•  !•  .4. 

-7T  =  sm.  a?  +  ^sin.ojc  +  -p  sin.  o  a;  +  -sni.  n  x  +  -  sm.  q.r +  etc. 

que  l'on  a  trouvée  précédemment.  "' 

Il  faut  remarquer  que  lorsqu'on  a  développé  une  fonction 
ç  ^  en  une  suite  de  sinus  d'arcs  multiples  la  valeur  de  la 
série  a  sin.  x  +  h  sin.  ix  +  c  sin.  ?)x  ->r  d  sin.  [\x  +  etc.  est  la 
même  que  celle  de  la  fonction  <p  x  tant  que  la  vai'iable  x  est 
comprise  entre  o  et  ^  ;  mais  cette  égalité  cesse  en  général 
d'avoir  lieu  lorsque  la  valeur  de  x  surpasse  le  nombre  tt. 

Supposons  que  la  fonction  dont  on  demande  le  dévelop- 
pement soit  X ,  on  aura,  d  après  le  théorème  précédent. 


-T!X  =  sin.x  jxsin.xdx  +  sin.  2 a; /a; sin.  2.x dx 

-h  sm.3x lxsin.3x dx  +  sin.4A7-^sin.4'^^>^ +  etc. 


L'intégrale /^  sin.  ixdx  équivaut  à  ±  -  ,  les  indices  o  et  - 

o 

qui  sont  joints  au  signe  /  font  connaître  les  limites  de  l'in- 


238  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

tégrale  ;  le  signe  +  doit  être  choisi  loi'sque  i  est  impair,  et  le 
signe —  lorsque  i  est  pair.  On  aura  donc  l'équation  suivante  : 

1  .  I.  i-o  !•/  i-r  I- 

-jc  =  sin.x sin.  2.x  +  5^sin.  ox  —  -:sm./±x  +  ^sin.  o:r sui.7,r  +  etc. 

2  2  o  45  7 

223. 

On  développera  aussi  en  séries  de  sinus  d'arcs  multiples 
les  fonctions  différentes  de  celles  où  il  n'entre  que  des  puis- 
sances impaires  de  la  variable.  Pour  apporter  un  exemple 
qui  ne  laisse  aucun  doute  sur  la  possibilité  de  ce  développe- 
ment, nous  choisirons  la  fonction  cos.  x,  qui  ne  contient 
que  des  puissances  paires  de  x ,  et  qu'on  développera  sous 
la  forme  suivante  : 

a  sin.  X  +  b  sin.  2.x  +  c  sin.  3  ^'  4-  ds\n.  /^x  +  e  sin.  5x  +  etc. 

quoiqu'il  n'entre  dans  cette  dernière  série  que  des  puissances 
impaires  de  la  même  variable.  On  aura  en  effet,  d'après  le 
théorème  précédent , 

-  77  COS.  X  =  sin.  X  /cos.  x  sin.  x  dx 

+  sin.  2. r /cos. a; sin.  ixdx  +  sin.  3 .r /cos.  .r sin.  3xdx  +  etc. 

L'intégrale /cos.  A' sin.  i  a;  dx,  équivaut  à  zéro  lorsque  i  est 
un  nombre  impair,  et  à  -^717-»  lorsque  i  est  un  nombre  pair. 

En  supposant  successivement  i  =  2,  4i  6,  8,  etc.  on  aura  la 
série  toujours  convergente  : 

I  2      .  4      •       /  6      .      ^ 

-,  %  cos.  X  =  — 5  sni.  2x  -\-  5-? sin.  Ax  +  z —  sin.  o  x 
4  I .0  J.5  5.7 

8      .      o  10      . 

H sm.o.r  -\ sin.  \ox  -\-  etc. 

7. y  9-II 


CHAPITRE  III.  289 

ou  cos.x=-  T-  +  ^  jsin.2a:+  f^  +  0sin.4^ 

!jO 

-H  r^  +  -jsin.6^+  (--f--)  sin.8a'+  T-H jsin.  10.2 -+- etc. 

Ce  résultat  a  cela  de  remarquable  qu'il  offre  le  développe- 
ment du  cosinus  eu  une  suite  de  fonctions  dont  chacune  ne 
contient  que  des  puissances  impaires.  Si  l'on  tait  dans  l'ëqua- 
tion  précédente  j:  =  {  "^  1  on  trouvera  : 

1  »       ■  v     ,  .       ,      ■  ..,,.,,      i    ,■. 

ir  i/iiiii.!  I  I  \ 

7  — ^=-  (  -  +  ô  —  --T--  H 1 T +  etc.  ) 

41/2       2V1       o       ^      7      9       '1       ^^      i^  y 

Cette  dernière  série  est  connue  (  introd.  ad  anaîysin.  infinit. 
cap.  X). 

224. 
On  peut  employer  une  analyse  semblable  pour  dévelop- 
per une  fonction  quelconque  en  série  de  cosinus  d'arcs  mul- 
tiples. Soit  ç.r  la  fonction  dont  on  demande  le  développe- 
ment ,  on  écrira  :  ' 

oa:  =  a„cos.  ox4-<2,  COS.  x+<7,  cos.  2  jr  +  rtjcos.  j.a;  +  .,,(2;COS.ix...  +  etc.  ini) 

Si  l'on  multiplie  les  deux  membres  de  cette  équation  par 
COS.  y X  et  que  ion  intègre  chacun  des  termes  du  second 
membre  depuis  x=zo  jusqu'à  x^=^t,\  il  est  facile  de  s'assurer 
que  la  valeur  de  cette  intégrale  sera  nulle ,  excepté  pour  le 
seul  terme  qui  contient  déjà  cos.  y\r.  Cette  remarque  donne 
immédiatement  le  coefficient  rtj  ;  il  suffira  en  général  de 
considérer  la  valeur  de  l'intégrale  y  cos. /x  cos.  ix  dx, 
prise  depuis  x  ■=.  o  jusqu'à  o^  =  -rr ,  en  supposant  que  y  et  / 
sont  des  nombres  entiers.  On  a 


> 


COS.  i X  cos.  ix  dx  =  —r-. — ^ sin.  /  +  ix  -{ — —. — r,  sin.  j —  ix- 

-  J  2(y  +  0         J  2(7—')  •^ 


24o  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

Cette  intégrale,  prise  depuis  ^==0  jusqu'à  x  =  r: ^  est 
évidemment  nulle  toutes  les  fois  quey  et  «  sont  deux  nom- 
bres différents.  Il  n'en  est  pas  de  même  lorsque  ces  deux 


nombres  sont  égaux.  Le  dernier  terme  -j-. — rt  sin.  j  —  i  x 

devient  -,  et  sa  valeur  est  -  ir ,  lorsque  l'arc  x  est  égal  à  tu. 

Si  donc  on  multiplie  les  deux  termes  de  l'équation  précé- 
dente (m)  par  cos.  i  o" ,  et  que  l'on  intègre  depuis  o  jus- 
qu'à TT ,  on  aura  :  /ç  x  cos.  ix  d  x  =  -  tz  a,^  équation  qui  fera 

connaître  la  valeur  du  coefficient  a^ .  Pour  trouver  le  premier 
coefficient  a, ,  on  remarquera  que  dans  l'intégrale 


sm.  /  -h  IX  -\ ,  . .,  sm.  J  ■ 


si  7=0  et  i=o  chacun  des  termes  devient  -,  et  la  valeur 

"'  o  '  . 

de  chaque  terme  est  f  t:;  ainsi  l'intégrale ycos.y.r cos. io?  dx, 
prise  depuis  ^==0  jusqu'à  x  =  tz  est  nulle  lorsque  les  deux 
nombres  entiersy  et  i  sont  différents  ;  elle  est  ^  t:  lorsque  les 
deux  nombres  y  et  i  sont  égaux,  mais  différents  de  zéro, 
elle  est  égale  à  tc  lorsque  y  et  i  sont  l'un  et  l'autre  égaux  à 
zéro ,  on  obtient  ainsi  l'équation  suivante  : 

-t:(^X  =  -  j(fxdx  -h  CO&.X  ((fXCOS.xdx 
o  o 

-h cos.  2,xl(fXCOS.2.xdx  +  cos.3xl<pxcos.'dxdx  +  etc.  (n) 

o  ■  o 

Ce  théorème  et  le  précédent  conviennent  à  toutes  les  fonc- 


CHAPITRE  m.  24ï 

tions  possibles,  soit  que  l'on  en  puisse  exprimer  la  nature 
par  les  moyens  connus  de  l'analyse,  soit  qu'elles  correspon- 
.dent  à  des  courbes  tracées  arbitrairement. 

225. 

Si  la  fonction  proposée  dont  on  demande  le  développe- 
ment en  cosinus  d'arcs  multiples  est  la  variable  a;  elle-même; 
on  écrira  l'équation 

{-x=a^-{-û,cos.x+û,cos.2.x+aiCo&.3jc+...  -ha,cos.i.x;+etc. 

et  l'on  aura ,  pour  déterminer  un  coefficient  quelconque  <?; , 

Véqnation  (7,  =  Lvcos.i'xdx.  Cette  intégrale  a  une  valeur 

o 

nulle  lorsque  i  est  un  nombre  pair ,  et  est  égal  à lorsque 

i  est  impair.  On  a  en  même  temps  <?„  =  ^  r'.  On  formera 
donc  la  série  suivante  , 

I  /cos.j::         /COS.Sj:         ,  COS.  5  .r         ,co3.  7jc 

x  =  -  7; — 4 4— ^ï: 4  —T. 4  — 7^ etc. 

On  peut  remarquer  ici  que  nous  sommes  parvenus  à  trois 
développements  différents  de  7  ,v,  savoir  : 

1  .  I.  i.Q  1     .         ,  l     .       rr 

-a:=sin.ôc sin.  2X  +  ôSui.  ox  —  -sin.4*'+  -sni.  0^ — etc. 

I  2.  2.0  ^     ■     r  2.  _. 

-x  =  -  sin. X  +  Tj —  sm.  ox  +  ^zr- sin.  o  x  h — —  sm.  r  x  +  etc. 

2  -rc  i-TT  5'TT  y    T.  ' 
112                                 2.T2r^  ^ 

-X  =  ~,t: cos.o: —  ^;:r-C0S.  .^X — p^- COS.  0  ^'  —  etc. 

3  4  7Ï  3'TT  5-TC 

Il  faut  remarquer  que  ces  trois  valelirs  dï;  4  -^^  ii<^  doivent 
point  être  considérées  comme  égales,   abstraction   faite  de 

o 

n 


342  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

toutes  les  valeurs  de  x  ;  les  trois  développements  préce'dents 
n'ont  une  valeur  commune  que  lorsque  la  variable  x  est 
comprise  entre  o  et  ^  tt.  La  construction  des  valeurs  de  ces 
trois  séries  et  la  comparaison  des  lignes  dont  elles  expriment 
les  ordonnées  rendraient  sensibles  la  coïncidence  et  la  dis- 
tinction alternatives  des  valeurs  de  ces  fonctions. 

Pour  donner  un  second  exemple  du  développement  d'une 
fonction  en  série  de  cosinus  d'arcs  multiples,  nous  choisi- 
rons la  fonction  sin.  x  qui  ne  contient  que  des  puissances 
impaires  de  la  variable,  et  nous  nous  proposerons  de  la 
développer  sous  la  forme 

a  +  b  COS.  x  +  c COS.  2.x  +  dcos.  3x-\-  etc. 

En  faisant  à  ce  cas  particulier  l'application  de  l'équation 
générale,  on  trouvera,  pour  l'équation  cherchée, 

I       .  I       COS.  2ar       COS.  4-^       COS.  6  a:       cos.  8j? 

7iTsm.a:= 5 5-? g etc. 

4  2  i.i  c5.5  5.7  7.9 

On  parvient  ainsi  à  développer  une  fonction  qui  ne  contient 
que  des  puissances  impaires  en  une  série  de  cosinus  dans 
laquelle  il  n'entre  que  des  puissances  paires  de  la  variable.  Si 
on  donne  à  a;  la  valeur  particulière  ^  tt  ,  on  trouvera  : 

I    I        I  I  I  I 

-  TC  —  — 1 5 — ■^ — jr  +  -p +  etc. 

4         a      i.o      0.5      5.7      7.9 

Or ,  de  l'équation  connue 

I  I       I       I      I       I         . 

'■!:=zi — ^+^ 1 hetc. 

4  3      5      7      9      II 


CHAPITRE  III.  043 

On  tire 

T  I  r  I  I  ^ 

ô77  =  — ^  +  g 1 \-  -ô — -  +  etc. 

8.         I .0       5.7       9-11       iJ. iD 

et  aussi 

I     I  I  I  I  I 

8  2         3.5         y. 9        ii.i3        l'i.  li. 

en  ajoutant  ces  deux  résultats,  on  a,  comme  précédemment, 

III           III            I              I 
777=-  -i 5  —  ô-^  +  T 1 5  +  etc. 

4  a         1.6         ô.ô         o.y         7.9         9-II  II. lû 

226. 
L'analyse  précédente  donnant  le  moyen  de  développer 
une  fonction  quelconque  en  série  de  sinus  ou  de  cosinus 
d'arcs  multiples ,  nous  l'appliquerons  focilement  au  cas  où 
la  fonction  à  développer  a  des  valeurs  déterminées ,  lorsque 
la  variable  est  comprise  entre  de  certaines  limites  et  a  des 
valeurs  nulles,  lorsque  la  variable  est  comprise  entre  d'au- 
tres limites.  Nous  nous  arrêterons  à  l'examen  de  ce  cas 
particulier,  parce  qu'il  se  présente  dans  les  questions  phy- 
siques qui  dépendent  des  équations  aux  différences  partielles, 
et  qu'il  avait  été  proposé  autrefois  comme  un  exemple  des 
fonctions  qui  ne  peuvent  être  développées  en  sinus  ou 
cosinus  d'arcs  multiples.  Supposons  donc  que  l'on  ait  à 
réduire  en  une  série  de  cette  forme  une  fonction  dont  la 
valeur  est  constante,  lorsque >aj  est  comprise  entre  o  et  a,  et 
dont  toutes  les  valeurs  sont  nulles  lorsque  x  est  comprise 
entre  a  et  w.  On  emploiera  l'équation  générale  (ui)  dans 
laquelle  les  ixïtégrales  doivent  être  prises  depuis  x  =^  Q 
jusqu'à  ^=-.  Les  valeurs  de  oa;  qui  entrent  sous  le  signey 

3i. 


244  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

étant  nulles  depuis  Jc  =  oi  jusqu'à  x  =  t:;  il  svxffira  d'intégrer 
depuis  a:=o  jusqu'à  a'  =  a.  Cela  posé,  on  trouvera,  pour  la 
série  demandée ,  en  désignant  par  h  la  valeur  constante  de 
la  fonction , 

1  ,  (i  —  COS.  a    •               I  —  COS.  2  a    • 
-'t:aix=n\ sin.a-l sin.  2  0? 

2  '  (  ■*F~  2 

I — COS.  3  a    •      o           I — COS.  4  a    •       /  \ 

H s,\n.ox-\ .       sui.4-i^  + etc. 

3  4  ^ 

Si  l'on  fait  A=:|  tt,  et  que  l'on  représente  le  sinus  verse  de 
l'arc  X  par  sin.  V.  .r^  on  aura  : 

ça'=sin.  V.asin.a^+^sin.V.  2asin.  2^+|sin.  V.  3asin.3a; 
4-  4sin.  V.  4asin.4-ï^  +  -^sin.  V.  5asin.  Sx  +  etc. 

Cette  série  toujours  convergente  est  telle  que  si  l'on  donne 
à  X  une  valeur  quelconque  comprise  entre  o  et  a,  la  somme 
de  ses  termes  sera  \  tc  ;  mais  si  l'on  donne  à  x  une  valeur 
quelconque  plus  grande  que  a  et  moindre  que  ^  x  la  somme 
des  termes  sera  nulle. 

Dans  l'exemple  suivant,  qui  n'est  pas  moins  remarquable, 
les  valeurs  de  9X  sont  égales  à  sin.  x  pour  toutes  les  valeurs 
de  X  comprises  entre  o  et  a ,  et  sont  nulles  pour  toutes  les 
valeurs  de  x  comprises  entre  a  et  -n.  Pour  trouver  la  série 
qui  satisfait  à  cette  condition ,  on  emploiera  l'équation  (m). 

Les  intégrales  doivent  être  prises  depuis  x  =^  o  jusqu'à 
x  =  t::,  mais  il  suffira,  dans  le  cas  dont  il  s'agit,  de  prendre 
ces  intégrales  depuis  .r=o  jusqu'à  a?=a,  puisque  les  valeurs 
de  9  X  sont  supposées  nulles ,  dans  le  reste  de  l'intervalle. 
On  en  conclura  :  ''■■ 


CHAPITRE   III.  245 

sin.asin..r       sin.aasiu.  ajc       sin.  3  a  sin.  3  a: 
.t  =  2a  ! ; ; 1 ; ^— ^ Y 


9  •■<■ -i  3t     ; ; 1 ;  ; — t. —   -i :; k-, — - 


sin.  4  a  sin.  4-'^  ^ 

+  - — r — TT-T 1-  etc. 

-  —4  a  ) 


Si  l'on  supposait  a  =  :7,  tous  les  termes  de  la  série  s'évanoui- 
raient, excepté  le  premier  qui  deviendrait  -,  et  qui  a  pour 
valeur  sin.  a- ,  on  aurait  donc  9  .r  =  sin.  .r. 


22r, 


On  peut  étendre  la  même  analyse  au  cas  ou  l'ordonnée 
représentée  par  9  x  serait  celle  d'une  ligne  composée  de 
différentes  parties,  dont  les  unes  seraient  des  arcs  de  courbes 
et  les  autres  des  lignes  droites.  Par  exemple,  si  la  fonction 
dont  on  demande   le  développement  en  séries   de  cosinus 

d'arcs  multiples  a  pour  valeur  ('-j  —  a  %  depuis  a':=  o  jus- 
qu'à a-  ^  ^  77,  et  est  nulle  depuis  .r  =  7  77  jusqu'à  œ  =  77. 
On  emploiera  l'équation  générale  (n),  et  en  effectuant  les 
intégrations  dans  les  limites  données ,  on  trouvera  que  le 

terme  généi'al  /(  (  -  )  —  -''^j  cos.  ix  dx  est  égal  à  -^  lorsque  i 
est  impair,  à  -.'-  lorsque  i  est  double  d'un  nombre  impair,  et 
à  —  '-  lorsque  i  est  quadruple  d'un  nombre  impair.  D'un 
autre  côté,  on  trouvera  ^  —,  pour  la  valeur  du  premier  terme 
-  l  a^x  d  x.  On  aura  donc  le  développement  suivant  : 

I  1     /77A''        2  (cos..r       COS.  3.r       COS.  5>r       cos.  T.r  .     ) 

cos.a.r        cos.  4j?       cos.  6j: 

H -. 7^  -\ r^ etc. 

2  4  ^ 


246  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

Le  second  membre  est  repre'senté  par  vme  ligne  composée 
d'arcs  paraboliques  et  de  lignes  droites. 

228. 
On  pourra  trouver  de  la  même  manière  le  de'veloppement 
d'une  fonction  de  x  qui  exprime  l'ordonnée  du  contour 
d'un  trapèze.  Supposons  que  9X  soit  égale  à  x  depuis  x=o 
jusqu'à  .x'==K,  que  cette  fonction  soit  égale  à  «  depuis  ^  =  a 
jusqu'à  a' =  7;  —  a,  et  enfin  égale  à  u  —  x,  depuis  x^^t.  —  a 
jusqu'à  a^^r=T7.  Pour  la  réduire  en  une  série  de  sinus  d'arcs 
multiples,  on  se  servira  de  l'équation  générale (//?).  Le  terme 
généraly"(p  x  sin.  ix.dx  sera  composé  de  trois  parties  diffé- 
rentes, et  l'on  aura,  après  les  réductions,  -sin.  (i a)  pour  le 

coefficient  de  ?,m.ix,  lorsque  i  est  un  nombre  impair;  et 
zéro  pour  ce  coefficient ,  lorsque  i  est  un  nombre  pair.  On 
parvient  ainsi  à  l'équation  : 

-iî(pa?=2  sin.  a  sin.  a?  +  ^^  sin.  3  a  sin.  3a:  +  ^  sin.  5 a  sin.  5 x 

+  —  sin.  y  a  sin.  'j x  -\-  etc.     (jj.) 

Si  l'on  supposait  «  =  1  tt,  le  trapèze  se  confondrait  avec  le 
triangle  isoscèle,  et  l'on  aurait,  comme  précédemment,  pour 
l'équation  du  contour  de  ce  triangle  : 

-■;rça:  =  2rsin..r  +  0-  sin.  Zx  +  7, sin.  5  j?  +  -  sin.  'j x  -\-  etc.  j 

série  qui  est  toujours  convergente  cpielle  que  soit  la  valeur 
de  X.  En  général  les  suites  trigonométriques  auxquelles  nous 
sommes  parvenus,  en  développant  les  diverses  fonctions, 
sont  toujours  convergentes  :  mais  il  ne  nous  a  point  paru 


CHAPITRE   111.  247 

nécessaire  de  le  démontrer  ici  :  car  les  termes  qui  com- 
posent ces  suites  ne  sont  que  les  coefficients  des  termes  des 
se'ries    qui   donnent   les   valeurs   des   températures  ;  et  ces 
coefficients  affectent  des  quantités  exponentielles  qui  décrois- 
sent très-rapidement ,  en  sorte  que  ces  dernières  séries  sont 
très-convergentes.  A  l'égard  de  celles  oii  il  n'entre  que  des 
sinus  ou  des  cosinus  d'arcs  multiples,  il  est  également  facile 
de  prouver  qu'elles  sont  convergentes,  quoiqu'elles  repré- 
sentent les  ordonnées  des  lignes  discontinues.  Cela  ne  résulte 
pas  seulement  de  ce  que  les  valeurs  des  termes  diminuent 
continuellement;  car  cette  condition  ne  suffit  pas  pour  établir 
la  convergence  d'une  série.  11  est  nécessaire  cpie  les  valeurs 
auxquelles  on  parvient ,  en  augmentant  continuellement  le 
nombre    des  termes  ,   s'approchent  de  plus  en  plus  d'une 
limite  fixe,  et  ne  s'en  écartent  que  d'une  quantité  qui  peut 
devenir  moindre  que  toute  grandeur  donnée  :  cette  limite 
est  la  valeur  de  la  série.   Or  on  démontre  rigoureusement 
que  les  suites  dont  il  s'agit  satisfont  à  cette  dernière  condition. 

229. 
Nous  reprendrons  l'équation  précédente  (;;.)  dans  laquelle 
on  peut  donner  à  x  une  valeur  quelconque  ;  on  considérera 
cette    quantité    comme    une    nouvelle    ordonnée ,   ce    qui 
donneia  lieu  à  la  construction  suivante. 

Ayant  tracé  sur  le  plan  des  x  et  y  {voj.  fig.  8  )  le  rectangle 
dont  la  base  o  t.  est  égale  à  la  demi-circonférence ,  et  dont  la 
hauteur  est  7  t.  ,  sur  le  milieu  m  du  côté  parallèle  à  la  base 
on  élèvera  perpendiculairement  au  plan  du  rectangle  une 
ligne  égale  à  ^  t^,  et  par  l'extrémité  supérieure  de  cette 
ligne,  on  tirera  des  droites  aux  quatre  angles  du  rectangle. 
On  formera   ainsi  une  pyramide  quadrangulaire.   Si   l'on 


û48  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

porte  maintenant  sur  le  petit  côté  du  rectangle,  à  partir  du 
point  o,  une  ligne  quelconque  e'gale  à  a,  et  que  par  l'ex- 
trémité' de  cette  ligne  on  mène  un  plan  parallèle  à  la  base 
o  77,  et  perpendiculaire  au  plan  du  rectangle,  la  section  com- 
mune à  ce  plan  et  au  solide  sera  le  trapèze,  dont  la  hauteur 
est  égale  à  a.  L'ordonnée  variable  du  contour  de  ce  trapèze 
est  égal,  comme  nous  venons  de  le  voir,  à 

—  Tsin.  K  sin.  *'  -t-ô-,sin.  3  a  sin.  3^+  ?^  sin.5a  sin.  5  a; 

+  —  sin.  7  a  sin.  •]  x  +  etc.  j  ; 

Il  suit  de  là  qu'en  appelant  x,  y,  z,  les  coordonnées  d'un 
point  quelconc[ue  de  la  surface  supérieure  de  la  pyramide 
quadrangulaire  que  nous  avons  formée,  on  aura  pour  Téquii- 
tion  de  la  sui^face  du  polyèdre,  entre  les  limites 

I  sin.arsin.  r       sin.  3  .r  sin.  3  r       sin.  5;f  sin.  5  r 

-.z= ^-h 3, =^+ ^-^  +  etc. 

Cette  série  convergente  donnera  toujours  la  valeur  de  l'or- 
donnée ;:  ou  de  la  distance  d'un  point  quelconque  de  la 
surface  au  plan  des  x  et  j'. 

Les  suites  formées  de  sinus  ou  de  cosinus  d'arcs  multiples 
sont  donc  propres  à  représenter  entre  des  limites  déter- 
minées ,  toutes  les  fonctions  possibles ,  et  les  ordonnées  des 
lignes  ou  des  surfaces  dont  la  loi  est  discontinue.  Non  seu- 
lement la  possibilité  de  ces  développements  est  démontrée , 
mais  il  est  facile  de  calculer  les  termes  des  séries  ;  la  valeur 
d'un  coefficient  quelconque  dans  l'équation  : 

oa'=rt,  sin.  a; -»-«:,  sin.  20;  +  «23  sin.  ?)x-\-  .„.-\-a,  sin.  «  a; 4- etc. 


CHAPITRE  III.  a49 

est  celle  d'une  intégrale  définie ,  savoir  : 


if?-^ 


sni.  i  x.ax 


de 


Quelle  que  puisse  être  la  fonction  ç.r,  ou  la  forme  de  la 
courbe  qui  la  représente,  l'intégrale  a  une  valeur  déterminée 
qui  peut  être  introduite  dans  le  calcul.  Les  valeurs  de  ces 
intégrales  définies  sont  analogues  à  celle  de  l'aire  totale 
fv^xdx  comprise  entre  la  courbe  et  l'axe  dans  un  inter- 
valle donné,  ou  à  celles  des  quantités  mécaniques,  telles 
que  les  ordonnées  du  centre  de  gravité  de  cette  aire  ou  d'un 
solide  quelconque.  Il  est  évident  que  toutes  ces  quantités 
ont  des  valeurs  assignables  soit  que  la  figure  des  coips  soit 
régulière,  soit  qu'on  leur  donne  une  forme  entièrement 
arbitraire. 

280. 

Si  l'on  applique  ces  principes  à  la  question  du  mouvement 
des  cordes  vibrantes,  on  résoudra  les  difficultés  qu'avait 
d'abord  présentées  l'analyse  de  Daniel  Bernouiiii.  La  solu- 
tion donnée  par  ce  géomètre  suppose  qu'une  fonction  quel- 
conque peut  toujours  être  développée  en  séries  de  sinus  ou 
de  cosinus  d'arcs  multiples.  Or  de  toutes  les  preuves  de 
cette  proposition  la  plus  complète  est  celle  qui  consiste  à 
résoudre  en  effet  une  fonction  donnée  en  une  telle  série 
dont  on  détermine  les  coëtficients. 

Dans  les  recherches  auxquelles  on  applique  les  équa- 
tions aux  différences  partielles,  il  est  souvent  farile  de 
trouver  des  solutions  dont  la  somme  compose  une  iiitégrale 
plus  générale  :  mais  l'emploi  de  ces  intégrales  exigeait  que 
l'on  en  déterminât  fétendue,   et  que   Ion  pût   distinguer 

33 


uào  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

clairement  les  cas  où  elles  représentent  l'intégrale  générale 
de  ceux  où  elles  n'en  comprennent  qu'une  partie.  Il  était 
nécessaire  sur-tout  d'assigner  les  valeurs  des  constantes ,  et 
c'est  dans  la  recherche  des  coefficients  que  consiste  la  diffi- 
culté de  l'application.  Il  est  remarquable  que  l'on  puisse 
exprimer  par  des  séries  convergentes ,  et ,  comme  on  le  verra 
dans  la  suite ;,  par  des  intégrales  définies,  les  ordonnées  des 
lignes  et  des  surfaces  qui  ne  sont  point  assujéties  à  une  loi 
continue.  On  voit  par- là  qu'il  est  nécessaire  d'admetti^e 
dans  l'analyse  des  fonctions  qui  ont  des  valeurs  égaleç, 
toutes  les  fois  que  la  variable  reçoit  des  valeurs  quelconques 
comprises  entre  deux  limites  données,  tandis  qu'en  substi- 
tuant dans  ces  deux  fonctions,  au  lieu  de  la  variable,  un 
nombre  compris  dans  un  autre  intervalle  les  résultats  des 
deux  substitutions  ne  sont  point  les  mêmes.  Les  fonctions 
qui  jouissent  de  cette  propriété  sont  représentées  par  des 
lignes  différentes ,  qui  ne  coïncident  que  dans  une  portion 
déterminée  de  leur  cours,  et  offrent  une  espèce  singulière 
d'osculation  finie.  Ces  considérations  prennent  leur  origine 
dans  le  calcul  des  équations  aux  différences  partielles  ;  elles 
jettent  un  nouveau  jour  sur  ce  calcul,  et  sei^viront  à  en 
faciliter  l'usage  dans  les  théories  physiques. 

23 1. 

Les  deux  équations  générales  qui  expriment  le  dévelop- 
pement d'une  fonction  quelconque  en  cosinus  ou  en  sinus 
d'arcs  multiples  donnent  lieu  à  plusieurs  remarques  qui  font 
connaître  le  véritable  sens  de  ces  théorèmes,  et  en  dirigent 
l'application. 

Si  dans  la  série 

bcos.  X  +  ccos.2x-h  dcos.  3x  +  ecos.4'^  +  etc. 


a 


CHAPITRE  III.  25i 

on  rend  négative  la  valeur  de  x,  la  série  demeure  la  même, 
et  elle  conserve  aussi  sa  valeur  si  l'on  augmente  la  vari.ible 
d'un  multiple  quelconque  de  la  circontérence  2  7v.  Ainsi 
dans  l'équation 

-i;(p,rr=:-  /  o  X  d X  ->(-  COS.  X  j  oxcos.xdx 

+  COS.  2x  I  (fX  COS.  2  X  dx  +  COS.  3  xl  f  X  COS.  3xdx  +  etc.  (v) 

la  fonction  o  est  périodique,  et  représentée  par  une  courbe 
composée  d'une  multitude  d'arcs  égaux ,  dont  chacun  cor- 
respond sur  l'axe  des  abscisses  à  un  intervalle  égal  à  2  t:.  De 
plus  chacun  de  ces  arcs  est  composé  de  deux  branches 
syméti^iques  qui  répondent  aux  deux  moitiés  de  l'intervalle 
égal  à  2  77. 

Supposons  donc  que  l'on  trace  une  ligne  d'une  forme 
quelconque  9  y  a  et  qui  réponde  à  un  intervalle  égal  à  77 , 
(vojez  fig.  g).  Si  l'on  demande  une  série  de  la  forme 

a  +  b  COS.  X  -\'  c  COS.  0.x  -{-  d  cos.  ?)x  +  etc. 

telle  qu  en  mettant  au  lieu  de  x  une  valeur  quelconque  X 
comprise  entre  o  et  r ,  on  trouve  pour  la  valeur  de  la  série 
celle  de  lordonnée  X  ç,  il  sera  facile  de  résoudre  cette  ques- 
tion :  car  les  coefficients  donnés  par  l'équation  (v)  sont 

-  I  tfX  dx ,  5  /  <fX COS.  2.x  dx,  -  I  fX  cos.  3  x dx,  etc. 

Les  diverses  intégrales  qui  sont  prises  de  ^  =  0  à  a'  =  7:, 
ayant  toujours  des  valeurs  mesurables  comme  celle  de  l'aire 
o  9  rt  -^T,  et  la  série  formée  par  ces  coefficients  étant  toujours 


32. 


+ 


252  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

convergente,  il  n'y  a  aucune  forme  de  la  ligne  (f^a,  pour 
laquelle  l'ordonnée  X9  ne  soit  exactement  représentée  par 
le  développement 

a  -\-  b  COS. .r  +  ccos.  2^  +  dcos.  3a;  +  ecos.  ^x  +  etc. 

L'arc  fr^a  est  entièrement  arbitraire  ;  mais  il  n'en  est  pas  de 
même  des  autres  parties  de  la  ligne,  elles  sont  au  contraire 
déterminées  :  ainsi  l'arc  9  a  qui  répond  à  l'intervalle  de 
0  à  —  t:  ,  est  le  même  que  l'arc  9  a  ;  et  l'arc  total  a  9  <^  se 
répète  pour  les  parties  consécutives  de  l'axe  dont  la  lon- 
gueur est  2  -. 

On  peut  faire  varier  dans  l'équation  (v)  les  limites  des 
intégrales.  Si  elles  étaient  pi'ises  depuis  a;  =  —  %  jusqu'à 
ce  ^  Tz  ^  le  résultat  serait  double  ;  il  le  serait  aussi  si  les 
limites  des  intégrales  étaient  o  et  2  tc  ,  au  lieu  d'être  o  et  u. 

b 

Nous  désignons   en   général  par  le  signe  /  l'intégrale  qui 

a 

commence  lorsque  la  variable  équivaut  à  a^  et  qui  est  com- 
plète lorsque  la  variable  équivaut  k  b  ;  et  nous  écrirons 
l'équation  {n)  sous  la  forme  suivante  : 

-779^  =  -  /  <fœdx  +  cos. .r  j  fX  cos.xdx 

o  o 

COS.  ax  I  (fx  cos.2xdx-\-  cos.  3  a;  /  ipxcos.3xdx  +  etc.     (v) 

o  o 

Au  lieu  de  prendre  les  intégrales  depuis  ^^o  jusqu'à  ^=1:, 
on  pourrait  les  prendre  depuis  x  =  o  jusqu'à  a;  =  2  tt  ,  ou 


CHAPITRE  III.  253 

depuis  x  =  —  -ir  jusqu'à  .r  =  77;  mais  dans  chacun  de  ces 
deux  cas ,  il  faut  écrire  au  premier  membre  i:  f  x  au  lieu 
de  7  TC  y  X. 

232. 

Dans  l'équation  qui  donne  le  développement  d'une  fonction 
quelconque  en  sinus  d'arcs  multiples,  la  série  change  de 
signe  et  conserve  la  même  valeur  absolue  lorsque  la  variable 
X  devient  négative  ;  elle  conserve  sa  valeur  et  son  signe 
lorsque  la  variable  est  augmentée  ou  diminuée  d'un  mul- 
tiple quelconque  de  la  circonférence  277.  L'arc  f^a  (voyez 
fig.  10),  qui  répond  à  l'intervalle  de  o  à  tc  est  arbitraire; 
toutes  les  autres  parties  de  la  ligne  sont  déterminées.  L'arc 
ç  ç  a,  qui  répond  à  l'intervalle  de  o  à  —  7:,  a  la  même  forme 
que  l'arc  donné  ç  <p  «  ;  mais  il  est  dans  une  situation  opposée. 
L'arc  total  a  9  ç  ç  ç  <^  est  répété  dans  l'intervalle  de  tt  à  3  x , 
et  dans  tous  les  intervalles  semblables.  Nous  écrirons  cette 
équation  comme  il  suit  : 


■Kfx=sm.x  I  <fxsm.xdx  +  sin.îix  j<!fx&\w.2.xdx 

o  o 

+  s,\x\.'àxjr^xs,\\i.?>xdx  +  eX.c.       {^) 


o 


On  pourrait  changer  les  limites  des  intégrales,  et   écrire 
/  OU   /  au  lieu  de   /  ;  mais  dans  chacun  de  ces  deux  cas, 

o  77  O 

n  faut  écrire  au  premier  membre  ir  9  a^,  au  lieu  de  j  tt  9  x. 

233. 
La  fonction  (fx,  développée  en  cosinus  d'arcs  multiples, 


254  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

est  représentée  par  une  ligne  forme'e  de  deux  arcs  égaux 
placés  symétriquement  de  part  et  d'autre  de  Taxe  des  j,  dans 
l'intervalle  de  — tt  à  +  tc  {voj.  fig.  ii);  cette  condition  est 
exprimée  ainsi  çx=o  ( — x).  La  ligne  qui  représente  la 
fonction  i];  jc  est  au  contraire  formée  dans  le  même  inter- 
valle de  deux  arcs  opposés ,  ce  qu'exprime  l'équation 

4»  ^'  =  • —  ij/  ( —  x). 

Une  fonction  quelconque  F  x  ,  représentée  par  une  ligne 
tracée  arbitrairement  clans  l'intervalle  de  —  7;  à  +  t,  peut 
toujours  être  partagée  en  deux  fonctions  telles  que  r^x  et  ^x. 
En  effet,  si  la  ligne  F'  F'  m  F  F  représente  la  fonction  ¥  x, 
et  que  l'on  élève  par  le  point  o  l'oi'donuée  o  lu ,  ou  ti-acera 
par  le  point  m  à  droite  de  l'axe  o  m  l'arc  Jnff  semblable 
à  l'arc  m  F'  F'  de  la  courbe  donnée ,  et  à  gauche  du  même 
axe  on  tracera  l'arc  niff  semblable  à  l'arc  m  FF;  ensuite 
on  fera  passer  par  le  point  m  une  ligne  9'  9'  m  9  9  cjui 
partagera  en  deux  parties  égales  la  différence  de  chaque 
ordonnée  o;  F  ou  x  f  à  l'ordonnée  correspondante  xf  ou 
x  F'.  On  tracera  aussi  la  ligne  ^'  i^'  o  i^  \  ^  dont  l'ordonnée 
mesure  la  différence  de  l'ordonnée  de  F'  F'  m  F  F  à  celle  de 
f'f  ^^^ff-  ^^^^  posé,  les  ordonnées  de  la  ligne  FF'  m.  FF 
et  de  la  ligne//"  mff  étant  désignées  l'une  par  Fx  et  la 
seconde  paryA',on  aura  évidemmentyx==F( — a);  désignant 
aussi  l'ordonnée  de  9' 9'  m  99  par  9  a;,  et  celle  de  il ^  o  ij;  y 
par  4*^,  on  aura 

Y x^^qx  +  '1(X-\-  et/x  =  (fx  —  <\ix  =  F{ — x) 
donc 

'ox  =  ^¥x  +  {F{—x)et<^x=^Fx  —  ^F(—x), 


CHAPITRE   III.  aSô 

on  en  conclut 

(p^=z(p( — x)  et  ^x^=  —  ij* l — ^)'-i 

ce  que  la  construction  rend  d'ailleurs  e'vident. 

Ainsi  les  deux  fonctions  90;  et  i^  x ,  dont  la  somme  équi- 
vaut à  ¥  X ,  peuvent  être  développées  l'une  en  cosinus  d'arcs 
multiples  et  l'autre  en  sinus. 

Si  l'on  applique  à  la  première  fonction  l'écpiation  (v),  et  à 
la  seconde  l'équation  (jx),  en  prenant  dans  l'une  et  l'autre  les 
iutégi\ales  depuis  ^=—7:  jusqu'à  x^iz^  et  si  l'on  ajoute  les 
deux  résultats  ,  on  aura 

/+  COS.  jrycpx  d.T-\- COS.  Q.xf<!fxcos.ixdx  +  etc. 
9  X  dx 
+  sin.  X  f  if  X  d  X -\- iva.  ixfi^xsxw.  ixdx-\-^Xc, 

les  intégrales  doivent  être  prises  depuis  x= — -r  jusqu'tà 
x=T..   Il   faut  remarc[uer  maintenant  que  dans   l'intégrale 

I  (fxcos.xdx  on  pourrait,  sans  en  changer  la   valeur, 

mettre  fX  +  <!fX  au  lieu  de  9  x  :  car  la  fonction  cos.  x  étant 
composée,  à  droite  et  à  gauche  de  l'axe  des  x,  de  deux  parties 
semblables ,  et  la  fonction  i)/  x  étant  au  contraire  formée  de 

+™ 
deux  parties  opposées,  l'intégrale  ji/x  co&.xdx  est  nulle.  Il 

— 77 
en  serait  de  même  si  l'on  mettait  cos.  2.x  ou  cos.  3  a;  et  en  géné- 
ral COS.  ix  au  lieu  de  cos.  x,  i  étant  un  des  nombres  entiers  de- 

puis  o  jusqu'à  l'infini.  Ainsi  l'intégrale/  a^x  cos  ix  dx  est  la 


256  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR, 

même  que  l'intégrale 

j  [^x  +  ^  x)  COS.  ix  dx  ou  /  Fx  cos.  i x  dx  ; 


+™ 


On  reconnaîtra  aussi  que  l'intégrale  /  ^x  sin.  ix  dx  est  égale 


-\--. 


à  l'intégrale  j  ¥  x  sin.  ix  dx ,  parce  que  l'intégrale 


/ 


<s^x  sin.  IX  a  X 


est  nulle.  On  obtient  par-là  l'équation  suivante  (y;),  qui 
sert  à  développer  une  fonction  quelconque  en  une  suite 
formée  de  sinus  et  de  cosinus  d'arcs  multiples  ; 

-  -l-cos.  xfY  X  COS.  X  d  X  -\-  COS.  i.xfY  x  cos.  ix  dx-\-c\.c. 

^Fx=-  jFxdx  (p) 

^J  -\-  s\x\.  xfY X sn\.  xdx  ^  sin.  t-x/Y xs\n.  a  x  dx-\-çic. 

234. 

La  fonction  Y  x,  qui  entre  dans  cette  équation,  est  repré- 
sentée par  une  ligne  F'F'FF,  d'une  forme  quelconque.  L'arc 
F'F'FF,  qui  répond  à  l'intervalle  de  — rà  +  r,  est  arbitraire; 
toutes  les  autres  parties  de  la  ligne  sont  déterminées,  et 
l'arc  F'F'FF  est  répété  dans  tous  les  intervalles  consécutifs 
dont  la  longueur  est  it..  Nous  ferons  des  applications  fré- 
quentes de  ce  théorème,  et  des  équations  précédentes  [pi) 
et  («). 


CHAPITRE   ni.  â57 

/ 
\ 

Si  l'on  suppose  dans  l'équation  {p)  que  la  fonction  ¥ x 
est  repre'sente'e,  dans  l'intervalle  de  — i:  à  +  -17,  par  une  ligne 
composée  de  deux  arcs  égaux  symétricjuement  placés,  tous 
les  tenues  c|ui  contiennent  les  sinus  s'évanouiront,  et  l'on 
trouvera  l'équation  (jn).  Si  au  contraire  la  ligne  qui  repré- 
sente la  fonction  donnée  ¥  x  est  formée  de  deux  arcs  égaux 
de  situation  opposée,  tous  les  termes  qui  ne  contiennent 
point  les  sinus  disparaissent ,  et  l'on  trouve  l'équation  (//). 
En  assujétissant  la  fonction  F'  x  à  d'autres  conditions  ,  on 
trouverait  d'autres  résultats. 

On  écrira  dans  l'équation  générale  (/>),  au  lieu  de  la  va- 
riable X,  la  quantité  ir  - ,  ^  désignant  une  autre  variable, 
et  2/'  la  longueur  de  l'intervalle  dans  lequel  est  placé  l'arc 
qui  représente  Fa;;  cette  fonction  sera  F  (-- }  ,  que  nous 
désignerons  pary.r.  Les  limites  cjui  étaient  x^ — -t:  et  ,r=r 

deviendront  tt  —  = —  77,7:—  =  tt;  on  aura  donc,  après  la 
substitution 

+r         +  cos.  Ç-i^-j  f/xcos.Ç—jdx  +  cos.f^iTz-jl/xcos.fs.Tz'j^jdx+etc. 

r/x=^  j  fx  dx  (P) 

+  sin.  (^77^) //^'sin.(^)  J.r  +  sin.  (■2t:'^^  ffxsm.  (2-^)  r/.r+ etc. 

toutes  les  intégrales  doivent  être  prises  comme  la  première, 
de  x^ — /•  à  ^==4-  /■.  Si  l'on  fait  la  même  substitution  dans 
les  écjuations  (/?)  et  {m)^  on  aura 

r 

{rfx=ifxdx  + COS.  f-^J    fxcos.  (t^^')  dx  +  cos.  (^tj^j  f/xcos.  ^2  77 -V/ an- etc. 

o 

33  (N) 


258  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

r 

et;'  7'f  x  =  s>in.(  t:-\  If X.  un.  Tt:  — j  dx  +  sin,  TaTT  -  j  j  fx  sin.  (2.-~\dx  +  etc. 

o  '         ■  (M) 

dans  la  première  équation  (P) ,  les  intégrales  pourraient 
être  prises  depuis  .r  =  o  jusqu'à  .r=2/',  et  en  représentant 
par  X  l'intervalle  total  2 1',  on  aura 

+  COS.  (niz^^j  Ifx  COS.  (2-- j  dx  -¥  cos.(i .  iT.'^j  j  fx  co?,.q.(2.t:  ^dx+etc. 
\fx=-  Ifx  dx 

+  sin.  (^.Tt^jfx  sin.  T  2  x^J  c?a -i-sin.2.  (a-n^Jlfxsm.zfu-K  y)  dx+etc. 

(n) 
235. 

Il  résulte  de  tout  ce  qui  a  été  démontré  dans  cette  section , 
concernant  le  développement  des  fonctions  en  séries  trigo- 
nométriques,  cjue  si  l'on  propose  une  fonction  y^^,  dont  la 
valeur  est  représentée  dans  ini  intervalle  déterminé,  depuis 
,r  =  o  jusqu'à  x  =  X,  par  l'ordonnée  d'une  ligne  courbe 
tracée  arbitrairement  on  pourra  toujours  développer  cette 
fonction  en  ime  série  cjui  ne  contiendra  que  les  sinus,  ou 
les  cosinus,  ou  les  sinus  et  cosinus  des  arcs  multiples,  ou  les 
seuls  cosinus  des  multiples  impairs.  On  emploiera ,  poui'  con- 
naître les  termes  de  ces  séries,  les  équations  (M),  (N),  (P). 

On  ne  peut  résoudre  entièrement  les  questions  fonda- 
mentales de  la  théorie  de  la  chaleur,  sans  réduire  à  cette 
forme  les  fonctions  qui  représentent  l'état  initial  des  tem- 
pératures. 

Ces  séries  trigonométriques,  ordonnées  selon  les  cosinus 
ou  les  sinus  des  multiples  de  l'arc,  appartiennent  à  l'analyse 
élémentaire,  comme  les  séries  dont  les  termes  contiennent 


CHAPITRE   IIÏ.  aS,) 

les  puissances  successives  de  la  variable.  Les  coefficients  des 
séries  trigonométriques  sont  des  aires  définies,  et  ceux  des 
séries  de  puissance  sont  des  fonctions  données  par  la  diffé- 
rentiation,  et  dans  lesquelles  on  attribue  aussi  à  la  variable 
une  valeur  définie.  Nous  aurions  à  ajouter  plusieurs  remar- 
ques concernant  l'usage  et  les  propriétés  des  séries  trigono- 
métriques;  nous  nous  bornerons  à  énoncer  brièvement  celles 
qui  ont  un  rapport  plus  dii'ect  avec  la  théorie  dont  nous 
nous  occupons.  ,  ....       .^ 

1°  Les  séries  ordonnées  selon  les  cosinus  ou  les  sinus  des 
arcs  multiples  sont  tonjours  convergentes,  c'est-à-dire  qu'en 
donnant  à  la  variable  une  valeur  quelconque  non  imagi- 
naire, la  somme  des  termes  converge  de  plus  en  plus  vers 
une  seule  limite  fixe,  qui  est  la  valeur  de  la  fonction  déve- 
loppée. 

2°  Si  l'on  a  l'expression  de  la  fonction  y.f  qui  répond  à 
une  série  donnée 

a-\-h  COS. x+  c  cos.  ix  +  d  cos.  3x  +  e  cos. ^x  +  etc. , 

et  celle  d'une  auti'e  fonction  (fX,  dont  le  développement 
donné  est 

a  -H  P  COS.  ^  +  y  COS.  '2  X  +  è  COS.  3x  +  e  COS.  ^x-\-  etc.  ; 

il  est  facile  de  trouver  en  termes  réels  la  somme  de  la  série 
composée  ^av.-hb'^  +  cy  +  d^  +  ee-i-  etc. ,  et  plus  généra- 
lement celle  de  la  série 

a  c/.-h  b  f!,cos.x  +  c  y  COS.  2X  +  d  ^  cos.  3^-1- e  s  cos.  4 -p  +  ftc. 

que  l'on  forme,  en  comparant  terjue  à  terme  les  deux  séries 

33. 


26o  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

données.  Cette  remarque  s'applique  à  un  nombre  quelconque 
de  séries.  --  ■?■   •>--'f- 

3°  La  série  (P)  (art.  234)  qui  donne  le  développement 
d'une  fonction  F^  en  une  suite  de  sinus  et  de  cosinus  d'arcs 
multiples ,  peut  être  mise  sous  cette  forme  : 

/+COS.  xf¥o.  COS.  a  t/a+cos.  2  xfV  a  cos.  2  a  c/a+etc. 
+  sin.  jr-yPasin.  a^a  +  sin.  2  xf¥  asin.  2  ao^a+etc. 

«  étant  une  nouvelle  variable  qui  disparaît  après  les  intégra- 
tions. On  a  donc 

~J^  ^  ,     -\-  COS.  X  COS.  a  +  COS.  2  x  cos.  2  a  +  cos.  3  x  cos.  3  a  -f-  etc.  \ 

^  -h  sin.  A' sin.  «  +  sin.  2  .r  sin.  2  a  +  sin.  2  .r  sin.  3  a  +  etc./ 


ou 


F  X=  -  I  (-  +  cos.  .a? a  +  cos.  2a? a  +COS.  3.x a  +  etc.  j 


Donc,  en  désignant  par  2  cos.  ix —  a,  la  somme  de  la  série 
précédente,  prise  depuis  j=i  jusqu'à  i  =  -,  on  aura 

Fœ=-  JFadaflcos.ia;  —  a+-j. 

L'expression — i-  2  cos  i  x  —  a  représente  une  fonction  de  x 

et  de  a  telle  que  si  on  la  multiplie  par  une  fonction  quel- 
conque Fa,  et,  si  après  avoir  écrit  dx,  on  intègre  entre  les 
limites  a  =  —  tt  et  a  =  r,  on  aura  changé  la  fonction  pro- 
posée F  a  en  une  pareille  fonction  de  x  multipliée  par  la 
demi-circonférence  tt.  On  verra  par  la  suite  quelle  est  la  na- 
ture de  ces  quantités ,  telles  que  -  +  2  cos.  ix — tx.,  qui  jouis- 
sent de  la  propriété  que  l'on  vient  d'énoncer. 


CHAPITRE   m.  a6i 

40  Si  dans  les  équations  (M)  (N)  et  (P)  (art.  234)  qui 
e'tant  divisées  par  /•  donnent  le  développement  d'une  fonc- 
tion fx,  on  suppose  que  l'intervalle  /■  devient  iniînimtMit 
grand;  chaque  terme  de  la  se'rie  est  un  élément  infiniment 
petit  d'une  intégrale;  la  somme  de  la  série  est  alors  repré- 
sentée par  une  intégrale  définie.  Lorsque  les  corps  ont  des 
dimensions  déterminées,  les  fonctions  arbitraires  qui  repré- 
sentent les  températures  initiales ,  et  qui  entrent  dans  les 
intégrales  des  équations  aux  différences  partielles,  doivent 
être  développées  en  séries  analogues  à  celles  des  équations 
(M),  (N),  (P);  mais  ces  mêmes  fonctions  prennent  la  forme 
des  intégrales  définies ,  lorsque  les  dimensions  des  corps 
ne  sont  point  déterminées  ,  comme  on  l'expliquera  dans 
la  suite  de  cet  ouvrage,  en  traitant  de  la  diffusion  libre  de 
la  chaleur. 

SECTION   VII. 

Application  a  la  question  actuelle. 

236. 

Nous  pouvons  maintenant  résoudre  d'une  manière  géné- 
rale la  question  de  la  propagation  de  la  chaleur  dans  une 
lame  rectangulaire  BAC,  dont  l'extrémité  A  est  constam- 
ment échaiiffée,  pendant  que  ses  deux  arêtes  infinies  B  et  C 
sont  retenues  à  la  températui'e  o. 

Supposons  que  la  température  initiale  de  tous  les  points 
de  la  table  BAC  soit  nulle,  mais  que  celle  de  chaque  point 
m  de  l'arête  A  soit  conservée  par  une  cause  extérieure  quel- 
conque, et  que  cette  valeur  fixe  soit  une  fonction  y.i'  de  la 


262  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

distance  du  point  m  à  l'extrémité  o  de  l'arête  A,  dont  la 
longueur  totale  est  2  r;  soit  v  la  température  constante  du 
point  m,  dont  les  coordonnées  sont  /  et  ^,  il  s'agit  de  déter- 
miner V  en  une  fonction  de  y  et  x.  La  valeur 

— m  y    . 
q)  =  a  e  sm.  J7ix 

satisfait  à  l'équation  j~+  S^~*^'  '^  ^^  "^  ^°"*  ^^^  quan- 
tités quelconques.   Si  l'on  prend  Jii  =  i-  ,  et  que  i  soit  un 

nombre  entier,  la  valeur  ae    '  '  rsin.fir.-j  deviendra  nulle, 

lorsque  œ  =  r,  quelle  que  soit  d'ailleurs  la  valeur  de  j.  On 
pourra  donc  prendre  pour  une  valeur  plus  générale  de  v 

'  r  y  ■>    y 

v=a^e       '^  sm.  f  TC- j  +  «,e  ^sm.  f  ax- j  +  «je         '' sm.f  ^7r-J  +  etc, 

--      Si  l'on  suppose  j  nulle,  la  valeur  de  v  sera  d'après  l'hypo- 
thèse égale  à  la  fonction  connue, _/x.  On  aura  donc 

/a;  =  <^xsin.  (-K-^+a  sin.  raiv^j  +  «3 sin-rSTî^j-t- «4  sin.r4- 7) +  etc. 

On  déterminera  les  coefficients  a,  a„  a^  a^  a.,  etc.,  au  moyen 
de  l'équation  (M) ,  et  en  les  substituant  dans  la  valeur  de  v 
on  aura 


2 


"  •-  ?,in.  (t. -^  ff  X  s\n.  (tz-^  d X -\- e       "  '' un.  fzTz^jj/xsm.  ÇzTz'^jdx 

+  e      '' '^f^-K-j I /x  sin.f3T:'^^/\dx  +  etc. 


CHAPITRE    III.  263 

2.3n. 
En  supposant  dans  l'équation  précédente  ■K  =  r,  on  aura 
la  même  solution  sous  xme  forme  plus  simple,  savoir: 

-^T^'=e     -^  sin.x  lyccsin.jcdjc  +  e       ■^?,iu,2.xdxlfxsh\.2.xdx 
-\-e       -^ sin.  3x  l/xsm.3xdx  +  etc.      (a)  ou 


-r.v^=  l/v.da.(e     "^^sin-o^sin.  a +  e       '  s\n.  2. x  sm. 'j.  a. 

o 

+  e       -^sin.  3a'sin.  3a  +  etc.  j  ; 

a  est  une  nouvelle  variable  qui  disparaît  après  l'intégration. 
Si  l'on  détermine  la  somme  de  cette  série  ;  et  si  l'on  en  fait 
la  substitution  dans  la  dernière  équation,  on  aura  la  valeur 
de  V  sous  une  forme  finie.  Le  double  de  la  série  équivaut  à 

('     ^^(cos.  .r  —  «  —  cos.a.'  +  a)  +  e       -^(cos.  2^  + a  —  COS.  2.X-\-a. 

+  e       -^(cos.  3a;  —  a  —  COS.  3^  + a)  ^  etc. 

désignant  par  ¥{y,p)  la  somme  de  la  série  infinie 

—  y  —  2 1"  —  &Y  f 

e     •  COS.  p  +  e       "^  COS.  2/?  +  e       ■  cos.  4/*  +  <^tc. 

on  en  conclura 

■K 

t:V=^  JFadix  iF(j,X  —  a,) — F{y,X  +  u)). 


264  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

On  a 

aF(j,/?)=  _  _ 

_^—{f  +  pv^~^)  ^—{f—p^~^) 


I  — e 
ou 


{f+py'-')        j_g— (r— p»/-') 


— y 
cos.p  —  e 


1'  1 

J'F)- 

e'''  —  2  cos, 

■  p  +  e 

—X 

donc 

O 

doL 

1 

-e-^ 

.-■^ 

COS.  X  - 

-  a 

cos.  j?  4-  a  — 

I^V 

—  2  COS. 

'        e^- 

â  +  e 

X- 

-a.  +  e"^ 

2  COS.  X  + 

^ 

ou 

o 

1 

da 

:i{e-^  —  e~ 

-■^)sin. 

.r.sin.  a 

TT   V 

((.^ 

2C0S 

>.  X 

—  a  +  e 

■^{e^. 

t  +  e~ 

n 

—  2  cos.ar  +  c 

T.V: 


OU  décomposant  le  coefficient  en  deux  fractions, 

'J  \.e    — 2C0S.  j: — a  +  e  e    — 2COS.  or-f-a  +  e        / 

o 

Cette  équation  contient  sous  la  forme  finie,  et  en  termes 

réels,  l'intégrale  de  l'équation  -j-^  +  -7-7  =  o,  appliquée  à 

la  question  du  mouvement  uniforme  de  la  chaleur  dans  un 
solide  rectangulaire ,  exposé  par  son  extrémité  à  l'action 
constante  d'un  seul  foyer. 


CHAPITRE  III.  265 

Il  est  fîicile  de  reconnaître  les  rapports  de  cette  intégrale 
avec  l'intégrale  générale,  qui  a  deux  fonctions  arbitraires; 
ces  fonctions  se  trouvent  déterminées  par  la  nature  même 
de  la  question,  et  il  ne  reste  d'arbitraire  que  la  fonctionya, 
considérée  entre  les  limites  a  =  o  et  a  =  •jt.  L'équation  (r?) 
représente,  sous  une  forme  simple,  propre  aux  applications 
numériques,  cette  même  valeur  de  v  réduite  en  une  série 


convergente. 


Si  l'on  voulait  déterminer  la  quantité  de  chaleur  que  le 
solide  contient  lorsqu'il  est  parvenu  à  son  état  permanent; 
on  prendrait  X'iwVé^XiAQfdx  fdjv  depuis  .t'=o  jusqu'à  a-  =  7r, 

et  depuis  j  =  o  jusqu  à  j=  -  ;  le  résultat  serait  proportionnel 

à  la  quantité  cherchée.  En  général  il  n'y  a  aucune  propriété 
du  mouvement  uniforme  de  la  chaleur  dans  une  lame  rec- 
tangulaire, qui  ne  soit  exactement  représentée  par  cette  solu- 
tion. Nous  envisagerons  maintenant  les  questions  de  ce  genre 
sous  un  autre  point  de  vue,  et  nous  déterminerons  le  mou- 
vement varié  de  la  chaleur  dans  les  différents  corps. 


34 


1  «.«.-*«.  W»%V%WX«^l^%.-WV%-«>Vk«W^%-V««.X««.%-«.\'«^%.'%««.^««.V%V«'%V^%t.^^»^^V^.^W«WXI 

CHAPITRE    IV. 

DU    MOUVEJIENT    LINEAIRE    ET    VARIE    DE    LA    CHALEUR 
DANS    UNE    ARMILLE. 


SECTION  PREMIERE. 

Solution  générale  de  la  question. 

238. 

-L'ÉQUATION    qui   exprime   le   mouvement   de  la   chaleur 
dans  une  armille  a  été'  rapportée  dans  l'article  io5;  elle  est 

dv Y^    d^v         hl  ,,, 

'dt        CD  Z^        CDS'^"         ^^ 

Il  s'agit  maintenant  d'intégi-er  cette  équation ,  on  écrira  seu- 
lement —  =  K -j—^  —  hv ,  la  valeur  de  K  représentera  -rg  , 

celle  de /i  sera— yr^,  x  désigne  la  longueur  de  l'arc  compris 

entre  un  point  m  de  l'anneau  et  l'origine  o,  v  est  la  tempé- 
rature que  l'on  observerait  en  ce  point  m  après  un  temps 
donné  t.  On  supposera  d'abord   'v=^e~*"  u ,  u  étant  une 

nouvelle  indéterminée,  on  en  tirera -^  =  K -r—^  ;    or    cette 

dernière  équation  convient  au  cas  où  l'irradiation  serait 
nulle  à  la  surface,  puisqu'on  la  déduirait  de  la  précédente 


CHAPITRE   IV.  S67 

en  V  foisant  A  :=:  o  :  on  conclut  de  là  que  les  différents 
points  de  l'anneau  se  refroidissent  successivement  ,  par 
l'action  du  milieu,  sans  que  cette  circonstance  trouble  en 
aucune   manière   la    loi   de    la  distribution   de   la  chaleur. 

En  effet,  en  intégrant  l'équation  -^  =  K -;— ^,  on  trouverait 

les  valeurs  de  u  qui  répondent  aux  différents  points  de 
l'anneau  dans  un  même  instant,  et  l'on  connaîtrait  quel  serait 
l'état  du  solide  si  la  chaleur  s'y  propageait  sans  qu'il  y  eût 
aucune  déperdition  à  la  surface;  pour  déterminer  ensuite 
quel  aurait  été  1  état  du  solide  au  même  instant,  si  cette 
déperdition  eût  eu  lieu,  il  suffii'ait  de  multiplier  toutes  les 
valeurs  de  u  prises  pour  les  divers  points,  et  pour  un  même 
instant,  par  une  même  fraction  qui  este"'".  Ainsi  le  refroi- 
dissement qui  s'opère  à  la  surface  ne  change  point  la  loi  de 
la  distribution  de  la  chaleur;  il  en  résulte  seulement  que  la 
température  de  chaque  point  est  moindre  qu'elle  n'eut  été 
sans  cette  circonstance  ,  et  elle  diminue  pour  cette  cause 
proportionnellement  aux  puissances  successives  de  la  frac- 
tion e~*'. 

289. 

La  question  étant  réduite  à  intégrer  l'équation  y-=K-T-;, 

on  cherchera,  en  premier  lieu,  les  valeurs  particulières  les 
plus  simples  que  l'on  puisse  attribuer  à  la  variable  a  ;  on  en 
composera  ensuite  une  valeur  générale,  et  l'on  démontrera 
que  cette  valeur  est  aussi  étendue  que  l'intégrale  qui 
contient  une  fonction  arbitraire  en  x ,  ou  plutôt  qu'elle  est 
cette  intégrale  elle-même,  mise  sous  la  forme  qu'exige  la 
question,  en  sorte  qu'il  ne  peut  y  avoir  aucune  solution 
différente. 

34 


268  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

Oa  remarquera  d  abord  que  l'équation  est  satisfaite  si  l'on 
donne  à  u  la  valeur  particulière  a  e""  sin.  n  x ,  m  et  n  étant 
assujétis  à  la  condition  7?^  =  —  K/r.  On  prendra  donc  pour 

une  valeur  paiticulière  de  u  la  fonction  a  e  sin.   n  x. 

Pour  que  cette  valeur  de  u  convienne  à  la  cjuestion ,  il  faut 
qu'elle  ne  change  point  lorscpie  la  distance  x  est  augmentée 
de  la  quantité  2  tt  r,  /■  désignant  le  rayon  moyen  de  l'anneau. 
Donc  2.n  r.  r  doit  être  un  multiple  i  de  la  circonférence  2  t.  ; 

ce  cjui  donne  «  =  7.  On  peut  prendre  pour  «  un   nombre 

entier  quelconque;  on  le  supposera  toujours  positif  parce 
que,  s'il  était  négatif,  il  suffirait  de  changer  dans  la  valeur 

a  e  sin.  nx  le  signe  du  coefficient  <2.  Cette  valeur  parti- 


k  ;■'  C 


culière  ae  >'  sin.  ^  ne  pourrait  satisfaire  à  la  question 
proposée  cju'autant  qu'elle  représenterait  l'état  initial  du 
solide.  Or  en  foisant  /^  =  o,  on  trouve  n  =  a  sin. ^  :  sup- 
posons donc  que  les  valeurs  initiales  de  u  soient  exprimées 
en  effet  par  a  sin. — ,  c'est-à-dire  que  les  températures  pri- 
mitives des  différents  points  soient  proportionnelles  aux 
sinus  des  angles  compris  entre  les  rayons  qui  passent  par 
ces  points  et  celui  qui  passe  par  l'origine,  le  mouvement  de 
la    chaleur    dans    l'intérieur   de   l'anneau    sera    exactement 

représenté  par  l'équation /A  =  rt  e  '^'sin.-^,  et  si  l'on  a 
égard  à  la   déperdition  de  la  chaleur  par  la   surface^  on 


CHAPITRE  IV.  269 

trouvera  v  =  ae  '-  '    sin.  -.  Dans  le  cas  dont  il  s  agit, 

qui  est  le  plus  simple  de  tous  ceux  que  l'on  puisse  con- 
cevoir ,  les  températures  variables  conservent  leurs  rapports 
primitifs,  et  celle  d'un  point  quelconque  diminue  comme 
les  puissances  successives  d'une  fraction  qui  est  la  même 
pour  tous  les  points. 

On  remarc[uera  les  mêmes  propriétés  si  l'on  suppose  que 
les  températures  initiales  sont  proportionnelles  au  sinus  du 

double  de  l'arc  — ,  et  cela  a  lieu  en  général  lorsque  les  tem- 
pératures données  sont  représentées  par  a  sin.  i  -  ,  i  étant 
un  nombre  entier  quelconque.  • 

On  arrivera  aux  mêmes  conséquences,  en  prenant  pour 
valeur  particulière  de  u  la  quantité  a  e  cos.  n  x  :  on 


a  aussi 


i  2  n  -K  r=  2  i  t:  et  n  =  -  :  donc  l'équation 


11  =  a  e        r-'  COS. — 


exprimera  le  mouvement  de  la  chaleur  dans  l'intérieur  de 
l'anneau  si  les  températures  initiales  sont  représentées  par 


l  X 

COS. 

/• 


Dans  tous  ces  cas ,  où  les  températures  données  sont  pro- 
portionnelles aux   sinus  ou  aux  cosinus   d'un   multiple   de 

l'arc  —,  les  rapports  établis  entre  ces  températures  subsis- 
tent continuellement  pendant  la  durée  infinie  du  refroidis- 


270  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

sèment.  Il  en  serait  de  même  si  les  températures  initiales 
étaient  représentées  par  la  fonction  a  sin.  —  +  Z»  cos.  — ;-  , 

«étant  un  nombre  entier,  a  et  h  des  coërficients  quelconques. 

240. 
Venons  maintenant  au  cas  général  dans  lequel  les  tempé- 
ratures initiales  n'ont  point  les  rapports  que  l'on  vient  de 
supposer,   mais   sont  représentées  par  une  fonction  quel- 
conque Fa:.  Donnons  à  cette  fonction  la  forme  9  T- j  en  sorte 

qu'on  ait  F  a:  =  9  T- j  ,  et  concevons  que  la  fonction  9  (-) 

est  décomposée  en  une  série  de  sinus  ou  de  cosinus  d'arcs 
multiples  affectés  de  coefficients  convenables.  On  posera 
l'équation 

a  sin.  To  -  j-l-  «,  sin.Ti  —  )  +  <7.sin.  Ta  -  j  -+-  etc. 

»©=  \  '\  l       w 

+  Z»„  COS.  (o  ^  j  +  h,  cos.  (i^^  +  b,  cos.  (i-j+  etc. 

Les  nombres  <7„  a,  a^. .  .  b„  b,  b,.  .  .  sont  regardés  comme 
connus  et  calculés  d'avance.  Il  est  visible  que  la  valeur  de 
u  sera  alors  représentée  par  l'équation  : 


U-- 


:b'- 


b^cos.— 

r 


ht 


<7„Sin.2 


è,C0S.2- 


kt 


-t-  etc. 


En  effet,  1°  cette  valeur  de  u  satisfera  à  l'équation 


du  fj    </'  u 

de  djc'  ^ 


CHAPITRE   IV.  271 

parce  qu'elle  est  la  somme  de  plusieurs  valeurs  particu- 
lières ;  2"  elle  ne  changera  point  lorsqu'on  augmentera  la 
distance  x  d'un  multiple  quelconque  de  la  circonférence  de 
l'anneau;  3°  elle  satisfera  à  l'ëtat  initial,  parce  qu'en  faisant 
/rrrro,  on  trouvcra  l'ëquation  (s).  Donc  toutes  les  conditions 
de  la  question  seront  remplies ,  et  il  ne  restera  plus   qu'à 

multiplier  par  e         cette  valeur  de  m.  .        • 

24  !• 
A  mesure  que  le  temps  t  augmente ,  chacun  des  termes 
qui  compose  la  valeur  de  u  devient  de  plus  en  plus  petit  ;  le 
système  des  températures  tend  donc  continuellement  à  se 
confondre  avec  l'état  régulier  et  constant  dans  lequel  la 
différence  de   la  température   u  a  la  constante  b^  est    re- 

présentée  par  (a  sin.  -+  h  cos.  -)  e  '  '  •  Ainsi  les  va- 
leurs particulières  que  nous  avons  considérées  précédem- 
ment, et  dont  nous  composons  la  valeur  générale,  tirent 
leur  origine  de  la  cpiestion  elle-même.  Chacune  d'elles  re- 
présente un  état  élémentaire  qui  peut  subsister  de  lui-même 
dès  qu'on  le  suppose  formé;  ces  valeurs  ont  une  relation 
naturelle  et  nécessaire  avec  les  propriétés  physiques  de  la 
chaleur. 

Pour  déterminer  les  coefficients  a„a,  a^a^.  .  .  h^b^  Z».  b^  etc. 
on  emploiera  l'équation  (n)  art.  234,  qui  a  été  démontrée 
dans  la  dernière  section  du  chapitre  précédent. 

L'abscisse  totale  désignée  par  X  dans  cette  équation  sera 
"x-r,  a;  sera  l'abscisse  variable,  et  / x  représentera  l'état 
initial  de  l'anneau,  les  intégrales  seront  prises  depuis  x^=o 


272 


THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 


I 


jusqu'à  x=2  r  r,  on  aura  donc 


TC  rj'x=  -  jj'x  dx-{- 


COS.  f—j  COS.  f~j  /"x  dx  +  COS.  [2  — ) /cos.  (i--\fxdx 
sin.  f-jfsm.f'-jJ'xdx  +  sm.fQ.  —  jsm.  (o.-Afx  dx 


etc. 


Connaissant  ainsi  les  valeurs  de  a„  a,  a,  a^.  .  .h^h^  h^  h^ ,  etc. 
on  les  substituera  dans  1  équation ,  et  l'on  aui'a  l'équation 
suivante ,  qui  contient  la  solution  complète  de  la  question 


Tirv: 


—  ht 


(^-Jfxdx+ 


s\n.-l(s\r\.—fx  dx\ 


COS.    jf  COS.-  /x  dxj 


e     ~      sin-Ta-) /sin.ra-j/'xfZ^ 
cos.  fa^  j /cos-Ta  -Afxdx 


ht 


■+et| 


(E) 


2  T.  r.  Le  premier  terme  -^  ^-^  '  ' '-     qui    sert   à 


Toutes    les    intégrales    doivent    être    prises   depuis   a;  =  o 

jusqu'à  x 

fcirmer  la  valeur  de  v ,  est  évidemment  la  température 
moyenne  initiale,  c'est-à-dire,  celle  qu'aurait  chaque  point 
si  toute  la  chaleur  initiale  était  également  répartie  entre 
tous  les  points. 

On  peut  appliquer  l'équation  précédente  (E),  quelle  que 
soit  la  forme  de  la  fonction  donnée /"a;.  Nous  considérerons 
deux  cas  particuliers,  savoir:  «1°  celui  qui  a  lieu  lorsque 
l'anneau  ayant  été  élevé  par  l'action  d'un  foyer  à  des  tempé- 
ratures permanentes,  on  supprime  tout- à -coup  le  foyer; 
3°  le  cas  où  la  moitié  de  l'anneau  échauffée  également  dans 


CHAPITRE  IV.  ayi 

tous  ses  points  serait  réunie  subitement  à  l'autre  moitié  qui 
aurait,  dans  toutes  ses  parties,  la  température  initiale  o. 

On  a  vu  précédemment  (art.  io6)  que  les  températures 
permanentes    de   l'anneau    sont    exprimées    par   l'équation 

v  ^=a  OL  -\~  h  a     ',etla  quantité  a  a  pour  valeur  e         f"^-, 

l  est  le  contour  de  la  section  génératrice ,  et  ^  la  surface  de 
cette  section.  Si  l'on  suppose  qu'il  y  ait  un  seul  foyer,  il  sera 

nécessaire  que  1  on  ait  1  équation  —  =  o  au  point  oppose  a 
celui  qui  est  occupé  parle  foyer.  La  condition  av.  — ha.  '  =o 


sera  donc  satisfaite  en  ce  point.  Regardons ,  pour  plus  de 
facilité  dans  le  calcul,  la  fraction  -y — comme  égale  à  l'unité, 
et  prenons  le  rayon  r  de  l'anneau  pour  le  rayon  des  tables 
trigonométriques ,  on  aura  v^aé+be  ,  donc  l'état  ini- 
tial de  l'anneau  est  représenté  par  l'équation 

,     — t:  f  — T.  +  x         7t  —  jr\ 

v=^oe        [e  +e         y 

Il  ne  reste  plus  qu'à  appliquer  l'équation  générale  (E),  et 
'  en  désignant  par  M  la  chaleur  moyenne  initiale ,  on  aura 

—  ht  -HT  /i        COS. .r    — kt       coi.ix    — -i'kf       cos.  3x    — 3'/'^       cos.  4-J^    — A''kt  \ 

v=2e         M(--:^^^         +^qT-^  -- 3mT^  ^TTT'''  -^'^^•} 

Cette  équation  exprime  l'état  variable  d'un  anneau  solide  , 
qui ,  ayant  été  échauffé  par  un  de  ses  points  et  élevé  à  des 
températures  stationnaires ,  se  refroidit  dans  l  air  après  la 
suppression  du  foyer. 

35 


274  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

243. 

Pour  faire  une  seconde  application  de  l'e'quation  géné- 
rale (E)  nous  supposerons  que  la  chaleur  initiale  est  telle- 
ment distribuée,  qu'une  moitié  de  l'anneau  comprise  depuis 
jj:=:o  jusqu'à  x=r:  a  dans  tous  ses  points  la  température  i 
et  que  l'autre  partie  a  la  température  o.  Il  s'agit  de  déter- 
miner l'état  de  l'anneau  après  un  temps  écoulé  t. 

La  fonction  fx  qui  représente  l'état  initial  est  telle  dans 
ce  cas  que  sa  valeur  est  i  toutes  les  fois  que  la  variable  est 
comprise  entre  o  et  tt.  Il  en  résulte  que  l'on  doit  supposer 
fx  =  i  et  ne  prendre  les  intégrales  que  depuis  x  =  o 
jusqu'à  ,r  =  TT ,  les  autres  parties  des  intégrales  sont  nulles 
d'après  l'hypothèse.  On  obtiendra  d'abord  l'équation  sui- 
vante qui  donne  le  développement  de  la  fonction  proposée 
dont  la  valeur  est  i  depuis  x  =  o  jusqu'à  x  =  tt  et  nulle 
depuis  .r  =  TC  jusqu'à  a;  =  2  w 

fx=-  +  ^(sm.x+  ^sin.  3.r  +  ^sin. So-^-sin. 7^  + etc.  j 

Si  maintenant  on  substitue  dans  l'équation  générale  les 
valeurs  qu'on  vient  de  trouver  pour  les  coefficients  con- 
stants ,  on  aura  l'équation 

i  — ht  /i  .  —kt      I    .      Q       — 3'Â^       I    •  ■    r      — 5"^-^        *    \ 

-T:v=e         (^TT  +  sni.o-e        +iiSi\\.oxe  +^s,\n.'oxe  -l- etc.  ) 

2  V4  J  5  y 

qui  exprime  la  loi  suivant  laquelle  varie  la  température  à 
chaque  point  de  l'anneau,  et  fait  connaître  son  état  après 
un  terme  donné,  nous  nous  bornerons  aux  deux  applica- 
tions précédentes,  et  nous  ajouterons  seulement  quelques 
observations  sur  la  solution  générale  exprimée  par  l'équa- 
tion (E) 


CHAPITRE  IV.  275 

244. 
1°  Si  l'on  suppose  k  infini,  l'état  de  l'anneau  sera  exprimé 

ainsi  r  r  v  =  e  *  -  l/œ dx,  ou  désignant  par  M  la  tem- 
pérature moyenne  initiale  v=e  *  M.  La  température  d'un 
point  quelconque  deviendra  subitement  égale  à  la  tempéra- 
ture moyenne  et  les  diftérents  points  conserveront  toujours 
des  températures  égales,  ce  qui  est  une  conséquence  néces- 
saire de  l'hypothèse  où  l'on  admet  une  conducibilité  infinie. 

2<*  On  aura  le  même  résultat  si  le  rayon  /•  de  l'anneau  est 
infiniment  petit. 

3°  Pour  trouver  la  température  moyenne  de  l'anneau 
après  un  temps  t  il  faut  prendre  l'intégrale yy a:'  dx  depuis 
a;  =  o  juscju'à  x  =  2t:  r,  et  diviser  par  2  x  r.  En  intégrant 
entre  ces  limites  les  différentes  parties  de  la  valeur  de  u,  et 
supposant  ensuite  x  =  2.  -k  r,  on  trouvera  que  les  valeurs 
totales  des  intégrales  sont  nulles  excepté  pour  le  premier 
terme;  la  température  moyenne  a  donc  pour  valeur,  apiès 

le   temps  t ,    la  quantité  e  M.    Ainsi ,    la   température 

moyenne  de  l'anneau  décroît  de  la  même  manière  que  si  la 
conducibilité  était  infinie,  les  variations  occasionnées  par  la 
propagation  de  la  chaleur  dans  ce  solide  n'influent  point 
sur  la  valeur  de  cette  température. 

Dans  les  trois  cas  que  nous  venons  de  considérer  la  tem- 
pérature décroît  proportionnellement  aux  puissances  de  la 

fraction  e       ,  ou,  ce  qui  est  la  même  chose,  à  fordorniée 

d'une  courbe  logarithmique,  l'abscisse  étant  égale  au  temps 
écoulé.  Cette  loi  est  connue  depuis  long-temps,  mais  il  faut 

36. 


orj^  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

remarquer  qu'elle  n'a  lieu  en  général  que  si  les  corps  ont 
une  petite  dimension.  L'analyse  précédente  nous  apprend 
que  si  le  diamètre  d'un  anneau  n'est  pas  très-petit,  le  refroi- 
dissement d'un  point  déterminé  ne  serait  pas  d'abord 
assujéti  à  cette  loi,  il  n'en  est  pas  de  même  de  la  tempé- 
rature moyenne  qui  décroît  toujours  proportionnellement 
aux  ordonnées  d'une  logarithmique.  Au  reste ,  il  ne  faut 
point  perdre  de  vue  que  la  section  génératrice  de  l'armille 
est  supposée  avoir  des  dimensions  assez  petites  pour  que  les 
points  de  la  même  section  ne  diffèrent  point  sensiblement 
de  température. 

4°  Si  l'on  voulait  connaître  quelle  est  la  quantité  de 
chaleur  qui  s'échappe  dans  un  temps  donné  par  la  superficie 
d'une  portion  donnée  de  l'anneau,  il  faudrait  employer  l'in- 
tégrale h  lfdtf\i  dx,  et  prendre  cette  intégrale  entre  les 
limites  qui   se  rapportent  au  temps.  Par  exemple,  si   l'on 

choisit  o ,  2  r  pour  les  limites  de  ^ ,  et  o ,  -  pour  les  li- 
mites de  t ,  c'est-à-dire  si  l'on  veut  déterminer  toute  la 
quantité  de  chaleur  qui  s'échappe  de  la  superficie  entière 
pendant  toute  la  durée  du  refroidissement,  on  doit  trouver 
après  les  intégrations  un  résultat  égal  à  toute  la  chaleur 
initiale  ,  ou  2  iv  r  M ,  M  étant  la  température  moyenne 
initiale. 

5°  Si  l'on  veut  connaître  combien  il  s'écoule  de  chaleur 
dans  un  temps  donné ,  à  travers  une  section  déterminée  de 

dt  ~  ^  en 
mettant  pour  -^  la  valeur  de  cette  fonction ,  prise  au  point 
dont  il  s'agit. 


CHAPITRE  IV.  277 

245. 
6"  La  chaleur  tend  à  se  distribuer  dans  l'anneau ,  suivant 
une  loi  qui  doit  être  remarquée.  Plus  le  temps  écoulé  aug- 
mente et  plus  les  termes  qui  composent  la  valeur  de  v  dans 
l'équation  (E)  deviennent  petits  par  rapport  à  ceux  qui  les 
précèdent.  Il  y  a  donc  une  certaine  valeur  de  t  pour  laquelle 
le  mouvement  de  la  chaleur  commence  à  être  sensiblement 
représenté  par  l'équation 

u  =  a^  +  fa,  sin.— +  b.cos.^j  e     r'. 

Cette  même  relation  continue  à  subsister  pendant  la  durée 
infinie  du  refroidissement.  Si  dans  cet  état  on  choisit  deux 
points  de  l'anneau,  situés  aux  deux  extrémités  d'un  même 
diamètre;  en  représentant  par  x,  et  x^  leurs  distances  res- 
pectives à  l'origine ,  par  v,  et  v,  leurs  températures  corres- 
pondantes au  temps  t  ;  on  aura 

Ht  , 

x,\ ^\       lit 

e 


'v,=  (a^  +  (a,  sin.'^'  +  h,  cos.  *^j  e     '^'j 

kt 
V,  =  (a^  +  (a,  sin.  —  -\-b,  cos.  ^  J  e     '^)^ 


kt  , 

—  ht 


Les  sinus  des  arcs— ^  et  — ^  ne  diffèrent  que  par  le  signe,  et 
il  en  est  de  même  des  quantités  cos.  — ^  et  cos. -^;  donc 


V,  +-V,  kt 

— =  a  e 


ainsi  la  demi -somme  des  températures  des  points  opposés 
donne  une  quantité  a e~  '    qui  serait  encore  la  même  si 


278  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 


'  j 


l'on  avait  choisi  deux  points  situés  aux  extrémités  d  un  autre 

diamètre.  Cette  quantité  a  e  est,  comme  on  l'a  vu  plus 

haut,  la  valeur  de  la  température  moyenne  après  le  temps  t. 
Donc  la  demi -somme  des  températures  des  deux  points 
opposés  quelconques  décroît  continuellement  avec  la  tempé- 
rature moyenne  de  l'anneau,  et  en  représente  la  valeur 
sans  erreur  sensible ,  après  que  le  refroidissement  a  dui'é  un 
certain  temps.  Examinons  plus  particulièrement  en  quoi 
consiste  cg  dernier  état  qui  est  exprimé  par  l'équation 

k  t  , 

a^-h  ((^,  sin.  -  +  è,  cos.  -Je     '■'Je 

Si  l'on  cherche  d'abord  le  point  de  l'anneau  pour  lequel  on 
a  la  condition 

a,  sin.  f-j  +  b,  cos.  -  =  o ,  ou  ^  =  —  arc.  tang.  f-^J 

On  voit  que  la  température  de  ce  point  est  à  chaque  instant 
la  température  moyenne  de  l'anneau  :  il  en  est  de  même  du 
point  diamétralement  opposé  :  car  l'abscisse  oc  de  ce  dernier 
point  satisferait  encore  à  l'équation  précédente 


—  =  arc.  tan  Cf. 

r  " 


i-kï 


Désignons  par  X  la  distance  à  laquelle  le   premier  de  ces 
points  est  placé ,  on  aura 


.      X 

sm.  — 

.  r 

0,  =  —  a,  ^  , 

cos  — 

r 


CHAPITRE   IV.  279 

et  substituant  cette  valeur  de  b, ,  on  a 


^=(«„+_±i^sin.  ("~-)e     '-) 


X\     -^\     -ht 
e 


COS.— 
r 


Si  l'on  prend  maintenant  pour  origine  des  abscisses  le  point 
qui  répondait  à  l'abscisse  X,  et  que  l'on  désigne  par  u  la 
nouvelle  abscisse  x  —  X ,  on  aura 

—  ht  C  j     .        u \ 

^  =  e  [a^  +  bs,in.-e     >■    y 

A  l'origine  oii  l'abscisse  u  est  o  et  au  point  opposé,  la  tem- 
pérature V  est  toujours  égale  à  la  température  moyenne  ; 
ces  deux  points  divisent  la  circonférence  de  l'anneau  en 
deux  parties  dont  l'état  est  pareil ,  mais  de  signe  opposé  ; 
chaque  point  de  l'une  de  ces  parties  a  une  température  qui 
excède  la  température  moyenne  et  la  quantité  de  cet  excès 
est  proportionnelle  au  sinus  de  la  distance  à  l'origine. 
Chaque  point  de  l'autre  partie  a  une  température  mointlre 
que  la  température  moyenne  et  la  différence  est  la  même 
que  l'excès  dans  le  point  opposé.  Cette  distribution  symé- 
trique de  la  chaleur  subsiste  pendant  toute  la  durée  du 
refroidissement.  Il  s'établit  aux  deux  extrémités  de  la  moitié 
échauffée,  deux  flux  de  chaleur  dirigés  vers  la  moitié  froide 
et  dont  l'effet  est  de  rapprocher  continuellement  l'une  et 
l'autre  moitié  de  l'armille  de  la  température  moyenne. 

246. 
On  remarquera  maintenant  que  dans  l'équation  générale 
qui  donne  la  valeur  de  'V  chacun  des  termes  est  de  la  forme 

A  t 

a,  sin.  i  —  -\-  b,  COS.  i  -j  e         '•'  , 


28o  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

on  pourra  donc  tirer,  par  rapport  à  chaque  terme,  des 
conséquences  analogues  aux  précédentes.  En  effet,  dési- 
gnant par  X  la  distance  pour  laquelle  le  coefficient 


a,  sin.  i  — l-  h,  cos.  i  — 
r  r 


est  nul ,  on  aura  l'équation  b,  =  —  a,  tang.  /  —  ,    et    cette 
substitution  donne ,  pour  la  valeur  du  coefficient , 


a  sin 


..(^), 


a  étant  une  constante.  Il  suit  de  là  qu'en  prenant  pour 
l'origine  des  coordonnées  le  point  dont  l'abscisse  était  X , 
et  désignant  par  m  la  nouvelle  abscisse  x — X,  on  aura  pour 
exprimer  les  changements  de  cette  partie  de  la  valeur  de  v 

la  fonction  a  e  sin.  -  e     r-- . 


r 


Si  cette  même  partie  de  la  valeur  de  v  subsistait  seule 
en  sorte  que  les  coefficients  de  toutes  les  autres  fussent  nuls, 
l'état  de  l'anneau  serait  représenté  par  la  fonction 


—  ht    — J'  — 

ae         e        •-  sm 


in.  (.-.i;) 


et  la  température  de  chaque  point  serait  proportionnelle  au 
sinus  du  multiple  i  de  la  distance  de  ce  point  à  l'origine. 
Cet  état  est  analogue  à  celui  que  nous  avons  décrit  précé- 
demment ,  il  en  diffère  en  ce  que  le  nombre  des  points  qui 
ont  une  même  température  toujours  égale  à  la  température 
moyenne  de  l'anneau  n'est  pas  seulement  2,  mais  en  général 
égal  à  2  i.  Chacun  de  ces  points  ou  nœuds  sépare  deux 


CHAPITRE  IV.  281 

portions  contiguës  de  l'anneau  qui  sont  dans  un  état  sem- 
blable, mais  de  signe  oppose.  La  circonférence  se  trouve 
ainsi  divisée  en  plusieurs  parties  égales  dont  letat  est  alter- 
nativement positif  ou  négatif.  Le  flux  de  la  ch.ileur  est  le  • 
plus,  grand  possible  dans  les  noeuds,  il  se  dirige  toujours 
vers  la  portion  qui  est  dans  l'état  négatif,  et  il  est  nu!  dans 
le  point  qui  est  à  égale  distance  de  deux  nœuds  consécutifs. 
Les  rapports  qui  existent  alors  entre  les  températures  se 
conservent  pendant  toute  la  durée  du  refroidissement,  et 
ces  températures  varient  ensemble  très-rapidement  propor- 
tionnellement aux  puissances  successives  de  la  fraction 


-/.    -i^l 


Si  l'on  donne  successivement  à  i  les  valeurs  o ,  1,2,  3,4,  etc. 
on  connaîtra  tous  les  états  réguliers  et  élémentaires  que  la 
chaleur  peut  affecter  pendant  qu'elle  se  propage  dans  un 
anneau  solide.  Lorsqu'un  de  ces  modes  simples  est  une  fois 
établi,  il  se  conserve  de  lui-même  ;  et  les  rapports  qui  existaient 
entre  les  températures  ne  changent  point;  mais  quels  que 
soient  ces  rapports  primitifs  et  de  quelque  manière  que 
l'anneau  ait  été  échauffé  ;  le  mouvement  de  la  chaleiu'  se 
décompose  de  lui-même  en  plusieurs  mouvements  simples, 
pareils  à  ceux  que  nous  venons  de  décrire,  et  qui  s'accom- 
plissent tous  à-la-fois  sans  se  troubler.  Dans  chacun  de  ces  > 
états  la  tempéi'ature  est  proportionnelle  au  sinus  d'un  cer- 
tain multiple  de  la  distance  à  un  point  fixe.  La  somme  de 
toutes  ces  températures  partielles,  prises  pour  un  seul  point 
dans  un  même  instant ,  est  la  température  actuelle  de  ce 
point.  Or,  les  parties  qui  composent  cette  somme  décrois- 
se 


3G 


a82  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

sent  beaucoup  plus  rapidement  les  unes  que  les  autres.  Il 
en  résulte  que  ces  états  élémentaires  de  l'anneau  qui  corres- 
pondent aux  différentes  valeurs  de  i,  et  dont  la  superposition 
détermine  le  mouvement  total  de  la  chaleur,  disparaissent  en 
quelque  sorte  les  uns  après  les  autres.  Ils  cessent  bientôt 
d'avoir  une  influence  sensible  sur  la  valeur  de  la  tempéra- 
ture, et  laissent  subsister  seul  le  premier  d'entre  eux  pour 
lequel  la  valeur  de  i  est  la  moindre  de  toutes.  On  se  formera 
de  cette  manière  une  idée  exacte  de  la  loi  suivant  laquelle 
la  chaleur  se  distribue  dans  une  armille,et  se  dissipe  par  sa 
surfiice.  L'état  de  l'armille  devient  de  plus  en  plus  symé- 
ti'ique;  il  ne  tarde  point  à  se  confondre  avec  celui  vers 
lequel  il  a  une  tendance  naturelle,  et  qui  consiste  en  ce  que 
les  températures  des  différents  points  doivent  être  propor- 
tionnels aux  sinus  d'un  même  multiple  de  l'arc  qui  mesure 
la  distance  à  l'origine.  La  disposition  initiale  n'apporte 
aucun  changement  à  ces  résultats. 

SECTION  IL 

De  la  communication  de  la  chaleur  entre  des  masses 

disjointes. 

247. 
Nous  avons  maintenant  à  faire  remarquer  la  conformité 
de  l'analyse  précédente  avec  celle  que  l'on  doit  employer 
pour  déterminer  les  lois  de  la  propagation  de  la  chaleur 
entre  des  masses  disjointes;  nous  arriverons  ainsi  à  une 
seconde  solution  de  la  question  du  mouvement  de  la  chaleur 
dans  une  armille.  La  comparaison  de  deux  résultats  fera 


CHAPITRE  IIL  283 

connaître  les  véritables  fondements  de  la  méthode  que  nous 
avons  suivie,  pour  intégrer  les  équations  de  la  propagation 
de  la  chaleur  dans  les  corps  continus.  Nous  examinerons  en 
premier  lieu  un  cas  extrêmement  simple,  qui  est  celui  de  la 
communication  de  la  chaleur  entre  deux  masses  égales. 

Supposons  que  deux  masses  cubiques  m  et  n  d'égale 
dimension  et  de  même  matière  soient  inégalement  échauffées; 
que  leurs  températures  respectives  soient  a  et  b ,  et  cpielles 
soient  d'une  conducibihté  infinie.  Si  l'on  mettait  ces  deux 
corps  en  contact,  la  température  deviendrait  subitement 
égale  dans  l'une  et  l'autre  à  la  tempéi^ature  moyenne  7  {a  +  h). 
Supposons  que  les  deux  masses  soient  séparées  par  un  très- 
petit  intervalle,  qu'une  tranche  infiniment  petite  du  premier 
corps  s'en  détache  pour  se  joindre  au  second,  et  qu'elle 
retourne  au  premier  immédiatement  après  le  contact.  En 
continuant  ainsi  de  se  porter  alternativement ,  et  dans  des 
temps  égaux  et  infiniment  petits,  de  l'une  des  masses  à 
l'autre,  la  tranche  interposée  foit  passer  successivement  la 
chaleur  du  corps  le  plus  échauffé  dans  celui  qui  l'est  moins  ; 
il  s'agit  de  déterminer  quelle  serait,  après  un  temps  donné, 
la  température  de  chaque  coi'ps ,  s'ils  ne  perdaient  par  leur 
surfiice  aucune  partie  de  la  chaleur  qu'ils  contiennent.  On 
ne  suppose  point  que  la  transmission  de  la  chaleur  dans  les 
corps  solides  continus  s'opère  d'une  manière  semblable  à 
celle  que  l'on  vient  de  décrire  :  on  veut  seulement  déter- 
miner par  le  calcul  le  résultat  d'une  telle  hypothèse. 

Chacune  des  deux  masses  jouissant  d'une  conducibihté 
parfaite ,  la  quantité  de  chaleur  contenue  dans  la  tranche 
infiniment  petite,  s'ajoute  subitement  à  celle  du  corps  avec 
lequel  elle  est  en  contact;  et  il  en  résulte  une  température 

36. 


û84  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

commune  égale  au  quotient  de  la  somme  des  quantités  de 
chaleur  par  la  somme  des  masses.  Soit  w  la  masse  de  la 
ti'anche  infiniment  petite  qui  se  sépare  du  corps  le  plus 
échauffé  dont  la  température  est  a;  soient  a  et  p  les  tem- 
pératures variables  qui  correspondent  au  temps  t ,  et  qui 
ont  pour  valeurs  initiales  a  et  h.  Lorsque  la  tranche  to  se 
sépare  de  la  masse  m  qui  devient  ni  —  to,  elle  a  comme  cette 
masse  la  température  a  ,  et  dès  qu'elle  touche  le  second 
corps  affecté  de  la  température  p ,  elle  prend  en  même  temps 

que  lui  une  température  égale  à  — ^  _  •  La  tranche  w  re- 
tenant cette  dernière  température,  retourne  au  premier 
corps  dont  la  masse  est  m  —  w  et  la  température  a.  On  trou- 
A  era  donc  pour  la  température  après  le  second  contact 

^  '      V  /?«  +  "  y     ou — . 

__ — . m  -\-  w 

m 

Les  températures  variables  a  et  p  deviennent ,  après  l'in- 
stant d  t ,  a  +  (a  —  p)  ^  et  p  +  (a  —  p)  ^;  on  trouve 
ces  valeurs  en  supprimant  les  puissances  supérieures  de  w. 
On  a  ainsi  rf  a  =  —  (a  —  p)  -  et  c?  p  =  (  a  —  P  )  — 5  ^^  masse 

qui  avait  la  température  initiale  p  a  reçu,  dans  un  instant, 
une  quantité  de  chaleur  égale  à  m  rf  p  ou  (  a  —  p  )  w ,  laquelle 
a  été  perdue  dans  le  même  temps  par  la  premièie  masse. 
On  voit  par-là  que  la  quantité  de  chaleur  qui  passe  en  im 
instant  du  corps  plus  échauffé  dans  celui  qui  l'est  moins, 
est,  toutes  choses  d'ailleurs  égales,  proportionnelle  à  la 
différence  actuelle  des  températures  de  ces  deux  corps.  Le 


CHAPITRE  IV.  a85 

temps  étant  divisé  en  intervalles  égaux,  la  quantité  infini- 
ment petite  fc)  pourra  être  remplacée  par  k  d  t ,  k  étant  le 
nombre  des  unités  de  masse  dont  la  somme  contient  co  au- 
tant de  fois  que  l'unité  de  temps  contient  d  t ,  en  sorte  que 

l'on  a  —  =  -T-.  On  obtient  ainsi  les  équations 

<7a  =  —  (a  —  fi)  -  r/  Z'  et  de  (^  S  =  (  a  —  <{.)-  d  t. 

248. 

Si  l'on  attribuait  une  plus  grande  valeur  au  volume  w  qui 
sert,  pour  ainsi  dire,  à  puiser  la  chaleur  de  fun  des  corps 
pour  la  porter  à  l'autre,  la  transmission  serait  plus  prompte; 
il  faudrait,  pour  exprimer  cette  condition  augmenter  dans 
la  même  raison  la  valeur  de  K  qui  entre  dans  les  équations. 
On  pom^rait  aussi  conserver  la  valeur  de  w  et  supposer  que 
cette  tranche  accomplit  dans  un  temps  donné  un  plus  grand 
nombre  d'oscillations,  ce  qui  serait  encore  indiqué  par  une 
plus  grande  valeur  de  K.  Ainsi  ce  coefficient  représente  en 
quelque  sorte  la  vitesse  de  la  transmission,  ou  la  ficilité 
avec  laquelle  la  chaleur  passe  de  l'un  des  corps  dans  l'autre , 
c'est-à-dire  leur  conducibilité  réciproque. 

249. 

En  ajoutant  les  deux  équations  précédentes  ,  on  a 
^  a  +  f/  p  =  o ,  et  si  l'on  reti\anche  l'une  des  équations  de 

l'autre ,  on  a  r/  a  —  r/  8  +  2  (  a  —  Ê  )  -  r/  /^  =  o  ,  et ,   faisant 

a  —  p  =  J)'j>  (^ y  +  2  ~  J'  d  t=^o.  Intégrant  et  déterminant 
la    constante  par  la  condition  c|ue    la   valeur  initiale    soit 

K 

a  —  b ,  on  a  j  =  (  a  —  b)  e     ^  '«    .  La  différence  y  des  tem- 


286  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

përaturcs    diminue    donc    comme   l'ordonnée    d'une    loga- 
rithmique, ou  comme  les  puissances  successives  de  la  frac- 

K 

tion  e       '«.  On  a  pour  les  valeurs  de  a  et  p 

K  ,K 

200. 

On  suppose,  dans  le  cas  qui  précède,  que  la  masse  infi- 
niment petite  fc) ,  au  moyen  de  laquelle  s'opère  la  transmis- 
sion,  est  toujours  la  même  partie  de  l'unité  de  masse,  ou, 
ce  qui  est  la  même  chose ,  que  le  coefficient  K  qui  mesure 
la  conducibilité  réciproque  est  une  quantité  constante.  Pour 
rendre  la  recherche  dont  il  s'agit  plus  générale,  il  faudrait 
considérer  le  coefficient  K  comme  une  fonction  de  deux 
températures   actuelles   a  et    p.    On    aurait   alors  les  deux 

K  K 

équations  r/a  =  —  (a  —  fj)  --  d  t ,     et<^,â=(a  —  ^)  —  d t , 

dans  lesquelles  K  serait  égal  à  la  fonction  de  a  et  p ,  que 
nous  désignons  par  9  (a,  p).  Il  sera  facile  de  connaître  la  loi 
que  suivent  les  températures  variables  a  et  .8  lorsqu'elles 
approchent  extrêmement  de  leur  dernier  état.  Soit  y  une 
nouvelle  indéterminée  égale  à  la  différence  entre  a  et  la 
dernière  valeur  qui  est  7  {a  -\-  b)  on  c.  Soit  z  une  seconde 
indéterminée  égale  à  la  différence  c  —  p.  On  substituera  au 
lieu  de  a,  et  p  leurs  valeurs  c  — j  et  c  —  z;  et,  comme  il 
s'agit  de  trouver  les  valeurs  de  r  et  de  :;,  lorsqu'on  les  sup- 
pose très-petites ,  on  ne  doit  retenir  dans  les  résultats  des 
substitutions  que  la  première  puissance  de  y  et  de  z.  On 
trouvera  donc  les  deux  équations 


CHAPITRE  III.  287 

.dj=  —  {z~-f)-,  (c—y,  c—z)dt  et  — rfz=-(r,— j)  9(c— j,  c—z)  dt, 


en  développant  les  quantite's  qui  sont  sous  le  signe  9  et 
omettant  les  puissances  supérieures  de  y  et  de  z.  On  trou- 
vera dy=^[z — >•)  —  (^.d.t  et  dz=:  —  {z — j)  —  r^.dt.  La  quan- 
tité 9  étant  constante  ,  il  s'ensuit  que  les  équations  précé- 
dentes donneront  pour  la  valeur  de  la  différence  z — j,  un 
résultat  semblable  à  celui  que  l'on  a  trouvé  plus  haut  pour 
la  valeur  de  a  —  p. 

On  en  conclut  que  si  le  coefficient  K ,  cpie  l'on  avait 
d'abord  supposé  constant ,  était  représenté  par  une  fonction 
quelconque  des  températures  variables ,  les  derniers  chan- 
gements c[u'éprouvent  ces  températures ,  pendant  un  temps 
infini,  seraient  encore  assujéties  à  la  même  loi  que  si  la 
conducibilité  réciproque  était  constante.  Il  s'agit  actuelle- 
ment de  déterminer  les  lois  de  la  propagation  de  la  chaleur 
dans  un  nombre  indéfini  de  masses  égales  c[ui  ont  actuelle- 
ment des  températures  différentes. 

25 1. 

On  suppose  que  des  masses  prismatiques  en  nombre  n ,  et 
dont  chacune  est  égale  à  ju,  sont  rangées  sur  une  même  ligne 
droite,  et  affectées  de  températures  différentes  a,  h,  c,  d,  etc.  ; 
que  des  tranches  infiniment  petites  cjui  ont  chacune  la  masse 
w  se  séparent  de  ces  différents  corps  excepté  du  dernier ,  et 
se  portent  en  même  temps  du  premier  au  second ,  du  second 
au  troisième ,  du  troisième  au  quatrième ,  ainsi  de  suite  ; 
cju'aussitôt  après  le  contact  ces  mêmes  tranches  retournent 
aux  masses  dont  elles  s'étaient  séparées  ;  ce  double  mouve- 
ment ayant  lieu  autant  de  fois  qu'il  y  a  d'instants  infiniment 


288  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

petits  clt;  on  demande  à  quelle  loi  sont  assujetis  les  chan- 
gements de  température. 

Soient  a,  p,  y,  ^....  w  les  valeurs  variables  qui  correspon- 
dent au  même  temps  t ,  et  qui  ont  succédé  aux  valeurs 
initiales  a,  h ,  c,  cl,  etc.  Lorsque  les  tranches  co  se  seront 
séparées  des  n — t  premières  masses,  et  mises  en  contact 
avec  les  masses  voisines ,  il  est  aisé  de  voir  cjue  les  tempé- 
ratures seront  devenues 

«(/«  —  (o)     p(w- — (o)4-aw      y(w  —  w)+pM    ^  {in — wj+yw        w7w  +  ({/w 
m  ''  m  m.  m  -\-  ta 


CU«,  P  +  («  — p)£,y  +  (p_y)£,ô^  +  (y_à^)^,a>H-(^l— c;.)^. 


Lorsque  les  tranches  w  seront  revenues  à  leurs  premières 
places,  on  trouvera  les  valeurs  des  nouvelles  températures 
en  suivant  la  même  règle  qui  consiste  à  diviser  la  somme 
des  quantités  de  chaleur  par  la  somme  des  masses,  et  l'on 
aura  pour  les  valeurs  de  «,  jî,  y,  ^,  etc.  après  l'instant  dû 

le  coefficient  de  —  est  la  différence  de  deux  différences  con-  - 

sécutives  prises  dans  la  suite  a,  |3,y...  i]^,  w.  Quant  au  premier 

et  au  dernier  coefficient  de  -^  ils   peuvent    être    considérés 

aussi  comme  des  différences  du  second  ordre.  Il  suffit  de 
supposer  que  le  terme  a  est  précédé  d'un  terme  égal  à  a,  et 
que  le  terme  w  est  suivi  d'un  terme  égal  à  h.  On  aura  donc, 


CHAPITRE  IV.  289 

en  substituant,  comme  précédemment  kdt  à  (o,les  e'qua- 
tions  suivantes  : 

^a=;^//^((P-«)-(a-a)) 

Pour  intégrer  ces  équations,  on  fera,  suivant  la  méthode 
connue,  .  ,  ■ 

a=«,e'"    p  =  a,e'"    y=rt'3e'"...   w  =  <7„e^';    /?,  ^.,  (7,,  «^3,  <7„, 

étant  des  quantités  constantes  qu'il  faudra  déterminer.  Les 
substitutions  étant  faites ,  on  aura  les  équations  suivantes  : 

rt, /?=  —  (' <7.  —  a  A 

a,  h  =  ^^  ((rtj — a,)  —  (a,  —  a,  )) 

«3  /i  =  -  ((«4 — ^3) — («3 — «0) 

«„  /?  ^  -  ((^f„  +  ,— «„)  —  («.— <7„_.)) 

Si  l'on  regarde  a,  comme  une  quantité  connue,  on  trouvera 
l'expression  de  a,  en  «,  et  h ,  puis  celle  de  a^  en  a,  et  A,* 


ûQO  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

il  en  est  de  même  de  toutes  les  autres  indéterminées  a^  a^ ,  etc. 
La  première  et  la  dernière  équations  peuvent  être  écrites 
sous  cette  forme 


et 


'''°   ^^  =   m     1   («n+:  — «„)  —  («„— «o-O    ] 


en  retenant  ces  deux  conditions  a,:^a,  et  <7„=«„^.,,  la 
valeur  de  <7,  contiendra  la  première  puissance  de  h,  la  valeur 
de  «3  contiendra  la  seconde  puissance  de  h,  ainsi  de  suite 
jusqu'à  <7„+,  qui  contiendra  la  puissance  n''"^'  de  h.  Cela 
posé,  «„+,  devant  être  égal  à  «„,  on  aura,  pour  déter- 
miner h ,  une  équation  du  7î'*"°'  degré ,  et  a  demeurera  indé- 
terminé. 

Il  suit  de  là  que  l'on  pourra  trouver  pour  h  un  nombre  n 
de  valeurs ,  et  que  d'après  la  nature  des  équations  linéaires 
la  valeur  générale  de  a  sera  composée  d'un  nombre  n  de 
termes,  en  sorte  que  les  quantités  a,  (i ,  y,  etc.  seront  déter- 
minées au  moyen  des  équations 

ht        ,   h't        „   h"t 
a  =  rt,  e    +(2,  e     +  rt.  e      +  etc. 

ht  ,     h't  „     h"t 

[i  =  «,d    +  a,  e     +«5  e     +  etc. 

ht        ,   h't         „   h't 
■^=ia^e    +<Vj  e     +  a^  e     +  etc. 

lit  ,    h't  „    h"t 

t,j=rt„  e    +  rt„  e     +  a„  e     +  etc. 

les  valeurs  h  lî  K ,  etc.  sont  en  nombre  n  et  égales  aux  ii 
racines   de  l'équation  algébrique  du  «"""  degré  en  h,  qui 


CHAPITRE  IV.  291 

a ,  comme  on  le  verra  plus  bas  ,  toutes  ses  racines  réelles. 
Les  coefficients  de  la  première  équation  a,  aj  a"  a"\  etc. 
sont  arbitraires  ;  quant  aux  coefficients  des  lignes  inférieures, 
ils  sont  déterminés  par  un  nombre  n  de  systèmes  d'écjua- 
tions  semblables  aux  équations  précédentes.  Il  s'agit  main- 
tenant de  former  ces  équations. 

200. 

Ecrivant  la  letti'c  q  au  lieu  de  —7-,  on  aura  les  équations 
suivantes  : 


o„+,  =  a,(g  +  2)  —  a. 

On  voit  que  ces  cpiantités  appartiennent  à  une  série 
récurrente  dont  l'échelle  de  relation  a  les  deux  termes 
(q  +  2.)  et  —  i.  On  pourra  donc  exprimer  le  terme  général 
a^  par  l'équation  <7^  =  A  sin.  mu  -+■  Bsin.  /n —  i  u ,  en  déter- 
minant convenablement  les  quantités  A,  B  et  u.  On  trouvera 
d'abord  A  et  B,  en  supposant  ?n  égal  à  o  et  ensuite  égal  à 
I,  ce  qui  donne  a^  =  Bs'm.u ,  et  a,^Asin.«,  et  parconsé- 


quent  a,.  =  a, sin. mu r-^—  sin.  ni —  i  u.    En  substituant 

'■  sin.  M 

ensuite  les  valeurs  de  r/„  «„_,  «„_,,   etc.    dans   l'équation 
générale  ar^^a^_^{q  -\-  1)  —  «„_,  ;  on  trouvera 

sm.mu  =  {q  ■\-i)&m.{m — i)u  —  sin  (to  —  2) m, 

37. 


292  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

en  comparant  cette  équation  à  celle-ci 


sm.  m  11  =  2 COS. u  sui. m  —  i  u  —  sui. ?}i  —  2U, 

qui  exprime  une  proprie'të  connue  de  sinus  d'arcs  croissants 
en  progression  arithme'tique,  on  en  conclut  q  +  2:=:cos.  ii, 
ou  q  =  —  2  sin.  vers,  u  ;  il  ne  reste  plus  qu'à  déterminer 
la  valeur  de  l'arc  u. 

La  valeur  ge'ne'rale  de  a^  e'tant 


sin 


—  Tsin.  m  u  —  sin.  rn  —  i  uj 


on  aura,  pour  satisfaire  à  la  condition  a„^,  =  ^„,  l'équation 
sin.  n  +  i  u  —  sin.  u  =  sin.  «  u  —  sin.  n  —  i  u, 

d'où  l'on  tire  sin.  n  u  =  o.  ou  u  =z  i  -  -r:  étant  la  demi-cir- 

n 

conférence    et   i  un   nombre   entier    cpielconque ,    tel   que 
o,  1,2,3,  4--"  "  —  I  ;  on  en  peut  déduire  les  n  valeurs  de 

g  ou  -yT-  ■  Ainsi  toutes  les  racines  de  l'équation  en  h ,   qui 

donnent  les  valeurs  de  h  h  h'  h'"  sont  réelles  négatives  et 


D' 


fournies  par  les  équations  : 

k 

m 
k 


h  =  —  2  —  sin.  V  To  -  ) 

A'  =  — 2-sin.  V  fi-") 

}i-=  —  2  —  sin.  V   l  2  -  ) 
m  \    'i  y 

//"-^)=_2^sin.  V  r;r="i") 

Supposons  donc  qu'on  ait  divisé  la  demi- circonférence  -k 


CHAPITRE  IV.  293 

en  un  nombre  71  de  parties  égales,  et  que  Ion  prenne  pour 
former  l'arc  u  un  noml^re  entier  i  de  ces  parties ,  i  étant 
moindre  que  // ,  on  satisfera  aux  équations  différentielles 
en  choisissant  pour  a  uue  quantité  quelconrpie,  et  faisant 


2-1  SU).  \  U  ■  ■  \f..,    V 


t  iVA.   V  II 


/sin.  Il  —  sin.  o  it\ 

K  =  a,  ( : )  e 

\  sin. u  J 

fi  =  cf,  ( ■■ )  e  ,,  '« 4;  :^J<;q  ■- 

/sin.3?i  —  sln.2;/\ 

Y  =  r/ ,  ( : )  e 


'sin.  3  ?i  —  sin.  2  ;/\      —  2  -  ^  sin.  A  « 


t  siu.  V  «  [  ;.^ 


.'(•                                /sin.««  —  sin.  «  —  I  «\      — 2  -  i*  siu.  V 
to  =  r^  (  : ]e    ■     m 

Comme  il  y  a  un  nombre  n  d'arcs  différents   que   l'on 

peut  prendre  pour  u ,  savoir  o  -  ,  i  -  ,  2  -  .  .  .  n  —  i  - .  11  y  a 

aussi  un  nombre  n  de  systèmes  de  valeurs  particulières 
pour  «,  p,  y,  l^  etc.  et  les  valeurs  générales  de  ces  variables 
sont  les  sommes  des  valeurs  particulières.  ,       .      '     ',    '. 

21)4. 
On  voit  d'abord  que  si  Tare  u  est  nul,  les  quantités  qui 
multiplient  a^  dans  les  valeurs  de  a,  p,  y,  §,  etc.  deviennent 

,      ,        ,    ,,       .    /  sin.zt, —  sm.ou  , 

toutes  égales  a  1  unité,  car -. —   a    pour    valeur     i 

°  '  sin.«  *■ 

lorsque  1  arc  u  est  nul  ;  et  il  en  est  de  même  des  quantités 
qui  se  trouvent  dans  les  équations  suivantes.  On  conclut  de 
là  qu'il  doit  entrer  dans  les  valeurs  générales  de  a,  p,  y,  â'...» 
des  termes  constants. 


294  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

De  plus,  en  ajoutant  toutes  les  valeurs  particulières  cor- 
respondantes de  a,  p,Y. . .  etc.,  on  aura 

équation  dont  le  second  membre  se  réduit  à  o  toutes  les 
fois  que  l'arc  u  n'est  pas  nul  ;  mais  dans  ce  cas  on  trouvera 

ji  pour  la  valeur  de  -^ On  a  donc  en  général 


a  +  P4-Y  +  â  +  ...  etc.  =  71  a, ; 

or  les  valeurs  initiales  des  variables  étant  a,  b,  c,d.  . .  etc. , 
il  est  nécessaire  que  l'on  ait  «  a,  =  a  +  b+c-{-d-\-  etc.;  il 
en  résulte  que  le  terme  constant  qui  doit  entrer  dans  chacune 
des  valeurs  générales  de 

«^p,y,§...  iùesX.-{a  +  b  +  c  +  d  +  etc. ) , 

c'est-à-dire ,  la  température  moyenne  entre  toutes  les  tempé- 
ratures initiales. 

Quant  aux  valeurs  générales  de  a,  p, y  •  •  w,  elles  sont  ex- 
primées par  les  équations  suivantes  : 

k 

1    ,  ,  ^  /'sxn.u  —  sin.o?<N     — 2 — ?sin.V.K 


a=—  {a  +  b  +  c  +  etc.)  +  a,  ( - 


sin.  u  / 


*  /• 

,    sin.  «' — ?,m.o.u'     — 2— ?sin.  V.«' 

+  b, : ; e  m 

'  sin.  u 

sxn.u" — sin.o.?<"     — 2— îsln.  V.?t"    .      . 

_j_  c, : Q        '»■  +  etc. 

sin.  M 


CHAPITRE  IV.  .    295 

I    ,  7  ^     V  /sin.aH  —  siu.u\    — 2— ^sin.  Vm 

9,=:  —  (a  +  o  +  c  +  etc.)  +  aA ^ )c       m 

'^         n  ^  ^  \  S'il-  '<  / 

7    /sin.  2«' — siu.u'\ 

+   l^J   : -, 

V  siii.  a  J 

/siii.2H"  —  sin. /i"  \     — 2  — ^sin.Vw" 

+  C        r—r, )  e  /«  +   CtC 

'  V  sin.  Xi  J 


-2  '   ?siii.  v  a 
\e        "' 


I    .           ,                        .             /sin.Szt  —  ûx\.u\     — 2— /sin-V/t 
âz=  — (<^  + ^  +  c  +  etc.)  +  «,    : e        ni. 

7    sin.3«'- — sin.  2«'     — 2  — ^sin.V«" 
+  Z», ^ ; e  "i 

SlU.  u 

s'in.'iu"  —  sin.3«"  ^    .    ■      t-    ■/ 
— 2~tsin.\ii 

+  C,  sin.  u"  e        '«  +  etc. 


X-      . 


I    ,           ,                        ^            sin.«« — sin.w — i.u    — 2— ?sin.\/t 
(0^  —  (a  +  b  +  c  +  etc.)  +  a, -. e        m 

n  ^  '  sin.  u 

/      . 


7    &\n.ni(! — sin.« —  \  .u'     — 2  — ;"  sin.  Vit' 
+  ^x -^TT' ^ 


h 


sin.«?<"  —  sin.  72 — \  .ii'      — 2  — <^sin.  V«" 

+  C, ^ — 7, e       m  +  etc. 

255. 
Pour  déterminer  les  constantes  <?,  h,  i\  d,. .  .  etc. ,  il  faut 
considérer  l'état  initial  du  système.  En  effet,  lorsque  le 
temps  est  nul  les  valeurs  de  a,  p,  y,  ^.  .  .  etc.,  doivent  être 
égales  à  a,  h,  c,  d  etc.  ;  on  aura  donc  n  équations  semblables 
pour  déterminer  les  n  constantes.  Les  quantités 

sin.  Il  —  sin.  o  u ,  sin.2?i  —  sin.i^^  sin.  3  u — sin.  2«, . .  . 

sin. /i?i  —  sin.  n  —  i.u, 


296  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

peuvent  être  indiquées  de  cette  manière, 


A  sin.  o  u,  Asin.  u,  Asin.  2«,  Asin.  Zu,  Asin4«---  A  sin.  n — i  u; 

les  équations  propres  à  déterminer  les  constantes  sont,  en 
représentant  par  c  la  température  moyenne  initiale, 

a  =  c-\-a,  +  h,-\-c,  +  etc. 

,  A  sin. /<         7     âsin.Zi'  A  sin.  ?<" 

b=c-{-a,  —. +  b,  — : r-  +  c,     .  +  etc. 

sm.  «  sm.u  sm.u 

Asin.  2?f        7    Asin.  2/<'  A  sin.  2  «" 

C  =  C  +  flj  — : 1-  y,  — : —  +  C,  — : j, — h  etc. 

sin.  u  sin.  u  sin.  u 

7  Asin.3i<        j   Asin.3?<'  A  sin.  3  ?i" 

a= c  -\-  a,  — ^ h  i»,  — : ; — \-  c,  — ■. h  etc. 

sin.  «  sin.u  sin.it 

etc. 

Les  quantités  a,  h,  c,  d,  et  c  étant  déterminées  par  ces 
équations ,  on  connaît  entièrement  les  valeurs  des  variables 
a.,  P,  ^,  ^•-  w. 

On  peut  effectuer  en  général  l'élimination  des  inconnues 
dans  ces  équations ,  et  déterminer  les  valeurs  des  quantités 
<7,  h,  c,  r/,  etc. ,  même  lorsque  le  nombre  des  équations  est 
infini  ;  on  emploiera  ce  procédé  d'élimination  dans  les  articles 
suivants. 

256. 

En  examinant  les  équations  qui  donnent  les  valeurs  gé- 
nérales des  vai'iables  a,  p^  y...  w,  on  voit  que  le  temps 
venant  à  augmenter  les  termes  qui  se  succèdent  dans  la 
valeur  de  chaque  variable  décroissent  très-inégalement  :  car 
les  valeurs  de  u,  u,  u,  u" ,  etc.  étant 

I .-,  2.-,    0.-,  4.-,  etc., 

n  n  «  '    ^    /i  '  ' 


CHAPITRE   IV.  297 

les  exposants  sin.Vif,  siii.  V//',  sin.  Vu,  sin.  V  u'\etc.  devien- 
nent de  plus  en  plus  grands.  Si  l'on  suppose  que  le  temps  t  est 
infini ,  le  premier  terme  de  chaque  valeur  subsiste  seul ,  et 
la  température  de  chacune  des  masses  devient  égale  à   la 

tempe'rature  moyenne  -  ((7  +  Z'  +  c  +  ...  etc.).  Lorsque  le 

temps  t  augmente  continuellement  chacun  des  termes  de  la 
valeur  d'une  des  variables,  diminue  proportionnellement 
aux  puissances  successives  d'une  fraction  qui  est,  pour  le 

j   ^                 — 2—  sin.  V  ic                  I     ^      •   ■>           4. 
second  terme  e        m  ,  pour  le  troisième  terme 


e  '"  '  ,  ainsi  de  suite.  La  plus  grande  de  ces  frac- 
tions étant  celle  qui  répond  à  la  moindre  des  valeurs  de  ii, 
il  s'ensuit  que,  pour  connaître  la  loi  cpie  suivent  les  der- 
niers changements  de  température,  on  ne  doit  considérer 
que  les  deux  premiers  termes  :  car  tous  les  autres  devien- 
nent incomparablement  plus  petits  à  mesui'e  que  le  temps  û 
augmente.  Les  dernières  variations  de  température  a,  fi,  y,  ^ , 
etc. ,  sont  donc  exprimées  par  les  équations  suivantes  : 

X  ■         -.r 

1/  j  7  s  /sin.;<  —  sin.  o.ziA     — 2 — ^sin.  \  .u 

=  -(a  +  ù  +  c+a,elc.)  +  aA ■. ]e       m 

"^  \  sin.  u  J 

k       .     ,, 
—  2 —  ;;  sin.  V  .H 
m 

-î  •  .  /-         .      „ 

n.Sii  —  &iï\.iu\    — 2—  ^sin.  V.?< 
m 


n^  \  sin.  H 

i,  J       ■  7      ^     \  /sin.  2K  —  sin.  z^  \ 

^=-(a-^b  +  c  +  d,elc.)  +  aA  -. ]e 

n^  ■'  \  s\n.  Il  J 

y  =  ^^(a  +  è  +  C  +  f/,  etc.)  +  <7/— 


sin.  IL 

etc. 


257. 
Si  l'on  divise  la  demi-circonférence  en  un  nombre  //  de 
parties  égales,  et  qu'ayant  abaissé  les  sinus,  on  pi'eune  les 

38 


■2gS  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

différences  entre  deux  sinus  consécutifs  ;  ces  n  différences 

seront  proportionnelles  aux  coefficients  de  e  '«  "  ou 
aux  seconds  termes  des  valeurs  de  a,  p,y. ..  oj.  C'est  pourquoi 
les  dernières  valeurs  de  a,p,y.  .  .  w  sont  telles  que  les  diffé- 
rences   entre   ces    températures  finales   et   la   température 

moyenne  initiale  -(a+  b  +  c  -+-  etc.)  sont  toujours  propor- 
tionnelles avix  différences  des  sinus  consécutifs.  De  quelque 
manière  que  les  masses  aient  d'abord  été  échauffées ,  la  dis- 
tribution de  la  chaleur  s'opère  à  la  fin  suivant  une  loi  con- 
stante. Si  l'on  mesurait  les  températures  dans  les  derniers 
instants,  où  elles  diffèrent  peu  de  la  température  moyenne, 
on  observerait  que  la  différence  entre  la  température  d'une 
masse  quelconque  et  cette  températui'e  moyenne,  décroît 
continuellement  comme  les  puissances  successives  de  la 
même  fraction;  et,  en  comparant  entre  elles  les  températures 
des  différentes  masses  prises  pour  mi  même  instant,  on  ver- 
rait que  ces  différences  entre  les  températures  actuelles  et 
la  température  moyenne,  sont  proportionnelles  aux  diffé- 
rences des  sinus  consécutifs,  la  demi-circonférence  étant 
divisée  en  un  nombre  n  de  parties  égales. 

258. 
Si  Ion  suppose  que  les  masses  qui  se  communiquent  la 
chaleur  sont  en  nombre  infini ,  on  trouve  pour  l'arc  ii  une 
valeur  infiniment  petite;  alors  les  différences  des  sinus  con- 
sécutifs, prises  dans  le  cercle,  sont   proportionnelles  aux 


sin.  m  u  —  sin.  m  —  i  .  u 


cosinus  des   arcs  correspondants  :  car 

équivaut  à  cos.  mu,  lorsque  l'arc  u  est  infiniment  petit. 


CHAPITRE  IV.  ^99 

Dans  ce  cas,  les  quantités  dont  les  températures  prises  au 
même  instant,  diffèrent  de  la  température  moyenne  à  la- 
quelle elles  doivent  toutes  parvenir ,  sont  proportionnelles 
aux  cosinus  qui  correspondent  aux  différents  points  de  la 
circonférence  divisée  en  une  infinité  de  parties  égales.  Si  les 
masses  qui  se  transmettent  la  chaleur  sont  situées  à  distances 
égales  les  unes  des  autres  sur  le  périmètre  de  la  demi-cir- 
conférence t: ,  le  cosinus  de  l'arc  à  lextrémité  duquel  une 
masse  quelconque  est  placée ,  est  la  mesure  de  la  quantité 
dont  la  température  de  cette  masse  diffère  encore  de  la  tem- 
pérature moyenne.  Ainsi  le  corps  placé  au  milieu  de  tous  les 
autres  est  celui  qui  parvient  le  plus  promptement  à  cette 
température  moyenne;  ceux  qui  se  trouvent  situés  d'un 
même  côté  du  milieu  ont  tous  une  température  excédente, 
et  qui  surpasse  d'autant  plus  la  température  moyenne,  qu'ils 
sont  plus  éloignés  du  milieu  ;  les  corps  qui  sont  placés  de 
l'autre  côté,  ont  tous  une  température  moindre  que  la  tem- 
pérature moyenne,  et  ils  s'en  écartent  autant  que  ceux  du 
côté  opposé,  mais  dans  un  sens  contraire.  Eniiu  ces  diffé- 
rences, soit  positives,  soit  négatives,  décroissent  toutes  en 
même  temps,  et  proportionnellement  aux  puissances  succes- 
sives de  la  même  fraction  ;  en  sorte  qu'elles  ne  cessent  pas 
d'être  représentées  au  même  instant  par  les  valeurs  des 
cosinus  d'une  même  demi -circonférence.  Telle  est  en  gé- 
néral, et  si  l'on  en  excepte  les  cas  singuliers,  la  loi  à  laquelle 
sont  assujéties  les  dernières  températures.  L'état  initial  du 
système  ne  change  point  ces  résultats.  Nous  allons  présen- 
tement traiter  une  troisième  question  du  même  genre  c[ue 
les  précédentes,  et  dont  la  solution  nous  fournira  plusieurs 
remarques  utiles. 

38. 


3oo  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

259. 
On  suppose  un  nombre  n  de  masses  prismatiques  égales , 
placées  à  des  distances  égales  sur  la  circonférence  d'un  cer- 
cle. Tous  ces  corps  cjui  jouissent  d'une  conducibilité  par- 
faite, ont  actuellement  des  températures  connues,  diffé- 
rentes pour  chacun  d'eux  ;  ils  ne  laissent  échapper  à  leur 
surface  aucune  partie  de  la  chaleur  qu  ils  contiennent  ;  une 
tranche  infiniment  mince  se  sépare  de  la  première  masse 
pour  se  réunir  à  la  seconde,  qui  est  placée  vei-s  la  droite; 
dans  le  même  temps  une  tranche  parelèle  se  sépare  de  la 
seconde  masse  en  se  portant  de  gauche  à  droite,  et  se  joint 
à  la  troisième  ;  il  en  est  de  même  de  toutes  les  autres  masses , 
de  chacune  desquelles  une  tranche  infiniment  mince  se  sépare 
au  même  instant,  et  se  joint  à  la  masse  suivante.  Enfin,  les 
mêmes  tranches  reviennent  immédiatement  après,  et  se  réu- 
nissent aux  corps  dont  elles  avaient  été  détachées.  On  sup- 
pose que  la  chaleur  se  propage  entre  les  masses  au  moyen 
de  ces  mouvements  alternatifs ,  qui  s'accomplissent  deux  fois 
pendant  chaque  instant  d'une  égale  durée; il  s'agit  de  trouver 
suivant  quelle  loi  les  températures  varient,  c'est-à-dire  que, 
les  valeurs  initiales  des  températures  étant  données,  il  faut 
connaître  après  un  temps  quelconque  la  nouvelle  température 
de  chacune  des  masses. 

On  désignera  par  a.a^a^.  .  .a,.  .  .  «„  les  températures  ini- 
tiales dont  les  valeurs  sont  arbitraires ,  et  par  a,  a, a.....  a,...*, 
les  valeurs  de  ces  mêmes  températui'es  après  le  temps  écoulé 
t.  Il  est  visible  que  chacune  des  quantités  a  est  une  fonction 
du  temps  t  et  de  toutes  les  valeui'S  initiales  a^a^a^.  .  .  a„:  ce 
.sont  ces  fonctions  qu'il  s'agit  de  déterminer. 


CHAPITRE  IV.  3oi 

260. 
On  représentera  par  w  la  masse  infiniment  petite  de  la 
tranche  qui  se  porte  d  un  corps  à  l'autre.  On  remarquera  en 
premier  lieu  que  lorsque  les  tranches  ont  ëtë  séparées  des 
masses  dont  elles  faisaient  partie ,  et  mises  respectivement 
en  contact  avec  les  masses  placées  vers  la  droite ,  les  c[uan- 
tités  de  chaleur  contenue  dans  les  différents  corps  sont 

(?7l — to)  a,  +  co  !X„^(j}l- — w)a, +w  a,,(w — w)  aj  +  w  a,....,  (m — co)a„  +  oja„_, 

en  divisant  chacune  de  ces  quantités  de  chaleur  par  la 
masse  ru ,  on  aura  pour  les  nouvelles  valeurs  des  tempéra- 
tures 


(0     ,  ,  (0     ,  ,  <0     ,  , 

a    H (a,.  —  a,  ),  a,  H (a,  —  aj,  aj  -| (a,  —  ajj 

(  «i  _ , a,  )  et  «„  H (  a„  _  i a„  )  ; 


c'est-à-dire  que ,  pour  trouver  le  nouvel  état  de  la  tempéra- 
ture après   le  premier  contact,  il  faut  ajouter  ta  la  valeur 

qu'elle  avait  auparavant  le  produit  de  —  par   l'excès  de    la 

température  du  corps  dont  la  tranche  s'est  séparée  sur  celle 
du  corps  auquel  s'est  jointe.  On  trouvera ,  par  la  même 
règle ,  que  les  températures ,  après  le  second  contact ,  sont 

a.,  ^ f  a ,  —  «  J  H (  a  3  —  «=  ) 


(0      ,  W  X 

t;.-\ (  a„  —  I  —  a„  )  H (  a  ,  —  a  ,.  )- 


;3oâ  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

Le  temps  étant  divisé  en  instants  égaux,  on  désignera 
par  dt  \a  durée  de  cet  instant,  et  si  l'on  suppose  que  w 
soit  contenu  dans  un  nombre  k  d'unités  de  masse  autant  de 
fois  que  dt  est  contenu  dans  l'unité  de  temps,  on  aura 
(o  =  A-  dt.  En  appelant  da,.  .  .  da..  .  .  da,.  .  .  da..  .  .  dy.„  les 
accroissements  infiniment  petits  que  reçoivent  pendent  l'in- 
stant dt  les  températures  a,,  a^...  a,, a„,  on  aura  les  équations 
ditïérenti elles  suivantes  : 

da,=—  dt  [a„  —  2a,  -4-  a,) 
r/a.  = —  d  t  (a,  —  2  a,  +  «3  ) 

f/a,  =  —  dt  fa,_i  —  2  a,  +  a,j.i) 

da.n—i= —  dt  {^a.,i~-i  —  2a„_i-|-a„) 
</«„  =  —  d t  {a„..i  —  2a„  4-  «n+i) 
261. 

Pour  résoudre  ces  équations,  on  supposera  en  premier 
lieu ,  suivant  la  méthode  connue 

,         ht 

a,  =  y,  e 

,        ht 

«2  =  ^=  e 

,      ht 
«3  =  63  e 

j       ht 

j        ht 


CHAPITRE  IV.  3o3 

Les  quantités  b,h,_b^.  . .  .  b„  sont  des  constantes  indéter- 
minées ,  ainsi  que  l'exposant  h.  Il  est  facile  de  voir  que  ces 
valeurs  de  a^a^a^...a„  satisfont  aux  équations  différentielles, 
si  l'on  a  les  conditions  suivantes  : 

bjl  =  ^{b^-2b^  +  b,) 

^„_,  /?=—   ((^„_o — 2br.-,  +  b„) 
/i  m  1       1         •  \  < 

soit  q=i-j-  ,  on  aura ,  en  commençant  par  la  dernière  équa- 
tion, 

b,  =  b„  {q  +  1)  —  b„_, 

b,  =  b,  {q  +  2.)  —  b„ 
bi  =  b,  {q  -\-2.)~b, 

b.  =  b,_,  {q -h  a)  —  Z',_2 

b„  =  b„_,{q  +  2.)  —  b„_i.-     ■■■■"■ 

Il  en  résulte  que  l'on  peut  prendre  pour  bj>^  b^...  b,...  b,.; 
les  n  sinus  consécutifs  que  l'on  obtient  en  divisant  la  cir- 
conférence entière  2.  t.  en  un  nombre  n  de  parties  égales. 

En  effet ,  en  appelant  u  l'arc.  2  -,  les  quantités 


sin.  ou,  sin.  m,    siii.  2.u,    sin 


.  ou sin.  71  —  là 


3o4  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

qui  sont  en  nombre  ji  appartiennent,  comme  on  le  sait,  à 
une  série  récurrente  dont  l'échelle  de  relation  a  deux  termes , 
savoir  :  2  cos.  u  et  — ^  i  ;  en  sorte  que  l'on  a  toujours  la  con- 
dition sin.  i  «=2  cos.  w.  sin.  {i —  i)  u.  —  sin.  {i — 2)  u.  On 

prendra  donc   pour   h,,  h,,  h, h ^„  les  quantités 

sin.  o?i,  sin.  i  u,  sin.  2  u..  .  sin.  n — i  u  et  l'on  aura  en- 
suite ^7+ 2=2  cos.i^  ou  <7  =  — sin.  V.  (zi)  ou 

h=^  —  2sin.Vr  2-\  On  a  mis  précédemment  la  lettre  q  au 
lieu  de  ~  en  sorte  que  la  valeur  de  h  est  "—  sin.  ^  [~)  ^ 
en  substituant  dans  les  équations  ces  valeui-s  de  h,  et  de  h, 


on  aura 

—  2  —  ^sin.  V  .  2  - 
a,  =  sm.  O.U.e         "t  n 

—  1  —  t  sin.   V  .  2  - 

a,  =  sm.  i  .u.e        '«  7j     . 

—  2—  f  Sin.  V  .2  - 
aj  =  sin.  Q..U.e  m.  n 

k     .     .         ,7         TT 

—  2-  ^sin.  V  .2  -. 
a„=:Sm.7l Î.U.e  ni  „, 

2G2. 

Ces  dernières  équations  ne  fournissent  qu'une  solution 
très-particulière  de  la  question  proposée  :  car  si  l'on  sup- 
pose ^=0,  on  aura,  pour  les  valeurs  initiales  de  a,,a,,a3...a„, 

les  quantités  sin.  ou,  sin.  i  u,  sin.2ff...  sin.ra —  i  u  qui  en 
général  diffèrent  des  valeurs  données  a^,a,,a^.  .  .  a„:  mais 
la  solution  précédente  mérite  d'être  remarquée  parce  qu'elle 
exprime,  comme  on  le  verra  par  la  suite,  une  circonstance 


CHAPITRE   IV.  3o5 

qui  appartient  à  tous   les   cas  possibles,  et  repre'sente  les 
dernières  variations  des  températures.    Ou   voit  par  cette 

solution   que,  si   les  températures  initiales  a.a^a^ a„ 

étaient  pro()ortionnelles  aux  sinus 


sui.  o.a-,  sni.  1.2-,  sin.  a.2-.  . .  .  sin.« — - 1.2-, 

n  n  '  n  il 

elles  demeureraient  continuellement  proportionnelles  à  ces 
mêmes  sinus ,  et  l'on  aurait  les  équations 

^  ^  —  '>^        et      \\=i^—sm.y.i- 

—  ht 

—  ke  ■   •        ^    --■     ' 
«3  =  <23  e 


—  />( 

C'est  pourquoi  si  les  masses  qui  sont  placées  à  distances 
égales  sur  la  circonférence  du  cercle,  avaient  des  tempé- 
ratures initiales  propoi-tionnelles  aux  perpendiculaires 
abaissées  sur  le  diamètre  qui  passe  par  le  premier  point; 
les  températures  varieraient  avec  le  temps  en  tlemeurant 
proportionnelles  à  ces  perpendiculaires  ,  et  ces  tt  mpéra- 
tures  dimiiuieraient  toutes  à-la-fois  comme  les  termes  d'une 
même  progression  géométrique  dont  la  raison  est  la  fraction 

X     .      ,,       r 
—  2  —  sin.  V  .  2  -  . 

e  m  ,1  ,,  ^ 

263.                             '    ^'    ■ 
Pour  former  la  solution  générale,  on  remarquera  en  pre- 
mier lieu  que  l'on  pourrait  prendre  pour  ù^,  ù^,  b^ b„ 

les  n  cosinus  correspondants  aux  points  de  division  de  la 

.     39 


3o6  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

circonférence  partagée  en  un  nombre  n  de  parties  égales. 
Ces  quantités  cos.  ou,  cos.  i  u ,  cos. 2i<...  cos.  n — \u  dans 
lesquelles  u  désigne  l'art,  o.  -  forment  aussi  une  série  récur- 
rente dont  l'échelle  de  relation  a  les  deux  termes  2  cos.  u  et 
—  I, c'est  pourcjuoi  l'on  pourrait  prendre  pour  satisfaire  aux 
équations  différentielles ,  les  équations  suivantes  : 

/■     .     ^, 

—  2  —  ?sin.  V  .M 
aj  =  COS.  O.iie  m 

—  1—  t  sin.  V  .u 
a^  =  COS.  l  .lie  m 

h      .      -, 

—  2—  ?  sin.  V  .u 
aj  =  COS.  a  M  .  e  m 


—  2  —  t  sva,  V  .M 


:COS./i —  i  u.e 


Indépendamment    des    deux   solutions    précédentes  ,  on 
pourrait  choisir  pour  les  valeurs  de  b,  b^  bi....b„\es,  quantités 


sm.o.  ^11,  sm.\.2.u,  sin.  2. 2  w,  sin.  3. 2  m...  sin.  ?i — 1.2.U 
ou  celles-ci , 


cos.  0.2?/;,   cos.i.iu,    C0&.2..IU,   COS.  3. 2  u...  COS.  n — ï.2.11. 

En  effet,  chacune  de  ces  séries  est  récurrente  et  formée  de 
n  termes;  l'échelle  de  relation  a  les  deux  termes  2cos.2«i  et 
—  I  ;  et,  si  l'on  continuait  la  série  au-delà  de  Ji  termes,  on 
en  trouverait  n  autres,  qui  seraient  respectivement  égaux 
aux  n  précédents.  En  général ,  si  l'on  désigne  par  u,  u,  Ui...u,...u„ 

les  arcs  0.2-,  i.  — ,  2— ,3.  —,...(/?- — i) — etc.,  on   pourra 


CHAPITRE   IV.  3o7 

prendre  pour  les  valeurs  de  b^b^b^.  .  .  b,  les  n  quantités 


siu.o.u,,   sin.i.u,,   sm.iiu,,  sin.  3.^, .  .  .  sin.  « — i.u. 
ou  celles-ci, 


COS.  O.Zf,,   COS.  I  .?/.,,     COS.2?/,,     COS.  3.  ?/,...  COS. /i l.ll, 

la  valeur  de  h  correspondante  à  chacune  de   ces   séi'ies  est 

donnée  par  l'équation     /i  =  — 2— sin.  V.«,.  " 

On  peut  donner  à  i  n  valeurs  différentes,  depviis  i=  i  jus- 
quà  i^u.  En  substituant  ces  valeurs  de  b,bj>i.  .  .  b„  dans 
les  équations  de  l'art.  2G1  ;  on  aura, pour  satisfiiire  aux  équa- 
tions différentielles  de  l'art.  260 ,  les  résultats  suivants  : 

—  2  —  tsin.  V.  M  —  2  —  t  s\n.   y  .  Il 
«,  =  sin,  o.«,_.e        m                  •    ou       a,  =  cos.  o.e/,  e        '« 

—  2       f  sin.  V  .  ;/,  —  1  —  t  sin.  V.  it 

a,  =  sin.  i.u.e         '"  ,,       «j.=?:cos.  i  .11^  e,.      ,pi-f    .     , 

/-  ■/  '  '  '■  1  "/■:-■       J^    '        .      ■  ■ 

—  2  —  t  sin.  V.  K  —  1  -  t  sin.  V.  n 
t(i  =  Sin.  2,.U,  e             m                        '                     aj:=COS.  2.«,  e  '« 


1  —  t  sin.  V  .  Il  —  1  —  t  sin.  V.  u. 


=  sin./? — iu,e         >"  ..c  '.c.      'ï„=eos.^i — i.u.e        '"  \ 

264.  >  rfl  H-  r«  •  o"  . nrs  -A  '  ? 
On  satisferait  également  aux  équations  de  l'art.  2G0  en 
composant  les  valeurs  de  chacune  des  variables  a,  «,  «3 .  .  .  «, 
de  la  somme  de  plusieurs  valeurs  particulières  que  l'on  au- 
rait trouvées  pouf  cette  même  variable,  et  t'ôn  peut  aussi 
multiplier  par  des  coëflicients  constants  quelconques,  chacun 
des  termes  qui  entrent  dans  lu  valeur  générale  d'une  des  va- 

39. 


3o8  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

riables.  11  suit  de  là  qu'en  désignant  par  A.B,  A,B,  A3B3...  A„B, 
des  coefficients  quelconques ,  on  pourra  prendre ,  pour 
exprimer  la  valeur  générale  d'une  des  variables,  par  exemple, 
de  «„_|.,  l'équation 


a 
m- 


=  (  A,  sin.  mii^  +  B,  cos.  m  u^  )  e 


—  2  —  ?.sin.  V  .«, 
m 


.  ,      — 2  -t.sm.  \.ii, 

-1-  (  A,  sin.  ?7i  u^  +  B;,  COS.  jji  11,  )  e        >" 

X         .       ,, 
,  .      .  T>  N      —  2-  t.sm.  \  .u„ 

.  .  .  +  (A„sin.  7?iM„  +  B„cos.  w«„)  e        m 

Les  quantités  A,  A.Aj. .  .  A„,  B.B.Bj  B„  qui  entrent  dans 
cette  équation  ,  sont  arbitraires ,  et  les  arcs  «,  w,  Wj .  . .  .  m„ 
sont  donnés  par  les  équations 


1-K  air 


Les  valeurs  des  variables  générales  a,  a,  «3 .  .  .  a„  sont  donc 
exprimées  par  les  équations  suivantes  : 

X     .     ,, 

.  _  ,       — 2  -  t  sm.  V.M, 

a,  =  (A,  sm.  o.ïi. +  B,  cos.  o.uj  e        '« 

X       .       ,. 
.  ,      — 2  —  ^sin.  V  .u, 

-l-(A, sin.  o.w, +  B, COS.  o.u,)e        m 

X      .      -. 

+  (A3Sin.  0.M3  +  B3COS.  0.113)6        m  +etc. 

X        .       ,, 

«,  =  (A,  sm.   I  .w>  + B.cos. .  I .?/,)  e        m 

X       .      ,, 
.  T)  \      — 2-  ^sin.  V.«. 

+  (A,  sin.   I .  w, -4- B, COS.   \  .u,)  e        m 

X       .      ,. 

-4-  (  A3  sm .   I .  ïi,  +  B3  COS.   1 .  «3  j  e        '"  +  ^^c. 


CHAPITRE  lY.  3oo 


...  T>      •  \      — 2— +  sin.  v.f<, 

a3  =  (A,  sin.  a.«, +  B,  sin.  2..u,)e        m 

/ 
+  (A, sin.  2.//,  +  B, COS.  2.f/J  e        '« 

/? 
+  (A}Sin.  2  . «/3  +  1)3 COS.  2.«3)  e        m  4-etc. 

X 
..       .      „  ^       — 2 hsin.v.K, 

a„  =  (A, sin.7i —  i  .11^+  13.  COS. « —  I  .u,)  e         m 

—  2 h  sin.  v.;<. 


'A, siii.  /? —  I  .u,  +  B,  COS.  n  —  i  .u^)  e 


A 
2 hsin.  v.?<, 


+  (A3sin./? — I  .  ?/3  +  B,  COS.  7«  —  ï.iii)e        m         ■■^+etc. 

2G5. 
Si  l'on  suppose  le  temps  nul ,  les  valeurs  a,  a,  aj  a„  doivent 
se  confondre  avec  les  valeurs  initiales  «,<7,  «3...  «„.  On 
tire  de  là  un  nombre  n  d'équations  cjui  doivent  servir  à  dé- 
terminer les  coefficients  A,  B,  A,  B,  A3  B3.  On  reconnaîtra 
facilement  que  le  nombre  des  inconnues  est  toujours  égal  à 
celui  des  équations.  En  effet ,  le  nombre  des  termes  qui  en- 
trent dans  la  valeur  de  chacune  des  variables,  dépend  du 
nombre  des  quantités  différentes  sin.  V;/,sin.  V?/, sin.  Vz/3... 
etc. ,  qu'on  trouve  en  divisant  la  circonférence  2  77  en  un 
nombre  n  de  parties  égales.   Or,  le  nombre  des  cjuantités 

sin.  \.o.2  -  ,  sin.  \ .1.2.  -  ,  sin.  V.2.2  - etc. ,  est  beau- 

coup  moindre  que  71,  si  l'on  ne  compte  que  celles  qui 
sont  différentes.  En  désignant  le  nombre  fi  par  2^+1, 
s'il  est  impair,  et  par  2/,  s'il  est  pair,  i+  i  désignera  tou- 
jours le  nombre  des  sinus  verses  différents.  D'un  autre 
côté  lorsque  dans  la  suite  des  quantités 

•  -  77  *  77  .  77 

sin.  V.0.2  ~,  sin.  V.1.2    ,  sin.  V.2.2  -,  etc. 


3io  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

On  parviendra  à  un  sinus  verse,  sin.  V.'X.  —  eVal  à  l'un  des 
préce'dents  sin.  V.V.  — .  Les  deux  termes  des  équations  qui 

contiendront  ce  même  sinus  verse,  n'en  formeront  qu'un 
seul;  les  deux  arcs  différents  u.  et  u^,  qui  auront  le  même 

sinus  verse ,  auront  aussi  le  même  cosinus ,  et  les  sinus  ne 
différeront  que  par  le  signe.  Il  est  aisé  de  voir  que  ces  arcs 
u^  etu.,  qui  ont  le  même  sinus  verse,  sont  tels  que-Ie 

cosinus  d'un  multiple  quelconque  de  u^  est  égal  au  cosinus 

d'un  même  multiple  de  n.,  et  que  le  sinus  d'un  multiple 

quelconque  de  u^  ne  diffère  que  par  le  signe  du  sinus  du 

multiple  de  u^, .   Il  suit  de  là  que  lorsqu'on  réunit  en  un 

seul  les  deux  termes  correspondants  de  chacune  des  équa- 
tions, les  deux  indéterminées  A^  et  A.,  qui  entrent  dans  les 

équations,  sont  remplacées  par  une  seule  indéterminée,  sa- 
voir :  A    — A^,.   Quant  aux  deux  indéterminées  B    et  B^, , 

elles  sont  aussi  remplacées  par  une  seule ,  qui  est  B^  +  B^,  : 

il  en  résulte  que  le  nombre  des  indéterminées  est  égal  dans 
tous  les  cas ,  au  nombre  des  équations  ;  car  le  nombre  des 
termes  est  toujours  /+  i.  Il  faut  ajouter  que  l'indéterminée 
A  disparaît  d'elle-même  dans  tous  les  premiers  termes , 
parce  qu'elle  multiplie  le  sinus  d'un  arc  nul.  De  plus,  lors- 
que le  nombre  n  est  pair,  il  se  trouve  à  la  fiii  de  chac|ue 
équation  un  terme  dans  lequel  une  des  indéterminées  dis- 
paraît d'elle-même,  parce  qu'elle  y  multiplie  un  sinus  nul; 
ainsi  le  nombre  des  inconnues  qui  entrent  dans  les  équa- 


CHAPITRE   IV.  3ii 

tions  est  égal  à  2(i+  i  )  —  2,  lorsque  le  nombre  n  est  pair  ; 
par  conséquent  le  nombre  des  inconnues  est  le  même  dans 
tous  les  cas  que  le  nombre  des  équations. 

L'analyse  précédente  nous  fournit,  pour  exprimer  les  va- 
leurs générales  des  températures  «,  «;,  aj .  . .  a„ ,  les  équations 

/.      .  ir.       -r,  'i.T:\     — 2  —  f  sm.  V.o. — 

a,  =:  f  A,  sin.  0.0. hB,  COS.  0.0.  —  je        '"  « 

STC^      — 2—  ^  sin.   V.i.  — 
m  n 


(.27"  2  TT^ 

A,  sin.  o .  I .  —  +  B,  COS.  o .  i .  —  ]e 
n  n  J 

/  ^  2  TU  3  77'\ 

+    A3  sin.  0.2. h  Bj  COS.  0.2.  —    e 

V.  «  n  J 


au       T,  2Tr>j      — 2  —  ?  Sin.  V.2. — 

m  n 


+  etc. 


z,  =  (  A,  sin.  I .  o . h  B,  COS.  i .  o .  —  )  e 

\  n  n  J 

+  (  A^  sm.  I .  I . h  B,  COS.  I .  I .  —    e 

\  «  7i  y 

A3  sin.  1.2.  — ^  +  B3  COS.  1.2.  —  je 


2  ^r^^     —  1-  t  sin.  V.o.  — 
m  11 


0.—  t  Sin.  V  .  I  — 


—  2—  ï  Sin.  V.2  — 
m  n 


etc. 


2  TC       T.  2  7:\      —  2  —  ^  Sin.  v.o.  — 

m  n 


^  '  2  7T  2  7C^ 

a3  =  f  A,  sni.  2.0. h  B,  COS.  2.0.  —  je 

+  (  A, sm. 2.0. h Bj COS.  2.0.  —  le 

\  «  Il  J 

-t-    (Ajsm.  2.2.^ h  B,  COS.  2.2. —  le 


—  1—  t  Sin.  V.  I .  — 
m  n 


k  .         tr  2« 

—  2—  ?  Sin.  V.2.  — 
m  n 


etc.  (ja) 


k    ,      .  in 

2 — hsin.  V.O.  

m  n 


X  .  2  a 

2  — |-sin.  v.i .  — 
m  n 


3i:i  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR 

/  .         .         2  TU  -r,  2  Tr\ 

„=    A,sin.« —  I  .o. 1-  B,  COS.  « —  i  .o. —  le 

V  II  n  J 

A, sin.« —  I .  I . h  B, COS. « —  i .  i .—  j  e 

.  /  .  2  X 

/    »         •        2  17  T)  2  7r\        2 hSlll.   V.2.  

-J-    AiSin./t — I  .a.— +  OîCos.w — i.a. —  ]e       m  n 

+  etc. 

Pour  former  ces  équations,  il  faut  continuer  dans  chacune 
la  suite  des  termes  qui  contiennent 

sm.  V.O.  — ,     sni.  V.i.  — ,    sni.  V.o. — -,  etc. 

/;  //  n 

jusqu'à  ce  qu'on  ait  épuisé  tous  les  sinus  verses  différents ,  et 
omettre  tous  les  termes  subséquents ,  en  commençant  par 
celui  oîi  il  entrerait  un  sinus  verse  égal  à  l'un  des  précé- 
dents. Le  nombre  des  équations  est  n.  Si  n  est  un  nombre 
pair  égal  à  2  i,  le  nombre  des  termes  de  chaque  équation 
est  i  +  I  ;  si  le  nombre  n  des  équations  est  un  nombre  im- 
pair représenté  par  a  /  +  i ,  le  nombre  des  termes  est  encore 
égal  <à  i  +  1.  Enfin,  parmi  les  quantités  A,B,  A, B,  etc.  qui 
entrent  dans  ces  équations,  il  y  en  a  qui  doivent  être  omises 
et  disparaissent  d'elles-mêmes,  comme  multipliant  des  sinus 

nuls. 

2G7. 

Pour  déterminer  les  quantités  A,B,  A.B^  A3B3  etc. ,  qui 
entrent  dans  les  équations  précédentes,  il  faut  considérer 
l'état  initial  qui  est  coiniu  :  on  siqoposera  f=o,et  l'on  écrira 
au  lieu  de  a,  a,  «3  etc.,  les  quaiîtités  données  a^a^a^  etc,  qui 
sont  les  valeurs  initiales  des  températures.  On  aura  donc, 


CHAPITRE   IV.  3i3 

^)Our  déterminer  A,  B,  A,  B,  A,  B^  etc. ,  les  équations  sui- 
vantes : 

a,  =  A,  sin.  o.o.^^ — h  A, sni.  o.  i . 1-  A, sin.0.2. h  etc. 

n  -  Il  n 

+  B.  COS.  0.0.  — ^  +  B^  COS.  I .  I .  —  +  B,  COS.  o .  2 .  — '  +  etc. 

n  n  n 

â^,  =  A,sin.  1 .0.—  +  A,cos. o.  i .  —  h-  A, sin.  i  .2.—  +  etc. 

Il  '  n  n 

,  COS.  I .  o . h  B,  sm.  I .  I . h  B,  cos.  1.2. (-etc. 

II.  Il  n 


..  2TC..  277..  217 

«3  =A,sm.  2.0. y-  A,sin. 2.  i . 1-  A, sin.  2.2. 1-  etc. 

//  Il  II 

+  B. COS. 2.0.^^  -1-  B.cos. 2. 1 .—  +  B, cos. 2. 2.^^  +  etc. 


*,.  =A,  sin./z —  1 .0.^^  +  A,  sin.« —  i .  i .  — -  H-  A, sin.  n —  i 

n  II 

+  etc. 


2  - 


-I-  B,cos.« —  I  .0.  —  4-  B, cos. « —  I .  I .  — -  -\-  Bjsin.  n —  i 

n  n 

[m)  +  etc. 

'     268.  ■  . 

Dans  ces  équations,  dont  le  nombre  est  ii  ^  les  quantités 
inconnues  sont  A,  B,  A,  B,  A3  B3 .  .  .  etc. ,  il  s'agit  d'effectuer 
les  éliminations  et  de  trouver  les  valeurs  de  ces  indéter- 
minées. On  remarquera  d'abord  que  la  même  indéterminée 
a  un  multiplicateur  différent  dans  chaque  équation ,  et  que 
la  suite  de  ces  multiplicateurs  compose  une  série  récurrente. 
En  effet ,  cette  suite  est  celle  des  sinus  croissants  en  pro- 
gression aritlnnétique ,  ou  celle  des  cosinus  des  mêmes  arcs; 
elle  peut  être  représentée  par 

'40       . 


.3i4  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 


sin.  o?<...sin.  iM...sin.  ait...  sin.  3«f...  sin.  n — \.u, 


ou  par  COS.  o?/...cos.  im...cos.  2?f...cos.  3«...  cos.  n — \  .u. 

L'arc  u  est  égal  à  ii  —  j  si  rindéterminée  dont  il  s'agit 
est  A  .  ou  B  .  .  Cela  posé  pour  déterminer  l'inconnue 
A  .  au  moyen  des  équations  précédentes,  il  faut  comparer 
à  la  suite  des  équations  la  série  des  multiplicateurs  sin.  ou... 

sin.  I  u...  sin.  2?/...  sin.  Z  u...  sin.  n — \.u,  et  multiplier 
chaque  équation  par  le  terme  correspondant  de  la  série.  Si 
l'on  prend  la  somme  des  équations  ainsi  multipliées  ,  on 
éliminera  toutes  les  inconnues,  excepté  celle  qu'il  s'agit  de 
déterminer.  Il  en  sera  de  môme  si  l'on  veut  trouver  la  valeur 
de  B  .  ;  il  faudra  multiplier  chaque  équation  par  le  multi- 
plicateur de  B .         dans  cette  même  équation  ,  et  prendre 

ensuite  la  somme  de  toutes  les  équations.  Il  s'agit  de  démon- 
trer qu'en  opérant  de  cette  manière,  on  fera  disparaître  en 
effet  des  équations  toutes  les  inconnues ,  excepté  une  seule. 
Pour  cela  il  suffit  de  faire  voir  i°que  si  l'on  multiplie  terme 
à  terme  les  deux  suites. 


^\x\.o.u,  sin.  i.M^  sin.  a.ii,  ûn.Z.u,  ûxv.[\.u...   sin.re — \  .u 


sin. 0.0",  sin. L'y,  sin. 2. y,  sin.S.o»,  sin.4-^---    sin.« — i  .v 

la  somme  des  produits 

sin.  0  u  sin.  o  v  +  sin.  1  .u . sin.  i.v  -+-  sin.  2  u . sin.  2.v  +  etc. 

sera  nulle,  excepté  lorsque  les  arcs  ?t  et  -v,  seront  les  mêmes, 
chacun  de  ces  ai'cs  étant  d'ailleurs  supposé  un  multiple  d'une 


CHAPITRE   IV.      ^  3i5 

partie  do  la  circonférence  égale  à  —  ;  2°  que  si  l'on  mul- 
tiplie terme  à  terme  les  deux  séries, 

COS.  on,  COS.  lu,  COS.  2.11,  cos.  3;^,  cos.  /[u,  cos.  5u...  etc. 
COS.  ov,  COS.  IV,  COS.  2.V,  COS.  3vy  cos.  qv,  COS.  5  y...  etc. 

la  somme  des  produits  sera  nulle ,  excepté  le  cas  où  u  est 
égal  à  v;  3°  que  si  l'on  multiplie  terme  à  terme  les  deux 
suites , 

sin.  ou,  sin.   lu,  sin.  2.1/,  sin.  3?/,   sin.  ^u.  .  .  etc. 

cos.  ov,   COS.  I  V,   COS.  2.V,   cos.  3v,  cos.  ^  V.  .  .  etc. 
la  somme  des  produits  sera  toujours  nulle. 

2%-       •  ' 

On  désignera  par  ç  l'arc  —  ,par  ij.  q  Tare  u,   et  par  v  (j 

l'arc  V,  [y.  et  v  étant  des  nombres  entiers  positifs  moindres 
que  71.  Le  produit  de  deux  termes  correspondants  des  deux 
premières  séries  sera  représenté  par 

I  -. I  ^      -. 

sm.  j  ij.q  .  sm.  j\if]  ou  -  cos.y[A — ^q cos.jij.  +  'jq 

la  lettre/  désignant  un  terme  quelconque  de  la  suite,  o.  .  . 
I .  .  .  2..  .  .  2 . .  .  3 .  .  .  i.  .  .  n —  I  ;  or  il  est  facile  de  prouver 
que  si  Ton  donne  à  /  ses  n  valeurs  successives ,  depuis  o 
jusquà  n —  i ,  la  somme 


I  I 


cos.  0[ji. — v^+-cos.  i.jA  —  ^  q -\- '  COS.  o.[j. — v<7 

+  -  cos.  3  (A — v^  +  .  .  .    +  -COS. (11 —  I  .;x  —  v.^j 

4o« 


3i6  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

aura  une  valeur  nulle, et  qu'il  en  sera  de  même  de  la  suite. 


I  I  I  

-  COS.  Op.  +  V  <7  +  -  COS.  i  .[j.  +^jq  +  -  COS.  o  jj.  +  v  ^ 


COS.  3  [y.  +  V  ^  .  .  .  +  -  COS.  fn —  I . [x.  +  V .qj- 


En  effet,  en  représentant  l'arc  jy. — v.q  par  a.,  qui  est  par 
conséquent  un  multiple  de  — ,  on  aui-a  la  suite  récurrente 


cos.oa,  COS.  I  a,  COS. 2a...  COS.  Ti — la,  dont  la  somme  est 
nulle.  Pour  le  faire  voir ,  on  représentera  cette  somme  par 
s,  et  les  deux  termes  de  l'échelle  de  relation  étant  2  cos.  a 
et  —  I  ,  on  multipliera  successivement  les  deux  membres 
de  l'équation 


S=:COS.  O  a  +  cos.   2  a  +  COS.  3a...    +  COS.  fl  —  la 

par  — -2  COS.  a  et  par  +  i ,  puis  ajoutant  les  trois  équations, 
on  connaîtra  que  les  termes  intermédiaires  se  détruisent 
d'eux-mêmes  d'après  la  nature  de  la  série  récurrente. 

Si  l'on   remarque  maintenant  que  n  a.  étant  un  multiple 

(le  la  circonférence  entière ,  les  quantités  cos.  n  —  i  a .  .  .  . 


cos.  n  —  2.x.  .  .  cos.  n  —  3a.  .  .  etc.  sont  respectivement  les 
mêmes  que  celles  que  l'on  désignerait  par  cos.  ( — a)... 
cos.  ( — 2a)...  cos.  ( — 3a)...  on  en  conclura  as  —  2Scos.a=o; 
ainsi  la  somme  cherchée  s  doit  en  général  être  nulle. 
On  trouvera  de  même  que  la  somme  des  termes  dus  au  dé- 
veloppement de  -  COS.  (j  [i  +  v  q  )  est  nulle.   Il  faut  excepter 

le  cas  ou  l'arc  représenté  par  a  serait  nul ,  on  aurait  alors 
I  — cos.  a=  I  ;  c'est-à-dire,  que  les  arcs  u  et  v  sei'aient  les 


CHAPITRE  IV.  3i7 

mêmes.  Dans  ce  cas,  le  terme  -  cos. /'[;.  + v  </ donne  encore 
un  développement  dont  la  somme  est  nulle  :  mais  la  quan- 
tité -  COS.  y  a — V  q  fournit  des  termes  égaux  dont  chacun 
a  pour  valeur  -;  donc  la  somme  des  produits  terme  à 
terme  des  deux  premières  séries  est  -  n. 

On  trouvera  de  la  même  manière  la  valeur  de  la  somme 
des  produits  terme  à  terme  des  deux  secondes  séries,  ou 
2  (cos. y  \j.q .COS.  j\q)\  en  effet,  on  substituera  à 


,  I 


cos.jii.q  .cos.j  ^  q  la  quantité-  cos. y  a — ^.q  +  -  cos.j  ij.-hvq 
et  l'on  en  conclura  comme  dans  le  cas   précédent,  que 


-  -  COS.  Ji>.  +  ^q 

est  nulle,  est  cjue  2  -  cos.  y  y.  —  ^q  est  nulle,  excepté  le  cas 

ou  [y.  =  v.  Il  suit  de  là  que  la  somme  des  produits  terme  à 
terme  des  deux  secondes  séries  ou  2  cos.  J u.q .cos.  j'^q  est 
toujours  nulle,  lorsque  les  arcs  u  et  v  sont  différents,  et 

égale  à  -  «  lorsque  u=  v.  Il  ne  faut  plus  que  distinguer  les 

cas  ou  les  arcs  [/.q  et  vq  sont  tous  les  deux  nuls,  alors  on  a 
o  pour  la  valeur  de  2  (sin.y  p.  ^.sin.y"  v  ^),  qui  désigne  la 
somme  des  deux  produits  terme  à  terme  des  deux  premières 
séries.  11  n'en  est  pas  de  même  de  la  somme  2  (cos.jii.q.cosj\q)^ 
prise  dans  le  cas  ou  y.  q  et  -^  q  sont  nuls  ;  cette  somme  des 
produits  terme  à  terme  des  deux  secondes  séries  est  évi- 
demment égale  à  n.  Quant  à  la  somme  des  produits  terme 
à  terme  des  deux  séries 


3i8  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 


sin.  ou,   sin.  u,  sin.  ^u,  sin.  Zu,  sin.  f^ii.  .  .  sin.  Ji —  v  .u 


COS.  ou,    COS.U,    COS.  2  M,    COS.  3«,    COS.4w...    COS.  « — i  .u 

elle  est  nulle,  dans  tous  les  cas,  ce  qu'il  est  facile  de  re- 
connaître par  l'analyse  précédente. 

270. 
La  comparaison   de   ces   séries   fournit   donc  les   consé- 
cpiences  suivantes.  Si  l'on  partage  la  circonférence  2  z  en  un 
nombre  n  de  parties  égales,  que  l'on  prenne  un  arc  u  com- 
posé d'un  nombre  entier  [j.  de  ces  parties,  et  que  l'on  marqvie 

les  extrémités  des  arcs  u,  2.11,  3u,  [\u...  n — i  ?^,  il  ré- 
sulte des  propriétés  connues  des  quantités  trigonométriques 
que  les  quantités 


sin.  ou,   sin.  u,   sin.  iu ,   sin.  Zu...   sin.  n  —  i  .u , 


ou  celles-ci, cos.  ou,  cos.  iu,co?>.  q.u,  cos.  ?>u...cos.n — lu 
forment  une  série  récurrente  périodique,  composée  de  n 
termes;  si  l'on  compare  une  de  ces  deux  séiùes  correspon- 
dantes à  un  arc  u  ou  a  —  à  une  série  correspondante  à  un 
autre  arc  ^'  ou  v .  —  et  qu'on  multiplie  terme  à  terme  les  deux 

deux  séries  comparées;  la  somme  des  produits  sera  nulle 
lorsque  les  arcs  u  et  v  seront  différents.  Si  les  arcs  u  et  v 

sont  égaux ,  la  somme  des  produits  est  égale  à  -  «  lorsque 

l'on  compare  deux  séries  de  sinus ,  ou  lorsque  l'on  compare 
deux  séries  de  cosinus;  mais  cette  somme  est  nulle,  si  l'on 
compare  une  série  de  sinus  à  une  série  de  cosinus.  Si  l'on 
suppose  nuls  les  arcs  w  et  a»,  il  est  manifeste  que  la  somme 


CHAPITRE  IV.  3i9 

(les  produits  terme  à  terme  est  nulle,  toutes  les  lois  que 
l'une  des  deux  séries  est  formée  de  sinus,  et  lorsqu'elles  le 
sont  toutes  les  deux ,  mais  la  somme  des  produits  est  //, ,  si 
les  deux  séries  composées  sont  formées  de  cosinus.  En  gé- 
néral, la  somme  des  produits  terme  à  terme  est  égale  à  o  ou 

-  n  ou  n;  au  reste,  les  formules  connues  conduiraient  direc- 

tement  aux  mêmes  résultats.  On  les  présente  ici  comme  des 
conséquences  évidentes  des  théorèmes  élémentaires  de  la 
trigonométrie. 

in\. 

Il  est  aisé  d'effectuer  au  moyen  île  ces  remarques  l'élimi- 
nation des  inconnues  dans  les  équations  précédentes.  L'indé- 
terminée A,  disparaît  d'elle-même  comme  ayant  des  coeffi- 
cients nuls  ;  pour  trouver  B,  on  multipliera  les  deux  membres 
de  chaque  équation  par  le  coefficient  de  B,  dans  cette  même 
équation ,  et  l'on  ajoutera  toutes  les  équations  ainsi  mul- 
tipliées ,  on  trouvera  (?,  +  (7,  +  r/j  +  .  .  .  .  a„  =  B,. 

Pour  déterminer  A,  on  multipliera  les  deux  membres  de 
chaque  équation  par  le  coefficient  de  A^  dans  cette  équation 

et  en  désignant  l'arc  —  par  q ,  on  aura ,  après  avoir  ajouté 

les  équations 

I        . 

«,  sni.o.^  +  (7,suî.  i.<7  +  <73sni.2.<y  +  ...«„sm.« — \.q=-n  .A,. 

On  aura  pareillement  pour  déterminer  B, 

/2, cos.o  q-\-a^QO&.  i.q  +  a^cos.  ?>q -{-...  a„cos.  n —  i.q  =  -  /iB,. 

En  général ,  on  trouvera  chaque  indéterminée  en  multi- 
pliant les  deux  membres  de  chaque  équation  par  le  coëffi- 


32Û  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

cient  de  l'indéterminée  dans  cette  même  équation,  et  en 
ajoutant  les  produits.  On  parvient  ainsi  aux  résultats  suivants  : 

«B,=ra,                    +«,                   +  «j                   +etc.  =Sa, 
-/îA,=:rt,  sni.    o. h<7',sm.    i. \-a,sin.  a. i-etc.  =Srt,sin. (^ — ij  i. — 

-7iB,=«.,cos.   o.. h«^cos.     I. h^ïjcos.  2.^^ — hetc.  =Sa,cos.r« — i)i.— 

2  11  n  n  '  ^  ^        n 

-«A3=<7,  sin.o.3.^^ — h  a,  sin.  i.a. h  «,sin.  2.2.  ^^"  +  etc.  :^S<2,cos.ri — 1)2. — 

I        T>                                      o     2TC                                     r,     2  7T                                     o     2—                                f,                      /-s        2lr 
-7?lj,  =  <7   COS.  O.J. h  <7,  COS.  I.O. h  fl,  COS.  2.J. hCtC.    =S(7  COS.  (i l)2. 

I  .  •  Q     2TC  .  Q     2'7r  .  r,     2TC  ^  Cl  .         /.  ^O    21 

-rtAj=<7,  sm.o.J. j-  a,  sm.  i.o. 1-^3  sin.  2.j. i-etc.  =S<7,sm.  (« —  i)  J.— 


2  TT 


-«l3«  =  «,COS.  O.O. 1-  rt,  COS.  I.O. 1-  <73COS.2.0. hetc.    =h(7,C0S.(i 1)0. — 

+  etc.  (M) 

Il  faut ,  pour  trouver  le  développement  indiqué  par  le  signe 
S,  donner  à  l  ses  11  valeurs  successives  i...  2...  3...  4-"  ^tc. 
et  prendre  la  somme,  on  aura  en  général 

-nKj  =S<7^,sin.r  i —  i  .j —  i . — ^  j  et-reB^=Srt, cos.  T  i —  i.j — i.—  j 

Si  l'on  donne  au  nombre  entier  j  toutes  les  valeurs  suc- 
cessives I...  2...  3...  4---  etc.  qu'il  peut  avoir,  ces  deux  for- 
mules fourniront  les  équations, et  si  l'on  développe  le  terme 
sous  le  signe  S ,  en  donnant  à  i  ses  n  valeurs  i ...  2...  3...  4-"  6tc. 
on  aura  les  valeurs  des  inconnues  A,B,  A,  B^  A3B3  A4B4...etc., 
et  les  équations  (m)  art.  267  seront  entièrement  résolues. 


CHAPITRE   IV.  32. 

272. 
Il    faut   mainteiiant   substituer   les   valeurs    connues   des 
coefficients  A,  B,  A,  B,  A3  B, .  .  .   etc. ,  clans  les  équations  (jj.) , 
art.  266 ,  et  l'on  trouvera  les  valeurs  suivantes  : 

t  sin.  V.(jr,  <sin.  V.ç, 

st,=r]N„  +  N,e  +  N,e  4-etc. 

^siii.V.f^,  fsin.V.17, 

«,  =N, +  (M,sin.y, +N,cos.  y,)e  +  (M,sin.  5-,  + N,  cos.  5f,)e  +etc. 

fsin.V.^',  ?sin.V.<7, 

a,=:N„+(M,sin.2  5f,4-N,cos.2  5',)5  +(M,  sin.a  ^.+N,cos.2^,)£  +esc. 

;sin,V.<7,  ;sin.  V. 

a  =::N„+;]VI,sin.y-iy,+N,  cos.j-iq,)i  +(!M,sin.y"-iy,+N,cos.y-i  ^rjs 

:  +  etc. 

tûn.\.q,  îsin.V.*^ 

a,=N„-l-(IVI,sin.«— iy,+N,cos.«— iy,)£  +(M,sin.«— i^j+N,cos.72— i5',)e 

-t-etc. 
dans  ces  équations 

a—  27:-  2TC  o2T 

s  =  e         /«,^,  =  I.-—  ,    <jr^  =  2.-^,    ^3  =  d.— ,  etc. 


N,  =  -  s <7,  COS.  « —  I  <7,     M,  =  -  s  <ï,  sin.  i —  i  ^. 


2  , 


N,  =  -  S  (7 ,  COS.  i —  1  <7,     M,  =  -  S  <2,  sin.  i —  i  a. 


N^3  =  ~Sa,cos.  i —  I  q^     M}  =  -  Sfl.sin.  i — i  q^ 

>    '-.on» 

etc.  etc. 

4i 


ba  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 


273. 


V- 
Les  équations  que  l'on  vient  de  rapporter ,  renferment  la 

solution  complète  de  la  question  proposée  ;  elle  est  repré- 
sentée par  cette  équation  générale 


S (2,+   -sm.; — I  —  S<2,snî.i — i . h  -cos.; — i  — b(^,cos.i —  i. 


i„  /a   • 27?,,        .      -: 2^       2  -. aTîo  . 2 ttX     — 2— ^sin.V.i. 


\n        J  n         '  n        II  •'  Il  ii 

h         .         -,  ÎTT 

/2     .        -. ITZcy  •         -■ 2TC  2  -: 1'Kc<  ~ 27r\        2— ^Sin.V.2. 

-sm./ — 1.2. —  b«,sm.i — 1.2. h-cos./ — 1.2. — ba^.cos.i — 1.2. —  le       '«  " 

\n        J  n  n         n         •'  n  n  J 

+  etc.  (e) 

dans  laquelle  il  n'entre  que  des  quantités  connues ,  savoir  : 
a,.  .  .  a^.  .  .  a^.  .  .  a^.  .  .  a„,  qui  sont  les  températures  ini- 
tiales, K  mesure  de  la  conducibilité ,  m  valeur  de  la  masse, 
n  nombre  des  masses  échauffées ,  et  ^  le  temps  écoulé. 

Il  résulte  de  toute  l'analyse  précédente  que  si  plusieurs 
corps  égaux  en  nombre  n,  sont  rangés  circulairement ,  et 
qu'ayant  reçu  des  températures  initiales  quelconques ,  ils 
viennent  à  se  communiquer  la  chaleur  comme  on  l'a  sup- 
posé; la  masse  de  chaque  corps  étant  désignée  par  m,  le 
temps  par  t,  et  par  k  un  coefficient  constant,  la  température 
variable  de  chacune  des  masses  qui  doit  être  une  fonction 
des  quantités  t ,  m  et  k,  et  de  toutes  les  températures  ini- 
tiales, est  donnée  par  l'équation  générale  (e).  Il  faut  d'abord 
mettre  au  lieu  de  /  le  numéro  qui  indique  la  place  du  corps  ' 

dont  on  Veut  coimaître  la  température,  savoir:  i  pour  le 
premier  corps,  2  pour  le  second,  etc.  ;  ensuite  il  restera  la 
lettre  i  qui  entre  sous  le  signe  S,  on  donnera  à  i  ses  n  va- 
leurs successives  i...  2...  3...  4---  etc. ,  et  l'on  prendra 
la  somme  de  tous  les  termes.  Quant  au  nombre  des  termes 


CHAPITRE   IV.  323 

qui  entrent  dans  cette  équation ,  il  doit  y  en  avoir  autant 
que  l'on  trouve  de  sinus  verses  différents,  lorsque  la  suite 

des  arcs  est  o  — .  .  .   r  — .  .  .  3 —  etc. .  cest-a-dne,  que  le 

ri  n  n  •  *■ 

nombre  n  étant  égal  à  2X+  i  ou  à  2  1  selon  qu'il  est  im- 
pair ou  pair,  le  nombre  des  termes  qui  entrent  dans  l'équa- 
tion générale  est  toujours  >,  +  i. 

274. 
Pour  donner  un  exemple  de  l'application  de  cette  formule, 
nous  supposerons  que  la  première  masse  est  la  seule  que 
l'on  ait  d'abord  échauffée,  en  sorte  que  les  températures  ini- 
tiales n,.  .  .  a,.  .  .  a^ a„  soient  toutes  nulles,  excepté  la 

première,  il  est  visible  que  la  quantité  de  chaleur  contenue 
dans  la  première  masse  se  distribuera  successivement  entre 
toutes  les  autres-  Or ,  la  loi  de  cette  communication  de  la 
chaleur  sera  exprimée  par  l'équation  suivante  : 

27r    — 2— ^sin.  V.i. — 


a,=  -«,  4- -a,  COS./ — I  — e 

Il  n  •'  n 

2  -: 27Ï      2       tsm.\.2. 

-f--<7,  COS./ 12. e  m  n 


n  '  n 


air     ■ — 2  — f  sm.  \  .0.  — 


2  ■  o  -^1^      Li  — tsiu.    *  .  j.   — 

-h-rt,  COS./ — i.o — e        m  «  H- etc. 

Si  la  seconde  masse  était  seule  échauffée  et  que  les  tem-  ' 
pératures  a,.  .  a^.  . .  «74 .  .  .  a„  fussent  nulles ,  on  aurait 


I  2  /    .        ~. 2  77       .         2  TT  -: 2  TC  2  7r\       — 

x,  =  -rt,  H-  -«.,  (  sm./ — I  —  .sin. h  cos./ —  i  — .  cos. —  J  e 

'        n  n     '  \        ■'  n  n  •>  n  n  J     ,.',. 

2  /    .  ■: 2  TT       .  2  TT  -. a  —  1T.\ 

+  -<?,{  sm./  —  J.2. —  sin.  2.  —  +  cos./ —  1.2. —  .cos.  2. —  ]€ 

n     -  \         •>  n  n  •'  n  n  J 


a— if  sm.  V.  I. 
m 


2  ~  tsm.  V.  2. — 

m  II 


41. 


3^4  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

et   si    l'on  supposait   que   toutes  les  températures  initiales 
fussent  nulles,  excepté  a,  et  a^,  on  trouverait  pour  la  va- 
leur de  a^  la  somme  des  valeurs  trouvées  dans  chacune  des 
deux  hypothèses  précédentes.  En  général,  il  est  facile  de 
conclure  de  l'équation  générale  (s)  art.  o.'j'i  que  pour  trouver 
la  loi  suivant  laquelle  les   quantités  initiales  de  chaleur  se 
répartissent  entre  les   masses,  on  peut  considérer  séparé- 
ment les  cas  ou  les  températures  initiales  seraient  nulles, 
excepté  une  seule.  On  supposera  que  la  quantité  de  clialeur 
contenue  dans  une  des  masses  se  communique  h.  toutes  les 
autres,  en  regardant  ces  dernières  comme  affectées  de  tem- 
pératures nulles,  et  ayant  fait  cette  hypothèse  pour  chacune 
des  masses  en   particulier  à  raison   de   la  chaleur  initiale 
qu'elle  a  reçue ,  on  connaîtra  quelle  est,  après  un  temps  donné, 
la  température  de  chacun  des  corps  en  ajoutant  toutes  les 
températures  que  ce  même  corps  a  dû  recevoir  dans  chacune 
des  hypothèses  pi-écédentes. 

Si  dans  l'équation  générale  (e)  qui  donne  la  valeur  de  a^, 
on  suppose  que  le  temps  a  une  valeur  infinie,  on  trouvera 

«^=  -  S  a,,  en  sorte  que  chacune  des  masses  aura  acquis 

la  température  moyenne  ;  résultat  qui  est  évident  par  lui- 
même. 

A  mesure  que  la  valeur  du  temps  augmente ,  le  premier 

terme  -  S  (<?,)  devient  de  plus  en  plus  grand  par  rapport 

au  suivant,  ou  à  la  somme  des  suivants.  Il  en  est  de  mênae 
du  second  par  rapport  aux  termes  qui  le  suivent;  et,  lors- 
que le  temps  a  acquis  une  valeur  considérable,  la  valeur  de 


CHAPITRE   IV.  325 

a,  est  représentée  sans  erreur  sensible  par  1  équation  suivante: 


ar    ri         •       '■ 2  ~ 


x,  =  -S<7,+     (sin./ —  I — .Sr7,sin.j — I  — 

-. 2  ir  <-,  -: 2  X\ 

-I-  COS./ I. — -  Î5a,  COS.  l —  I.  —  ) 


—  ïsin.  V  . — 
m  n   . 


En  désignant  par  a  et  0  les  coëflicients  de  sin.  (J — i  — 

,  /-; 2iv\      ^1      r         •  — 2—  rsin.V. — 

et  de  cos.  (y —  i  —  j,et  la  traction  e        m  n  parw  on 

aura  a,=  -ba,  +     (7sni./ — i h  y  cos.; — i  —      w.   Les 

quantités  a  et  b  sont  constantes,  c'est-à-dire ,  indépendantes 
du  temps  et  de  la  lettre  /  qui  indic|ue  le  rang  de  la  niasse 
dont  la  températnre  variable  est  a,.  Ces  quantités  sont  les 
mêmes  pour  toutes  les  masses.  La  diftérence  de  la  tempéra- 
ture variable  a^  à  la  température  finale  -  S  «,  décroît  donc 

pour  chacune  des  masses ,  proportionnellemeirt  aux  puis- 
sances successives  de  la  fraction  oj.  Chacun  des  corps  tend 

de  plus  en  plus  à  acquérir  la  température  finale  -  S  («,),  et 

la  différence  entre  cette  dernière  limite  et  la  température 
variable  du  même  corps  finit  toujours  par  décroître  comme 
les  puissances  successives  d'une  fraction.  Cette  fraction  est 
la  même, quel  que  soit  le  corps  dont  on  considère  les  chan- 
gements de  température,  le  coefficient  de  w'  ou  a  sin.  Uj  + 

h  COS.  iij,  en  désignant  par  iij  l'arc.  (/' —  i)         peut   être  mis 

sous  cette  forme  A  sin.  (Uj  +  B)  en  prenant  A  et  B,  tels  que 
Ion  ait  a  =  A  cos. B  et  6  =  A  sin.  B.  Si  l'on  voulait  déter- 
miner le  coefficient  de  w'  qui  se  rapporte  aux  corps  sui- 


326  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

vants  :  dont  la  température  est  a  .       ...  a  .       .. .  a  .     ,  ...    Il 
^  7  +  1         7+2         y  +  3 

faudrait  ajouter  à  u^  l'arc — •  ou  2.  — ,  ainsi  de  suite  ;  c'est-à- 


2  TT  11Z 

— •   OU  2.— 

n  n 

dire,  que  l'on  a  les  équations  \ 


a. S(7,  =  A.sin.fB  +  i/,)co'  +  etc. 

a. Srt,  =  A.sin.  (  B  +  ?/,  +  I  .^—  )  to'  +  etc. 

7+1    «  V       •*        "  y 

a.       — -S<2,==A.sin.  (  B  +  M,  +  2.— )  co'  +  etc. 

y  +  2       n  V  '  n  J 

t.     ^ S (7,  =  A . sin.  (  B  +  ?/ ,  +  3 .  —  )  0^'  +  etc. 

y  +  j      «  \  '  Il  J 

etc. 

276. 
On  voit ,  par  ces  équations ,  que  les  dernières  différences 
entre  les  températures  actuelles  et  les  températures  finales, 
sont  représentées  par  les  équations  précédentes ,  en  ne  con- 
servant que  le  premier  terme  du  second  membre  de  chaque 
équation.  Ces  dernières  différences  varient  donc  selon  la  loi 
suivante  :  si  l'on  ne  considère  qu'un  seul  corps,  la  différence 
variable  dont  il  s'agit,  c'est-à-dire,  l'excès  de  la  température 
actuelle  du  corps  sur  la  température  finale  et  commune, 
diminue  comme  les  puissances  successives  d'une  fraction,  le 
temps  augmentant  par  parties  égales;  et,  si  l'on  compare  pour 
un  même  instant  la  température  de  tous  les  corps ,  la  diffé- 
rence dont  il  s'agit  varie  proportionnellement  aux  sinus 
successifs  de  la  circonférence  divisée  en  parties  égales.  La 
température  d'un  même  corps  ,  pris  à  divers  instants  succes- 
sifs égaux ,  est  représentée  par  les  ordonnées  d'une  logarith- 


CHAPITRE   IV.  32T 


/ 


mique,  dont  l'axe  est  divisé  en  parties  éi^ales,  et  la  tempé- 
rature de  chacun  de  ces  corps,  prise  au  même  instant  pour 
tous,  est  représentée  par  les  ordonnées  du  cercle  dont  la 
circonférence  est  divisée  en  parties  égales.  Il  est  facile  de 
voir,  comme  on  l'a  remarqué  plus  haut,  que  si  les  tempéra- 
tures initiales  sont  telles ,  que  les  différences  de  ces  tempéra- 
tures à  la  température  moyenne  ou  finale  soient  proportion- 
nelles aux  sinus  successifs  des  arcs  multiples,  ces  différences 
diminueront  toutes  à -la -fois  sans  cesser  d'être  propoi'tion- 
nelles  aux  mêmes  sinus.  Cette  loi  qui  régnerait  entre  les 
températures  initiales  ne  serait  point  troublée  par  l'action 
réciproque  des  corps ,  et  se  conserverait  jusqu'à  ce  qu'ils 
eussent  tous  acquis  une  température  comraïuie.  La  diffé- 
rence diminuerait  pour  chaque  corps  comme  les  puissances 
successives  d'une  même  fraction.  Telle  est  la  loi  la  plus  sim- 
ple à  laquelle  puisse  être  assujétie  la  communication  de  la 
chaleur  entre  une  suite  de  masses  égales.  Lorsque  cette  loi 
est  établie  entre  les  températures  initiales,  elle  se  conserve 
d  elle-même,  et  lorsqu'elle  ne  règne  point  entre  les  tempéra- 
tures initiales,  c'est-à-dire  lorsque  les  différences  de  ces  tem- 
pératures à  la  température  moyenne  ne  sont  pas  proportion- 
nelles aux  sinus  successifs  des  arcs  multiples ,  la  loi  dont 
il  s'agit  tend  toujours  à  s'établir ,  et  le  système  des  tempé- 
ratures variables  finit  bientôt  par  se  confondre  sensiblement 
avec  celui  qui  dépend  des  ordonnées  du  cercle  et  de  celles 
de  la  logarithmique. 

Puisque  les  dernières  différences  entre  l'excès  de  la  tem- 
pérature d'un  corps  sur  la  température  moyenne,  sont  pro- 
portionnelles aux  sinus  de  l'arc  à  l'extrémité  duquel  le  corps 
«st  placé ,  il  s'ensuit  que  si  l'on  désigne  deux  corps  placés 


328  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

aux  extrémités  du  même  diamètre ,  la  température  du  pre- 
mier surpassera  la  température  moyenne  et  constante  autant 
que  cette  température  constante  surpassera  celle  du  second 
corps.  C'est  pourquoi ,  si  l'on  prend  à  chaque  instant  la 
somme  des  températures  de  deux  masses  dont  la  situation 
est  opposée ,  on  trouvera  une  somme  constante  et  cette 
somme  aura  la  même  valeur  pour  deux  masses  quelconques 
placées  aux  extrémités  d'un  même  diamètre. 


277. 


Les  formules  qui  représentent  les  températures  variables 
des  masses  disjointes  s'appliquent  facilement  à  la  propaga- 
tion de  la  chaleur  dans  les  corps  continus.  Pour  en  donner 
un  exemple  remarcpiable ,  nous  déterminerons  le  mouve- 
ment de  la  chaleur  dans  une  armille,au  moyen  de  l'équa- 
tion générale  qui  a  été  rapportée  précédemment. 

On  supposera  que  le  nombre  n  des  masses  croît  successi- 
vement, et  qu'en  même  temps  la  longueur  de  chacjue  masse 
décroît  dans  le  même  rapport,  afin  cpie  la  longueur  du 
système  ait  une  valeur  constante  égale  à  2  7;.  Ainsi  le  nombre 
n  des  masses  sera  successivement  2  ou  4i  ou  8  ou   16,  à 

l'infini ,  et  chacune  des  masses  sera  t.  ou  -  ou  -^  ou  5  ,  etc.    Il 

^  24° 

est  nécessaire  de  supposer  aussi  que  la  facilité  avec  laquelle 
la  chaleur  se  transmet,  augmente  dans  le  même  rapport  que 
le  nombre  des  masses  vi  ;  ainsi  la  quantité  que  représente 
K  lorsqu'il  n'y  a  que  deux  masses,  devient  double  lorsqu'il 
y  en  a  quatre,  quadruple  s'il  yen  a  huit,  ainsi  de  suite.  En 
désignant  pai-  g  cette  quantité  on  voit  que  le  nombre  K 
devra  être  successivement  remplacé  par  g ,  2^,  [\g^  etc.  Si 
l'on  passe  maintenant  à  la  supposition  du  corps  continu, 


CHAPITRE   IV.  329 

on  écrira  au  lieu  de  m,  valeur  de  chaque  masse  infiniment, 
petite,  l'ëlëment  d x ;  au  lieu  du  nombre  11  des  masses  on 

mettra  ^  ,  au  lieu  de  /.•  on  mettra  s:  ~  ou  v^  • 

dx '  ^    2  dx 

Quant  aux  températures  initiales  ^, ,  «,,  <73,  (?,,  (7„ ,  elles 
dépendent  de  la  valeur  de  l'arc  x ,  et,  en  considérant  ces 
températures  comme  les  états  successifs  d'une  même  variable, 
la  valeur  générale  a,  représente  une  fonction  arbitraire  de  x. 

L'indice  i  sera  alors  remplacé  par  jr-.  A  l'égard  des  quan- 
tités a,,  a,,  «3,  ces  températures  sont  des  variables  qui 
dépendent  des  deux  quantités  x  et  t.  En  désignant  par  v 
cette  variable   on  aura  ^'  =  cp  (.r,  t').  L'indicey  qui  marque 

la  place  que  l'un  des  corps  occupe  sera  remplacé  par 

Ainsi  pour  appliquer  l'analyse  précédente  au  cas  où  l'on 
aurait  une  infinité  de  trajiches,  formant  un  corps  continu 
dont  la  forme  serait  celle  d'une  armille,  il  faudra  substituer 
aux  cpiantités  n,  m,  k,  a^,  i,  a^,  j  celles  cjui  leur  corres- 
pondent, savoir  ■.~^dx,^,fx,-^,m(x,t),~-On  fera 
ces  substitutions  dans  l'équation  (3)  art.  2-3  et  l'on  écrira 
-  dx^  au  lieu  de  sin.  Y  dx ,  et  i  et  J  au  lieu  de  i —  i  ety  —  i. 
Le  premier  terme  -  S  a,  devient  la  valeur  de  l'intégrale 
^ffx  dx  prise  depuis  .r  =  o  jusqu'à  x^^r.\  la  quantité 
sin.  (y  —  i)— ^  devient  sin.  y  dx  où  sin.  x;  la  valeur  de 
cos.  (  / —  I  )  ^  est  COS.  x;  celle  de  -  /  (a,  sin.  (i —  i)  —  ^^"^ 
z    /^  sin.  X  dx,   l'intégrale  étant  prise  depuis  x  =  o  jus- 

4:^ 


33o  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR, 

qu'à  x=  2r:,  et  celle  de  -S  a^  cos.  fi —  i  —  j  est 

-/{foc  COS.  ;r  dx^^ 

l'intégrale  étant  prise  entre  les  mêmes  limites,  on  obtient 
par  ces  substitutions  l'équation 


—  g-Kt 


—  kt 


ç(a;,f)='y=; —  '$ifxdx-\-  -{?i\x\..x?ifxû.Vi..xdx-^cos.x'^fx(iQ)^.xdoc)e 

-\--{?Àw..2x%fxh\w..ixdx->rCO?,.ix'^fxco?>.ixdx)e        ° 
+  etc.  (E) 

et  représentant  par  K  la  quantité  ^7:,  on  aura 

7t 7J = -  l fx dx+{?,\n. xffx . s\n.xdx-\- cos. xffx cos. xdx) < 

-\-{ûx\.o.xf<s^xs\\\.'2.xdx-\-Q.o?,.'xxf'!^xco^.Q:.xdx)e 

+  etc. 

278. 
Cette  solution  est  la  même  que  celle  qui  a  été  rapportée 
dans  la  section  précédente ,  pag.  272  ;  elle  donne  lieu  à 
diverses  remarques,  i  °  Il  ne  serait  pas  nécessaire  de  recourir 
à  l'analyse  des  équations  aux  différences  partielles  pour 
obtenir  l'équation  générale  qui  exprime  le  mouvement  de 
la  chaleur  dans  une  armille.  On  pourrait  résoudre  la  ques- 
tion pour  un  nombre  déterminé  de  corps,  et  supposer  ensuite 
ce  nombre  infini.  Cette  méthode  de  calcul  a  une  clarté  qui 
lui  est  propre,  et  qui  dirige  les  premières  recherches.  Il  est 
facile  ensuite  de  passer  à  une  méthode  plus  concise  dont 
la  marche  se  trouve  naturellement  indiquée.  On  voit  d'abord 


CHAPITRE  III.  33[ 

que  la  distinction  des  valeurs  particulières  qui ,  satisfiusant 
à  l'équation  aux  différences  partielles,  composent  la  valeur 
générale,  dérive  de  la  lègle  connue  pour  l'intégration  des 
équations  différentielles  linéaires  dont  les  coefficients  sont 
constants.  Cette  distinction  est  d'ailleurs  fondée ,  comme  on 
l'a  vu  plus  haut,  sur  les  conditions  physiques  de  la  question; 
2°  Pour  passer  du  cas  des  masses  disjointes  à  celui  d'un 
corps  continu,  nous  avons  supposé  que  le  coefficient  K  aug- 
mentait proportionnellement  au  nombre  ii  des  masses.  Ce 
changement  continuel  du  nombre  K  est  une  suite  de  ce  que 
nous  avons  démontré  précédemment ,  savoir  que  la  quantité 
de  chaleur   qui   s'écoule   entre  deux  tranches   d'un    même 

prisme  est  proportionnelle  à  la  valeur  de  y-,  jt  désignant  l'ab- 
scisse c|ui  répond  à  la  section,  et  v  la  température.  Au  reste 
si  Ton  ne  supposait  point  que  le  coefficient  K  augmente 
proportionnellement  au  nombre  des  masses,  et  que  l'on 
retînt  une  valeur  constante  pour  ce  coefficient;  on  trouve- 
rait, en  faisant  n.  infini,  un  résultat  contraire  à  celui  qu'on 
observe  dans  les  corps  continus.  La  diffusion  de  la  chaleur 
serait  infiniment  lente,  et  de  quelque  manière  que  la  masse 
eût  été  échauffée,  la  température  d  un  point  ne  subirait 
aucun  changement  sensible,  pendant  un  temps  déterminé, 
ce  qui  est  opposé  aux  faits.  Toutes  les  fois  cjue  Ion  a  recours 
à  la  considération  d'un  nombre  infiai  de  masses  séparées 
qui  se  transmettent  la  chaleur,  et  que  l'on  veut  passer  au 
cas  des  corps  continus;  il  faut  attribuer  au  coefficient  K,  qui 
mesui'e  la  vitesse  de  la  transmission,  une  valeur  proportion- 
nelle au  nombre  des  masses  infiniment  petites  qui  compo- 
sent le  corps  donné. 

42.   ' 


iiu  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

3"  Si  dans  la  dernière  e'quation  que  nous  venons  d'ob- 
tenir pour  exprimer  la  valeur  de  v  ou  9  {x ,  f),  on  suppose 
t  =  o  :,  il  sera  nécessaire  que  l'équation  représente  l'état 
initial ,  on  aura  donc  par  cette  voie  l'équation  [p)  que  nous 
avons  obtenue  précédemment,  pag.  256,  savoir  : 


•k/x = -  jfx  dx 


-\-  svn.  xff  X  sw\.  X  d X  -\-  sin.  %  x  ff  x  sva.  2  xdx-\-  etc. 
cos.xJ^fxco&.  X  d  X  -\-  coi.  1  xj^xcos.  2xdx-\-etc. 


Ainsi  ce  théorème  qui  donne,  entre  des  limites  assignées, 
le  développement  d'une  fonction  arbitraire  en  séries  de 
sinus  ou  de  cosinus  d'arcs  multiples  se  déduit  des  règles 
élémentaires  du  calcul.  On  trouve  ici  l'origine  du  procédé 
que  nous  avons  employé  pour  faire  disparaître  par  des  inté- 
grations successives  tous  les  coefficients,  excepté  un  seul 
dans  1  équation 

+  a,  sin.a;-|-fljSin.  2x~\-a^  sin.  3  07  + etc. 
i^X=^£l 

-\-b,  cos.x-\-b^cos.  1 X -\- h ^cos.Z X -\- etc. 

ces  intégrations  correspondent  aux  éliminations  des  diverses 
inconnues  dans  les  équations  {jn)  p.  3i3  et  Sao,  et  l'on  recon- 
naît clairement  par  cette  comparaison  des  deux  méthodes 
que  l'équation  (B)  page  334  -,  a  lieu  pour  toutes  les  valeurs  de 
X  comprises  entre  o  et  2  it ,  sans  que  l'on  soit  fondé  à  l'appli- 
quer aux  valeurs  de  x  qui  excèdent  ces  limites. 

279- 
La  fonction  ip  [x,  t)  qui  satisfait  à  la  question ,  et  dont  la 

valeur  est  déterminée  par  l'équation  (E)  pag.  33o  peut  être 

exprimée  comme  il  suit 


CHAPITRE  IV.  333 

3^9  (j;^  i)=fdoi/a.+  (2  Ûn.xfda.faiS\n.oi  +  ^  COS.  xyd  a/a.  COS.  a)  e 

+  (asin.  ti  xyd  oifa  sïn.  2  x-^  2.  COS.  2.  x/da./'a.  COS.  2  a)  e 

+  (2  sin.  3  J^yV/o/a sin.  3  a  +  2  COS.  3.zyr/a/a  COS.  3  a)  e 

+  etc. 

ou2779(a;,  t)==fdcc/'(/.  (i+(2sin.xsin.a  +  2cos.xcos.2)e 

.     .  .  .    —2'ki 

+  (2  sin,  2  o^sin.  2  a + 2  COS.  2  a;cos.  2  a)  e 

+  (2  sin.  3.r  sin.  3  a+ 2  cos.  3a;cos.  3a)  e 

+  etc.  ) 

=/'(f/a/a(l  +  22C0S. /(a  —  x:)e~'        ) 

Le  signe  2  affecte  le  nombre  i  et  indique  que  la  somme  doit 
être  prise  de  i  =  i  à  i  =  -.  On  peut  aussi  comprendre  le 
premier  terme  i  sous  ce  signe  2 ,  et  l'on  a 

2.T:(f(x,t)==/'da/'a'^  COS.  i  (a  —  Cc)  6 

Il  faut  alors  donner  à  i  toutes  ses  valeurs  en  nombres  en- 
tiers depuis jusqu'à  H —  ;  c'est  ce  que  l'on  a  indique 

en  écrivant  les  limites  —  7  et  -h  ~  auprès  du  signe  2,  l'une 
de  ces  valeurs  de  i  est  o.  Telle  est  l'expression  la  plus 
concise  de  la  solution.  Pour  développer  le  second  membre 
de  l'équation ,  on  supposera  i=^o  et  ensuite  i=i  ,2, 3, 4i  etc. 
et  l'on   doublera  chaque   résultat   excepté  le  premier  qui 


334  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

répond  à  i=o.  Lorsque  t  est  nul  il  est  ne'cessaire  que  la 
fonction  9  (x,  t)  i^eprësente  l'état  initial  dans  lequel  les  tem- 
pératures sont  égales  aj'x,  on  aura  donc  l'équation  identique 


2- 


fx  =  -^jda.fx^COS.i{oL  —  x)  (B) 

O  •' 

On  a  joint  aux  signes  y  et  2  les  indices  des  limites  entre 
lesquelles  l'intégrale  et  la  somme  doivent  être  prises.  Ce 
théorème  a  lieu  généralement  quelle  que  soit  la  forme  de  la 
fonction  y^  dans  l'intervalle  de  x  =  o  a.  x^^^t:;  il  est  le 
même  que  celui  qui  est  exprimé  par  les  équations  qui  don- 
nent le  développement  de  F  a; ,  page  260 ,  et  nous  verrons 
dans  la  suite  que  l'on  peut  démontrer  immédiatement  la 
vérité  de  l'équation  (B),  indépendamment  des  considéra- 
tions précédentes. 

280. 
Il  est  facile  de  i^econnaître  que  la  question  n'admet 
aucune  solution  différente  de  celle  que  donne  l'équation  (E) 
pag.  33o.  En  effet  la  fonction  o{x,t)  satisfait  entièrement 
à  la  question ,  et  d'après  la  nature  de  l'équation  différen- 
tielle -r~  ^=z  k  -j—^ ,  aucune  autre  fonction  ne  peut  jouir  de 

cette  même  propriété.  Pour  s'en  convaincre  il  faut  con- 
sidérer que  le  premier  état  du  solide  étant  représenté  par 

une  équation  donnée  'v,=fx,  la  fluxion  -j-^  est  connue, 
puisqu'elle  équivautà  A" -H^.  Ainsi  en  désignant  par  v,  ou 
V,  4-  k  -~  dtXa.  température  au  commencement  du  second 

instant ,  on  déduira  la  valeur  de  v^  de  l'état  initiar  et  de 
l'équation  différentielle.   On  connaîtra   donc  de   la  même 


CHAPITRE  IV.  335 

manière  les  valeurs  v^  v^  a»;...  v„  de  la  température  d'un 
point  quelconque  du  solide  au  commencement  de  chaque 
instant.  Or  la  fonction  (^{x,  t)  satisfait  à  l'ëtat  initial,  puisque 
l'on  a  9  (x,  o)  =fx.  De  plus  elle  satisfait  aussi  à  l'écjuatiou 
différentielle  ;  par  conséquent  étant  différentiée  elle  don- 
nerait pour  -J^,  —Ij,  -Jj,  etc.  les  mêmes  valeurs  que  celles 

qui  résulteraient  de  l'application  successive  de  cette  équation 
différentielle  (a).  Donc  si  dans  la  fonction  9  (.r,  t)  on  donne 
successivement  à  t  les  valeurs  o ,  w ,  2  w,  3  w,  4  w,  etc.  u  dé- 
signant l'élément  du  temps  ;  on  trouvera  les  mêmes  valeurs 
a»,  -y,  Vi  i'4,  etc.  que  l'on  aurait  déduites  de  l'état  initial  et 

de  l'application  continuelle  de  l'équation  -t-=  k  -7—,.  Donc 

toute  fonction  ^  [x,  t)  qui  satisfait  à  l'équation  différentielle 
et  à  l'état  initial  se  confond  nécessairement  avec  la  fonction 
9  (œ,  t)  :  car  ces  fonctions  donneront  l'une  et  l'autre  luie 
même  fonction  de  .r^  si  l'on  y  suppose  successivement 
t  =  o ,  b) ,  2  w ,  3  (0 .  .  .  .   iio,  etc. 

On  voit  par  là  qu'il  ne  peut  y  avoir  qu'une  seule  solution 
de  la  question ,  et  que  si  l'on  découvre  d'une  manière  cjuel- 
conque  une  fonction  ^  (x,  t)  qui  satisfasse  à  l'équation  diffé- 
rentielle et  à  l'état  initial ,  on  est  assuré  qu'elle  est  la  même 
que  la  précédente  donnée  par  l'équation  (E). 

281. 

Cette  même  remarque  s'applique  à  toutes  les  recherches 
qui  ont  pour  objet  le  mouvement  varié  de  la  chaleur;  elle 
suit  évidemment  de  la  forme  même  de  l'équation  générale. 

C'est  par  la   même   raison   que  l'intégrale  de  l'équation 

-j-  =  k  -j^  ne  peut  contenir  qu  une  seule  fonction  arbitraire 
en  X.  En  effet ,  lorsqu'une  valeur  de  ^v  est  donnée  en  fonc- 


336  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

tion  de  x  pour  une  certaine  valeur  du  temps  t ,  il  est  évident 
que  toutes  les  autres  valeurs  de  v  qui  correspondent  à  un 
temps  quelconque  sont  déterminées.  On  peut  donc  choisir 
arbitrairement  la  fonction  de  x ,  qui  correspond  à  un  certain 
état ,  et  la  fonction  de  deux  variables  x  et  ?  se  trouve  alors 
déterminée.  Il  n'en  est  pas  de  même  de  l'équation 

que  nous  avons  employée  dans  le  chapitre  précédent,  et  qui 
convient  au  mouvement  constant  de  la  chaleur;  son  inté- 
grale contient  deux  fonctions  arbitraires  en  x  et  j:  mais  on 
peut  ramener  cette  recherche  à  celle  du  mouvement  varié, 
en  considérant  l'état  final  et  permanent  comme  dérivé  de 
ceux  qui  le  précèdent,  et  par  conséquent  de  l'état  initial  qui 
est  donné.  ' -' 

L'intégrale  que  nous  avons  donnée 

la  aj  a  2  e  COS.  l  (a x) 

contient  une  fonction  arbitraire  fx ,  et  elle  a  la  même 
étendue  que  l'intégrale  générale,  qui  ne  contient  aussi 
qu'une  fonction  arbitraire  en  x  :  ou  plutôt  elle  est  cette  inté- 
grale elle-même  mise  sous  la  forme  qui  convient  à  la  question. 
En  effet  l'équation  v^^fx  représentant  l'état  initial,  et 
i;  =  ip  (x,  t) ,  représentant  l'état  variable  qui  lui  succède  ; 
on  voit  que  d'après  la  forme  même  du  solide  échauffé  la 
valeur  de  ^v  ne  doit  point  changer  lorsqu'on  écrit,  au  lieu 
de  ^,  xàzi.iT.^  i  étant  un  nombre  entier  positif  quel- 
conque. La  fonction 


—   /   d%frf. 

1-kJ        -^ 


2  e  COS.  i  (a  —  .X') 


CHAPITRE  IV.  337 

remplit  cette  condition;  elle  représente  aussi  l'état  initial 
lorsqu'on  suppose  t  =  o;  car  on  a  alors        :  >  .  '■      >   :  .     » 

/x  = I  da/xl  COS.  i  {a.  —  x)  [. 

équation  qui  a  été  démontrée  précédemment,  pages  260  et  333 
et  qu'il  est  d'ailleurs  facile  de  vérifier.  Enfin  la  même  fonc- 

tion  satisfait  à  l'équation   différentielle  -^  =  K  ■-^^.  Quelle 

que  soit  la  valeur  du  temps  t ,  la  température  v  est  donnée 
par  une  série  très-convergente,  et  les  différents  termes  repré- 
sentent tous  les  mouvements  partiels  qui  se  composent  pour 
former  le  mouvement  total.  A.  mesure  que  le  temps  augmente, 
les  états  partiels  de  l'ordre  le  plus  élevé  s'altèrent  rapidement, 
et  ne  conservent  aucune  influence  appréciable  ;  ensorte  que 
le  nombi'e  des  valeurs  que  l'on  doit  donner  à  l'exposant  ?" 
diminue  de  plus  en  plus.  Après  un  certain  temps  le  système 
des  températures  est  représenté  sensiblement  par  les  termes 
que  l'on  trouve  en  donnant  à  i  les  valeurs  o ,  ±  i  et  ±  2  ou 
seulement  o  et  ±  i  ,  ou  enfin  par  le  premier  de  ces  termes 

qui  est  —  /  <^a/'a  ;  il  y  a  donc  une  relation  manifeste  entre 

la  forme  de  la  solution  et  la  marche  du  phénomène  physique 
que  l'on  a  soumis  à  l'analyse, 

282. 
Pour  parvenir  à  cette  solution  on  a  considéré  d'abord 
les  valeurs  simples  de  la  fonction  v  qui  satisfont  à  l'équa- 
tion différentielle  ;  on  a  formé  ensuite  une  valeur  qui 
convient  avec  l'état  initial ,  et  qui  a  par  conséquent  toute  la 
généralité  que  la  question  comporte.  On  pourrait  suivre  une 
marche  différente  et  déduire  la  même  solution  d'une  autre 


^3 


4 


338  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

expression  de  l'intégrale;  car  cette  solution  étant  une  fois 
connue  ,  on  en  transforme  aisément  les  résultats.  Si  l'on 
suppose  que  le  diamètre  de  la  section  moyenne  de  l'anneau 
devient  de  plus  en  plus  grand  à  l'infini,  la  fonction  f  {x ,  t) 
reçoit,  comme  on  le  verra  par  la  suite,  une  forme  diffëi'ente, 
et  se  confond  avec  l'intégrale  qui  contient  une  seule  fonction 
arbitraire  sous  le  signe  d'intégrale  définie.  On  pourrait  aussi 
appliquer  cette  dernière  intégrale  à  la  question  actuelle; 
ruais,  si  l'on  se  bornait  à  cette  application,  on  n  aurait  qu'une 
connaissance  très-imparfaite  du  phénomène  :  car  les  valeurs 
des  températures  ne  seraient  pas  exprimées  par  des 
séries  convergentes ,  et  l'on  ne  distinguerait  point  les 
états  qui  se  succèdent  à  mesure  que  le  temps  augmente,  II 
faudrait  donc  attribuer  à  la  fonction  qui  représente  l'état 
initial  la  forme  périodique  que  la  question  suppose;  mais, 
en  modifiant  ainsi  cette  intégrale,  on  n'aurait  point  d'autre 
résultat  que  celui-ci 

(p  (x^  f)==  —  /  ^^  «y^a  2  e  COS.  i  (a  —  x)- 

On  passe  aisément  de  cette  dernière  équation  à  l'intégrale 
dont  il  s'agit,  comme  nous  l'avons  prouvé  dans  le  Mémoire 
qui  a  précédé  cet  ouvrage.  Il  n'est  pas  moins  facile  d'obtenir 
l'équation  en  partant  de  l'intégrale  elle-même.  Ces  transfor- 
mations rendent  de  plus  en  plus  manifeste  l'accord  des 
résultats  du  calcul;  mais  elles  n'ajoutent  rien  à  la  théorie, 
et  ne   constituent  nullement  une   analyse    différente. 

On  examinera  dans  un  des  chapitres  suivants  les  diffé- 
rentes formes  que  peut  recevoir  l'intégrale  de  l'équation 


CHAPITRE  IV.  339 


-j^=:K-^,  les  rapports  qu'elles  ont  entre  elles,  et  les  cas 

où  elles  doivent  être  employées. 

Pour  former  celle  qui  exprime  le  mouvement  de  la  chaleur 
dans  une  armille,  il  était  nécessaire  de  résoudre  une  fonction 
arbitraiie  en  une  série  de  sinus  et  cosinus  d'arcs  multiples  ; 
les  nombres  qui  affectent  la  variable  sous  les  signes  sinus  et 
cosinus  sont  les  nombres  naturels  i,  2,  3,  4i  etc.  Dans  la 
question  suivante,  on  réduit  encore  la  fonction  arbitraire 
en  une  série  de  sinus;  mais  les  coefficients  de  la  variable 
sous  le  signe  sinus  ne  sont  plus  les  nombres  i ,  2 ,  3 ,  4 1  etc. 
ces  coefficients  satisfont  à  une  équation  déterminée  dont 
toutes  les  racines  sont  irrationnelles  et  en  nombre  infini. 


.1.1  .> 


-V  j'. 


':'. 

■^."'■-iH-' 

i    ^i    "'^Q'  ^  '■'   ■> 

'-  r  " 

J     i>l     T^     _ 

f 

■':::    î'  :  :' 

/:!'■■  ';:  •i/jfïCO 

Zf'.:^ 

K   :■;'.   *  =  : 

'.   ciyjqn 

ùiv: 

/JVi'.cdo    U 

-  f    ■      f.'TjJddifa  2ÎJÎ  f-A'inr/.  stxjc  an 

43.      . 


34o  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 


•»  «J*^»  -V».  «^^V'«^%«^«.^^kW««,'«. 


CHAPITRE    V. 

DE    LA    PROPAGATION    DE    LA    CHALEUR    DANS    UNF 
SPHÈRE    SOLIDE. 


SECTION  PREMIÈRE. 

Solution  générale. 

283. 

x-JK  question  de  la  propagation  de  la  chaleur  a  e'té  exposée 
dans  le  chapitre  II,  section  a,  article   117  (page  m);  elle 

consiste  à  intégrer  1  équation -^r=K  (^  + J  ^)  en  sorte 
que  l'intégrale  satisfasse ,  lorsque  a;  =  X ,  à  la  condition 
^  +  A  1)  =r  o ,  K  désigne  le  rapport  ^  et  h  désigne  le  rap- 
port ^  des  deux  conducibilités  ;  1;  est  la  température   que 

l'on  observerait  après  le  temps  écoulé  t  dans  une  couche 
sphérique  dont  le  rayon  est  x;  X  est  le  rayon  de  la  sphère  ; 
a»  est  une  fonction  de  a:  et  t  qui  équivaut  à  F  x  lorsqu'on 
suppose  ?  =  o.  La  fonction  Y  x  est  donnée,  elle  représente 
l'état  initial  et  arbitraire  du  solide. 

Si  l'on  fait y:=iv x ,  y  étant  une  nouvelle  indéterminée , 

on  aura,  après  les  substitutions,  -^  =  K-r^:  ainsi  il  faut 

^  ^    dt  dx^ 


CHAPITRE   V.  34i 

intégrer  cette  dernière  équation  ,  et  l'on  piendra  ensuite 
V  =  --.  On  cherchera  en  premier  heu  quelles  sont  les  valeurs 

les  plus  simples  que  Ton  puisse  attribuer  à  y,  ensuite  on 
en  formera  une  valeur  générale  qui  satisfera  en  même  temps 
à  l'équation  différentielle,  à  celle  de  la  surface  et  à  l'état 
initial.  Il  sera  focile  de  reconnaître  que  lorsque  ces  trois 
conditions  sont  remplies,  la  solution  est  complète,  et  que 
l'on  ne  pourrait  en  trouver  aucune  autre. 

284. 
Soit  y  =  e      u  ,  u   étant  une  fonction   de  .r ,   on   aura 

m  îi  =  K  j— ,.  On  voit  d'abord  que  la  valeur  de  t  devenant 

infinie ,  celle  de  v  doit  être  nulle  dans  tous  les  points  ;  puis- 
que le  corps  est  entièrement  refroidi.  On  ne  peut  donc 
prendre  pour  m  qu'une  quantité  négative.  Or  K  a  une 
valeur  numérique  positive  ;  on  en  conclut  que  la  valeur  de 
u  dépend  des  arcs  de  cercle,  ce  qui  résulte  de  la  nature 

connue  de  féquation  ??i«=:K-j— ,.   Soit  u  =  K  cos.   11  x 

+  B  sin.  n  X  ;  on  aura  cette  condition  /??  =  —  K  n\  Ainsi 
l'on  peut  exprimer  une  valeur  particulière  de  v  par  l'équa- 

lion  0»= (A  cos.  n  a?  4-  B  sin.  n.r),  ii  est  un  nombre 

positif  quelconque  ,  et  A  et  B  sont  des  constantes.  On 
remarquera  d'abord  que  la  constante  A  doit  être  nulle  ;  car 
la  valeur  de  v  qui  exprime  la  température  du  centre ,  lors- 
qu'on fait  x  =  o  ne  peut  pas  être  infinie ,  donc  le  terme 
A  cos.  X  doit  être  omis. 

De  plus  le  nombre  n  ne  peut  pas  être  pris  arbitrairement. 


342  THEORIE  DE  LA  CHALEUR 

dx 


En  effet  si  dans  l'équation  déterminée  ~-j — \-  hv^=o  on  sub- 


stitue la  valeur  de  v ,  on  trouvera 

n  X  COS.   n  X  {hx —  i)  sin.  n  x=^  o. 

Comme    l'équation    doit   avoir    lieu  à   la   surface  ,  on  y 
supposera   a;  :=  X   rayon  de    la  sphère  ,   ce    qui    donnera 

=  I  —  A  X.  Soit  "k  le  nombre  i  —  A  X  et  «  X  =  e , 


tang.  n  X 


on  aura  =  \.  Il  faut  donc  trouver  un  arc  s  qui ,  divisé 

tang.  s  ^      ' 

par  sa  tangente  donne  un  quotient  connu  X,  et  Ion  prendra 

71  =  - .  Il  est  visible  qu'il  y  a  une  infinité  de  tels  arcs ,  qui 

ont  avec  leur  tangente  un    rapport   donné;  en  sorte   que 

l'éauation  de  condition -^^  =  i  —  A  X    a   une   infinité 

^  tang.  n  a. 

de  racines  réelles. 

285. 

Les  constructions  sont  très-propres  à  faire  connaître  la 
nature  de  cette  équation.  Soit  u  =  tang.  e  {"vqy:  fig.  12), 
l'équation  d'une  ligne  dont  l'arc  e  est  l'abscisse,  et  u  l'ordon- 
née ;  et  soit  '*  =  ^  l'équation  d'une  droite  dont  e  et  u  dési- 
gnent aussi  les  coordonnées.  Si  on  élimine  u  avec  ces  deux 
équations,  on  a  la  proposée  t-  =  tang.   e.    L'inconnue  e   est 

donc  l'abscisse  du  point  d'intersection  de  la  courbe  et  de  la 
droite.  Cette  ligne  courbe  est  composée  d'une  infinité  d'arcs; 
toutes  les  ordonnées  correspondantes  aux  abscisses  7  w,  4  x, 
vw,7TT,  etc.  sont  infinies,  et  toutes  celles  qui  répondent 
aux  points  o,  tt,  2::,  3tc,  4^:,  etc.  sont  nulles.  Pour  tracer 

la  droite  dont  l'équation  est  a=  y^=  .  „  ,    on    forme   le 


CHAPITRE  V.  343 

quarre  o  i  w  i  ,  et  portiint  la  quantité  A  X  de  u>  en  A,  on 
joint  le  point  h  avec  l'origine  o.  La  courbe  dont  l'équation 
est  M=tang.  £  a  pour  tangente  à  l'origine  non  une  ligne  qui 
divise  l'angle  droit  en  deux  parties  égales,  parce  que  la  der- 
nière raison  de  l'arc  à  sa  tangente  est  i.On  conclut  de  là  que 
si  1  ou  I — AX  est  une  quantité  moindre  que  l'unité,  la  droite 
m  o  m  passe  à  l'origine  au-dessus  de  la  courbe  77  on  et  qu'il  y 
a  un  point  d'intersection  de  cette  droite  avec  la  première 
branche.  Il  est  également  évident  que  la  même  droite  coupe 
toutes   les    branches  ultérieures  n  w  Ji ,  n  1  ta  n ,  etc.   Donc 

l'équation =  ^  a  un  nombre  infini  de  racines  réelles, 

'■  tani?.  e 

La  première  est  comprise  entre  o  et  -,  la  seconde  entre  -k. 

et  3  -,  la  troisième  entre  2  tc  et  5  -,  ainsi  de  suite.  Ces  ra- 

2  2 

cines  approchent  extrêmement  de  leurs  limites  supérieures 
lorsque  leur  rang  e&t  très-avancé. 

286. 
Si  l'on  veut  calculer  la  valeur  d'une  de  ces  racines,  par 
exemple  :  de  la  première ,  on  peut  employer  la  règle  sui- 
vante :   on  écrira   les  deux   équations   e  =  arc.    tang.   u  et 

11^:=  -^  arc.  tang.  11  désignant  la  longueur  de  l'arc  dont  la 

tangente  est  u.  Ensuite  prenant  un  nombre  quelconque 
pourri,  on  en  conclura,  au  moyen  de  la  première  équa- 
tion ,  la  valeur  de  e  ;  on  substituera  cette  valeur  dans  la 
seconde  équation,  et  l'on  en  déduira  une  autre  valeur  de  u; 
on  substituera  cette  seconde  valeur  de  u  dans  la  première 
équation;  on  en  déduira  la  valeur  de  e  qui,  au  moyen  de 
la  seconde  équation,   fera  connaître    une  troisième    valeur 


344  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

de  u.  En  la  substituant  dans  la  première  e'quation  on  aura 
luie  nouvelle  valeur  de  i.  On  continuera  ainsi  de  déterminer 
u  par  la  seconde  équation ,  et  e  par  la  première.  Cette  opé- 
ration donnera  des  valeurs  de  plus  en  plus  approchées  de 
l'inconnue  i ,  la  construction  suivante  rend  cette  conver- 
gence manifeste. 

En  effet,  si  le  point  u  correspond  {voy.  fig.  i3)  à  la 
valeur  ai'bitraire  que  l'on  attribue  à  l'ordonnée  u;  et  si  l'on 
substitue  cette  valeur  dans  la  première  équation  £=arc.  tang.  u, 
le  point  £  correspondra  à  l'abscisse  que  l'on  aura  calculée , 
au    moyen    de    cette     équation.     Si    l'on     substitue    cette 

abscisse  e  dans  la  seconde  équation  u  =z  -^  on  trouvera  une 

ordonnée  u  qui  correspond  au  point  u .  Substituant  lî  dans 
la  première  équation ,  on  trouvera  une  abscisse  e'  qui  répond 
au  point  e'  ;  ensuite  cette  abcisse  étant  substituée  dans  la 
seconde  équation  fera  connaître  une  ordonnée  u  qui,  étant 
substituée  dans  la  première ,  fera  connaître  une  troisième 
abscisse  i\  ainsi  de  suite  à  l'infini.  C'est-à-dire  que,  pour 
représenter  l'emploi  continuel  et  alternatif  des  deux  équa- 
tions précédentes ,  il  faut  par  le  point  ii  mener  l'horizontale 
jusqu'à  la  courbe ,  par  le  point  d'intersection  e  mener  la 
verticale  jusqu'à  la  droite ,  par  le  point  d'intersection  u 
mener  l'horizontale  jusqu'à  la  courbe ,  par  le  point  d'inter- 
section z  mener  la  verticale  jusqu'à  la  droite,  ainsi  de  suite 
à  l'infini,  en  s' abaissant  de  plus  en  plus  vers  le  point  cherché. 

287. 
La  figure  précédente  (i3)  représente  le  cas  où  l'ordonnée 
prise  arbitrairement  pour  u  est  plus  grande  que  celle  qui 
répond  au  point  d'intersection.  Si  l'on  choisit  au  contraire 


CHAPITRE  IV.  345 

pour  la  valeur  initiale  de  u,  une  quantité  plus  petite,  et 
que  l'on  emploie  de  la  même  manière  les  deux  équations 

£  =  arc.  tang.  M^  u=.-^  on  parviendrait  encoi-e  k  des  valeurs 

de  plus  en  plus  approchées  de  l'inconnue.  La  figure  (i4)  fait 
connaître  que  dans  ce  cas  on  s'élève  continuellement  vers  le 
point  d'intersection  en  passant  par  les  points  «e  u  î  li' z\  etc. 
qui  terminent  des  droites  horizontales  et  verticales.  On 
obtient,  en  partant  d'une  valeur  de  u  trop  petite,  des  quan- 
tités e  e'  e"  e"'  e",  etc.  qui  convergent  vers  l'inconnue  et  sont 
plus  petites  qu'elles;  et  l'on  obtient,  en  partant  d'une  valeur 
de  u  trop  grande,  des  quantités  qui  convergent  aussi  vers 
l'inconnue,  et  dont  chacune  est  plus  grande  qu'elle.  On 
connaît  donc  des  limites  de  plus  en  plus  resserrées ,  et  entre 
lesquelles  la  grandeur  cherchée  sera  toujours  comprise. 
L'une  et  l'autre  approximation  sont  représentées  par  la 
formule 

£  =.  , .  .arc.  tang.r^  ai'c.  tang.Q  arc.  tang.  (^  arc.  tang.  y))) 

Lorsqu'on  aura  effectué  quelques-unes  des  opérations  indi- 
quées ,  les  résultats  successifs  différeront  moins  et  l'on  sera 
parvenu  à  une  valeur  approchée  de  £. 

288. 
On  pourrait  se  proposer  d'appliquer  les  deux  équations 

i  =  arc.  tang.  ii,  et  u  =  ^  dans  un  ordre  différent,  en  leur 

donnant  cette  forme  u  =  tang.  i  et  £  =  x  «.  On  prendrait 
pour  £  une  valeur  arbitraire,  et,  en  la  substituant  dans  la 
première  équation,  on  trouverait  la  valeur  de  u,  qui  étant 
substituée  dans  la  seconde  équation  donneiait  une  seconde 

44 


346  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR, 

valeur  de  e  ;  on  emploierait  ensuite  cette  nouvelle  valeur  de 
s  de  la  même  manière  qu'on  a  employé  la  première.  Mais  il 
est  facile  de  reconnaître ,  par  les  constructions ,  qu'en  sui- 
vant le  cours  de  ces  opérations,  on  s'éloigne  de  plus  en 
plus  du  point  d'intersection,  au  lieu  de  s'en  approcher, 
comme  dans  le  cas  précédent.  Les  valeurs  successives  de  £ 
que  l'on  obtiendrait  diminueraient  continuellement  jusqu'à 
zéro ,  ou  augmenteraient  sans  limite.  On  passerait  successi- 
vement de  s"  en  w",  de  li'  en  e',  de  e'  en  lî^  de  ii!  en  i ,  ainsi 
de  suite  à  l'infini. 

La  règle  que  l'on  vient  d'exposer  pouvant  s'appliquer  au 

calcul  de  chacune  des  racines  de  l'équation  =  i  —  A  X 

^  tang.e 

qui  ont  d'ailleurs  des  limites  données,  on  doit  regarder 
toutes  ces  racines  comme  des  nombi'es  connus.  Au  reste  il 
était  seulement  né-::essaire  de  se  convaincre  que  l'écjuation 
a  une  infinité  de  racines  réelles.  On  a  rapporté  ici  ce  pro- 
cédé d'approximation  parce  qu'il  est  fondé  sur  une  construc- 
tion remarquable,  cju'on  peut  employer  utilement  dans 
plusieurs  cas ,  et  qu'il  fait  connaître  sur-le-champ  la  nature 
et  les  limites  des  racines;  mais  l'application  qu'on  ferait 
de  ce  procédé  à  l'équation  dont  il  s'agit  serait  beaucoup 
trop  lente  ;  il  serait  facile  de  recourir  dans  la  pratique  à  une 
autre  méthode  d'approximation. 

On  connaît  maintenant  une  forme  particulière  que  l'on 
peut  donner  à  la  fonction  o) ,  et  qui  satisfait  à  deux  condi- 
tions de   la    question.    Cette  solution   est   représentée  par 

1  équation /»=  ,    ,,,,- ou  v  ^  a  e  -^^-.    Le 


CHAPITRE    V.  347 

coefficient  a  est  un  nombre  quelconque ,  et  le  nombre  n  est 
tel  aue  l'on  a      "'    .,  =  1  —  A  X.  Il  en  résulte  que  si  les 

T^  tang.  n  X 

températures  initiales  des  différentes  couches  étaient  pro- 
portionnelles au  quotient '^'""'^'^,  elles  diminueraient  toutes 

à-la-fois,  en  conservant  entre  elles  pendant  toute  la  durée 
du  refroidissement  les  rapports  qui  avaient  été  établis  ;  et  la 
température  de  chaque  point  s'abaisserait  comme  l'ordonnée 
d'une  logarithmique   dont  l'abscisse   désignerait    le    temps 
écoulé.  Supposons  donc  que ,  l'arc  t  étant  divisé  en  parties 
égales  et  pris  pour  abscisse,  on  élève  en  chaque   point  de 
division  une  ordonnée  égale  au  rapport  du  sinus  à  l'arc.  Le 
système  de  toutes  ces  ordonnées  sera  celui  des  tempéra- 
tures initiales,  qu'il  faut  attribuer  aux  différentes  couches, 
depuis  le  centre  jusqu'à  la  surface ,  le  rayon  total  X  étant 
divisé  en  parties  égales.  L'are  s  dont  la  longueur  représente- 
rait   dans   cette  construction  le  rayon  X  ne  doit  pas   être 
pris  arbitrairement;  il   est  nécessaire  que  fcet  arc  ait  avec 
sa  tangente  un  rapport  donné.  Comme  il  y  a  une  infinité 
d'arcs  qui  satisfont  à  cette   condition,   on   formerait  ainsi 
une  infinité   de   systèmes   des   températures   initiales,    qui 
peuvent  subsister  deux-mêmes  dans   la  sphère,  sans  que 
les  rapports  des   températures  changent  pendant  la  durée 
du  refi'oidissement.  .       ^ 

Il  ne  reste  plus  qu  à  former  un  £tat  initial  quelconque, 
au  moyen  d'un  certain  nombre  pu  .d'une  hifini té  .d'états 
partiels,  dont  chacun  représente  un  de  ces  systèmes  de 
température  que  nous  avons  considérés  précédemment .  et 

44. 


348  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

dans  lesquels  l'ordonnée  varie  avec  la  distance  x ,  propor- 
tionnellement au  quotient  du  sinus  par  l'arc.  Le  mouvement 
général  de  la  chaleur  dans  l'intérieur  de  la  sphère,  sera  alors 
décomposé  en  autant  de  mouvements  particuliers  dont 
chacun  s'accomplira  librement  comme  s'il  était  seul. 

Désignant  par  «,  n.,  n^  n.:,  ii^^  etc.  les  quantités  qui  satis- 

font  à  l'équation — - — v  =  i — AX,  et   que    l'on    suppose 

rangées  par  ordre ,  en  commençant  par  la  plus  petite  ;  on 
formera  l'équation  générale 

— kn\t    .  — krilt    .  —kn\t    . 

'Vx^a,e  sm.n^x+a^e  sm.n^x+aie  sin.?iiX-i-etc. 

Si  l'on  fait  ^=o,  on  aura  pour  exprimer  l'état  initial  des 
températures 

xv^a,  sin.  n, x+a^ sin. n^x-\-ai sin. n^x+a:, sin. n^ a;+ etc. 

La  question  consiste  à  déterminer ,  quel  que  soit  l'état 
initial,  les  coefficients  a,  <7,  «3  «4,  etc.  Supposons  donc  que 
l'on  connaisse  les  valeurs  de  v  depuis  x=:o  jusqu'à  ar  =  X, 
et  représentons  ce  système  de  valeurs  par  F  a;  ;  on  aura 

Yx=-  {a^&\n.n,x-\-a:,&\Xi.n^x+aiSm.niX-\-aiSm.n^x  +  elc)    (e) 

291. 

Pour  déterminer  le  coefficient  a^ ,  on  multipliera  les  deux 
nombres  de  l'équation  par  x  sin.  nx  d x,  et  l'on  intégrera 
depuis  a:=o  jusqu'à  x=X.  L'intégrale/" sin.  fiix  sin.  nxdx 

prise  entre  ces  limites,  est 
■     •  jii 

-T- — ;  { — ?«sin.  «Xcos.  wX4-  resin. /«Xcos.  «Xj- 


CHAPITRE  V.  349 

Si  m  et  71  sont  des  nombres  choisis  parmi  les  raciocs 
«,  /?,  n^  Ji^^  et  qui  satisfont  à  l'équation  -—^, — ^=  i  — /tX, 
on  aura 

-.V 

ou7?^cos.?7^Xsin./^X — /zsin.7?zXcos.7î,r:=:o. 


»2  X  «  X 


tano-.wX         tang.  «X 


Oïl  voit  par-là  que  la  valeur  totale  de  l'intégrale  est  nulle  ; 
mais  il  y  a  un  seul  cas  où  cette  intégrale  ne  s'évanouit  pas, 

c'est  lorsque  m=^n.  Elle  devient  alors  -,  et,  par  l'applica- 
tion des  rèfifles  connues,  elle  se  réduit  à  -  X  —  -7-  sin.a/i  X. 

Il  résulte  de  là  que  pour  avoir  la  valeur  du  coefficient  <?,, 
dans  l'équation  (e),  il  faut  écrire 

2.  l X sin.n.x .dx¥ x=^a ,  TX  —  - —  sin.  2«,X  j- 

Le  signey  indiquant  que  l'on  prend  l'intégrale  depuis  a.:=o 
jusqu'à  œ  =  X.  On  aura  pareillement 

2.  l  X  sin.  n^x  dx  ¥ x=a,  TX sin.  2«,  XV 

On  déterminera  de  même  tous  les  coefficients  suivants.  Il 
est  aisé  de  voir  que  l'intégrale  définie  2.fx  .  sin.  nx  dx  ¥ x 
a  toujours  une  valeur  déterminée ,  quelle  que  puisse  être  la 
fonction  arbitraire  F  .r.  Si  cette  fonction  ¥  x  est  représentée 
par  l'ordonnée  variable  d'une  ligne  qu'on  aurait  tracée 
d'une  manière  quelconque,  la  fonction  x  F.r.sin.  nx,  cor- 
respondra aussi  à  l'ordonnée  d'une  seconde  ligne  que  l'on 
construirait  facilement  au  moyen  de  la  première.  L'aire 
terminée  par  cette  dernière  ligne  entre  les  abscisses  a;  =  o , 


35o  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

œ  =  X.  fera  connaître  le  coefficient  a^^  i  étant  l'indice  du 
rang  de  la  racine  n. 

La  fonction  arbitraire  F  x  entre  dans  chaque  coefficient 
sous  le  signe  de  l'intégration ,  et  donne  à  la  valeur  de  v 
toute  la  généralité  cjue  la  question  exige,  on  parvient  ainsi 
à  l'équation  suivante 

sin.n,a-fxsm.n,xYx.dx          ,            sin. ri  xfx sin.n,xF x dx         , 
XV        ■- '■ — /cn]t      -^ — Anlt 

2  A sin.  2  7?,  X  X sm.  2/?,X 

2«,  2«, 

Telle  est  la  forme  cjue  l'on  doit  donner  à  lintégrale  générale 

IV'        4.-        ^^        T-  f^'î'       2  dv  ,   ,,  ,       ^ 

de  1  équation  -^  =  rs. -y-^  +  -  ^,  pour    quelle   représente 

le  mouvement  de  la  chaleur  dans  la  sphère  solide.  En  effet 
toutes  les  conditions  de  la  cjuestion  seront  remplies  :  i"  l'équa- 
tion aux  différences  partielles  sera  satisfaite  ;  2."  la  quantité 
de  chaleur  qui  s'écoule  à  la  surface  conviendra  à-la-fois  à 
l'action  mutuelle  des  dernières  couches  et  à  l'action  de  l'air 

sur  la  surface  ;  c'est-à-dire  que  féquation  -i—  -h  h  v  =  o  ^  a 

laquelle  chacune  des  parties  de  la  valeur  de  v  satisfait 
lorsque  ,rrr=X,  aura  lieu  aussi  lorsqu'on  prendra  pour  v 
la  somme  de  toutes  ces  parties;  3°  la  solution  donnée  con- 
viendra à  l'état  initial  lorsqu'on  supposera  le  temps  nul. 

Les  racines  Ji,  n,  n.  ?î,.  etc.  de  l'équation — — ^  =  i — h\ 

'     -     ^      ^'  ^  tang.«X 

sont  très-inégales;  d'où  l'on  conclut  que  si  la  valeur  du 
temps  écoulé  t  est  considérable,  chaque  terme  de  la  valeur 
de  V  est  extrêmement  petit  par  rapport  à  celui  qui  le  prér 
cède.  A  mesure  cjue  le  temps  du  refroidissement  augmente, 
les  dernières  parties  de  la  valeur  de  v  cessent  d'avoir  aucune 


CHAPITRE   V.  35i 

influence  sensible  ;  et  ces  états  partiels  et  élémentaires  qui 
composent  tl'abord  le  mouvement  général ,  afin  qu'il  puisse 
comprendre  l'état  initial,  disparaissent  presqu'cntiërement, 
excepté  un  seul.  Dans  ce  dernier  état,  les  températures  des 
différentes  couches  décroissent  depuis  le  centre  jusqu'à  la 
surface,  de  même  que  dans  le  cei'cle  les  rapports  du  sinus 
à  l'arc  décroissent  à  mesure  que  cet  arc  augmente.  Cette  loi 
règle  naturellement  la  distribution  de  la  chaleur  dans  une 
sphère  solide.  Lorsqu'elle  commence  à  subsister  ,  elle  se 
conserve  pendant  toute  la  durée  du  refroidissement.  Quelle 
que  soit  la  fonction  F  x  qui  représente  l'état  initial ,  la  loi 
dont  il  s'agit  tend  de  plus  en  plus  à  s'établir  ;  et  lorsque  le 
refroidissement  a  duré  cjuelque  temps,  on  peut  supposer 
qu'elle  existe  sans  erreur  sensible. 

293. 
Nous  appliquerons  la  solution  générale  au  cas  oii  la  sphère 
ayant  été  long-temps  plongée  dans  un  liquide,  a  acquis  dans 
tous  ses  points  une  même  température.  Dans  ce  cas  ,  la 
fonction  Fx  est  i,  et  la  détermination  des  coefficients  se 
réduit   à   intégrer  x  sin.    nx   dx ,    depuis  a-  =  o  jvisqu'à 

■^  .       •        '         1  sin./iX  —  ZiXcOS.  «X       ■r^  1 

iCi^X,  cette  nite£;rale  est .  Donc  la  va- 

leur  d'un  coefficient  quelconque  est  exprimée  ainsi 

a      sin.«X — «Xcos.  «X_ 

n     «X  —  sin.«Xcos.«X  ' 

le  rang  du  coefficient  est  déterminé  par  celui  de  la  racine  n, 
l'équation  qui  donne  ces  valeurs  de  n  est  :;  ■"'1 

n  X  COS.  «  X  2  X'  r     i^ 

— -■ ^ —  =1  —  «  A-.  it&iiu  inoijido 

sin.  n  A  ' 


35a  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

1  Y 

on  trouvera  donc  «^  =  -  •  — r;^ -. 

n     riA.  COS.  e  c  74  A  —  cos.  n  X 

Il  est  aise  maintenant  de  former  la  valeur  géne'rale  ;  elle 
est  donne'e  par  l'équation 

— kn\t   .  — knlt  . 

■vx  e  '    sm.n.x  e  "   sm.n^x 

+  —r-^ ^ — ^,  +  etc. 


aXA       «,  (rt,  Xcosec.  «,  X  —  cos.  «,  X)       «(«^X  cosec.  re^X  —  cos.WjX) 

En  désignant  par  s,  e,  ej  £4 ,   etc.   les  racines   de  l'équation 

=  1  —  A  X ,  et  les  supposant   rangées  par  ordre   en 

commençantpar  la  plus  petite;  remplaçant  n,  X,?^,  X,«3  X,  etc. 
par  e.  e,  £3 ,  etc. ,  et  mettant  au  lieu  de  K  et  A  leurs  valeurs 

p-pj  et  jT- ,  on  aura  pour  exprimer  les  variations  des  tempé- 
ratures pendant  le  refroidissement  d'une  sphère  solide  qui 
avait  été  uniformément  échauffée ,  l'équation 


L;„  =  ^  t:.D  X'  •„  ,  ^  CD  X, 

,      Isin.  e,  -  e  sin.e,  :^       e  ' 

■î>=-ïrX 1 h  etc. 

IL      \       X  X 

1    £,  -         S,  cosec.s,  —  cos.  e"  e,  =^      e^cosec.  e, —  cos.e^ 

\  X  A- 

SECTION  IL 

Re?narques  diverses  sur  cette  solution. 

294. 

Nous  exposerons  quelques-unes  des   conséquences  que 

l'on  peut  déduire  de  la  solution  précédente.  Si  l'on  suppose 

que  le  coefficient  h   qui  mesure  la  facilité  avec  laquelle  la 

chaleur  passe  dans  l'air,  a  une  très-petite  valeur,  ou  que  le 


CHAPITRE  IV.  353 

rayon  X  de  la  sphère  est  très-petit,  la  moindre  valeur  de  e 
sera  extrêmement  voisine  de  zéro ,  en  sorte  que  l'équation 

— —  =1  —  ^  A  se  réduit  a =  i ^ ,  ou  ,    en 

tanu;.£                   K                                                i      ,  K.   '  ^ 

°  e 5  ê' 

2.  J 

omettant  les  puissances  supérieures  de  e,  r  =  3  -^.    D'un 


autre  côté  la  quantité  -. cos.  e  devient ,  dans  la  même 

/  X  **"■  (^  X  ) 

hypothèse,  -t.— •  Quant  au  terme ^ —    il    se    réduit    à 

I.    En   faisant  ces   substitutions  dans   l'équation   générale, 

3  h 

on  aura  a»  :^  e  c.d.x  _,_  gj-^  Qn  peut  remarquer  que  les 
termes  suivants  décroissent  très-rapidement  en  comparaison 
du  premier,  parce  que  la  seconde  racine  «,  est  beaucoup 
plus  grande  que  zéro  ;  en  sorte  que  si  les  quantités  h  ou  X 
ont  une  petite  valeur ,  on  doit  prendre ,  pour  exprimer  les 

3/it 

variations  des  températures,  l'équation  o»^  e  c.d.x  Ainsi 
les  différentes  enveloppes  sphériques  dont  le  solide  est 
composé  conservent  une  température  commune  pendant 
toute  la  durée  du  refroidissement.  Cette  température  diminue 
comme  l'ordonnée  d'une  logarithmique,  le  temps  étant  pris 
pour  abscisse  ;  la  température  initiale  qui  est   i   se  réduit 

après  le  temps  t  a  e  c.d.x  Pour  que  la  température  initiale 
devienne  la  fraction  —,  il  faut  que  la  valeur  de  t  soit  5-7  •  „^k-- 
Ainsi ,  pour  des  sphères  de  même  matière  qui  ont  des  dia- 

45 


354  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

mètres  différents,  les  temps  qu'elles  mettent  à  perdre  la 
moitié  ou  une  même  partie  déterminée  de  leur  chaleur 
actuelle,  lorsque  la  conducibilité  extérieure  est  extrêmement 
petite ,  sont  proportionnels  à  leurs  diamètres.  Il  en  est  de 
même  des  sphères  solides  dont  le  rayon  est  très-petit;  et 
l'on  trouverait  encore  le  même  résultat  en  attribuant  à  la 
conducibilité  intérieure  K  une  très-grande  valeur.  Il  a  lieu 

en  général  lorsque  la  quantité  -^  est   très -petite.  On  peut 

regarder  le  rapport  -jt-  comme   très-petit,   lorsque  le  corps 

qui  se  refroidit  est  formé  d'un  liquide  continuellement  agité 
que  renferme  un  vase  sphérique  d'une  petite  épaisseur. 
Cette  hypothèse  est  en  quelque  sorte  la  même  que  celle 
d'une  conducibilité  parfaite  :  donc  la  température  décroît 

suivant  la  loi  exprimée  par  l'écpiation  o)  =  e        c.d.x 

On  voit  par  ce  qui  précède  que  dans  une  sphère  solide 
qui  se  refroidit  depuis  long-temps,  les  températures  décrois- 
sent depuis  le  centre  jusqu'à  la  surface  comme  le  quotient 
du  sinus  par  l'arc  décroît  depuis  l'origine  oii  il  est  i  jusqu'à 
l'extrémité  d'un  arc  donné  e,  le  rayon  de  chaque  couche 
étant  représenté  par  la  longueur  variable  de  cet  arc.  Si  la 
sphère  a  un  petit  diamètre ,  ou  si  la  conducibilité  propre 
est  beaucoup  plus  grande  que  la  conducibilité  extérieure, 
les  températures  des  couches  successives  diffèrent  ti  ès-peu 
entre  elles ,  parce  que  l'arc  total  £  qui  représente  le  rayon  X 
de  la  sphère  a  très-peu  d'étendue.  Alors  la  variation  de  la 
température  v  commune  à  tous  les  points  est  donnée  par 


CHAPITRE   IV.  355 


l'équation  v  =  e  c.d.x  Ainsi,  en  comparant  les  temps 
respectifs  que  deux  petites  sphères  emploient  à  perdre  la 
moitié  ou  une  partie  aliquote  de  leur  chaleur  actuelle,  on 
doit  trouver  que  ces  temps  sont  proportionnels  aux  dia- 
mètres. 

296. 


Le  résultat  exprimé  par  l'équation  v  =  e  c.d.x  ne  con- 
vient qu'à  des  masses  d'une  forme  semblable  et  de  petite 
dimension.  Il  était  corniu  depuis  long-temps  des  physiciens, 
et  il  se  présente  pour  ainsi  dire  de  lui-même.  En  effet  si 
un  corps  quelconque  est  assez  petit  pour  que  l'on  puisse 
regarder  comme  égales  les  températures  des  différents 
points ,  il  est  facile  de  reconnaître  la  loi  du  refroidissement. 
Soit  I  la  température  initiale  commune  à  tous  les  points  ^ 
et  -v  la  valeur  de  cette  température  après  le  temps  écoulé  t  ; 
il  est  visible  que  la  quantité  de  chaleur  qui  s'écoule  pendant 
l'instant  d  t  dans  le  milieu  supposé  entretenu  à  la  tempé- 
rature o  e&thÇtvdt,  en  désignant  par  S  la  surface  exté- 
rieure du  corps.  D'un  autre  côté  C  étant  la  chaleur  qui  est 
nécessaire  pour  élever  l'unité  de  poids  de  la  température  o 
à  la  température  i ,  on  aura  C .  D .  V  pour  l'expression  de  la 
quantité  de  chaleur  qui  porterait  le  volume  V  du  corps  dont 
la  densité   est  D  de  la   température  o  à  la  température  i. 

Donc  est  la  quantité  dont  la  température  o»  est  dimi- 

nuée lorsque  le  corps  perd  une  quantité  de  chaleur  égale  à 

h^vdt 
C.D.V  ' 


k  S  V  d  t.  On  doit  donc  avoir  l'équation  dv  = 


hSt 


ou  y  =  e     C.D.V   Si  jg  corps  a  la  forme  sphérique,  on  aura, 

45. 


356  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 


3ht 


en  appelant  X  le  rayon  total ,  l'équation  v==e     c.d.x_ 

297- 
Supposons  que  l'on  puisse  observer  pendant  le  refroidis- 
sement du  corps  dont  il  s'agit  deux  températures  v^  et  v, , 
correspondantes  aux  temps  t^  et  t^  ;  on  aura 


/^  S       log.  V,  —  log.  V, 


C.D.V~         t,  —  t, 

On  connaîtra  donc  facilement  par  l'expérience  l'exposant 

ç  r,  y-  Si  l'on  fait  cette  même  observation  sur  des  corps 

différents ,  et  si  l'on  connaît  d'avance  le  rapport  de  leurs 
chaleurs  spécifiques  C  et  C  ;  on  trouvera  celui  de  leurs 
conducibilités  extérieures  h  et  h'.  Réciproquement,  si  l'on 
est  fondé  à  regarder  comme  égales  les  valeurs  h  et  h'  de  la 
conducibilité  extérieui'e  des  deux  corps  différents,  on  con- 
naîtra le  rapport  des  chaleurs  spécifiques.  On  voit  par-là 
qu'en  ol^servant  les  temps  du  refroidissement  pour  divers 
liquides  et  autres  substances  enfermées  successivement  dans 
un  même  vase  d'une  très-petite  épaisseur,  on  peut  déter- 
miner exactement  les  chaleurs  spécifiques  de  ces  substances. 
Nous  remarquerons  encore  que  le  coefficient  K  qui  mesure 
la  conducibilité  propre  n'entre  point  dans  l'équation 


V  =  e 


-3:    "' 


C.D.X 


1 


ainsi  les  temps  du  refroidissement  dans  les  corps  de  petite 
dimension  ne  dépendent  point  de  la  conducibilité  propre  ; 
et  l'observation  de  ces  temps  ne  peut  rien  apprendre  sur 
cette  dernière  propriété  ;  mais  on  pourrait  la  déterminer  en 


CHAPITRE  IV.  357 

mesurant  les  temps  du  refroidissement  dans  des  vases  de 
différentes  épaisseurs. 

298. 

Ce  que  nous  avons  dit  plus  haut  sur  le  refroidissement 
d'une  sphère  de  petite  dimension ,  s'applique  au  mouvement 
du  thermomètre  dans  l'air  ou  dans  les  liquides.  Nous  ajou- 
terons les  remarques  suivantes  sur  l'usage  de  ces  instru- 
ments. 

Supposons  qu'un  thermomètre  à  mercure  soit  plongé 
dans  un  vase  rempli  d'eau  échauffée,  et  que  ce  vase  se 
refroidisse  librement  dans  l'air  dont  la  température  est 
constante.  Il  s'agit  de  trouver  la  loi  des  abaissements  suc- 
cessifs du  thermomètre. 

Si  la  température  du  liquide  était  constante,  et  que  le 
thermomètre  y  fut  plongé,  il  changerait  de  température  en 
s'approchant  très-promptement  de  celle  du  liquide.  Soit  v 
la  température  variable  indiquée  par  le  thermomètre ,  c'est- 
à-dire  son  élévation  au-dessus  de  la  température  de  l'air; 
soit  u  l'élévation  de  la  température  du  liquide  au-dessus  de 
celle  de  l'air,  et  t  le  temps  correspondant  à  ces  deux  valeui^ 
v  et  u.  Au  commencement  de  l'instant  d  t  qui  va  s'écouler, 
la  différence  de  la  température  du  thermomètre  à  celle  du 
mercure  étant  v  —  u  la  variable  v  tend  à  diminuer ,  et  elle 
perdra  dans  l'instant  dt  une  quantité  proportionnelle  à 
v — u;  en  sorte  que  l'on  aura  l'équation  dv= — h{y — u)dt. 
Pendant  le  même  instant  d t  \?l  variable  u  tend  à  diminuer, 
et  elle  perd  une  quantité  proportionnelle  à  u ,  en  sorte  que 
l'on  a  l'équation  d  u  =  —  lAu  d  t.  Le  coefficient  H  exprime 
la  vitesse  du  refroidissement  du  liquide  dans  l'air,  quantité 
que  l'on  peut  facilement  reconnaître  par  l'expérience ,  et  le 


358  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

coefficient  h  exprime  la  vitesse  avec  laquelle  le  thermomètre 
se  refroidit  dans  le  liquide.  Cette  dernière  vitesse  est  beau- 
coup plus  grande  que  H.  On  peut  pareillement  trouver  par 
l'expérience  le  coefficient  h  en  faisant  refroidir  le  thermo- 
mètre dans  le  liquide  entretenu  à  une  température  constante. 
Les  deux  équations  dii  =  —  Hudt  et  <^^»  =  —  h{v  —  u)dt 

A      — H'^      ..   dv  ,  ,     .      — ht    r. 

ou  ^^  =  A  e  et  --7-  =;  —  h  v  +  h  A  e  lournissent 

at 

celle-ci  a»  —  u  =  b  e         +  aHe  ,  a  et  h  étant  des  con- 

stantes arbitraires.  Supposons  maintenant  que  la  valeur 
initiale  de  v  —  u  soit  A,  c'est-à-dire  que  la  hauteur  du 
thermomètre  surpasse  de  A  la  vraie  température  du  liquide 
au  commencement  de  l'immersion;  et  que  la  valeur  initiale 
de  u  soit  E,  on  déterminera  a  et  b,  et  l'on  aura 

.     —ki        H.E    /  —Ht        —hty 
'V  —  K  ^  A  e  + 


H 


/  — nt       — ht\ 
{e         -e        y 


La  quantité  v  —  m  est  l'erreur  du  thermomètre  ,  c'est-à-dire 
la  différence  qui  se  trouve  entre  la  température  indiquée 
par  le  thermomètre  et  la  température  réelle  du  liquide  au 
même  instant.  Cette  différence  est  variable ,  et  l'équation 
précédente  nous  fait  connaître  suivant  quelle  loi  elle  tend  à 
décroître.  On  voit  par  l'expression  de  cette  différence  v — u 

que  deux  de  ses  termes  qui  contiennent  e         diminuent 

très -rapidement,  avec  la  vitesse  qu'on  remarquerait  dans 

le  thermomètre ,  si  on  le  plongeait  dans  le  liquide  à  tempé- 

ij  A. 

rature  constante.  A  l'égard  du  terme  qui  contient  e  •, 

son  décroissement  est  beaucoup  plus  lent,  et  s'opère  avec 


CHAPITRE  IV.  359 

la  vitesse  du  refroidissement  du  vase  dans  l'air.  Il  resuite 
de  là  qu'après  un  temps  bien  peu  considérable,  l'erreur  du 
thermomètre  est  représentée  par  le  seul  terme 


H.E     —Ht  H 


e  ou    ; Tr-  u- 


h  — H  —  h  — H 

^99- 
Voici    maintenant   ce   que   l'expérience  apprend  sur  les 

valeurs  de  H  et  h.  On  a  plongé  dans  l'eau,  à  8°  7  (division 

octogésimale  ) ,    un    thermomètre    qui    avait    d'abord     été 

échauffé,  et  il  est  descendu  dans  l'eau  de  4o  à  20  degrés  en 

six  secondes.  On  a  répété  plusieurs  fois  et  avec  soin  cette 

expérience.  On  trouve  d'après  cela  que  la  valeur  de  e 
est  0,000042 1  si  le  temps  est  compté  en  minutes ,  c'est-à- 
dire  que  l'élévation  du  thermomètre  étant  E  au  commence- 
ment d'une  minute ,  elle  sera  E  (0,000042)  à  la  fin  de  cette 
minute.  On  trouve  aussi  h  log.  e  =  —  41^76 1 271.  On  a 
laissé  en  même  temps  se  refroidir  dans  l'air  à  12°  un  vase 
de  porcelaine,  rempli  d'eau  échauffée  à  60°.   La  valeur  de 

e        dans  ce  cas  a  été  trouvée  de  0,98514,  celle  de  H  log.  e 
est  —  o  ,  oo65oo.  On  voit  par-là  combien  est  petite  la  valeur 

de  la  fraction  e      ,   et   qu'après   une  seule   minute  chaque 

terme  multiplié  par  e  n'est    pas    la   moitié    de   la   dix- 

millième  partie  de  ce  qu'il  était  au  commencement  de  cette 
minute.  On  doit   donc  n'avoir  aucun   égard  à  ces   termes 

ÏT 

dans  la  valeur  de  v  —  u.  Il  reste  l'équation  v  —  «  =       ' 

H  M  H  H  M      T-v'  '        1  1 

ou  V  —  u  =  — r -; Ti — 1--   t)  après  les  valeurs  trouvées 

pour  H  et  A ,  on  voit  que  cette  dernière  quantité  k  est  plu.s 


36o  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

de  673  fois  plus  grande  que  H ,  c'est-à-dire  que  le  thermo- 
mètre se  refroidit  dans  l'eau  plus  de  six  cent  fois  plus  vite 

que  le  vase  ne  se  refroidit  dans  l'aii'.  Ainsi  le  terme  -7-  est 

certainement  moindre  que  la  600*^  partie  de  l'élévation  de 
la  température  de  l'eau  au-dessus  de  celle  de  l'air,  et  comme 

le  terme  t s  •  -r-  est  moindre  que  la  600*^  partie  du  pré- 
cédent qui  est  déjà  très -petit,  il  s'ensuit  que  l'équation 
qu'on    doit    employer    pour    représenter    très  -  exactement 

l'erreur  du  thermomètre  est  v  —  11  =  —j—.  En  général  si  h 

est  une  quantité  très-grande  par  rapport  à  H ,  on  aura  tou- 

1,  ,         .  Yi.u 

jours  1  équation  v  —  m  =  —y — 

3oo. 

L'examen  dans  lequel  on  vient  d'entrer  fournit  des  consé- 
quences très-utiles  pour  la  comparaison  des  thermomètres. 

La  température  marquée  par  un  thermomètre  plongé  dans 
un  liquide  qui  se  refroidit  est  toujours  un  peu  plus  forte 
que  celle  du  liquide.  Cet  excès  ou  erreur  du  thermomètre 
diminue  en  même  temps  que  l'élévation  du  thermomètre. 
On  trouverait  la  quantité  de  la  correction  en  multipliant 
l'élévation  actuelle  11  du  thermomètre,  par  le  i-apport  de  la 
vitesse  H  du  refroidissement  du  vase  dans  l'air  à  la  vitesse 
h  du  refroidissement  du  thermomètre  dans  le  liquide.  On 
pourrait  supposer  que  le  thermomètre ,  lorsqu'il  a  été  plongé 
dans  le  liquide,  marquait  une  température  inférieure.  C'est 
même  ce  qui  arrive  presque  toujours  ;  mais  cet  état  ne  peut 
durer  ;  le  thermomètre  commence  à  se  rapprocher  de  la 
température   du  liquide  ;   en    même   temps  le   liquide   se 


CHAPITRE  V.  36i 

refroidit ,  de  sorte  que  le  thermomètre  passe  d'abord  à  la 
température  même  du  liquide,  ensuite  il  indique  une  tem- 
pérature extrêmement  peu  différente  et  toujours  supérieure. 

3oo. 
On  voit  par  ces  résultats  que  si  l'on  plonge  dans  un  même 
vase  i-empli  d'un  liquide  qui  se  refroidit  lentement  diffé- 
rents thermomètres,  ils  doivent  tous  indiquer  à  très-peu- 
près  la  même  température  dans  le  même  instant.  Appelant 
h,  II,  W ,  les  vitesses  du  refroidissement  de  chacun  de  ces 

,  ,         1     1  ■      •  1  H .  ?i     H  («      H  « 

thermomètres  dans  le  liquide ,  on  aura  -^  '  "Â^  '  T^  P^^"' 

les  erreurs  respectives.  Si  deux  thermomètres  sont  égale- 
ment sensibles,  c'est-à-dire  si  les  quantités  h  et  K  sont  les 
mêmes ,  leurs  températures  différeront  également  de  celles 
du  liquide.  Les  coefficients  h ,  K ,  K ,  ont  de  grandes  valeurs 
en  sorte  que  les  erreurs  des  thermomètres  sont  des  quan- 
tités extrêmement  petites  et  souvent  inappréciables.  On  con- 
clut de  là  que  si  un  thermomètre  est  construit  avec  soin  et 
peut  être  regardé  comme  exact,  il  sera  facile  de  construire 
plusieurs  autres  thermomètres  d'une  exactitude  égale.  Il 
suffira  de  placer  tous  les  thermomètres  que  l'on  voudra 
diviser  dans  un  vase  rempli  d'un  liquide  qui  se  refroidit 
lentement,  et  d'y  placer  en  même  temps  le  thermomètre  qui 
doit  servir  de  modèle  ;  on  n'aura  plus  qu'à  les  observer  tous 
de  degré  en  degré ,  ou  à  de  plus  grands  intervalles ,  et  Ion 
marquera  les  points  oii  le  mercure  se  trouve  en  même  temps 
dans  les  différents  thermomètres.  Ces  points  seront  ceux 
des  divisions  cherchées.  Nous  avons  appliqué  ce  procédé  à 
la  construction  des  thermomètres  employés  dans  nos  expé- 

46 


362  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

riences,  en  sorte  que  ces  instruments  coïncidaient  toujours 

exactement  dans  des  circonstances  semblables. 

Non-seulement  cette  comparaison  des  thermomètres  pen- 
dant la  durée  du  refroidissement  du  liquide  établit  entre  eux 
une  coïncidence  parfaite,  et  les  rend  tous  semblables  à  un 
seul  modèle;  mais  on  en  déduit  aussi  le  moyen  de  diviser 
exactement  le  tube  de  ce  thermomètre  principal  sur  lesquels 
tous  les  autres  doivent  être  réglés.  On  satisfait  ainsi  à  la 
condition  fondamentale  de  cet  instrument,  qui  est  que 
deux  intervalles  quelconques  comprenant  sur  l'échelle  un 
même  nombre  de  degrés  contiennent  la  même  quantité  de 
mercure.  Au  reste  nous  omettons  ici  plusieurs  détails  qui 
n'appartiennent  point  directement  à  l'objet  de  notre  ouvrage. 

3oi. 

On  a  déterminé  dans  les  articles  précédents  la  tempé- 
rature V  que  reçoit  après  le  temps  écoulé  t  une  couche  sphé- 
rique  intérieure  placée  à  la  distance  x  du  centre.  Il  s'agit 
maintenant  de  calculer  la  valeur  de  la  température  moyenne 
de  la  sphère  ,  ou  celle  qu'aurait  ce  solide  si  toute  la  quantité 
de  chaleur  qu'elle  contient  était  également  distribuée  entre 
tous  les  points  de  la  masse.  Le  solide  de  la  sphère  dont  le 

rayon  est  x  étant  4''^  tti  la   quantité  de  chaleur  contenue 

dans  une  enveloppe  sphérique  dont  la  température  est  oj  , 

et  qui  est  placée  à  la  distance  x,  sera  ^v  d  (—t-\  Ainsi  la 

chaleur  moyenne  est  4  / ^ —  ou  ^^ /^'  'V  dic  ,    l'inté- 

'     47V-J 


CHAPITRE   IV.  363 

grale  étant  prise  depuis  a;  =  o  jusqu'à  a;  =  X.  On  mettra 
pour  V  sa  valeur 

a,    — /cnU    •  '*-    — ^n]t    .  a,    — knlt    . 

—  e  sin.n,.v-\ — -e  sin.re.^H — e  sin.7îja;+etc. 

X  X  X 

et  l'on  aura  1  équation 

3   /"  ,       ,            3  (       sin./î.X — «.Xcos.n.X,    —kn]t 
^Jx-vdx  =  Y,\a, 4e 

sin.w,X  —  «,Xcos.«,X    /    — knlt 
+  a, 4  c  +etc. 

^  ,  ,    ,,  2sin.«,X  —  «iXcos.  «iX    ^^ 

On  a  trouve  précédemment  a,  = ^^ —  v    •  ^^ 

aura  donc,  en  désignant  par  z  la  température  moyenne, 

s;  C.D.X" 

__     — ; — j _L-  e  ^  ^— '- — r^ — ^  e  +  etc. 

équation  dans  laquelle  tous  les   coefficients  des  exponen- 
tielles sont  positifs. 

3o2. 

Nous  considérerons  le  cas  où  toutes  les  autres  conditions 
demeurant  les  mêmes,  la  valeur  X  du  rayon  de  la  sphère 
deviendra  infiniment  grande.  En  reprenant  la  construction 

TT  V 

rapportée  en  l'article  285 ,  on  voit  que  la  quantité  -j^  deve- 
nant infinie,  la  droite  menée  par  l'origine,  et  qui  doit  couper 
les  différentes  branches  de  la  courbe  se  confond  avec  l'axe 
des  x.  On  trouve  donc  pour  les  différentes  valeurs  de  s  les 
quantités  -,  2  t ,  3  tt ,  etc.  , >.  :; 

-t  deve-     ^ 


Le  terme  de  la  valeur  de  z  qui  contient  e     CD  X' 

.    46 


364  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

nant,à  mesure  que  le  temps  augmente,  beaucoup  plus  grand 
que  les  suivants  ;  cette  valeur  de  z  après  un  certain  temps 
est  exprimée  sans  erreur  sensible  par  le  premier  terme  seu- 

lement.  L'exposant  ^-^  e'tant  e'gal  à  K  ^  ^  ^, ,  on  voit  que 

le  refroidissement  final  est  très-lent  dans  les  sphères  d\iu 
grand  diamètre ,  et  que  l'exposant  de  e  qui  mesure  la  vitesse 
du  refroidissement  est  en  raison  inverse  du  quarré  des 
diamètres. 

3o3. 
On  peut  d'après  les  remarques  précédentes  se  former  une 
idée  exacte  des  variations  que  subissent  les  températures 
pendant  le  refroidissement  d'une  sphère  solide.  Les  valeurs 
initiales  de  ces  températures  changent  successivement,  à 
mesure  que  la  chaleur  se  dissipe  par  la  surface.  Si  les  tem- 
pératures des  diverses  couches  sont  d'abord  égales,  ou  si 
elles  diminuent  depuis  la  surface  jusqu'au  centre ,  elles  ne 
peuvent  point  conserver  leurs  premiers  rapports,  et  dans  tous 
les  cas ,  le  système  tend  de  plus  en  plus  vers  un  état  durable 
qu'il  ne  tarde  point  à  atteindre  sensiblement.  Dans  ce  der- 
nier état ,  les  températures  décroissent  depuis  le  centre 
jusqu'à  la  surface.  Si  l'on  représente  par  un  certain  arc  e 
moindre  que  le  quart  de  la  circonférence  le  rayon  total  de 
la  sphère,  et  que,  divisant  cet  arc  en  parties  égales,  on 
prenne  en  chaque  point  le  quotient  du  sinus  par  l'arc ,  le 
système  de  ces  rapports  représentera  celui  qui  s'établit  de 
lui-même  entre  les  températures  des  couches  d'inie  égale 
épaisseur.  Dès  que  ces  derniers  rapports  ont  lieu,  ils  con- 
tinuent de  subsister  pendant  toute  la  durée  du  refroidisse- 
ment. Alors  chacune  des  températures  diminue  comme  l'or- 


CHAPITRE  IV.  365 

donnée  d'une  logarithmique,  le  temps  étant  pris  pour 
abscisse.  On  peut  reconnaître  que  cet  ordre  est  établi  en 
observant  plusieurs  valeurs  successives  z  z  z"  z"\  etc.  qui 
désignent  la  température  moyenne  pour  les  temps  t,  ?-f-B, 
t-ho.  0,  t+3  0,  etc.  la  suite  de  ces  valeurs  converge  toujours 
vers  une  progression  géométrique,  et  lorsque  Its  quotients 

successifs  — ,  ^ ,  -^m  ?  etc.  ne  changent  plus ,  on  en  conclut 

que  les  rapports  dont  il  s'agit  sont  établis  entre  les  tempé- 
ratures. Lorsque  la  sphère  est  d'un  petit  diamètre ,  ces 
quotients  sont  sensiblement  égaux  dès  que  le  corps  com- 
mence à  se  refroidir.  La  durée  du  refroidissement  pour  un 
intervalle  donné,  c'est-à-dire  le  temps  nécessaire  pour  que 
la  température  moyenne  z  soit  réduite  à  une  partie  déter- 
minée d'elle-même  -"  ,  est  d'autant  plus  grande  cjue  la  sphère 

a  un  plus  grand  diamètre.  in  ni  -^ 

3o4. 
Si  deux  sphères  de  même  matière  et  de  dimensions  diffé- 
rentes sont  parvenues  à  cet  état  final  où  les  températures 
s'abaissent  en  conservant  leurs  rapports ,  et  que  l'on  veuille 
comparer  les  durées  d'iui  même  refroidissement,  c'est-à- 
dire  le  temps  0  que  la  température  moyenne  z  de  la  pre- 
mière emploie  pour  se  réduire  à  — ,  et  le  temps  0'  que  la 
température  z  de  la  seconde  met  à  devenir  —  ;  il  faut  con- 
sidérer trois  cas  différents.  Si  les  sphères  ont  l'une  et  l'autre 
un  petit  diamètre,  les  durées  0  et  0'  sont  dans  le  rapport 
même  des  diamètres.  Si  les  sphères  ont  l'une  et  l'autre  un 
diamètre  très-grand ,  les  durées  0  et  0'  sont  dans  le  rapport 


366  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

des  quarres  des  diamètres;' et  si  les  sphères  ont  des  diamètres 
compris  entre  Ces  deux  limites,  los  rapports  des  temps 
seront  plus  grands  que  ceux  des  diamètres,  et  moindres 
que  ceux  de  leurs  quarres.  On  a  rapporté  plus  haut  les 
valeurs  exactes  de  ces  rapports. 

La  question  du  mouvement  de  la  chaleur  dans  une  sphère 
comprend  celle  des  températures  terrestres.  Pour  traiter 
cette  dernière  question  avec  plus  d'étendue ,  nous  en  avons 
fait  l'objet  d'un  chapitre  séparé. 

3o5. 

L'usage    que    l'on    a    fait    précédemment    de    l'équation 

— - —  =  >;  est  fondée  sur  une  construction  géométrique  qui 

est  très-propre  à  expliquer  la  nature  de  ces  équations.  En 
effet,  cette  construction  fait  voir  clairement  que  toutes  les 
racines  sont  réelles  ;  en  même  temps  elle  en  fait  connaître 
les  limites ,  et  indique  les  moyens  de  déterminer  la  valeur 
numérique  de  chacune  d'elles.  L'examen  analytique  des 
équations  de  ce  genre  donnerait  les  mêmes  résultats.  On 
pourra  d'abord  reconnaître  que  l'équation  s  —  X  tang.  s, 
dans  laquelle  \  est  un  nombre  connu  moindre  que  l'unité, 
n'a  aucune  racine  imaginaire  de  la  forme  ni  +  jiyy — i.  Il 
suffit  de  substituer  au  lieu  de  e  cette  dernière  quantité,  et 
l'on  voit  après  les  tfansformations  que  le  premier  membre 
ne  peut  devenir  nul  lorsqu'on  attribue  à  m  et  n  des  valeurs 
réelles ,  à  moins  que  n  ne  soit  nulle.  On  démontre  aussi  qu'il 
ne  peut  y  avoir  dans  cette  même  équation 

£  COS.  e  —  y.  sin.  e 

c— ).tang.  e  =  o,  ou -^^^ =  o, 

aucune    racine    imaginaire  de  quelque   forme  que  ce  soit. 


CHAPITRE  V;  367 

En    effet,  1°  les'  racines  iriiaffiriaires  du  facteur  -^=:::o 

^  "  COS.  5 

n'appai'tienneut  point  à  l'équation  e  — X  tang.  s  =  o  puisque 
ces  racines  sont  toutes  de  la  forme  ^»;Tf-|/^  j/^ —  i  ;  g,»  lequa- 

tion  sin.  £  '—  ^  cos.  e  =  o  a  nécessairement  toutes  ses  racines 

réelles  lorsquè'V  est  moindre  que  l'unité.  Pour  prouver  cette 
de^ni^re  proposition ,  il  faut  considérer  sin.  s  comme  le 
produit  d  une  uinnite  de  lacteurs  qui  sont  .      .         ,    ',, 

H^-^)  (^-^0  C^-F^J  ('-4^; 

et  considérer  cos.  c  comme  dérivant  de  sin.  e  par  la  différen- 
tiation.  On  supposera  qu'au  lieu  de  former  sin.  s.  du  produit 
d  un  nombre  infini  de  facteurs,  on  emploie  seulement  les 
m  premiers,  et  que  l'on  désigne  le  produit  par  ç„,  s.Pour 
trouver  la  valeur  correspondante  qui   remplace  cos.  e ,  on 

prendra  d  ^J  ou  <p'„  £.  Cela  posé ,  on  aura  l'équation 
f„i  —  ^  ip'^  £  =  o.  Or,  en  donnant  au  nombre  ni  ses  valeurs 

successives  i,  2,  3,  4i  ^tc.  depuis  i  jusqu'à  l'infini,  on 
reconnaîtra,  par  les  principes  ordinaires  de  l'algèbre,  la  na- 
ture des  fonctions  de  e  qui  correspondent  à  ces  différentes 
valeurs  de  m.  On  verra  que,  quelque  soit  le  nombre  w  des 
facteurs,  les  équations  en  e  qui  en  proviennent  ont  les  carac- 
tères distinctifs  de  celles  qui  ont  toutes  leurs  racines  réelles. 

De  là  on  conclut  rigoureusement  que  l'équation =>>■) 

dans  laquelle  >.  est  moindre  que  l'unité  ne  peut  avoir  aucune 
racine    imaginaire.    Cette    même    propoposition    pourrait 


368  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

encore  être  déduite  d'une  analyse  différente  que  nous  em- 
ploierons dans  un  des  chapitres  suivants. 

Au  reste  la  solution  que  nous  avons  donnée  n'est  point 
fondée  sur  la"  propriété  dont  jouit  cette  équation  d'avoir 
toutes  ses  racines  réelles.  Il  n'aurait  donc  pas  été  nécessaire 
de  démontrer  cette  proposition  par  les  principes  de  l'analyse 
algébrique.  Il  suffit  pour  l'exactitude  de  la  solution  que 
l'intégrale  puisse  coïncider  avec  un  état  initial  quelconque  ; 
car  il  s'ensuit  rigoureusement  qu'elle  doit  représenter  aussi 
tous  les  états  subséquents. 


^-^f^f^f','" 


:  )H  ai  Jif)aa«nIorji:  )  .$«  3I 


T 


»/^'K  «.^■»  •«/«^V^.^^W*'»^!-'»^-*-»^  «.■•^  •* 


CHAPITRE  VI. 

DU     MOUVEMENT     DE     LA     CHALEUR    DANS     UN     CYLINDR» 

SOLIDE. 

Lj  e  mouvement  de  la  chaleur  dans  un  cylindre  solide  d'une 
longueur  infinie,  est  représente  par  les  équations 


~d 


V K     /</'  ?'        \  dv\  h  ^       d\ 

l:~ÇpD\dT^^'xd^)   ^"^  K       '^d^~^'' 


que  l'on  a  rapportées  (pag.  112  et  suivantes)  dans  les  arti- 
cles 118,  119  et  120.  Pour  intégrer  ces  équations,  on  don- 
nera en  premier  lieu  à  v  une  valeur  particulière  très-simple 


mt 


exprimée  par  l'équation  v  =  e  u;  m  est  un  nombre 

quelconque,  et  u  une  fonction  de  x.  On  désigne  par  A-  le 

coefficient  ^^^  4^*  entre  dans  la  première  équation  et  par  h. 

le  coefficient  ^  qui  entre  dans  la  seconde.  En  substituant 
la  valeur  attribuée  à  a»  ^  on  trouve  la  condition  suivante  : 

ni  d'^  u  I    du 

k'^  dx  X  dx  ' 

On  choisira  donc  pour  u  une  fonction  de  x  qui  satisfasse 
à  cette  équation  différentielle.  Il  est  facile  de  voir  que  cette 
fonction  peut  être  exprimée  par  la  série  suivante  : 

47    ■ 


370  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

ex"         e"  x""  f'  jt"  p-*  x^ 

jû  désignant  la  constante  -,.  On  examinera  plus  particuliè- 
rement par  la  suite  l'équation  différentielle  dont  cette  série 
dérive;  on  regarde  ici  la  fonction  u  comme  étant  connue,  et 

l'on  a  e     ^     .  u  pour  la  valeur  particulière  de  v. 

L'état  de  la  surface  convexe  du  cylindre  est  assujéti  à  une 

condition  exprimée  par  l'équation  déterminée /iV+T— =0, 

qui  doit  être  satisfaite  lorsque  le  rayon  x  a  sa  valeur  totale 
X;  on  en  conclura  l'équation  déterminée 


.(        .,X'       g^X'-        g^X^       ctc  W'^^       ^-'^'  I    ^^'^' 
\.         2'   "^2^4^"^2^4^6'"^*^'' V~  2^       2\4'      2\4'.6' 


etc. 


ainsi   le  nombre  g^  qui   entre   dans   la  valeur  particulière 

e~~^  .u  n'est  point  arbitraire.  Il  est  nécessaire  que  ce  nom- 
bre satisfasse  ta  l'équation  précédente,  qui  contient  g  et  X. 
Nous  prouverons  que  cette  équation  en  g  dans  laquelle  h  et 
X  sont  des  quantités  données  à  une  infinité  de  racines ,  et 
que  toutes  ces  valeurs  de  g  sont  réelles.  Il  s'ensuit  que  l'on 
peut  donner  à  la  variable  v  une  infinité  de  valeurs  particu- 

■^—  ë  ht 

lières  de  la  forme  e  ^  .u,  qui  différeront  seulement  par 
l'exposant  g.  On  pourra  donc  composer  une  valeur  plus 
générale ,  en  ajoutant  toutes  ces  valeurs  particulières  multi- 
pliées par  des  coefficients  arbitraires.  L'ifitégrale  qui  servira 
à  résoudre  dans  toute  son  étendue  la  question  proposée  est 
donnée  par  l'équalion  suivante  : 

v  =  a,e     *"        .u^-\-a^e     *       .u-^  +  a^e     "       .Ws  +  etc. 


CHAPITRE  VI.  371 

g, g, g}. .  .  etc.  désignent  toutes  les  valeurs  de  u  qui  satisfont 
à  l'équation  déterminée;  u,u,u,  etc.  désignent  les  valeurs  de 
u  qui  correspondent  à  ces  différentes  racines;  a, a, aide. y 
sont  des  coefficients  arbitraires  qui  ne  peuvent  être  déter- 
minés que  par  l'état  initial  du  solide.  ,        .    . 

007. 
Il  faut  maintenant  examiner  la  nature  de  l'équation  déter- 
minée qui  donne  les  valeurs  de  g,  et  prouver  que  toutes  les 
racines  de  cette  équation  sont  réelles,  recherche  qui  exige 
un  examen  attentir. 

Dans  la  série  i  —  ^  + Vtt— 4-7r^  + etc.  qui  exprime 
2  2". 4         a  .4  .0  ^  ^ 

n-X' 

la  valeur  que  reçoit  u  lorsque  x  =  X^  on  remplacera^ 
par  la  quantité  9,  et  désignant  par^ô  ou  j  cette  fonction 
de  G,  on  aura  j=r=/9=  i  —9  +  -,—^rj,  +  ^.y^,-  +  etc. 
l'équation  déterminée  deviendra 

hX       ^~^2>"^^ï\3"'~^ï\3\4^  +  "^-  hX       ^/'9 

—  = 6^ 6^ 8^ ou  -^  4-  9  ^=0, 

/■'9  désignant  la  fonction  ^.        '  ;       ^^^  ^^'^  - 

Chacune  des  valeurs  de  9  fournira  une  valeur  pour  g,  au 

moyen  de  l'équation  ^-^-  :=:  9  ;  et  l'on   obtiendra   ainsi   les 

quantités  g,  g,  etc.  qui  entrent  en  nombre  infini  dans  la  so-) 
lution  cherchée. 

La  question  est  donc  de  démontrer  que  l'équation  .,j 

~  +  ^7f — ° 

47. 


3-73  THEORIE  DE  LÀ  CHALEUR. 

doit  avoir  toutes  ses  racines  réelles.  Nous  prouverons  en 
effet  que  requation_/6  =  o  a  toutes  ses  racines  réelles,  qu'il 
en  est  de  même  par  conséquent  de  l'équation  y  6  =  o ,  et 

qu'il  s'ensuit  qvie  l'équation  A  =  -^—  a  aussi  toutes  ses  ra- 

cines  réelles ,  A  représentant  la  quantité  connue  —  '- — 

3o8. 

L équation  j=  i  — 6  H — ^^  +    ^         —  etc.  étant 

différentiée  deux  fois ,  donne  la  relation  suivante  : 

dy         ,  d' r 

On  écrira  comme  il  suit  cette  équation ,  et  toutes  celles  que 
l.'pq ,  ?^  ^4â»i%  paj,'  K  ^ifféqenfciatiion , 

dr        .  d^  r 

y+r^+^-d¥=''' 

...... 


et  en  général 


^8»  ^  ^  dh'^     d(i' 
etc. 


Or  si  Ton  écrit  dans  Tordre  suivant  l'équation  algébrique 
X;=:o,  et  toutes  celles  qui  en  dérivent  par  la  différentiation 

V  dX  d'X  d^X  d'X 

^  =  ^'     ;ï^=^'  7^=^^'  ^^=^^^    7^  =  '*^*^' 

—  ex 


CHAPITRE  VI.  373 

et  si  l'on  suppose  que  toute  racine  réelle  d'une  quelconque 
de  ces  équations  étant  substituée  dans  celle  qui  la  précède , 
et  dans  celle  qui  la  suit,  donne  deux  résultats  de  signe  con- 
traire; il  est  certain  que  la  proposée  X  =  o  a  toutes  ses  ra- 
cines réelles,  et  que  par  conséquent  il  en  est  de  même  de 
toutes  ses  équations  subordonnées 

:"'         dX  d'X  d'X  ■''•■/-■ 

-j—  =  o ,   -; — -  =  o ,  —, —  =  o  ,  etc. 

a  .V  dx  dx  ' 

ces  propositions  sont  fondées  sur  la  théorie  des  équations 
algébriques ,  et  ont  été  démontrées  depuis  long-temps.  Il 
suffit  donc  de  prouver  que  les  équations 

2!>oi''^i;p't   .     '       '       dy  d' r  "^  ■   ■•        (i   fs;;- 

remplissent  la  condition  précédente.  Or  cela  suit  de  l'équa- 
tion générale 

d    y  ,  •  s    d  y  ,«  y  -_xrT    li'.'";' 

-4  +  ('+i)  rr-  "h  ^  — —^  =  0:      -^"- 

db'  dO'+^  dH'  +  '      .,.,..-    :./K.n,r.,. 

car  si  l'on  donne  a  6  une  valeur  positive  qui  rende  nulle  la 

fluxion  — r-~-  ,  les  deux  autres  termes  — ^  et  — —^   rece- 

vront  des  valeurs  de  signe  opposé.  A  l'égard  des  valeurs 
négatives  de  9  il  est  visible ,  d'après  la  nature  de  la  fonction 
yô,  qu'aucune  quantité  négative  mise  à  la  place  de  0  ne  pour- 
rait rendre  nulle ,  ni  cette  fonction ,  ni  aucune  de  celles  qui 
en  dérivent  par  la  différentiation  ;  car  la  substitution  d'une 
quantité  négative  quelconque ,  donne  à  tous  les  termes  le 

00.,.     .■    .     .,.     .     J.  „: 'iK:T\  f):-tv:    /'■^r  *n:)i'i' 


374  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

même  signe.  Donc  on  est  assure'  que  l'équation  _)^=o  a  toutes 
ses  racines  réelles  et  positives. 

309. 
Il  suit  de  là  que  l'équationy  6  =  0  ou  y=o  a  aussi  toutes 
ses  racines  réelles  ;  ce  qui  est  une  conséquence  connue  des 
principes  de  l'algèbre.   Examinons  maintenant  quelles  sont 

les  valeurs   successives  que  reçoit  le  terme  ^ -fît -,  ou  Ô. — 

lorsqu'on  donne  à  0  des  valeurs  continuellement  croissantes, 

depuis  6=r o  jusqu'à  6=  -.  Si  une  valeur  de  9  rend/'  nulle, 

la  quantité  6  —  devient  nulle  aussi  ;  elle  devient  infinie  lors- 
que S  rend  y  nulle.  Or  il  suit  de  la  théorie  des  équations 
que,  dans  le  cas  dont  il  s'agit,  toute  racine  de  j^'  =  o  est 
placée  entre  deux  racines  consécutives  de  j  =  o,  et  récipro- 
quement. Donc ,  en  désignant  par  6,  et  83  deux  racines  con- 
sécutives de  l'équation  y' ^  o ,  et  par  9,  la  racine  de  l'équa- 
tion y  =  o  qui  est  placée  entre  G,  et  83,  toute  valeur  de  9 
comprise  entre  9,  et  9,  donnera  à  j  un  signe  différent  de 
celui  qui  recevrait  cette  fonction  y ,  si  9  avait  une  valeur 

comprise  entre  9,  et  93.  Ainsi  la  quantité  9  —  est  nulle  lors- 
que 9=9,;  elle  est  infinie  lorsque  9  =  9, ,  et  nulle  lorsque 
6  =  93.  Il  est  donc  nécessaire  que  cette  quantité  9  —  prenne 

toutes  les  valeurs  possibles ,  depuis  6  jusqu'à  l'infini ,  dans 
l'intervalle  de  9,  a  G, ,  et  prenne  aussi  toutes  les  valeurs 
possibles  de  signe  opposé ,  depuis  l'infini  jusqu'à  zéro ,  dans 

l'intervalle  de  9,  à  93.  Donc  l'équation  A  =  9.  ^  a  nécessaire- 
ment une  racine  réelle  entre  9.  et  9,,  et  comme  l'équation 


CHAPITRE  VI.  376 

j'=zo  a  toutes  ses  racines  réelles  en  nombre  infini,  il  s'en 

suit  que  l'équation  A:^e  —  a   la   même   propriété.    On   est 

parvenu  à  démontrer  de  cette  manière  que  l'équation  dé- 
terminée ,, 


h\  2'  2=.4'  2'. 4^. 6' 


etc. 


i—^-T-—  +  -T^  +    f  /.  ^.  +  etc. 

dont  l'inconnue  est  g  à  toutes  ses  racines  l'éelles  et  posi- 
tives. Nous  allons  poursuivre  cet  examen  de  la  fonction  u 
et  de  l'équation  différentielle  à  laquelle  elle  satisfait. 

r  '    ■  '  '  3 10.  ' 

,  De  l'équation  y  4-  -^  +  6  -j^  :=:  o ,  on  déduit  l'équation 

y                        ,('  +  0            ^('+^) 
générale  —4-  -\-  U  +  i  ) r— ^  -+-  6 r-p^  =  o ,  et  si  l  on 

suppose  6  =  0,  on  aura   l'équation 

;: ,.  a  y  i       a   y         ■  . ' ,^    ,-..,     \ 

3  ^  — ii- 1  1'  ■i^i'';  c 

qui  servira  à  déterminer  les  coefficients  des  différents  termes 
du  développement  de  la  fonctionyô,  car  ces  coefficients  dé- 
pendent des  valeurs  que  reçoivent  les  rapports  différentiels 
lorsqu'on  y  fait  la  variable  nulle.  En  supposant  le  premier 
connu  et  égal  à  x  ,  on  aura  la  série  "  ' 


si  maintenant  dans  l'équation  proposée      '     -?-  • 


'  1 


376  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

(/'  u         i    du 
gU+  -1—,   -h  -  -j-  =zO. 
c  ax  X  dx 

On  fait  ^•—  =  ô  et  que  l'on  cherche  la  nouvelle  équation  en 
u  et  6  en  regardant  u  comme  une  fonction  de  6 ,  on  trouvera 


du       ,  d''  u 


d'où  Ion  conclut 


ou     u  =  I 5-V  4-  ^^^JT  +  GtC- 

2  2     0' 

Il  est  facile  d'exprimer  la  somme  de  cette  série.  Pour 
obtenir  ce  résultat,  on  développera  comme  il  suit  la  fonc- 
tion COS.  (asin.  a:)  en  cosinus  d'arcs  multiples.  On  aura, 
par  les  transformations  connues , 

I         arl/^TT  I         — .r\/ir7  I        .x\/^\     t        — x\/~i 


2  ^2  ,    ^       2 


2COS.  (asin.  x)  =  e  e  +e 

, ,  .  ^     -^  v/— I 

et  désignant  e  par  w 


e 


—  I  —  I 

att)        — «M  — «w   «w 


2       ^2 


acos.  (asin.  j;)=e  ^   .e     ^  -4- e    ^    .e' 

»  Hp«To! 

En  développant  le  second  membre  selon  les  puissances  de 
(0,  on  trouvera  que  le  terme  qui  ne  contient  point  u  dans  le 
développement  de  cos.  (a  sin.  j;)  est 

/  «'  a*  a'  ,  a'  ^^^  \ 

^-  (.'  — I^-^lM^  ~  2'. 4^6'  "^  2».4'-6-.8'"~*^*''-; 


CHAPITRE  VI.  377 

les  coefficients  deù)",w\co^,  etc.  sont  nuls,  il  en  est  de  même  des 

coefficients  des  termes  qui  contiennent  w         ,w      ',  w  ~   ,etc.; 

le  coefficient  de  w        est  le  même  que  celui  de  w';  le  coefficient 

— 7^T~^ ,    ,  r  <j ^-  etc.  ) ,  le  coefficient  de 

10  est  le  même  que  celui  de  m*  ;  il  est  aise  d'exprimer 

la  loi  suivant  laquelle  ces  coefficients   se  suc(-èdent;  mais, 

sans  s'y  arrêter,  on  écrira  2  cos.  2  x ,  au  lieu  de  (  w    +  u        ) 

ou  2.  COS.  4  -^  ^^^  lieu  de  (w  +  w~  ),  ainsi  de  suite:  donc 
la  quantité  2  cos.  (a  sin.  .r)  peut  être  facilement  développée 
en  une  série  de  la  foi'me 

A  +  B  COS.  2  a;  +  C  cos.  4  ^  +  D  cos.  6jc-{-  etc. 

et  le  premier  coefficient  A  est  égal  à 

2  (  I r  +  -T-TT ,    ,,  ^,  4-  etc.  )  ; 

si  l'on  compare  maintenant  l'équation  généi'ale  que  nous 
avons  donnée  précédemment 

-  n  (f  x  =  -  j  fX  da:  +  cos,  x  j  tfxcos.  xdx  +  etc. 

à  celle-ci,  2cos. (asin.^)  =  A  +  B  cos.  2,r  +  C  cos.  4^^+ etc., 
on  trouvera  les  valeurs  des  coefficients  A,  B,  C,  exprimét'S 
par  des  intégrales  définies.  Il  suffit  ici  de  trouver  celle  du 
premier  coefficient  A.  On  aura  donc 

-  A  =  ^  /  fcos.  (a  sin.  x)  dx\ 

l'intégrale  devant  être  pris  depuis  x  =  o  jusque  a?  =  r.  Donc 

48 


378  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

la  valeur  de  la  série  i +  -^-— ,  .,  „,  +  etc.  est  celle 


TT 


de  l'intégrale  définie  f  dx  cos.  (asin.  a,).  On  trouverait  de 

o 

la  même  manière  par  la  comparaison  des  deux  équations  les 
valeurs  des  coefficients  suivants  B,  C  etc.  ;  on  a  indiqué  ces 
réi^ultats,  parce  qu'ils  sont  utiles  dans  d'autres  i^echerclies 
qui  dépendent  de  la  même  théorie.  Il  suit  de  là  que  la  va- 
leur particulière  de  u  qui  satisfait  à  l'équation 

d''  u        i  du  ^  1    f  /,/-•         >j„ 

ê-^'  +  ^  +  -^^^  =  oest^     COS.  iyyg.sm.r)  dx  ,  , 

l'intégrale  étant  prise  depuis  ;=o  jusqu'à  1=^7:.  En  dési- 
gnant par  q  cette  valeur  de  u,  et  faisant  u^=qs,  on  trou- 

— ^  et  l'on  aura  pour  l'intégrale  complète 

,     ,,  ,  .  d''  u         1   du 

de  1  équation  gu  +  j^.  + -  j-^  =  o , 

=  {^-^^f^^.{xi.--g.sin.r)dry)f^'''-(^^'^-''''-'')^''' 

A  et  B  sont  des  constantes  arbitraires.  Si  l'on  suppose  B=o 

on  aura,  comme  précédemment,  m=/ cos.  (.a? l/^.sin.  r)r/r. 

Nous  ajouterons  les  remarques  suivantes  relatives  à  cette 
dernière  expression. 


3ii. 


L'équation 

-  I  cos.  (9sm.  u)  du=i  i --i — ^^ p 1-  etc. 


CHAPITRE  VI.  379 

3e  vérifie  d'elle-même.  En  effet,  on  a 

j  COS.  (0  sni.  u)  du=jdu{i ^  +  -374— ,.3.4.5.6  -»-  etc.  J 

et  inte'grant  depuis  u  =  o  jusqu'à  m=:tc,  en  de'signant  par 
SjSjSô  etc.  les  intégrales   définies 

/  sin.'M  du^  f  sin.''w  du,  j  sin.^a  du  etc. , 


on  aura 


/COS.  (9  sin.  u)  du=  i .  S,  H j—..  S. T~ni^6+  ^tc. 
^                ^                        a       -       2.6.4               2.0.4.0 

il  reste  à  déterminer  S, S^S^  etc.  Le  terme  sin."?/,  n  étant  un 
nombre  pair ,  peut  être  développé  ainsi  : 

sin."  u  =  A„+  B„ COS.  2. n  4-  C„ cos.  ^n  +  etc. 
en  multipliant  par  du  et  intégrant  entre  les  limites  u  =  o 
et  u  =  -,  on  aura  seulement  /  (ri?«  sin."  ?/)::=  A„7t,  les  autres 

termes  s'évanouissent.  On  a ,  d'après  la  formule  connue  pour 
le  développement  des  puissances  entières  du  sinus, 

^^—  ^'l'    ^J—  2'      ITi'    '^*^—  2^-1.2.3'    ^^—2^      1.2.3.6    *^'-*- 

en  substituant  ces  valeurs  de  S.SjSsSg  etc.,  on  trouve 

-  j  COS.  (Ô  sm.  u)  du=\—-  +  ^7^  —  ^r^^-^TêT  +  etc. 

On  peut  rendre  ce  résultat  plus  général  en  prenant,  au 
lieu  de  cos.  {tsin.u)^  une  fonction  quelconque  ç  de  ^  sin.  u. 

48. 


38o  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

Supposons  donc  que  l'on  ait  une  fonction  ç  z  qui  soit 
ainsi  développée  ç  s  =:  <p  4-  z  ^'  +  —  ç"  +  -^o  9  '  H-  etc. ,  on  aura 

^(^sin.  ii)  =  9  -H  fip'.sin.  m  H — 9  .sm.^u  -\ ^9".sin.'M+  etc. 

et  -  I  duf{tsin.u):^f  +  fç'.S,  H — /.S,  H ôç'.Ss  +  etc.  (e) 

Or,  il  est  facile  de  voir  que  S.S^SsS,  etc.,  ont  des  valeurs 
nulles.  A  l'égard  de  S,  S^SoSg...  leurs  valeurs  sont  les  quan- 
tités que  nous  avons  désignées  précédemment  parA,  A^A^.., 
etc.  C'est  pourquoi ,  en  substituant  ces  valeurs  dans  l'équation 
(e) ,  on  aura  généralement ,  et  quelle  que  soit  la  l'onction  9 

^y<p(^sin.M)^i.  =  9  +  ^,9"4-^<p'^H-^-^^ç.^'  +  etc., 

dans  le  cas  dont  il  s'agit ,  la  fonction  9  z  représente  cos.  z , 
et  l'on  a  0=1,  9= — i,  f'^  =  i ,  9"^'= — i,  ainsi  de 
suite. 

3l2. 

Pour  connaître  entièrement  la  nature  de  la  fonction  yo, 
et  celle  de  l'équation  qui  donne  les  valeurs  de  ^.  il  faudrait 
considérer  la  figure  de  la  ligne  qui  a  pour  équation 

r=  I  —  6  +  — ^-^^  +  etc. 

et  qui  forme  avec  l'axe  des  abscisses  des  aires  alternative- 
ment positives  ou  négatives  qui  se  détruisent  réciproque- 
ment ;  on  pourrait  aussi  rendre  plus  générales  les  remarques 
précédentes  sur  l'expression  des  valeurs  des  suites  en  inté- 
grales définies.  Lorsqu'une  fonction  d'une  variable  x  est  dé- 


CHAPITRE  VI.  38i 

vcloppée  selon  les  puissances  de  x,  on  en  déduit  fiicilenient 
la  fonction  que  représenterait  la  même  série,  si  l'on  rem- 
plaçait les  puissances 

X  x^  x^  x^x^...  etc.  par  cos.a,',  cos.  2,x^  cos.  3.r,  cos.4-tj.  etc. 

en  faisant  usage  de  cette  réduction,  et  du  procédé  indiqué 
par  le  paragrap.  2<".  de  l'art,  (aoo),  on  obtient  ks  intégrales 
définies  qui  équivalent  à  des  séries  données  :  mais  nous  ne 
pourrions  entrer  dans  cet  examen ,  sans  nous  écarter  beau- 
coup de  notre  objet  principal.  Il  suffit  d'avoir  indiqué  les 
moyens  qui  nous  ont  servi  k  exprimer  les  valeurs  des  suites 
en  intégrales  définies.    Nous  ajouterons  seulement  le  déve- 

loppement  de  la  quantité  6  yg-  en  une  fraction  continue. 

3i3.  .  r../'  .,    . 

L'indéterminée  y  ou  /d  satisfait  à  l'équation         ,  ,  ;     / 

:   ■        -.'-•■>    ..•^  +  79  +  ^^='^      ..  :      .      .. 

d'où  l'on  déduit,  en  désignant  par  y,j", j"',j"' etc.  les  îo\w- 

dy     d''  Y     d^  y     d'*  y 
''       "   dfi'  f/9"   «'6^'   dfi-  *^^^'  -'     .^ 


-r  =  y  +j^" 

ou 

y 

—  r'            —  I 

d'où  r 

y 

Y 

on  conclut 

-I 

1-0 

0 

-r"'=4y^+yi'' 

-y        - 1 

etc. 

y 

y 

y 

-y           -r 

2  — Ô 

3  — 

y 

y 

J 

V 

4- 

-6 
5 

6  —  etc. 


382  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

Ainsi  la  fonction ^^  qui    entre   dans   l'équation   de'ter- 

minëe  a  pour  valeur  la  fraction  continuée  à  l'infini 


I— 0 


3  — ( 


4-6 


t)  —  etc. 


3i4. 

Nous  allons  maintenant  rappeler  les  résultats  auxquels 
nous  sommes  parvenus  jusqu'ici. 

Le  rayon  variable  de  la  couche  cylindrique  étant  désigné 
par  X,  et  la  température  de  cette  couche  étant  v  qui  est 
fonction  de  x  et  du  temps  t,  cette  fonction  cherchée  v  doit 
satisfaire  à  l'équation  aux  différences  partielles 


'.V j  f  d^  V         I     d  v\ 

' t  \d x'         X    dx  J  '' 


on  peut  prendre   pour  v  la  valeur  suivante 


—  m  t 

v  =  e  .u, 


u  est  une  fonction  de  x  qui  satisfait  à  l'équation 


m  d''  u         I     du  

k  dx'         X   dx 


m     x* 


Si  l'on  fait  ô  =  ^  •  —  et  que  l'on  considère  u  comme  une 


CHAPITRE  VI.  383 

fonction  de  6,  on  aura  "+  tû +^  70^=0.  La  valeur  suivante, 

satisHxit  à  l'équation  en  «^  et  ô ,  on  prendra  donc  pour  valeur 
de  u  en  x  celle-ci , 

m    x''         m"        x''  m^  x' 

la  somme  de  cette  série  est 

-  I  vos.  (-^v   -^  sin.  7- j  dr; 

l'intégrale  étant  prise  depuis  r=o  jusqu'à  ?■=  tu.  Cette 
valeur  de  u  en  a-  et  711  satisfait  à  l'équation  différentielle,  et 
conserve  une  valeur  finie  lorsque  œ  est  nulle.  De  plus,  réc|ua- 

tion  j  II  +  —  =  o  doit  être  satisfaite  lorsque  .r  =  X  rayon 

du  cylindre.  Cette  condition  n'aurait  pas  lieu,  si  l'on  donnait 
à  la  quantité  ?n  cjui  entre  dans  la  fonction  u  une  valeur 
quelconque  ;  il  faut  que  l'on  ait  l'équation 


2 

e 

2- 

-G 

3       6 

,. 

f 
4- 

-6 

•  etc. 

k  2  ' 


dans  laquelle  6  désigne  -r  -^.  Cette  équation  déterminée  qui 


equiv 


ivaut  à  la  suivante 


384  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

_(i_9  +  -_^  +  etc.)^e--+^-^-^-4;^,  +  etc. 

donne  pour  G  une  infinité  de  valeurs  réelles  que  l'on  désigne 
par    6,  ,  6,  ,   63  ,   etc. ,    les    valeurs    correspondantes    de    m 

^2\^9,    2'/e,    2' ^-6,  ■    ■  ,       ,  •    ,.>      , 

sont   ^^  -,  -^v-j    x^~'  ^^^•'•>  ^^"^^^  '^  valeur  particulière  de 

V  est  exprimée  ainsi  ;, 

iTa>  =  £? ^^^^ /cos.  f  2  vl/â,  sin.  ^  J  ^5-. 

On  peut  mettre,  au  lieu  de  G,,  une  des  racines  G,  ,  G, ,  Gj, 
G4  ,  etc.  ,  et  l'on  en  composera  une  valeur  plus  générale 
exprimée  par  l'équation 

■KV  =  a,e — ^T^ — '-  /cos.  (  2  i,  V/6,  .  sin.  q  j  dq 

+  g,e~^,     '/cos.  Ta^  l/G^  .  sin.^J  ûJ^- 

+  (73 e~^^/  '/cos.  ^2  ^  l/ë^  .  sin.  ^  J  û?^ 

-f-  etc. 

(7, .  . .  <7, .  .  .  <73  sont  des  coefficients  arbitraires  :  la  variable  q 
disparaît  après  les  intégrations  qui  doivent  toutes  avoir  lieu 
depuis  q  =  o  jusqu'à  q  =  Tz. 

3i5. 
Pour  démontrer  que  cette  valeur  de  v  satisfait  à  toutes 
les  conditions  de  la  question  et  qu'elle  en  contient  la  solu- 
tion générale,  il  ne  reste  plus  qu'à  déterminer  les  coeffi- 
cients a, ,  o, ,  cii ,  d'après  l'état  initial.  On  reprendra  l'é- 
quation 

— m,t  — m^t  ' — T)i^t  . 

o)  =  <^,  e  .u,-\-a^e  .u^  +  Oie  .  «3  +  etc. 


CHAPITRE  VT.  385 

dans  laquelle  w, ,  u,,  w,  sont  les  différentes  valeurs  que 
prend  la  fonction  u  ou 

m  x''        m''     x''  ot'         X*  ''"-"    '    '"' 

^        A-  7''^V  1^4'  ~  F  2'. 4'. 6'  "*"  '    ;  ;  J-.  '    > 

lorsqu'on  met  successivement  au  lieu  de  j  les  valeurs  g\ . 
g, ,  gi ,  etc.  En  faisant  ^=o,  on  a  1  équation 

V  =  (7,  ?/,  +  a,  u,  +  ^3  Ui  +  etc.  ,  ,   ^ 

dans  laquelle  V  est  une  fonction  donnée  de  x.  Soit  90;  cette 
fonction,  et  représentons  la  fonction  u.  dont  l'indice  est  i, 
par  \  {^V^,)-  On  aura 

Pour  déterminer  le  premier  coefficient,  on  multipliera  chacun 
des  membres  de  lequation  par  n,dx,  c,  étant  une  fonction 
de  X,  et  l'on  intégrera  depuis  x=o  jusqu'à  x  =  \.  On  dé- 
terminera cette  fonction  c,,  en  sorte  qu'après  les  intégrations 
le  second  membre  se  réduise  au  premier  terme  seulement, 
où  se  trouve  le  coefficient  a,,  toutes  les  autres  intégrales 
ayant  une  valeur  nulle.  Pour  déterminer  le  second  coeffi- 
cient <7,,  on  multipliera  pareillement  les  deux  termes  de 
l'équation  rfix  =  a,u,  ■+-  a^u,  +  a^u^  +  etc.  par  un  autre  fac- 
teur (7,  dx,  et  l'on  intégrera  depuis  x^o  jusqu'à  a^==:X. 
Le  facteur  c,  devra  être  tel  que  toutes  les  intégiales  du  se- 
cond membre  s'évanouissent,  excepté  une  seule,  savoir, 
celle  qui  est  affectée  du  coefficient  a^.  En  général,  on  em- 
ploie une  suite  de  fonctions  de  x  désignées  par  c,  g,  Çi^jCtc 
qui   correspondent  aux   fonctions  u^ ,  u^ ,  u    etc.  ;  chacun 

4q 


386  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

de  ces  facteurs  c  a  la  propriété  de  faire  disparaître  par  l'inte'- 
gration  tous  les  termes  qui  contiennent  des  intégrales  défi- 
nies excepté  un  seul  ;  on  obtient  de  cette  manière  la  valeur 
de  chacun  des  coefficients  a^  a,  a^  etc.  Il  faut  donc  chercher 
quelles  sont  les  fonctions  qui  jouissent  de  la  propriété  dont 
il  s'agit. 

3i6. 
Chacun  des  termes  du  second  membre  de  l'équation  est 
une  intégrale  définie  de  cette  forme  a  fa.u  dx;  u  est  une 
fonction  de  x  qui  satisfait  à  l'équation 

m  d^  u         \    du 

K  dx  X  dx  ' 

on  aura  donc  a  fa.u  dx==  —  a-  f  ( -  'L^  +  /-1^\    En 

J  m  J     \X  d X  dx''  J 

développant  au  moyen  de  l'intégration  par  parties  les  termes 

r  a    du       J  C       d^  u     J 

.  r  d' u  J        p,      du  cu      r   d-„ 

^*     j'd^-'^''=^^-rx'-''-d^+pin^'^'^- 

"Les  intégrales  devant  être  prises  entre  les  hmites  ar  =  o 
eta?==X,  on  déterminera  par  cette  condition  les  quantités 
qui  entrent  dans  le  développement,  et  ne  sont  point  sous 

le  signe  /.  Pour  indiquer  que  l'on  suppose  x=^o  dans  une 

expression  quelconque  en  x,  on  affectera  cette  expression 
de  l'indice  a  ;  et  on  lui  donnera  l'indice  w  pour  indiquer  la 


CHAPITRE  VI.  387 

valeur  que  prend  la  fonction  de  x,  lorsqu'on  donne  à  cette 
variable  jc  sa  dernière  valeur  X. 

On  aura  donc,  en  supposant  x=o  dans  les  deux  équa- 
tions précédentes 

o  =  C  +  (u-]    et  o  =  D  +  ( -j— .<s  —  u.-r^)    ,   .,,., 

\     x/a  \ax  a  X  J  %'    ;v  ,!> 

on  détermine  ainsi  les  constantes  C  et  D.  Faisant  ensuite 
x  =  X  dans  ces  mêmes  équations,  et  supposant  que  l'inté- 
grale est  prise  depuis  ^'  =  0  jusqu'à  a;  =  X,  on  auz'a 

J\x'dx'       )       V    x)(ù      V    x) a.     J         \x )  ' 

^     r /■    d'il    ,    N         /du  d>5\  fdu  d<s\  Cf     rf'  s    ,     \ 

on  obtient  ainsi  l'équation    ..  ;  • .  :jii.-  >  ..  ■■■^  >  ■.>■■.    -j.-  -  ;. 
......     ,.       ,iv.    .„:-....    dx)  ,  ..,. 

,  /du  d  a  s  \ 

^      "r  .  -^s-i  •  \dx  dx  X  J(t 

Si  la  quantité  -^  —  ^  (  ~  )  ^^  multiplie  u  sous  le  signe 

d  X 

d'intégration  dans  le  second  membre  était  égale  au  produit 
de  s  par  un  coefficient  constant,  les  termes    ;  jh  c  ,;:.:;  -,  ■/.  olj 

/  I  M . T-4  —  ^  (  °  )  •  ^•^' (  ^''  \  '^ -u  dx 

\  dx  )  ■■  .-'i-/  '.  c.U 

,       49- 


388  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

pourraient  être  réunis  en  un  seul ,  et  l'on  obtiendrait  pour 
l'intégrale  cherchéeyc.w  dx  une  valeur  qui  ne  contiendrait 
que  des  quantités  déterminées,  et  aucun  signe  d'intégration; 
Il  ne  resterait  plus  qu'à  égaler  cette  valeur  à  zéro. 

Supposons  donc  que  le  facteur  5  satisfasse  à  l'équation 

différentielle  du  second  ordre  7. c  +  -7-4  —  d(-^z=iO  de 

dx 
même  que  la  fonction  u  satisfait  à  l'équation 

m  d"  u        i    du 

k  dx'        X  d X  ' 

m  et  n  étant  des  coefficients  constants ,  on  aura 

n  —  mf       7  /du  ds  <s\  /du  du  o\ 

k   J  \dx  dx  xy(ù       \dx  dx  xjct 

Il  existe  entre  m  et  o  une  relation  très-simple  qui  se  décou- 
vre ,  lorsque  dans  l'équation  t  <?  +  -j—  —  d  f  ~j  =  o^  on 

d  X 

suppose  G=x  s;  on  a,  par  le  résultat  de  cette  substitution, 

l'équation  j  "^  "•"  ^~^  +  ~  d~  ^^^'  ^^  ^"^  ^^^*  ^^^^  ^^^  ^^ 
fonction  s  dépend  de  la  fonction  u  donnée  par  l'équation 

m  d' u         I    du 

k  dx'         X  d X 

Il  suffît  pour  trouver  .y  de  changer  m  en  n  dans  la  valeur 
de  u;  on  a  désigné  cette  valeur  de  u  par  (^  fx\/-)  celle 
de  (J  sera  donc  x  <];  (^Vj)' 

On  aura  maintenant  -7-  c  -H  u-y^  -+■  w-= 

ax  dx         X 


CHAPITRE   Vî.  389 

..  \/f  .y(  Vf) +(V=)- Vîf  (VîO  ^  Q'V'd 
-  K- \/|)  K  Vi)  +  K  Vf  )  K  V^)  ■ 

les  deux  derniers  termes  se  détruisant  d'eux-mêmes ,  il  s'en- 
suit qu'en  fesant  x=o,  ce  qui  correspond  à  l'indice  a,  le  se- 
cond membre  entier  s'évanouit.  On  conclut  de  là  l'équation 
suivante  :  '  '  ■ 

_Xv/î>'(X\/»>(x/f)  (/) 

Il  est  aisé  de  voir  que  le  second  membre  de  cette  équation 
est  toujours  nul  lorsque  les  quantités  m  et  n  sont  du  nombre 
de  celles  que  nous  avons  désignées  précédemment  par 
m.m^m}  etc. 

On  a  en  effet  -    •    f         '     "''"  '     '  ' 

comparant  les  valeurs  de  — j  on  voit  que  le  second  membre 

de  l'équation  (y)  s'évanouit. 

Il  suit  de  là  qu'après  que  l'on  a  multiplié  par  c  dx  les 
deux  termes  de  l'équation 

(fx=za,u,  +  a^  u,  -+■  «3  ?<3  -H  . . .  a,Ui-h  etc. , 

et  intégré  de  part  et  d'autre  depuis  xz=o  jusqu'à  ^  =  X, 
chacune  des  intégrales  définies  qui  composent  le  second 


390  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

membre  s'évanouit ,  il  suffit  de  prendre  pour  c  la  quantité 
xu  oujtij'  {^  Y   y-)-  Il  faut  excepter  le  seul  cas  ou  n  est  égal 

à  m,  alors  la  valeur  de  j  a  u  dx  tirée  de  l'équation  (y)  se 

réduit  à  -,  et  on  la  détermine  par  les  règles  connues. 

3i8. 
Soit  \/'l=.]j.  et  i/Ç=:v  on  aura 

'A'  'fi 

le  second  membre   étant  différentié  au  numérateur  et  au 
dénominateur  par  rapport  à  v  donnera  en  faisant 

u.X'J;'^— XU'— ixX'iJ," 
U.  =  V  , —'—  • 

<r  ^  2[X. 

On  a  d'un  autre  côté  l'équation 


au        i   au  ,  ,         u.  ,  ,  „ 


et  celle-ci, 

~  ^ -{- <j.xi/=o    et  faisant    x  =  — V,  X  i|;  +  [n];'=o; 

on  pourra  donc  éliminer  dans  l'intégrale  qu'il  s'agit  d'éva- 
luer les  quantités  ^'  et  i^\  ce  qui  donnera 

on  trouvera  ainsi  pour  la  valeur  de  l'intégrale  cherchée 


CHAPITRE  VI.  39J 

l     I    +— TT I    , 


X=,.(^)et^(..^), 


en  mettant  pour  jj.  et  'X  leurs  valeurs ,  et  désignant  par  U,  la 
valeur  que  prend  la  fonction  u  ou   vj/  (x\/"j\    lorsqu'on 

suppose  .r=X.  L'indice  i  désigne  le  rang  de  la  racine  m  de 
l'équation  déterminée  qui  donne  une  infinité  de  valeurs  de  7??. 

Si  l'on  substitue  m,  ou  — X'6,  dans  '-  (  i  H / —  ) 

2  2       \  2.' km,  y 

on  aura  X'V:{^  +  {JÇL.J  y      ""   -'    ■■ 

t 

Il  résulte   de   l'analyse  précédente   que  l'on  a  les    deux 
équations 

X  X 

J{xïi^u.dx)  =  o  etJ(a:u;dx)=Çi  +  (^4^)  ) 


X'UV'-' 
—5 


la  première  a  lieu  toutes  les  fois  que  les  nombres  i  et  /  sont 
différents ,  et  la  seconde  lorsque  ces  nombres  sont  égaux. 

Reprenant  donc  l'équation  ya;  =  a^u,  +  a-, u,  -h a^ u^  +  etc. 
dans  laquelle  il  faut  déterminer  les  coefficients  a,,  a^ya^, 
etc.  On  trouvera  un  de  ces  coefficients  désigné  par  a,,  en 
multipliant  les  deux  membres  de  l'équation  par  x  u,  dx ,  et 
en  intégrant  depuis  a:=o  jusqu'à  <7  =  X;  le  second  membre 
sera  réduit  par  cette  intégration  à  un  seul  terme ,  et  l'on  aura 

l'équation  2  i(x  <^{x)  u,dxj=^a-X^  U/  (1  +  (  /,.'  -)   \ 

qui  donne  la  valeur   de  «,.    Les  coefficients  a,,  a,,  a,,  a,, 
étant  ainsi  déterminés ,  la  condition  exprimée  par  l'équation 


392  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

<pa?=:<z, u,  +a,u^  +  a^ Ui  +  etc. ,  qui  se  rapporte  à  1  état  ini- 
tial ,  sera  remplie. 

Nous  pouvons  maintenant  donner  la  solution  complète  de 
de  la  question  proposée  ;  elle  est  exprimée  par  l'équation 
suivante  : 

X  X 

~=  I  (xfX.u^dx)          —z'kt     j  (xfx.u.dœ)         —-i^kt 
u, .  e Il 2  •  e 

X 

+  I  (xfx.u,dx)         —z'kt 


u  .e  4-  etc. 


La  fonction  de  x  qui  est  exprimée  par  u  dans  l'équation  pré- 
cédente a  pour  expression 

-  /  COS.  (  -^  l/î" .  sin.  ^  J  ^  ^  ; 

toutes  les  intégrales  par  rapport  à  x  doivent  être  prises  de- 
puis x  =  o  jusqu'à  a;  =  X,  et  pour  trouver  la  fonction  u  on 
doit  intégrer  depuis  q  =  o  jusqu'à  «7  =  7:;  (j>x  est  la  valeur 
initiale  de  la  température,  prise  dans  l'intérieur  du  cylindre 
à  la  distance  x  de  l'axe ,  et  cette  fonction  est  arbitraire ,  les 
quantités  6, 6, 93Ô4...  etc.  sont  les  racines  réelles  et  posi- 
tives de  l'équation 


CHAPITRE  VI.  393 


2  k 


I- 

-9 

2- 

-9 

3- 

-6 

4- 

-0 

5  —  etc. 

320. 

Si  l'on  suppose  que  le  cylindre  ait  été  plongé  pendant  un 
temps  infini  dans  un  liquide  entretenu  à  une  température 
constante,  toute  la  masse  se  trouvera  également  échauffée, 
et  la  fonction  ç  x  qui  représente  l'état  initial  sera  remplacée 
par  l'unité.  Après  cette  substitution ,  l'équation  générale 
représentera  exactement  les  progrès  successifs  du  refroidis- 
sement. 

Si  le  temps  écoulé  f  est  infini, le  second  membre  de  l'équa- 
tion ne  contiendra  plus  qu'un  seul  terme ,  savoir  :  celui  où 
se  trouve  la  moindre  de  toutes  les  racines  9,,  G,  ,63,  etc.; 
c'est  pourquoi ,  en  supposant  que  ces  racines  sont  rangées 
selon  leur  grandeur,  et  que  9  est  la  moindre  de  toutes,  l'état 
final  du  solide  sera  exprimé  par  l'équation 

=  I  Çx  (f  x.u,  dx)  —i''kt 


On  déduirait  de  la  solution  générale  des  conséquences 
semblables  à  celles  que  présente  le  mouvement  de  la  chaleur 
dans  une  masse  sphérique.  On  reconnaît  d'abord  qu'il  y  a 
une  infinité  d'états  particuliers,  dans  chacun  desquels  les 
rapports  établis  entre  les  températures  initiales  se  conser- 

5o 


394  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

vent  jusqu'à  la  fin  du  refroidissement.  Lorsque  l'e'tat  initial 
ne  coïncide  pas  avec  un  des  états  simples,  il  est  toujours 
composé  de  plusieurs  d'entre  eux,  et  les  rapports  des  tempé- 
ratures changent  continuellement,  à  mesure  que  le  temps 
augmente.  En  général  le  solide  arrive  bientôt  à  cet  état,  ou 
les  températures  des  différentes  couches  décroissent  conti- 
nuellement en  conservant  les  mêmes  rapports.  Lorsque  le 
rayon  X  est  très-petit ,  on  trouve  que  les  tempéi^atures  dé- 

—  A 

croissent  proportionnellement  à  la  fraction  e  X.  Si  au 
contraire  ce  rayon  X  a  une  valeur  extrêmement  grande , 
l'exposant  de  e  dans  le  terme  qui  représente  le  système  final 
des  températures  contient  le  quarré  du  rayon  total.  On  voit 
par-là  comment  la  dimension  du  solide  influe  sur  la  vitesse 
finale  du  refroidissement.  Si  la  température  du  cylindre  dont 
le  rayon  est  X,  passe  de  la  valeur  A  à  la  valeur  moindre  B, 
dans  un  temps  T ,  la  température  d'un  second  cylindre  de 
rayon  égal  à  X'  passera  de  A  à  B  dans  un  temps  différent  T . 
Si  les  deux  solides  ont  peu  d'épaisseur ,  le  rapport  des  temps 
T  et  T'  sera  celui  des  diamètres.  Si  au  contraire  les  diamè- 
tres des  cylindres  sont  très-grands,  le  rapport  des  temps 
T  et  T'  sera  celui  du  quarré  des  diamètres. 


V'»^'«'«'«>«'«^w^«<-«^  «^«'«^«/Vt.^.'W  «r*^  V«^V  ^  «^^v' 


CHAPITRE  VII. 

PROPAGATION     DE     LA     CHALEUR     DANS    UN     PRISME 
RECTANGULAIRE. 


321. 

L,  ,  d'v       d'  V      d^v 

E  Q  UAT I  o  N  ^-^  +  -^  +  -^,  =  o  que  nous  avons  rapportée 

dans  la  section  IV  du  chapitre  II ,  page  119,  exprime  lé 
mouvement  uniforme  de  la  chaleur  dans  l'intérieur  d'un 
prisme  d'une  longueur  infinie ,  assuje'tie  par  son  extrémité  à 
une  tempéi'ature  constante,  et  dont  on  suppose  les  tempé- 
ratures initiales  nulles.  Pour  intégrer  cette  équation,  on 
cherchera  en  premier  lieu  une  valeur  particulière  de  v,  en 
remarquant  que  cette  fonction  v  doit  demeurer  la  même, 
lorsque  y  change  de  signe ,  ou  lorsque  z  change  de  signe  ; 
et  qu'elle  doit  prendre  une  valeur  infiniment  petite,  lorsque 
la  distance  x  est  infiniment  grande.  D'après  cela  il  est  facile 
de  voir  que  l'on  peut  choisir  pour  valeur  particulière  de  1» 

la  fonction  ae  .cos.  nycos.pz;et  faisant  la  substitution 
on  trouve  ??r  —  n- — p=o.  Mettant  donc  pour  n  et  p  des 
quantités  cjuelconques ,  on  aura  7n==]Xn''-\-p\  La  valeur  de 
V  doit  aussi  satisfaire  à  l'équation  déterminée 


k  d  V 

^'^  +  ^  =  0, 


lorsque  j=:/  ou  — l,  et  à  l'équation  t  'w  +  ^  =  ^i  ^oTs- 

5o. 


396  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

que  z^:=l  on  — l,  section  IV  du  chapitre  II,  article  laS.  Si 
l'on  donne  à  v  la  valeur  précédente ,  on  aura 

—  n  sin.  ny+  y  cos.  nj==o  et  — p  sm.pz  +  y  cos.pz  =  o^ 

kl  7   .  -.kl  n  1 

ou  -T-=^pltdin^.pl ,    -j  =  nl  X.M\^.nl, 

on  voit  par -là  que  si  l'on  trouvait  un  arc  i  tel  que  étang.  ^ 
équivalût  à  la  quantité  toute  connue  -fl,  on  prendrait  pour 

71  ou  pour  p  la  quantité  -..  Or ,  il  est  facile  de  reconnaître 

qu'il  y  a  une  infinité  d'arcs  qui ,  multipliés  respectivement 
par  leur   tangente  donnent  un  même   produit   déterminé 

-j-j  d'où  il  suit  que  l'on  peut  trouver  pour  n  ou  pour/?  une 

A" 

infinité  Àe  valeurs  différentes. 


322. 


Si  l'on  désigne  par  e,  e^,  e^  etc.  les  arcs  en  nombre  infini 

qui  satisfont  à  l'équation   déterminée  s  tang.  =  =  — ,  on 

pourra  prendre  pour  n  im  quelconque  de  ces  arcs  divisé 
par  l.  Il  en  sera  de  même  de  la  quantité  y:»;  il  faudra  ensuite 
prendre  m-^^ri'  +p\  Si  Ton  donnait  a  n  et  h.  p  d'autres 
valeurs ,  on  satisferait  à  l'équation  différentielle  ;  mais  non 
pas  à  la  condition  relative  à  la  surface.  On  peut  donc  trouver 
de  cette  manière  une  infinité  de  valeurs  particulières  de  v , 
et  comme  la  somme  de  plusieurs  quelconques  de  ces  valeurs 
satisfait  encore  à  réc|uation ,  on  pourra  former  une  valeur 
plus  générale  de  v. 

On  prendra  successivement  pour  n  et  pour  p  toutes  les 


CHAPITRE  VII.  397 

valeurs  possibles  qui  sont  y,    j,    j  etc.  Désignant  par<7,(7, 

a^  etc.,  h^h.hi  etc.  des  coefficients  constants,  on  exprimera 
la  valeur  de  'v  par  l'équation  suivante  : 


a^e  .cos.ny -\- a  ,e  ^     -cos./^.j+etc.  j(^,cos.«.s 

^.e  .cos.7z.j4-a,e  ^     .cos.  «,r+etc.  ji,cos.«,r. 

+  f  <2.e  *  ^  '  .cos.«,j+<^,e  ^  '  .cos./?,j+etc.J(53Cos.  «3S 

+  etc. 

3^3. 
Si  l'on  suppose  maintenant  la  distance  a-  nulle ,  il  faudra 
que  chaque  point  de  la  section  A  conserve  une  température 
constante.  Il  est  donc  nécessaire  qu'en  faisant  a'=o,la  va- 
leur de  V  soit  toujours  la  même,  quelque  valeur  que  onl' 
puisse  donner  à  y,  ou  à  c;  pourvu  que  ces  valeurs  soient 
comprises  entre  o  et  /.  Or  en  faisant  / 1=  o ,  on  trouve 

V  =  (a,  COS.  n,y  +  «_,  cos.  ?i,y  +  a^  cos.  /?3  j  +  etc.  ) 

(  b,  cos.  n,z  +  b,  cos.  n^z  +  b^  cos.  7^3 z  +  etc.  ).        ^  , 

En  désignant  par  i  la  température  constante  de  l'extrémité 
A ,  on  prendra  les  deux  équations 

i=a,  cos.  n,y  +  a^  cos.  n,y  4-  a^  cos.  n^y  -\-  etc. 
I  =  b,  cos.  71, y  +  b,  COS.  n,y  +  b^  cos.  n^y  +  etc. 

Il  suffit  donc  de  déterminer  les  coefficients  a.a.aia^  etc.  ^ 
dont  le  nombre  est  infini ,  en  sorte  que  le  second  mem- 
bre de  l'équation  soit  toujours  égal  à  funité.   On  a  résolu 


a 


398  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

précédemment  cette  question  dans  le  cas  où  les  nombres 
w, ,  n^ ,  W3 ,  etc.  forment  la  série  des  nombres  impairs, 
section  II  du  chapitre  III,  page  lyS.  Ici  les  quantités 
re, ,  «^ ,  /Zj ,  etc.  sont  des  irrationnelles  données  par  une 
équation  d'un  degré  infiniment  élevé. 

Posant  l'équation 

I  =<7,  COS.  n,y  -\-  a-,  cos.  «,  j  +  «3  cos.  n^y  +  etc. , 

on  multipliei'a  les  deux  membres  de  l'équation  par  cos.  («,  j)  dy, 
et  l'on  prendra  l'intégrale  depuis  y^=o  jusqu'à  y==l. 
On  déterminera  ainsi  le  premier  coefficient  a^.  On  suivra  un 
procédé  semblable  pour  déterminer  les  coefficients  suivants. 
En  général ,  si  l'on  multiplie  les  deux  membres  de  l'équation 
par  cos.  -4 y,  et  que  l'on  intègre,  on  aura  pour  un  seul  terme 
du  second  membre  qui  serait  représenté  par  a  cos.  ny 
l'intégrale , 

1  (^cos.ny.cos.^ydy)  ou  -  a  j  cos.  n — ^.y  dy+  -a  l  cos.  n  +  ^ydy 
ou   -T— ^.sin.w — v./H — —  sin./î  +  v.j  J,  et  faisant  j=/. 


a  /w  +  v-sin-w — v./+«  —  v.sin.  «  + v./ \ 
2  V  ri'  —  V  )' 

Or,  une  valeur  quelconque  de  n  satisfait  à  l'équation 
Titang.  n  ^=t,  il  en  est  de  même  de  v,  on  aura  don 

«  tang.  nl=v  tang.  v/; 

ou  n  sin.  ni  cos.  v/ — v  sin.  v^  cos.  n  1:^=0. 


CHAPITRE  VIL  899 

Ainsi  l'intégrale  précédente  qui  se  réduit  à 

frtsin.  ni  COS.  v  / — v  cos.  ni  sin.  v/)  est  nulle. 

Il  faut  excepter  le  seul  cas  ou  7i  =  v.  En  reprenant  alors 
iintegrale  -( 1 ; ),onvoitquesilona7z=Vi 

elle  équivaut  à  la  quantité  -  <2  f  /  +  ~~~^r~j 
Il  résulte  de  là  que  si  dans  l'équation 

I  =(7,  COS.  n^j  +  a,  COS.  n^j  +  a^  cos.  n^y  +  etc. 

on  veut  déterminer  le  coefficient  d'un  terme  du  second  mem- 
bre désigné  par  a  cos.  nj,  il  faut  multiplier  les  deux  membres 
par  COS.  ny.dy,  et  intégrer  depuis  j'=o  jusqu'à  r= ''•  On 
aura  pour  résultat  l'équation 

/7           I        /;        sin.  inl\        I     .  , 

cos.  ny  dj  =  -  a  f  /  h J  =-  sm.  n  l, 


d'où  l'on  tire  — r—^. >  =  -  a.  On  déterminera  de  cette 

iiiC'\-sin.:iii  C        4 

manière  les  coefficients  a, ,  a, ,  a^, ,  <7^ ,  etc.  ;  il  en  sera  de 
même  des  coefficients  h,  b^  b,  b^ ,  etc.  ,  qui  seront  respecti- 
vement les  mêmes  que  les  précédeuts. 

325. 
Il  est  aisé  maintenant  de  former  la  valeur  générale  de  v  ; 

1°  elle  satisfera  à  l'équation  -7—^  +  -r—^  4-  -777  =  o  ;  2°  elle  satis- 

Cl  jL  cl  y  Cil  H/ 

fera  aux  deux  conditions  k-j^-\-  hv^=o  et  k—  +  h  v=^o\ 

dy  dz 

S**  elle  donnera  une  valeur  constante  pour  v,  lorsqu'on  fera 


4oô  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

a;  =  o,  quelles  que  soient  d'ailleurs  les  valeurs  de  y  et  de  z, 
comprises  entre  o  et  /;  donc  elle  résoudra  dans  toute  son 
étendue  la  question  proposée. 
On  est  parvenu  ainsi  à  l'équation 

I        sin.  «,/cos.  «,  r       sin. n, /.cos.  ii^r       sïn.n-,l.cos.n,y 

_ — 1 -^H — : — I — -. —  +  etc. 

4       2  72,/+sin.  2«,/       2  n,/-\-sin.Q.n,l       2n^l+sin.2n^I 

ou  désignant  par  s,  £,£3  etc.  les  arcs  nj,  nj,  n^l,  etc. 

sin.  e,  COS. -y       sin.£jCOS.-i        sin.  £j  cos. -= 

I                            L                           t                           l  . 

__- ._ 1 ._ 1 . 1_  etc., 

4        2e,+sin.2e,       2£,+sin.2£j       aEjH-sui.  2C3  ' 

équation  qui  a  lieu  pour  toutes  les  valeurs  de  y  comprises 
entre  o  et  l,  et  par  conséquent  pour  toutes  celles  qui  sont 
comprises  entre  o  et  — /. 

En  substituant  les  valeurs  connues  de  a^  ô,  a^  b^  a^  h^  etc. 
dans  la  valeur  générale  de  v ,  on  aura  l'équation  suivante, 
qui  contient  la  solution  complète  de  la  question  proposée , 

'V  sin.  ra,/cos.  «,  s  /sin.  ?i, /cos.  7Z,^     — .r  !/*«,' -|-n ,  "  N 

4.4       2«,/+sin.  2nJ\7.n,  /+sin.  2«, /  '  J 

sm.  n,l COS.  n^z  /sm.n,  i COS.  n,j-     — xi/'n^^'+n,"  \ 

2«,/+sin.2«,/ \2«,  Z+sin.2«,/  / 

sin.  n,  l  COS.  rijZ  /  sm.n,l.cos.n,j-     — xy'TïJ^'+ïï^  \ 

2«3/+sin.2«3  ^  \  2M,/+sin.2«, /  / 

■4-etc.  (E) 

Les  quantités  désignées  par  71,,  n,,  «3  etc.  sont  en  nombre 
infini,  et  respectivement  égales  aux  quantités 

e.       £,       63       s^        j. 

r   r   i'  f 


CHAPITRE  VIL  4oi 

les  arcs  e, ,  s, ,  23 ,  £4  etc.  sont  les  racines  de  l'équation  dëter- 

.    ,  hl 

mniee  c  tang.  a  =  -77 . 

32G. 

La  solution  exprimée  par  l'équation  précédente  E  est  la 

seule  qui  convienne  à  la  question;  elle  représente  l'intégrale 

,     ,     1       11''         ^-         '^'^       d-^'^'        «^^  ?'  I  1  11 

générale  de  1  équation  ^— ^  +  -r—^  -h  -j-r  =  o  ,  dans    laquelle 

on  aurait  déterminé  les  fonctions  arbitraires  d'après  les  con- 
ditions données.  Il  est  facile  de  reconnaître  qu'il  ne  peut  y 
avoir  aucune  solution  différente.  En  effet ,  désignons  par 
i^{^x,y,z')  la  valeur  de  v  déduite  de  l'équation  (E),  il  est 
évident  que  si  l'on  donnait  au  solide  des  températures 
initiales  exprimées  par  ^{^x,y,  z),il  ne  pourrait  survenir 
aucun  changeinent  dans  le  système  des  températures,  pourvu 
que  la  section  à  l'origine  fût  retenue  à  la  température  con- 
stante I  :  car  l'équation  -^^  h-  -^4  +  -^=0  étant  satisfaite , 

la  variation  instantanée  de  la  température  est  nécessaire- 
ment nulle.  Il  n'en  sera  pas  de  même,  si  après  avoir  donné  à 
chaque  point  intérieur  du  solide  dont  les  coordonnées  sont 
X,  y,  z  la  température  initiale  i  {x ,y,  z),  on  donnait  à  tous 
les  points  de  la  section  à  l'origine  la  température  constante 
o.  On  voit  clairement,  et  sans  aucun  calcul,  que  dans  ce  der- 
nier cas  l'état  du  solide  changerait  continuellement,  et  que 
la  chaleur  primitive  qu'il  renferme  se  dissiperait  peu^tà-peu 
dans  l'air,  et  dans  la  masse  froide  C[ui  maintient  l'extrémité 
à  la  température  o.  Ce  résultat  dépend  de  la  forme  de  la 
fonction  i^  {x,y,  z) ,  qui  devient  nulle  lorsque  x  a  une  valeur 
infinie  comme  la  question  le  suppose. 

Un  effet  semblable  aurait  lieu  si  les  températures  initiales, 

5j. 


4o2  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

au  lieu  d'être  +  <\i  {^x,  y,z)^  étaient  — i^i^x ,y,  z)  pour  tous 
les  points  intéiieurs  du  prisme  ;  pourvu  que  la  section  à 
l'origine  fut  toujours  retenue  à  la  température  o.  Dans  l'un 
et  l'autre  cas,  les  températures  initiales  se  rapprocheraient 
continuellement  de  la  température  constante  du  milieu  qui 
est  zéro;  et, les  températures  finales  seraient  toutes  nulles. 

827. 

Ces  principes  étant  posés ,  considérons  le  mouvement  de 
la  chaleur  dans  deux  prismes  parfaitement  égaux  à  celui  qui 
est  l'objet  de  la  question.  Pour  le  premier  solide ,  nous  sup- 
posons que  les  températures  initiales  sont  +  i^  (>r,  j,  z),  et 
c[ue  l'origine  A  conserve  la  température  fixe  i.  Pour  le  se- 
cond solide,  nous  supposons  que  les  températures  initiales 
sont  — i^{^x,y,z)^çX.  C|u'à  l'origine  A  tous  les  points  de  la 
section  sont  retenus  à  la  température  o.  Il  est  manifeste  que 
dans  le  premier  prisme  le  système  des  températures  ne  peut 
point  changer,  et  que  dans  le  second  ce  système  varie  con- 
tinuellement jusqu'à  ce  que  toutes  les  températures  devien- 
nent nulles. 

Si  maintenant  on  fait  coïncider  dans  le  même  solide  ces 
deux  états  différents;  le  mouvement  de  la  chaleur  s'opérera 
librement,  comme  si  chaque  système  existait  seul.  Dans 
l'état  initial  formé  des  deux  systèmes  réunis ,  chaque  point 
du  solide  aura  une  température  nulle ,  excepté  les  points  de 
la  section  A  dont  la  température  sera  i ,  ce  qui  est  conforme 
à  l'hypothèse.  Ensuite  les  températures  du  second  système 
changeront  de  plus  en  plus ,  et  s'évanouiront  entièrement , 
pendant  que  celles  du  premier  se  conserveront  sans  aucun 
changement.  Donc,  après  un  temps  infini,  le  système  per- 
manent des  températures  sera  celiii  que  z-eprésente  l'équation 


CHAPITRE   VII.  4o3 

(E),  ou  'y  =  |(.r,j,  s).  II  faut  remarquer  que  eette  conse'- 
quence  dépend  de  la  condition  relative  à  l'état  initial  ;  on  la 
déduira  toutes  les  fois  que  la  chaleur  initiale  contenue  dans 
le  prisme  est  tellement  distribuée,  qu'elle  s'évanouirait  entiè- 
rement ,  si  l'on  retenait  l'extrémité  A  la  température  o. 

328. 
Nous  ajouterons  diverses  remarques  à  la  solution  précé- 
dante; 1°  il  est  facile  de  connaîtz-e  la  nature  de  l'équation 

£  tang.  £=-^,  il  suffit  de  supposer  (voyez  fig.  i5)  que  l'on 

ait  construit  la  courbe  ?/==  étang,  e,  l'arc  s  étant  pris  pour 
abscisse,  et  11  pour  ordonnée.  Cette  ligne  est  composée  de 
branches  asymptotiques.  Les  abscisses   qui  correspondent 

aux  asymptotes,  sont  ^tt,  -t;,  -x,  -r  etc.  :  celles  qui  cor- 
respondent aux  points  d'intersection  sont  :  i  tt,  2TT,377,etc. 
Si  maintenant  on  élève  à  l'origine  une  ordonnée  égale  à  la 

quantité  connue  -7- ,  et  que  par  son  extrémité  on  mené  une 
parallèle  à  Taxe  des  abscisses ,  les  points  d'intersection  don- 
neront les  r-acines  de  l'équation  proposée  e  tang.  £  =  -^.  La 

construction  indique  les  limites  entre  lesquelles  chaque  ra- 
cine est  placée.  Nous  ne  nous  arrêterons  point  aux  procédés 
de  calcul  qu'il  faut  employer  pour  déterminer  les  valeurs 
des  racines.  Les  recherches  de  ce  genre  ne  présentent  au- 
cune difficulté.  * 
-.    .-           329.^^                                            ^^ 

2°  On  conclut  facilement  de  l'équation  générale  (E),  que 
plus  la  valeur  de  ce  devient  grande,  plus  le  terme  de  la  va- 
leur de  V,  dans  lequel  se  trouve  la  fraction  e        l^",  +«,  ^ 

5i, 


4o4  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

devient  grand  par  rapport  à  chacun  des  suivants.  En  effet , 
n,  n,  Ui  «4  etc.    étant   des   quantités  positives    croissantes  , 

la  fraction  e  *^»^^"''  est  la  plus  grande  de  toutes  les  frac- 
tions analogues  qui  entrent  dans  les  termes  subséquents. 

Supposons  maintenant  que  l'on  puisse  observer  la  tempé- 
rature d'un  point  de  l'axe  du  prisme  situé  à  une  distance  x 
extrêmement  grande ,  et  la  température  d'un  point  de  cet 
axe  situé  à  la  distance  ^  +  i ,  i  étant  l'unité  de  mesure;  on 
aura  alors  j=o,  2=0,  et  le  rapport  de  la  seconde  tempéra- 
ture  à  la   première   sera   sensiblement   égal  à  la  fraction 

e  -^l^^/i/  Cette  valeur  du  rapport  des  températures  des 
deux  points  de  l'axe  est  d'autant  plus  exacte ,  que  la  distance 
X  est  plus  grande. 

Il  suit  de  là  que  si  Ton  marquait  sur  l'axe  des  points  dont 
chacun  fut  distant  du  précédent  de  l'unité  de  mesure,  le 
rapport  de  la  température  d'un  point  à  celle  du  point  qui 
précède  ,   convergerait    continuellement    vers    la    fraction 

é  ^V^»",'.  jjjfjgj  jgg  températures  des  points  placés  à  dis- 
tances égales  finissent  par  décroître  en  progression  géomé- 
trique. Cette  loi  aura  toujours  lieu,  quelle  que  soit  l'épaisseur 
de  la  barre,  pourvu  que  l'on  considère  des  points  situés  à 
une  grande  distance  du  foyer  de  chaleur. 

Il  est  focile  de  voir,  au  moyen  de  la  construction,  que  si 
la  quantité  appelée  l  qui  est  la  demi  -  épaisseur  du  prisme, 
est  fort  petite ,  «,  a  une  valeur  beaucoup  plus  petite  que  ii, , 


—x\y 


■in. 


ou  /?3  etc.  ;  il  en  résulte  cpie  la  première  fraction  e 

est  beaucoup  plus  grande  qu'aucune  des  fractions  analogues. 

Ainsi,  dans  le  cas  où  l'épaisseur  de  la  barre  est  très- petite, 


CHAPITRE  Vif.  4o5 

il  n'est  pas  nécessaire  de  s  éloigner  de  la  source  de  la  chaleur 

pour   que  les   températures  des  points  également  distants 

décroissent  en  progression  géométrique.  Cette  loi  i"ègne  alors 

dans  toute  l'étendue  de  la  barre.  nu  --\^  •ino3:>j.î  -^a 

i     x      » 

.  ,    •  .   33o.  ,    ,. 

Si  la  demi -épaisseur  l  est  une  tres-petite  quantité,  la  va- 
leur générale  de  v  se  réduit  au  premier  terme  qui  contient 

é~f.hc^"' .  Ainsi  la  fonction  v  qui  exprime  la  température 

d'un  point  dont  les  coordonnées  sontx,  y:  ph^,  est  donnée 

dans  ce  cas  par  l'équation  .ai'jl  iM-j<'  -in  -'>  ^^-i.'  iy.> 

■  ■■      :t!-      !-:■  z  :io  I  j'i 
/       4.sln.7?,  /       \'  — xX/^o.ri' 

■7;  =  f  — -, — : -,  )    .  cos.  «r.tos.  «S  e         k  .*« 

\i  II  l-{-&in.  1  n  /  J  "^  .. — 

•c,==«^  eJi33q  3fî3raon£ 
l'arc  £  ou  «/devient  extrêmement  petit,  comifte  on  le  voit 

par  la  construction.  L'équation  t  tang.  e  :^  y  ^  se  réduit  alors 

à  V  =  T  /;  la  première  valeur  de  s  ou  £,  est  y  —'-,   à  lins- 

pection  de  la  ligure,  on  connaît  les  valeurs  des  autres  ra- 
cines ,  en  sorte  que  les  cjuantités  e,  £_,  ej  e^  e;  etc.  sont  les  sui- 
vantes y/  -i- ,  TT,  2  :t,  3  7;,  4 -^T  etc.  Les  valeurs  de  ?? ,  », n. n^ n^ etc.. 

sont  donc  •— =  \/  -7  ■>  -ji  —r-,  ~yi  etc.  ;  on  en  conclut  comme 

on  l'a  dit  plus  haut,  que  si  /  est  une  très-petite  quantité,  la 
première  valeur  n  est  incomparablement  plus  grande  c[ue 
toutes  les  autres ,  et  que  l'on  doit  omettre  dans  la  valeur 
générale  de  v,  tous  les  termes  cjui  suivent  le  premier.  Si 
maintenant  on  substitue  dans  ce  premier  terme  la  valeur 
trouvée  pour  n,  en  remarquant  que  l'arc  ni  et  lare  2 ni 
sont  égaux  à  leurs  sinus,  on  aura  .'  .=  x^^  '      j'a  ' 


4o6  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

.  =  cos.(^f.f)cos.(v/f.|).~"^^. 

le  facteur  v  -r  ^pi  entre  sous  le  signe  cosinus  e'tant  très- 
petit,  il  s'ensuit  que  la  température  varie  très -peu,  pour 
les  différents  points  d'une  même  section ,  lorsque  la  demi- 
épaisseur  /  est  très -petite.  Ce  résultat  est  pour  ainsi  dire 
évident  de  lui-même  :  mais  il  est  utile  de  remarquer  comment 
il  est  expliqué  par  le  calcul.  La  solution  générale  se  réduit 
en  effet  à  un  seul  terme, à  raison  de  la  ténuité  de  la  barre, 
et  l'on  a  en  remplaçant  par  l'unité  les  cosinus  d'arcs  extrê- 

mement  petits  v=ie  ^  ^',  équation  qui  exprime  dans 
le  cas  dont  il  s'agit  les  températures  stationnaires. 

On  avait  trouvé  cette  même  équation  précédemment, 
article  76 ,  page  65  ;  on  l'obtient  ici  par  une  analyse  entière- 
ment différente. 

33i. 

La  solution  précédente  fait  connaître  en  quoi  consiste  le 
mouvement  de  la  chaleur  dans  l'intérieur  du  solide.  Il  est 
facile  de  voir  que  lorsque  le  prisme  a  acquis ,  dans  tous  ses 
points,  les  températures  stationnaires  que  nous  considérons, 
il  existe  dans  chaque  section  perpendiculaire  à  l'axe,  un  flux 
constant  de  chaleur  qui  se  porte  vers  l'extrémité  non  échauffée. 
Pour  déterminer  la  c[uantité  de  ce  flux  qui  répond  à  une 
abscisse  x.  Il  faut  considérer  que  celle  qui  traverse  pendant 
l'unité  de  temps ,  un  élément  de  la  section ,  est  égale  au  pro- 
duit du  coefficient  k,  de  l'aire  dy  clz,  de  l'élément  dt,  et  du 

rapport  -r-  pris  avec  un  signe  contraire.  Il  faudra  donc  pren- 


CHAPITRE  IV.  407 

tire  l'intégrale  — kl  dy  1  dz^^,    depuis  a=  o    jusqu'à 

.T=^l,  demi-épaisseur  de  la  barre,  et  ensuite  depuis  j:  =  q 
jusqu'à  y  =  l-^  On  aura  ainsi  la  quatrième  partie  du  flux 
total. 

Le  résultat  de  ce  calcul  lait  connaître  la  loi  suivant  laquelle 
décroît  la  quantité  qui  traverse  une  section  du  prisme  ;  et  Ton 
voit  que  les  parties  éloignées  reçoivent  très-peu  de  chaleur 
du  foyer,  parce  que  celle  qui  en  émane  immédiatement,  se 
détourne  en  partie  vers  la  surface,  pour  se  dissiper  dans 
l'air.  Celle  qui  traverse  une  section  quelconque  du  prisme, 
forme ,  si  Ion  peut  parler  ainsi ,  une  nappe  de  chaleur 
dont  la  densité  varie  d'un  point  de  la  section  à  l'autre. 
Elle  est  continuellement  employée  à  remplacer  la  chaleur 
qui  s'échappe  par  la  surface, dans  toute  l'extrémité  du  prisme 
située  à  la  droite  de  la  section  :  il  est  donc  nécessaire  que 
toute  la  chaleur  qui  sort  pendant  un  certain  temps  de  cette 
partie  du  prisme ,  soit  exactement  compensée  par  celle  qui  y 
pénètre  en  vertu  de  la  conducibilité  intérieure  du  solide.     -, 

332. 

Pour  vérifier  ce  résultat,  il  faut  calculer  le  produit  du  flux 
établi  à  la  surface.  L'élément  de  la  surface  est  dx  dy,  et  v 
étant  sa  température  hv  dx  dy  est  la  quantité  de  chaleur 
qui  sort  de  cet  élément  pendant  l'unité  de  temps.  Donc  l'in- 
tégrale h  f  dx f  dy .V  exprime  la  chaleur  totale  émanée 
d'une  portion  finie  de  la  surface.  Il  faut  maintenant  em- 
ployer la  valeur  connue  de  v  en  y,  en  supposant  r.  =  /,puis 
intégrer  une  fois  depuis  j  =  o  jusqu'à  j"  =  /,  et  une  seconde 

fois  depuis  cr  =  x  jusqu'à  x=^-.  On  trouvera  ainsi  la  moitié 


4o8  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

de  la  chaleur  qui  sort  de  la  surface  supérieure  du  prisme  ;  et 
prenant  quatre  fois  le  résultat ,  on  aura  la  chaleur  perdue 
par  les  surfaces  supérieure  et  inférieure. 

Si  l'on  se  sert  maintenant  de  l'expression  hfdxfdz.v, 
que  l'on  donne  à  y  dans  v  sa  valeur  l,  et  que  l'on  intègre 
une  fois  depuis  s=o  jusqu'à  z=/,  et  une  seconde  fois  de- 
puis x=o  jusqu'à  x=-;  on  aura  la  quatrième  partie  de  la 

chaleur  qui  s'échappe  par  les  surfaces  latérales. 

.:.  L'intégrale  hfdxfdyv,  étant  prise  entre  les  limites 

désignées  donne 


ha  .  ,  ,      —  X  V/i, 

sm  m  i  COS.  nie 


m  V m"  +«» 

et  l'intégrale  hfdxfdz.v  donne 


n\^\ 


=  COS.  nil  sm.  nie 


m' 


Donc  la  quantité  de  chaleur  que  le  prisme  perd  à  sa  surface, 
dans  toute  la  partie  située  à  la  droite  de  la  section  dont 
l'abscisse  est  x,  se  compose  de  tous  les  termes  analogues  à 
celui-ci 

4/'-^         — X\ym'  +  n'\  I      •  7  7        I  7    •  7) 

;  y  ,         e  —  sin.  m  l  cos.  nl  +  -  cos.  m  /.sm.  îil\' 

D'un  autre  côté  la  quantité  de  chaleur  qui  pénètre  pen- 
dant le  même  temps  à  travers  la  section  dont  l'abscisse  est  x, 
se  compose  des  termes  analogues  à  celui-ci  : 

t\Ti  a\/ nû -\r  n}     X\/'ni'  +  ti'       .  ,      .  , 

e  .sm.  77il.sin.  ni; 

il  est  donc  nécessaire  que  l'on  ait  l'équation 


CHAPITRE  VIL  409 

!lk—!!—t!li.&m. m Isin.  «/=:— — 7^^=.sin.  7?z/.cos.  ni 

m.n  in\Xnv+ie 

=  .cos.  ml.sïn.  n  l , 


ou  A•(w'4-7^')sin.7?^/  sin.  ?il^h7?i  cos.77ihin.7il 

+  h  n  sin.  771 1  cos.  71 1: 

or  on  a  séparément  K  Tri"  sin.  77ilû\\.  /?  /=  h  711  cos.  /«  /sin.  ?/  /, 

wsin.  m  l  li 

OU  772 T  =  7  ;  on  a  aussi  .    . 

COS.  m  l  h 

Je  71-  sin.  71 1,  sin.  77?/=A7?  cos.  7i  /  sin.  777/;, 

71  .sin.  «  l         h 

ou    ^  =  T  >  ' 

COS.  ni  k  '  '■  ■ 

donc  récjuation  est  satisfaite.  Cette  compensation  cjui  s'e'ta- 
blit  sans  cesse  entre  la  chaleur  dissipée  et  la  chaleur  trans- 
mise, est  une  conséquence  manifeste  de  l'hypothèse;  et  le 
calcul  reproduit  ici  la  condition  qui  avait  d'abord  été  ex- 
primée ;  mais  il  était  utile  de  remarquer  cette  conformité 
dans  une  matière  nouvelle ,  c[ui  n'avait  point  encore  été  sou- 
mise à  l'analyse. 

332. 

Supposons  cjue  le  demi-côté  /  du  quarré  qui  sert  de  base 
au  prisme,  soit  une  ligne  extrêmement  grande,  et  que  l'on 
veuille  connaître  la  loi  suivant  laquelle  les  températures  dé- 
croissent pour  les  différents  points  de  l'axe;  on  donnera  à  x 
et  à  ;  des  valeurs  nulles  dans  récjuation  générale,  et  à  /  une 
valeur  extrêmement  grande.  Or  la  construction  fait  connaî- 
tre dans  ce  cas  que  la  première  valeur  de  z  est -,1a  seconde 

3  -,  la  troisième  5  -  etc.  On  fera  ces  substitutions  dans  l'é- 
2  2 

.       .  52 


4io  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

niiation  générale, et  l'on  remplacera  nj,  nj,  n^l,  nj,,  etc.  par 
leurs  valeurs  -,  —,  —,  —,  et  l'on  mettra  aussi  la  fraction 


3  r      5  7ï     7  TT 

2    '        2    '       2 
X 
2      2 


a  au  lieu  de  e       ^      .  On  trouve  alors 

-Ka^^'+^-Ja'^^^+etC.) 


^^,        +    _etc.) 
-U  -etc.) 


7 
+  etc. 

On  voit  par  ce  résultat  que  la  température  des  différents 
points  de  l'axe  décroît  rapidement  à  mesure  c]u'on  s'éloigne 
de  l'origine.  Si  donc  on  plaçait  sur  un  support  échauffé  et 
maintenu  à  une  température  permanente ,  un  prisme  d'une 
hauteur  infinie,  ayant  pour  base  un  carré  dont  le  demi-côté 
/  est  très -grand;  la  chaleur  se  propagerait  dans  l'intérieur 
du  prisme ,  et  se  dissiperait  par  la  surface  dans  l'air  environ- 
nant qu'on  suppose  à  la  température  o.  Lorsque  le  solide 
serait  parvenu  à  un  état  fixe,  les  points  de  l'axe  auraient  des 
températures  très-inégales,  et  à  une  hauteur  équivalente  à  la 
moitié  du  côté  de  la  base,  la  température  du  point  le  plus 
échauffé  serait  moindre  que  la  cinquième  partie  de  la  tem- 
pérature de  la  base. 


CHAPITRE  VIII. 

DU    MOUVEMENT    DE     LA     CHALE  U  R    DANS    U  >'     C  U  B  E 

SOLIDE. 

333. 
.1  L  nous  reste  encore  à  faire  usage  de  1  équation 

dv R      /d'-  V        d-  7-1       d"  /i\  ,    , 

qui  représente  le  mouvement  de  la  chaleur  dans  un  solide 
de  forme  cubique  exposé  à  l'action  de  l'air,  (section  IV  du 
chapitre  II ,  page  119)  On  choisira  en  premier  lieu  pour  v 

la  valeur  très-simple  e  cos.  nx  cos.  py  cos.  qz;  et  en 

substituant  dans  la  proposée,  on  aura  l'équation  de  condi- 
tion m  ^^k{ii^  +/-''  + '7' )i  ^^  lettre  k  désignant  le  coefficient 

■FT^-  Il  suit  de  là  que  si  l'on  met  au  lieu  de  n,  p,  q  des 

quantités  quelconques,  et  si  l'on  prend  pour  m  la  quantité 
k^n"  +/?'  +  q')t  la  valeur  précédente  de  v  satisfera  toujours 
à  l'équation  aux  différences  partielles.  On  aura  donc  léqua- 

tion  'v  =  e  ^  ^  ■'  ^  .cos.  nx  cos.  py  cos.  qz.  Letat 
de  la  question  exige  aussi  que  si  x  change  de  signe ,  et  si  }' 
et  z  demeurent  les  mêmes,  la  fonction  ne  change  point;  et 
que  cela  ait  aussi  lieu  par  rapport  à  j^  et  par  rapport  h.  z: 
or  la  valeur  de  v  satisfait  évidemment  à  ces  conditions. 

5a. 


4i2  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

334. 
Pour  exprimer  l'état   de   la  surface,  on   emploiera   les 
e'quations  suivantes  : 

±K^'  +  hv=o. 

ctx  ^ 

zkK.-;-  H-  hv=o. 
dj 

±K^  +  /ii;  =  o.  {h) 

Elles  doivent  être  satisfaites  lorsque  l'on  a  x=^-àLa,  ou 
j=±(7^  ou  z=±<7.  On  prend  le  centre  du  cube  pour 
l'origine  des  coordonnées;  et  le  côté  est  désigné  par  a. 

La  première  des  équations  (i)  donne 

— mt       ■  A- 

-t-d  nsm.nx  cos.py  cos.q  z  +  ^cos.nxcospjcos.g  z=o^ 

h 
ou  zf  71  tang.  /^  a;  +  -jT-  =  o , 

équation  qui  doit  avoir  lieu  lorsque  a^=:±<7. 

Il  en  résulte  que  l'on  ne  peut  pas  prendre  pour  n  une 
valeur  quelconque,  mais  que  cette  quantité  doit  satisfaire  à 

la  condition  /irz  tang.  7^«  =  |^  a.  Il  faut  donc  résoudre  l'é- 
quation déterminée  z  tang.  t  =  —  a,  ce  qui  donnera  la  va- 


leur de  i,  et  l'on  prendra  «=   .  Or  l'équation   en  s  a  une 

infinité  de  racines  réelles;  donc  on  pourra  trouver  pour  n 
une  infinité  de  valeurs  différentes.  On  connaîtra  de  la  même 
manière  les  valeurs  que  l'on  peut  donner  a  p  et  a  ç^/ elles 
sont  toutes  représentées  par  la  construction  que  l'on  a  em- 


CHAPITRE  VIII.  4i3 

ployée  dans  la  question  précédente,  art.  (Sai).  Nous  dési- 
gnerons   ces  racines   par   ?^,  n,  n^  «4  etc.   Ainsi   l'on    pourra  . 
donner  à  a»  la  valeur  particulière  expinmée  par  l'équation 

VT=ze  '       ^  ^  COS.  nx. COS. pj. COS.  qz, 

pourvu  que  l'on  mette  au  lieu  de  n,  une  des  racines  7/,,  n,, 
rii  rij^  etc. ,  et  qu'il  en  soit  de  même  de  p  et  de  q. 

335. 
On  peut  former  ainsi  une  infinité  de  valeurs  particulières 
de  V,  et  il  est  visible  que  la  somme  de  plusieurs  de  ces  va- 
leurs satisfera  aussi  à  l'équation  différentielle  («7)  et  aux 
équations  déterminées  (Z»).  Pour  donner  à  v  la  forme  géné- 
rale que  la  question  exige ,  on  réunira  un  nombre  indéfini      

de  termes  semblables  à  celui  -  ci  : 

ae  \        i       1  '  .COS.  71 X  COS.  p  y  COS.  qz. 

Nous  exprimerons  cette  valeur  de  v  par  l'écjuation  suivante  : 

'U  =  f  tf, cos. «,a'e  +acos.n.,xe         '    +acos. 77^X6  +  etc.  ) 

/  — kii,-t  — k/i,'i  — /Ç«,V  \ 

(cos.7i,fe  +cos.«,je  +cos./?3j'e  +  etc.  ) 

(cos.7i,ze  +cos.7/,:;e  -{-cos.77,ze  +  etc.  )• 

Le  second  membre  doit  se  former  du  produit  des  trois 
facteurs  écrits  dans  les  trois  lignes  horizontales,  et  les  cpian- 
tités  rt,  <7,  «3  etc.  sont  des  coefficients  inconnus.  Or ,  selon 
l'hypothèse,  si  l'on  fait  t=o.,  la  température  doit  être  la 


4i4  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

même  pour  tous  les  points  du  cube.  Il  faut  donc  déter- 
miner a,  a,  a^  etc. ,  en  sorte  que  la  valeur  de  v  soit  con- 
stante, quelles  que  soient  celles  de  x  de  j  et  de  z,  poui^vu 
que  chacune  de  ces  valeurs  soit  comprise  entre  a  et  — a. 
Désignant  par  i  la  température  initiale  commune  à  tous  les 
points  du  solide,  on  posera  l'équation 

I  :^(3,  COS.  n,  X  +  a^  ces.  ji,x  +  rtj  COS.  «3  X  +  etc. 

dans  laquelle  il  s'agit  de  déterminer  a,  a,  a^  etc.  Après  avoir 
multiplié  chaque  membre  par  cos.  n,x,  on  intégrera  depuis 
^  =  0  jusqu'à  a:  =  (2  .•  or,  il  résulte  de  l'analyse  employée 
précédemment  art.  (SaS),  que  l'on  a  l'équation 

ûn.n,  aco&.  n,  X  s,\n.  ji,  a.  cos.  n^x  s\n.  n-,  a. cos.  ti-^x 


f  s\\\.in,a\  f  siii.  2//,rt\  /  sm.i  n^a\ 

Ln^a[\^ '—)        n.all-] ~)        7?3<7(lH ) 

\  2  II,  a     y  V  2  ri,  a     y  \  2 /i,  a     y 

désignant  par  (j,,  la  quantité  -  f  i  -\ '■ '—  j  ,  on  aura 


sm.  Il,  n  sin.«,a  sin.n,a 

I  = cos.  n.x  -\ COS.  n  x,  h cos.  7i,  x  +  etc. 

n,  a  [/.,  n,  a  [A,  n^  a  jjUj 

cette  équation  aura  toujours  lieu  lorsque  l'on  donnera  à  x 
une  valeur  comprise  entre  a  et  — a. 

On  peut  en  conclure  l'expression  générale  de  v,  elle  est 
donnée  par  l'équation  suivante  : 


etc. 


CHAPITRE  VIII.  4iÔ 

/sin.«,rt  — A;;,'?       s'm. n,a  — fcn^'f 

v=  ( —cos.n.xe  -I cos.n^xe 

s\n.n-,a  — kh-,'t  .     \ 

H —  cosMiXe  +  etc.  ) 

/sln.«,«  — kn^t       sln.«,«  — kn^t 

( î-cos.//,}e  H cos.re,re 

sin.K,œ      ^  — kn?t  ,      \ 

H -^-cos.7?,re  +  etc.  ) 


(sxn.n.a                    — kn.t       sm. ii,a 
COS.  n.ze  H cos.n.ze 


sin.  «,rt  — kn.'t  \ 

H COSMiZe  +CtC.)- 

336. 

L'expression  de  v  est  donc  forme'e  du  produit  de  trois 
fonctions  semblables,  l'une  de  x,  l'autre  de  j  et  la  troisième 
dez,  ce  qu'il  est  facile  de  vérifier  immédiatement. 

En  effet ,  si  dans  l'ëquation 

d  V T  ^  d"  V        d^  V        d'  v\ 

~di  \d^-  ~^  ITf  '^  1^  J  ' 

l'on  suppose  i>  =  X  Y  Z;  en  dénotant  par  X  une  fonction  de 
X  et  t,  par  Y  une  fonction  de  )•  et  t ,  et  par  Z  une  fonction 
de  z  et  t ,  on  aura 

on  prendra  les  trois  équations  séparées 

dT^ id_^      dX ,jd'\      dX '7'^''^ 

dt~     dz^'     d7~     'dV'    'd~r'~^'d7^' 


4i6  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

On  doit  avoir  aussi  pour  la  condition  relative  à  la  surface 

d'où  l'on  de'duit 


X  A^  dY  h,r  dZ  hr. 


S>  4\  .  1 


^  Il  suit  de  là  que  pour  résoudre  complètement  la  question 
il  suffit  de  prendre  l'équation  -j-  =  'k  ^-^  et  d'y  ajouter  l'é- 


quation de  condition  -, h  :^u  =  o  qui  doit  avoir  lieu,  lors- 
que a;=  (7.  On  mettra  ensuite  à  la  place  de  x,  oviy  ou  z  et 
l'on  aura  les  trois  fonctions  X,  Y,  Z,  dont  le  produit  est  la 
valeur  générale  de  'v. 

Ainsi  la  question  proposée  est  résolue  comme  il  suit  : 

,  .        sin.w.rt  — 'kn't       sin.7^,(^  — 'kn^'t 

r,[x,t)=i —cos.n.xe  H cos.«,a?e 

^^  ■'         n,a[J.,  'i^a\j.^ 

sin .  «,  a  —  7t  «3  '  t 

H COS.  iiiXe  +  etc. 

«3  a  jj.3 

n,,  71,,  «3  etc.,  sont  donnés  par  l'équation  suivante,  : 

lia  ^ 

t  tang.  £  =  -j^  , 
dans  laquelle  s  représente  iia;  la  valeur  de  p.,  est 

-  (   I  H ). 

On  trouve  de  la  même  manière  les  fonctions"<j!;(j,  ?),  <p(^^?). 


CHAPITRE  VIII.  417 

337. 

On  peut  se  convaincre  que  cette  valeur  de  v  resoud  la 
question  dans  toute  son  étendue,  et  que  l'intégrale  com- 
plète de  l'équation  aux  différences  partielles  (a)  doit  né- 
cessairement prendre  cette  forme  pour  exprimer  les  tempé- 
ratures variables  du  solide. 

En  effet ,  l'expression  de  v  satisfait  à  l'écpiation  (a)  et  aux 
conditions  relatives  à  la  surface.  Donc  les  variations  des 
températures  qui  résultent  dans  un  instant  de  l'action  des 
molécules  et  de  l'action  de  l'air  sur  la  surface,  sont  celles  que 
l'on  trouverait  en  differentiant  la  valeur  de  v  par  rapport  à 
t.  Il  s'ensuit  que  si,  au  coinmencement  d'un  instant,  la  fonc- 
tion V  représente  le  système  des  températures ,  elle  repré- 
sentera encore  celles  qui  ont  lieu  au  commencement  de  l'ins- 
tant suivant ,  et  l'on  prouve  de  même  que  l'état  variable  du 
solide  sera  toujours  exprimé  par  la  fonction  a',  dans  laquelle 
on  augmentera  continuellement  la  valeur  de  t.  Or  cette 
même  fonction  convient  à  l'état  initial  :  donc  elle  représen- 
tera tous  les  états  ultérieurs  du  solide.  Ainsi  on  est  assuré 
que  toute  solution  qui  donnerait  pour  v  une  fonction  diffé- 
rente de  la  précédente ,  serait  erronée. 

338.  ,  ■;   ■ 

Si  l'on  suppose  C[ue  le  temps  écoulé  /  est  devenu  très- 
grand  ,  on  n'aura  plus  à  considérer  que  le  premier  terme  de 
l'expression  de  v;  car  les  valeurs  «,/î,/?3  etc.  sont  rangées  par 
ordre  en  commençant  par  la  plus  petite.  Ce  terme  est  donné 
par  l'équation 

/  sin.n,  a\^  — 'ikn,''t 

V  =  (  )  cos.  n,  x  ces.  n ,  y  cos.  71  ze  , 

voilà  donc  l'état  principal  vers  lequel  le  système  des  tempé- 

■  53 


4i8  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

ratures  tend  continuellement,  et  avec  lequel  il  coïncide  sons 
erreur  sensible  après  une  certaine  valeur  de  t.  Dans  cet  état 
la  température  de  chacun  des  points  décroît  proportionnel- 

lement  aux  puissances  de  la  fraction  e  '  ;  alors  les  états 

successifs  sont  tous  semblables ,  ou  plutôt  ils  ne  différent 
que  par  la  quantité  des  températures  qui  diminuent  toutes 
comme  les  termes  d'une  progression  géométrique,  en  conservant 
leurs  rapports.  On  trouvera  facilement,  au  moyen  de  récjuation 
précédente ,  la  loi  suivant  laquelle  les  températures  décrois- 
sent d'un  point  à  l'autre  dans  le  sens  des  diagonales  ou  des 
arêtes  du  cube ,  ou  enfin  d'une  ligne  donnée  de  position. 
On  reconnaîtra  aussi  quelle  est  la  nature  des  surfaces  qui 
déterminent  les  couches  de  même  température.  On  Aoit  que 
dans  l'état  extrême  et  régulier  que  nous  considérons  ici ,  les 
points  d'une  même  couche  conservent  toujours  la  même  tem- 
pérature, ce  qui  n'avait  point  lieu  dans  l'état  initial  et  dans 
ceux  qui  lui  succèdent  immédiatement.  Pendant  la  durée 
infinie  de  ce  dernier  état  la  masse  se  divise  en  une  infinité 
de  couches  dont  tous  les  points  ont  une  température  com- 
mune. 

339. 
Il  est  facile  de  déterminer  pour  un  instant  donné  la  tem- 
pérature moyenne  de  la  masse ,  c'est-à-dire ,  de  celle  cjue  l'on 
obtiendrait  en  prenant  la  somme  des  produits  du  volume  de 
chaque  molécule  par  sa  température ,  et  en  divisant  cette 
somme  par  le  volume  entier.  On  formera  ainsi  l'expression 
rv    X.  j.    s^q^i  çgj  ççjig   fig  i^  température  moyenne  V. 

L'intégrale  doit  être  prise  successivement  par  rapport  a 
X,  ti y  et  a  z,  entre  les  limites  a  et  —  a;  v  étant  égal  au 
produit  X.Y.Z,  on  aura 


CHAPITRE  VIII.  419 

V  = /'  X  dx  JY  dy  JZ  dz, 

ainsi  la  température  moyenne  est  (   / —)  ,  car  les  trois 

intégrales  totales  ont  une  valeur  commune,  donc 

/sin.«,fl\'  I        — A/i.^t 
+  (  —)—-e  +etc. 

La  quantité  na  équivaut  à  s  qui  est  une  racine  de  l'équation 

3  tang.  s  =  ^  et  <j.  est  égale  à  -  T  i — —  V  On  a  donc , 

en  désignant  les  différentes  racines  de  cette  équation  par 
s.  .s  £j  etc. , 

—k^t  —k^t  ~k'-4t. 

V  \     £,     y  sin.22,         \     £;     y  sin.ae,        \     e,      /  sin.  2 1 


i 


I  4 I  H l  + 


2  5,  2  e,  -  2  £j 

1  3  5 

e.  est  entre  o  et  -  -,  ;,  est  entre  r  et  -  77,  cj  entre  a  r  et  -r, 

2  2  2 

les  moindres  limites  ■:r ,  2  tt  ,  3  -  etc. ,  approchent  de  plus  en 
plus  des  racines  5,,  £3,  s.^  etc.,  et  finissent  par  se  confondre 
avec  elles  lorsque  l'indice  «est  très-grand.  Les  arcs  doubles 
2  £,,  2  £,,  2  £3  etc.  sont  compris  entre  o  et  -,  entre  2  tt  et  Stt, 
entre  4~  et  57c;  c'est  pourquoi  les  sinus  de  ces  arcs  sont 

.  •■c       1  .../  sin.  2  £,  sin.  2£j 

tous  positiis  :  les  quantités    i  +  - — —  ,     1  M —  ,  etc.  , 

sont  positives  et  comprises  entre  i  et  2.  Il  suit  de  là  que 

53. 


etc. 


420  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

tous  les  termes  qui  entrent  dans  la  valeur  deVv  sont  po- 
sitifs. 

34o. 

Proposons  nous  maintenant  de  comparer  la  vitesse  du 
refroidissement  dans  le  cube,  à  celle  que  1  on  a  trouvée  pour 
une  masse  sphe'rique.  On  a  vu  que  pour  l'un  et  l'autre  de 
ces  corps,  le  système  des  températures  converge  vers  un 
état  durable  qu'il  atteint  sensiblement  après  un  certain  temps; 
alors  les  températures  des  différents  points  du  cube  dimi- 
nuent toutes  ensemble  en  conservant  les  mêmes  rapports, 
et  celles  d'un  seul  de  ces  points  décroissent  comme  les  termes 
d'une  progression  géométrique  dont  la  raison  n'est  pas  la 
même  dans  les  deux  corps.  Il  résulte  des  deux  solutions  que 

a 

pour  la  sphère  la  raison  est  e  et  pour  le  cube  e       «' 

La  quantité  n  est  donnée  par  l'écjuation 

COS.  n  a  h 

n  a  —. =1  —  T-  a  , 

sm.  n  a  K 

a  étant  le  demi-diamètre  de  la  sphère,  et  la  quantité  e  est 

donnée  par  l'équation  e  tang.  s  =  jr  «^  a  étant  le  demi-côté 

du  cube. 

Cela  posé,  on  considérera  deux  cas  différents;  celui  où  le 
rayon  de  la  sphère  et  le  demi-côté  du  cube,  sont  l'un  et  l'autre 
égaux  à  a  ,  cjuantité  très-petite  ;  et  celui  où  la  valeur  de  a  est 
très-grande.  Supposons  d'abord  que  les  deux  corps  ont  une 

petite  dimension;  -77-  ayant  une  très-petite  valeur,  il  en  sera 
de  même  de  e ,  on  aura  donc  -^  =  e" ,  donc  la  fraction 


CHAPITRE   VIII.  .\ii 

e     ^ a'       est  éi^ale  h.    e      a  ' 
ainsi  les  dernières  températures  que  l'on  observe,  ont  une 
expression  de  cette  forme  A  e        «    .    Si   maintenant  dans 

,,  ,  .        «  n  .COS.  ri  a  h  j  i 

I  équation  — -. =  i  —  ir  a ,  on  suppose  crue  le  second. 

'■  siii.  Il  a  XV  1  1  X 

membre  diffère  très-peu  de  l'unité,  on  trouve  ^=— — ,  donc 

la  franction  e        "    est  e        a' 

Ou  conclut  de  là  que  si  le  rayon  de  la  sphère  est  très- 
petit  ,  les  vitesses  finales  du  refroidissement  dans  ce  solide  et 
dans  le  cube  circonscrit  sont  égales,  et  qu'elles  sont  l'une  et 
l'autre  en  raison  inverse  du  rayon  ;  c'est-à-dire  que  si  la  tem- 
pérature d'un  cube  dont  le  demi-côté  est  a,  passe  de  la  va- 
leur A  à  la  valeur  B  dans  le  temps  t,  une  sphère  dont  le 
demi-diamètre  est  a,  passera  aussi  dans  le  même  temps  de 
la  température  A  à  la  température  B.  Si  la  quantité  a  venait 
à  changer  pour  l'un  et  l'autre  corps,  et  devenait  a  le  temps 
nécessaire  pour  passer  de  A  à  B  aurait  une  autre  valeur  t', 
et  le  rapport  des  temps  t  et  t'  serait  celui  des  demi-côtés 
a  et  a.  Il  n'en  est  pas  de  même  lorsque  le  rayon  a  est  extrê- 
mement grand  :  car  e  équivaut  alors  à  -  t:  ,  et  les  valeurs  de 

n  a  sont  les  quantités  tî  ,  2  ?:,  3  -,  4")  etc. 

On  trouvera  donc  facilement  dans  ce  cas  les  valeurs  des 
fractions 

—  3— À-        —  A-    =•  3Atc'  _hTi 

e        «»    '  e       "  '  ces  valeurs  sont  e      4a-  et  e      «=  ' 


422  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

On  tire  de  là  ces  deux  conséquences  remarquables:  i"^  si  les 
deux  cubes  ont  de  grandes  dimensions,  et  que  a  et  a'  soient 
leurs  demi-côtés;  si  le  premier  emploie  le  temps  t  pour 
passer  de  la  température  A  h.  la  température  B ,  et  le  second 
le  temps  t'  pour  ce  même  intervalle  ;  les  temps  t  et  t'  seront 
proportionnels  aux.  quarrés  d'  et  d"  des  demi- côtés.  On  a 
trouvé  un  résultat  semblable  pour  les  sphères  de  grande 
dimension.  2°  si  un  cube  a  pour  demi -côté  une  longueur 
considérables,  et  qu'une  sphère  ait  la  même  quantité  a  pour 
rayon ,  et  que  pendant  le  temps  t  la  température  du  cube 
s'abaisse  de  A  à  B,il  s'écoulera  un  temps  différent  t'  pen- 
dant que  la  température  de  la  sphère  s'abaissera  de  A  à  B,  et 
les  temps  t  et  t'  seront  dans  le  rapport  de  4  ^i  3. 

Ainsi  le  cube  et  la  sphère  inscrite  se  refroidissent  égale- 
ment vite  lorsqu'ils  ont  une  petite  dimension;  et  dans  ce  cas 
la  durée  du  refroidissement  est  pour  l'un  et  l'autre  corps 
proportionnelle  à  l'épaisseur.  Si  le  cube  et  la  sphère  inscrite 
ont  une  grande  dimension,  la  durée  du  refroidissement  final 
n'est  pas  la  même  pour  les  deux  solides.  Cette  durée  est  plus 
grande  pour  le  cube  que  pour  la  sphère,  dans  la  raison  de 
4  à  3,  et  pour  chacun  des  deux  corps  en  particulier  la  durée 
du  refroidissement  augmente  comme  le  carré  du  diamètre. 

341. 
On  a  supposé  que  le  corps  se  refroidit  librement  dans  l'air 
atmosphérique  dont  la  chaleur  est  constante.  On  pouiTait 
assujétir  la  surfiice  à  une  autre  condition,  et  concevoir,  par 
exemple,  que  tousses  points  conservent,  en  vertu  d'une  cause 
extérieure,  la  température  fixe  o.  Les  cpiantités  n,  p ,  q,  qui  en- 
trent dans  la  valeur  dcv  sous  le  signe  cosinus,  doivent  être  telles 


CHAPITRE  VIII.  4a3 

dans  ce  cas,  que  nx  devienne  nulle,  lorsque  x  reçoit  sa  va- 
leur complète  a,  et  qu'il  en  soit  de  même  àe py  et  de  qz. 

Si  le  côté  du  cube  ia  est  représente  par  -  c,  c  étant  la  lon- 
gueur de  la  circonférence  dont  le  rayon  est  i  ; ...  on  pourra 
exprimer  une  valeur  particulière  de  i»  par  l'équation  sui- 
vante, qui  satisfait  en  même  temps  à  l'équation  générale  du 
mouvement  de  la  chaleur  et  à  l'état  de  la  surface, 

,   R 

—  o m 

v  =  e       CD     .  cos.a;cos.j'cos. z. 

Cette  fonction  est  nulle ,  quel  que  soit  le  temps  t,  lorsque  x 

ou  r  ou  z  reçoivent  leurs  valeurs  extrêmes  +  -;  c  ou  —  -;  c  : 

J  ^  4  4 

mais  l'expression  de  la  température  ne  peut  avoir  cette  forme 
simple  qu'après  qu'il  s'est  écoulé  un  temps  considérable ,  à 
moins  que  l'état  initial  donné  ne  soit  lui-même  représenté 
par  la  fonction  cos.  j:;.cos.j.cos. z.  C'est  ce  que  l'on  a  sup- 
posé dans  la  sect.  VIII  du  cbap.  I,  art.  loo,  p.  96.  L'analyse 
précédente  démontre  la  vérité  de  l'équation  employée  dans 
l'article  que  l'on  vient  de  citer.  Il  faut  remarquer  que  le  nom- 
bre désigné  par  w  dans  cet  article,  est  le  même  que  c  :  il  équi- 
vaut à  la  circonférence  entière,  et  non  à  la  demi -circonfé- 
rence. 

On  a  traité  jusqu'ici  les  questions  fondamentales  de  la 
théorie  de  la  chaleur,  et  considéré  l'action  de  cet  élément 
dans  les  corps  principaux.  L'ordre  et  l'espèce  des  questions 
ont  été  tellement  choisis,  que  chacune  d'elles  présentât  une 
difficulté  nouvelle  et  d'un  degré  plus  élevé.  On  a  omis  à  des- 
sein les  questions  intermédiaires  qui   sont  en   trop  grand 


4a4  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

nombre^  telles  que  la  question  du  mouvement  linéaire  de  la 
chaleur  dans  un  prisme  dont  les  extrémités  seraient  retenues 
à  des  températures  fixes,  ou  exposées  à  l'air  atmosphérique. 
On  pourrait  généraliser  l'expression  du  mouvement  varié  de 
la  chaleur  dans  le  cube  ou  le  prisme  rectangulaire  qui  se 
refroidit  dans  un  milieu  aériforme,  et  supposer  un  état  ini- 
tial quelconque;  ces  recherches  n'exigent  point  d'autres 
prmcipes  que  ceux  qui  sont  expliqués  dans  cet  ouvrage. 


CHAPITRE   IX. 

DE     LA     DIFFUSION     DE     LA     CHALEUR. 


SECTION    PREMIERE. 
Du  mouvement  libre  de  la  chaleur  dans  une  li^nè  infinie'. 

342. 

vJn  considère  ici  le  mouvement  de  la  chaleur  dans  une 
masse  solide  homogène ,  dont  toutes  les  dimensions  sont  in- 
finies. On  divise  ce  solide  par  des  plans  infiniment  voisins 
et  perpendiculaires  à  un  axe  commun ,  et  l'on  supposé  d'abord 
qu'on  a  e'chauffe'  une  seule  partie  de  la  masse,  savoir,  celle 
qui  est  comprise  entre  deux  plans  A  et  B  parallèles,  dont  la 
distance  est  g;  toutes  les  autres  parties  ont  la  température 
initiale  o  :  mais  chacun  des  plans  compris  entre  A  et  B  a  une 
température  initiale  donnée,  que  l'on  regarde  comme  arbi- 
traire ,  et  qui  est  commune  à  tous  ses  points  :  cette  tempéra- 
ture est  différente  pour  les  différents  plans.  L'état  initial  de 
la  masse  étant  ainsi  défini,  il  s'agit  de  déterminer  par  le  cal- 
cul tous  les  états  successifs.  Le  mouvement  dont  il  s'agit,  est 
seulement  linéaire ,  et  dans  le  sens  de  l'axe  des  plans  ;  car  il 
est  évident  qu'il  ne  peut  y  avoir  aucun  transport  de  chaleur 
dans  un  plan  quelconque  perpendjculaire  à  cet  axe ,  puisque 
la  chaleur  initiale  de  tous  ses  points  est  la  même. 


4^6  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

On  peut  supposer,  au  lieu  du  solide  infini,  un  prisme 
d'une  très -petite  épaisseur,  et  dont  la  surface  convexe  est 
totalement  impénétrable  à  la  chaleur.  On  ne  considère  donc 
le  mouvement  que  dans  une  ligne  infinie,  qui  est  l'axe  com- 
mun de  tous  les  plans. 

La  question  est  plus  générale,  lorsqu'on  attribue  des  tem- 
pératures entièrement  arbitraires  à  tous  les  points  de  la  par- 
tie de  la  masse  qui  a  été  échauffée,  tous  les  autres  points  du 
solide  ayant  la  température  initiale  o.  Les  lois  de  la  distri- 
bution de  la  chaleur  dans  une  masse  solide  infinie,  doivent 
avoir  un  caractère  simple  et  remarquable  ;  parce  que  le 
mouvement  n'est  point  troublé  par  l'obstacle  des  surfaces 
et  par  l'action ~du  milieu. 

343. 

La  position  de  chaque  point  étant  rapportée  à  trois  axes 
rectangulaires,  sur  lesquels  on  mesure  les  coordonnées  x,y,  z, 
la  température  cherchée  est  une  fonction  des  variables  .r,  j-,  z, 
et  du  temps  t.  Cette  fonction  'y  ou  <p  {x,  y,z,t)  satisfait  à 

1  équation  générale  _  =_  (^ _  +  _  +  _J)  (a).    De 

plus,  il  est  nécessaire  qu'elle  représente  l'état  initial  qui  est 
arbitraire  ;  ainsi,  en  désignant  par  F  {x,y,  z)  la  valeur  donnée 
de  la  température  d'un  point  quelconque,  prise  lorsque  le 
temps  est  nul ,  c'est-à-dire ,  au  moment  où  la  diffusion  com- 
mence ;  on  doit  avoir  (p(ar,j,  z,  0)  =  F  (^,j^z)  (è).  Il  faut 
trouver  une  fonction  v  des  quatre  variables  x,  y ,  z,  t,  qui 
satisfasse  à  l'équation  différentielle  [a)  et  à  l'équation  déter- 
minée (è). 

Dans  les  questions  que  nous  avons  traitées  précédemment, 
l'intégrale  est  assujettie  à  une  troisième  condition  qui  dépend 


CHAPITRE  in:.  42-7 

de  l'ëtat  tle  la  surface.  C'est  pour  cette  raison  que  l'analyse 
en  est  plus  composée,  et  que  la  solution  exige  l'emploi 
des  termes  exponentiels.  La  forme  de  l'intégrale  est  beau- 
coup plus  simple ,  lorsqu'elle  doit  seulement  satisfaire  à 
l'état  initial;  et  il  serait  facile  de  déterminer  immédiatement 
le  mouvement  de  la  chaleur  selon  les  trois  dimensions.  IMais 
pour  exposer  cette  paitie  de  la  théorie,  et  faire  bien  con- 
naître suivant  cjuellc  loi  la  diffusion  s'opère,  il  est  préfé- 
rable de  considérer  d'abord  le  mouvement  linéaire ,  en 
résolvant  les  deux  questions  suivantes;  on  verra  par  la  suite 
comment  elles  s'appliquent  au  cas  des  trois  dimensions. 

344. 

I""^  question  :  une  partie  a  h  d'une  ligne  infinie  est  élevée 
dans  tous  ses  points  à  la  température  i  ;  les  autres  parties  de  la 
ligne  ont  la  température  actuelle  o;on  suppose  que  la  chaleur 
ne  peut  se  dissiper  dans  le  milieu  environnant;  il  faut  détermi- 
ner quel  est  l'état  de  la  ligne  après  un  temps  donné.  On  peut 
rendre  cette  question  plus  générale,  en  supposant,  i"  que 
les  températures  initiales  des  points  compris  entre  a  et  h  sont 
inégales  et  représentées  par  les  ordonnées  d'une  ligne  quel- 
conque, que  nous  regarderons  d'abord  comme  composée  de 
deux  parties  symétriques  (voyez  fig.  i5);  â**  qu'une  partie  de 
la  chaleur  se  dissipe  par  la  surface  du  solide,  qui  est  un  prisme 
d'une  très-petite  épaisseur  et  d'une  longueur  infinie. 

La  seconde  question  consiste  à  déterminer  les  états  suc- 
cessifs d'une  barre  prismatique,  dont  une  extrémité  est  assu- 
jettie à  une  température  constante,  et  qui  est  infiniment 
prolongée.  La  résolution  de  ces  deux  questions  dépend  de 

54. 


428  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

l'intégration  de  l'ëquation 

dv         K      d' V         H.L 


dt        CD     dx'        CD. S 


"V, 


(article  io5),  qui  exprime  le  mouvement  linéaire  de  la 
chaleur,  v  est  la  température  que  le  point  placé  à  la  distance 
X  de  l'origine  doit  avoir  après  le  temps  écoulé  ^;  K,H,  G, 
D,  L,  S,  désignent  la  conducibilité  propre,  la  conducibilité 
extérieure ,  la  capacité  spécifique  de  chaleur,  la  densité,  le 
contour  de  la  section  perpendiculaire,  et  l'aire  de  cette 
section. 

345. 
Nous  considérons  d'abord  le  premier  cas ,  qui  est  celui  où 
la  chaleur  se  propage  librement  dans  la  hgne  infinie  dont 
une  partie  ab  a  reçu  des  températures  initiales  quelconques; 
tous  les  autres  points  ayant  la  température  initiale  o.  Si  l'on 
élève  en  chaque  point  de  la  barre  l'ordonnée  d'une  courbe 
plane  qui  représente  la  température  actuelle  de  ce  point,  on 
voit  qu'après  une  certaine  valeur  du  temps  t,  l'état  du  so- 
lide est  exprimé  par  la  hgure  de  la  courbe.  Nous  désigne- 
rons par  v  =  Fa;  l'équation  donnée  qui  correspond  à  l'état 
initial,  et  nous  supposons  d'abord  pour  rendre  le  calcul 
plus  simple  que  la  figure  initiale  de  la  courbe ,  est  composée 
de  deux  parties  symétriques ,  en  sorte  que  l'on  a  la  condi- 
tion Fa;=iF( — x).  Soit 

K  7       H.L  7        1  V'        ^-  à'v        1  d'' V        1 

c:d  =  ^'  c:d:s  =  ^'    dans  1  équation     —  =  kj^—hv, 

c  — ht  i  T  du         ,  d"  u      y~^  -, 

on  iera  ^  =  6        .  îi  et  Ion  aura  -T-=k  -j-^.  On   prendra 

dt  «s  *^ 


CHAPITRE  IX.  429 

pour  u  la  valeur  particulière  a  cos.  q  x  e  '^  ;  a  et  q 
sont  des  constantes  arbitraires.  Soient  q^,  q,,  q,,  q^.  .  .  etc. 
une  suite  de  valeurs  quelconques ,  et  a,,  a,,  a^,  a^. .  .  etc., 
une  suite  de  valeurs  correspondantes  du  coefficient  Q ,  on 


aura 


u=za,  COS. (q, a-) e       ^'    +a^cos.{q^x)e      ^'  +  «23 cos. (^3 a?) e      ^'    +  etc. 

Supposons  1°  que  les  valeurs  q,,  q^,  q^,,  qt,-  •  ■  etc.,  crois- 
sent par  degrés  infiniment  petits,  comme  les  abscisses  «y  d'une 
certaine  courbe;  en  sorte  qu'elles  deviennent  égales  à  dq, 
Q.dq,  Zdq,  l\dq,.  .  .  etc.;  dq  étant  la  différentielle'  con- 
stante de  l'abscisse;  2°  que  les  valeurs  a,,  a,,  a^,  a^.  .  .  etc. 
sont  proportionnelles  aux  ordonnées  Q  de  la  même  courbe, 
et  qu'elles  deviennent  égales  à  Q,  dq ,  Q,  dq ,  Q^  dq.  .  .  etc. 
Q  étant  une  certaine  fonction  de  q.  Il  en  résulte  que  la  va- 
leur de  u  pourra  être  exprimée  ainsi  : 

u=      dq  Q.cos.  qx  e        ^    • 

Q   est  ime  fonction   arbitraire  y^ ,  et  l'intégrale  peut  être 

prise  de^  =  o  à  q  =  -.  La  difficulté  se  réduit  à  déterminer 

convenablement  la  fonction  Q. 

346. 
Pour  y  parvenir,  il  faut  supposer  t=o  dans  l'expression 
de  u  et  l'égaler  à  F.r.  On  a  ainsi  l'équation  de  condition 

F x=:  1  dq  Q.cos.  qx.  ' 

Si  l'on  mettait  au  lieu  de  Q  une  fonction  quelconque  de  q , 


43o  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

et  que  1  on  achevât  l'intégration  depuis  q=^o  jusquà  ^  =  -  , 

on  trouverait  une  fonction  de  œ;  il  s'agit  de  résoudre  la 
question  inverse,  c'est-à-dire,  de  connaître  quelle  est  la  fonc- 
tion de  q  qui ,  étant  mise  au  lieu  de  Q ,  donnera  pour  résul- 
tat la  fonction  Fx,  problème  singulier  dont  la  solution  exige 
un  examen  attentif. 

En  développant  le  signe  de  l'intégrale,  on  écrira  comme 
il  suit  l'équation  dont  il  faut  déduire  la  valeur  de  Q  : 

F  x=dq  Q,  cos.  <7,  X  +  dq  Q,  cos.  q,x-h  dq  Qj  cos.  ^3  x 

+  dqQ,  COS.  ^ ,  X  +  dq  Q-,  cos.  q^x-h  etc. 

Pour  faire  disparaître  tous  les  termes  du  second  membre, 
excepté  un  seul ,  on  multipliera  de  part  et  d'autre  par 
dx  cos.  rx,  et  l'on  intégrera  ensuite  par  rapport  à  x  depuis 
x  =  o  jusqu'à  o:=^n7:,  ii  étant  un  nombre  infini;  /■  repré- 
sente une  grandeur  quelconque  égale  à  l'une  des  suivantes  : 
fj,}  (].)  ^3?  '/r-  etc.,  ou  ce  c[ui  est  la  même  chose  dq,  idq, 
?>dq,  [\dq...  etc.  Soit  q,  une  valeur  quelconque  de  la 
variable  ^,  et  q^  une  autre  valeur  qui  est  celle  que  l'on  a 
prise  pour  /■;  on  aura  r=qj  dq  et  q^=q,  dq.  On  considérera 
ensuite  le  nombre  infini  n  comme  exprimant  combien  l'u- 
nité de  longueur  contient  de  fois  l'élément  dq ,  en  sorte  que 

l'on  aura  11  = -1-.  En  procédant  à  l'intégration,  on  recon- 

d  q  ^  '  °  ' 

naîtra  que  la  valeur  de  fintégrale  /  dx  cos.qx  cos.  rx  est 
nulle,  toutes  les  fois  que  r  et  q  sont  des  grandeurs  diffé- 
rentes ;  mais  cette  même  valeur  de  l'intégrale  est  -  «  ir ,  lorsque 
q  =  r.  Il  suit  de  là  que  l'intégration  élimine  dans  le  second 


CHAPITRE  IX.  43i 

membre  tous  les  termes ,  excepté  un  seul  :  savoir ,  celui  qui 
contient  q^  ou  /•.  La  fonction  qui  affecte  ce  même  terme  est 
Qj,  on  aura  donc 

i  dx  F X. COS. qx=:dq.Qj-  ht: ^ 
et  mettant  pour  n  dq  sa  valeur   i ,  on  a 
— ^  =  /  dx  Fxcos.  qx: 

on  trouve  donc  en  général  —={  dx  F  x  cos.  qx.  Ainsi, 

■    '  '  o  ' 

pour  déterminer  la  fonction  Q  qui  satisfait  à  la  condition 
proposée,  il  faut  multiplier  la  fonction  donnée  Yx  par 
dx  cos.q X ,  et  intégrer  de  x  nulle  à  x  infinie,  en  multipliant 

le  résultat  par  -;  c'est-à-dire,  que  de  l'équation 
Y x=  i  dq  fq  COS.  qx , 

on  déduit  ccWe- c\  ^fq^=  _  i  dx  ¥x  cos.  qx,  la  fonction 

F  X  représentant  les  températures  initiales  d'un  prisme 
infini  dont  une  partie  intermédiaire  seulement  est  échauffée. 
En  substituant  la  valeur  àefq  dans  l'expression  d^Yx,  on 
obtient  l'équation  générale 

-  F  07=  /  dq  cos.  qx  l  dx  Y  x  cos.  qx.  (s) 

347. 
Si  l'on  substitue  dans  l'expression  de  v  la  valeur  que  l'on 
a  trouvée  pour  la  fonction  Q,  on  a  l'intégrale  suivante,  qui 
contient  la  solution  complète  de  la  question  proposée 


432  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

Tt-y  — ht  r  j  — ^n''tCj      T^ 

— =e         jaqcos.gxe       ^     1  dxt  ce  cos.qx. 

L'intégrale ,  par  rapport  à  x ,  étant  prise  de  x  nulle  à  x 
infinie,  il  en  résulte  une  fonction  de  <j',  et  prenant  ensuite 

l'intégrale  par  rapport  à  ^  de  5-  =  o  à  ^  =  -  ,   on  obtient 

pour  V  la  fonction  àe  x  et  t,  qui  représente  les  états  suc- 
cessifs du  solide.  Puisque  l'intégration,  par  rapport  à  x  , 
fait  disparaître  cette  variable,  on  peut  la  remplacer  dans 
l'expression  de  v  par  une  variable  quelconque  a ,  en  px^e- 
nant  l'intégrale   entre    les    mêmes   limites,   savoir   depuis 

«  =  o  jusqu'à  a  =  -.  On  a  donc 

— =e      '    l  dqcos.qxe      ^    /  r/a  Fa  cos.  ^  a, 

o  o 

w^»  — ht  r  7      T-i       r  j       — ^Q^i 

OU  — =e        jdxvaldqe       ^     cos.  q  x  cos.  q  x. 

00 

L'intégration,  par  rapport  à  q ,  donnera  une  fonction  de  x, 
f  et  a ,  et  en  prenant  l'intégrale  par  rapport  à  a ,  on  trouve 
une  fonction  de  o;  et  ^  seulement.  Il  serait  facile  d'effectuer 
dans  la  dernière  équation  l'intégration  par  rapport  à  ^  et 
et  l'on  changerait  ainsi  l'expression  de  v.  On  peut  en  gé- 
néral donner  diverses  formes  à  l'intégrale  de  l'équation 

dv         T  d'  71        j 
dt  da:'  ' 

elles  représentent  toutes  une  même  fonction  de  x  et  t. 


CHAPITRE  IX.  433 

348. 
Supposons  en  premier  lieu  que  toutes  les  tempe'ratures 
initiales  des  points  compris  entre  a  et  b ,  depuis  .2'  =  —  r, 
jusqu'à  x=  I ,  aient  pour  valeur  commune  i ,  et  que  les 
températures  de  tous  les  autres  points  soient  nulles,  la  fonc- 
tion ¥x  sera  donnée  par  cette  condition.  Il  faudra  donc 
intégrer,  par  rapport  k  x ,  depuis  .r  =  o  jusqu'à  ^=  i ,  car 
le  reste  de  l'intégrale  est  nulle  d'après  1  hypothèse.  On 
trouvera  ainsi  : 

Q2   sin.(7  Tzv  — lit  Cdq      — a' kt 

= et  —  =  e         I  —^e      ^        .  cos.  q x  sni.  q- 

TU  ^  2  i/       ? 

Le  second  membre  peut  être  facilement  converti  en  série 
convergente,  comme  on  le  verra  par  la  suite;  il  représente 
exactement  l'état  du  solide  en  un  instant  donné,  et  si  l'on 
y  fait  f=o,  on  exprime  l'état  initial. 

Ainsi  la  fonction  -^  1  —  sin.tj.cos.qx  équivaut  à  l'unité, 

si  l'on  donne  à  x  une  valeur  quelconque  comprise  entre 
—  I  et  I  :  mais  cette  fonction  est  nulle  si  l'on  donne  à  x 
toute  autre  valeur  non  comprise  entre  — i  et  i.  On  voit 
par -là  que  les  fonctions  discontinues  peuvent  aussi  être 
exprimées  en  intégrales  définies. 

349. 
Pour  donner  une  seconde  application  de  la  formule  pré- 
cédente ,  nous  supposerons  que  la  barre  a  été  échauffée  en 
un  de  ses  points  par  l'action  constante  d'un  même  foyer,  et 
qu'elle  est  parvenue  à  l'état  permanent  que  l'on  sait  être 
représenté  par  une  courbe  logarithmique. 

Il  s'agit  de  connaître  suivant  quelle  loi  s'opérera  la  diffu- 

55 


434  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

sion  de  la  chaleur  après  qu'on  aura  retiré  le  foyer.  En  dési- 
gnant par  F  X  la  valeur  initiale  de  la  température ,  on  aura 

F^=Ae  ^^^;  A  est  la  température  initiale  du  point 

le  plus  échauffé.  On  fera,  pour  simplifier  le  calcul, 

A  =  I  et  TT-^  =  I . 

Ko 

On  a  donc  Fx  =  e     ^  on  en  déduit  Q  =  l  dxe         cos.qx 

et  prenant  l'intéerrale  de  x  nulle  à  x  infinie   0  = :• 

Ainsi  la  valeur  de  v  en  x  et  t,  est  donnée  par  l'équation 
suivante  : 

■KV  — hi  rd  a  .COS.  qx 

2  J  1  +  q 

35o. 
Si  1  on  tait  f  =  o ,  on  aura  —  =  /     ^        ;  -  ;  ce  qui  cor- 

respond  à  l'état  initial.  Donc  l'expression  ^  /  JL^Stlfi  équi- 
vaut à  e  .  Il  faut  remarquer  que  la  fonction  ¥x,  qui 
représente  fétat  initial  ne  change  point  de  valeur  d'après 
l'hypothèse  lorsque  x  devient  négative.  La  chaleur  com- 
muniquée par  le  foj'er  avant  que  l'état  initial  ne  fut  formé , 
s'est  propagée  également  à  la  droite  et  à  la  gauche  du  point 
o  ,  qui    la  reçoit  immédiatement ,  il  s'ensuit  que   la  ligne 

d^    1,  '         i-                    -^              2    rdq.cos.qx        ^  ,        j 

ont  1  équation  serait  y=-  /  -^ f-   est   composée   de 

deux  branches  symétriques  que  l'on  forme  en  répétant  à 
droite  et  à  gauche  de  l'axe  de  j  la  partie  de  la  logarithmique 
qui   est  à   la  droite   de  l'axe  des  y,  et  a  pour  équ.ation 


CHAPITRE  IX.  435 

j=e     ^.  On  voit  ici  un  second  exemple  d'une  fonction 
discontinue  exprimée  par  une  intégrale  définie.   Cette  fonc- 

/dq  .COS.  q  X    ,       .         ^  ,        — X    ,  .  ... 

— i r —  équivaut  a  e         lorsque  x    est   positive  , 

mais  elle  est  e     lorsque  x  est  négative, 

35i. 

La  question  de  la  propagation  de  la  chaleur  dans  une 
barre  infinie ,  dont  l'extrémité  est  assujettie  à  une  tempéra- 
ture constante ,  se  réduit ,  comme  on  le  verra  dans  la  suite , 
à  celle  de  la  diffusion  de  la  chaleur  clans  une  ligne  infinie  ; 
mais  il  faut  supposer  que  la  chaleur  initiale,  au  lieu  d'affecter 
également  les  deux  moitiés  contiguës  du  solide  y  est  distri- 
buée d'une  manière  contraire  ;  c'est-à-dire  qu'en  représen- 
tant par  F.r  la  température  d'un  point  dont  la  distance  au 
milieu  de  la  ligne  est  x,  la  température  initiale  du  point 
opposé  pour  lequel  la  distance  est  — x,^  pour  valeur  Y  x. 
Cette  seconde  c{uestion  diffère  très-peu  de  la  précédente  et 
pourrait  être  résolue  par  une  méthode  semblable  :  mais 
on  peut  aussi  déduire  la  solution  de  l'analyse  qui  nous  a 
servi  à  déterminer  le  mouvement  de  la  chaleur  dans  les  so- 
lides de  dimensions  finies. 

Supposons  qu'une  partie  a  h  de  la  barre  prismatique 
infinie  soit  échauffée  d'une  manière  quelconque,  voy.  fig.  (16) 
et  que  la  partie  opposée  a  p  soit  dans  un  état  pareil ,  mais  de 
signe  contraire  ;  tout  le  reste  du  solide  ayant  la  température 
initiale  o.  On  suppose  aussi  que  le  milieu  environnant  est 
entretenu  à  la  température  constante  o,  et  qu'il  reçoit  de  la 
barre  ou  leur  communique  la  chaleur  par  la  surface  exté- 
rieure. Il  s'agit  de  trouver  quelle  sera,  après  un  temps  donne' 


436  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

t,  la  température  a»  d'un  point  dont  la  distance  à  l'origine 
est  X. 

On  considérera  d'abord  la  barre  échauffée  comme  ayant 
une  longueur  finie  aX,  et  comme  étant  soumise  à  une  cause 
extérieure  cjuelconque  qui  retient  ses  deux  extrémités  à  la 

température  constante  o  ;  on  fera  ensuite  X  =  -- 


aSa. 


On  emploiera  d'abord  l'équation 

dv         K      d'v       C.D.S  dv         ,  d' v        -, 

dt       CD   dx'        HL  dt  rtx*  ' 

et  faisant 

—  ht  du         T  d' u 

v=e         .u     on  aura     ^  =  ^^, 
on  exprimera  comme  il  suit  la  valeur  générale  de  u 

u^=a,e       *     s,in.g,x+a,e      ^      sm.g.x 

+  aie      ^     &in.giX  +  a,^e       ^     sm.^4a;4- etc.; 

faisant  ensuite  x=X,  ce  qui  doit  rendre  nulle  la  valeur  de 
V ,  on  aura,  pour  déterminer  la  série  des  exposants^,  la  con- 
dition sin.  gX.  =  o^oug'K.  =  iT.,  i  étant  un  nombre  entiei\ 
Donc 

u^=a,e       ^'  sin.f  ^^j  +  a, e        X'    sm.f  2^tt  )  +  etc. 

Il  ne  reste  plus  qu'à  trouver  la  série  des  constantes  <z,,  <7, , 
«3,  <74,  etc.  Faisant  ^;^o  on  a 

u=S  x=a,s>in.Cx^^  +  a^  &h\.(ix^  +ai&in.\?)X-^  +  etc. 


CHAPITRE  IX.  437 

r-j  par/"/-;  on  aura 

J'r=a,  s'm.r  +  a,  sin.  2 r  +  a^ sm.3 r  :i-  a^sin. /\  r  +  etc. 

Or,  on  a  trouvé  précédemment  a,  =  -  1  dr/r.sm.  ir,  l'in- 
tégrale étant  prise  de  r=o  à  r=T,.  Donc 

—  a.  =  f  dœFx .iin.fix  —  y 

Lintégrale  devait  être  prise  de  /•=o  à  7-=:-^;  donc  elle  doit 
être  prise  par  rapport  à  x  depuis  ^  =  0  jusqu'à  x=^X.  En 
faisant  ces  substitutions,  on  forme  l'équation 

v=^e         \c       -^     &\n.x^  j  dxh  xsiaAx:^  \ 

,+  e       X'      .sm.(Q.Xzn/\ldx¥x&m..(Q.Xz^j  +  eX.cJ. 

353. 
Telle  serait  la  solution ,  si  le  prisme  avait  une  longueur 
finie  représentée  par  2  X.  Elle  est  une  conséquence  évidente 
des  pi'incipes  que  nous  avons  posés  jusqu'ici;  il  ne  reste 
plus  cju'à  supposer  la  dimension  X  infinie.  Soit  X  =  «77, 
n  étant  un  nombre  iniini  ;  soit  aussi  q  une  variable  dont  les 
accroissements   infiniment  petits   dq  sont  tous   égaux  ;  on 

écrira  —  au  lieu  de  n.  Le  terme  général  de  la  série  qui  en- 
tre dans  l'équation  (a)  étant 

e       X'"      ûu.  (i X -y^  I  d x  Y  X  sin.  (i X -!^\ 


438  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

On  représentera  par  -j- ,  le  nombre  i,  qui  est  variable  et 
qui  devient  infini.  Ainsi  l'on  aura 

Y Ji_         J_       ■ _2_ 

~     dq ^  dq  '  dq  ' 

En  faisant  ces  substitutions  clans  le  terme  dont  il  s'agit ,  on 
trouvera  e       ^     sin.  qx  l  dxY x  sin.  qx.  Chacun  de  ces 

termes  doit  être  divisé  par  X  ou  -7- ,  il  devient  par  -  là  une 

quantité  infiniment  petite ,  et  la  somme  de  la  série  n'est 
autre  chose  qu'une  intégrale,  qui  doit  être  prise  par  rapport 

à^  de  q  =  o  à  q==--  Donc 

v  =  -e         1  dq  e       ^     sin.  qx  1  dx  Fx  sin.  q x        (a). 

l'intégrale,  par  rapport  à  x,  doit  être  prise  de  x  =  o  k 
x  =  -  ,  ce  qui  donne  une  fonction  de  q  ;  et  la  seconde  inté- 
grale doit  être  prise  par  rapport  à  q  de  q  =  oaq=--  On 
peut  aussi  écrire 

os  00 

—  =  e         /  dq  e       ^    sm.  qx  \  «ara  sm.  qa. , 
o  o 

00  00 

ou       — =e  I  dixF  a  I  dq  e     ^     sin.  ^^sm.  ^a. 

o  o 

L'équation  (a)  contient  la  solution  générale  de  la  question  ; 
et,  en  substituant  pour  F  x  une  fonction  quelconque,  assujettie 


CHAPITRE  IX.  439 

ou  non  à  une  loi  continue,  on  pourra  toujours  exprimer 
en  a;  et  t  la  valeur  de  la  température  :  il  faut  seulement  re- 
marquer que  la  fonction  F  x  correspond  à  une  ligne  formée 
de  deirx  parties  égales  et  alternes. 

354. 
Si  la  chaleur  initiale  est  distribuée  dans  le  prisme  de  telle 
manière  que  la  ligne  FFFFiffig.  17)  qui  représente  cet  état 
initial  soit  formée  de  deux  arcs  égaux  placés  à  droite  et  à 
gauche  du  point  fixe  o,  le  mouvement  variable  de  la  chaleur 
est  exprimé  par  l'équation 

I  I  ' 

—  =e         laaYv.ïdqe       '     cos.  q  x  cos.  q  x. 

o  o 

Si  la  ligne /XX/"  (  fig.  18)  qui  représente  l'état  initial  est 
formée  de  deux  arcs  pareils  et  alternes ,  l'intégrale  qui 
donne  la  valeur  de  température  est      . 

o  o 

— :^  e  \d(/.fa.\dqe        ^     sin.  ^a  sm.  <^a. 

00  ■ 

Lorsqu'on  supposera  la  chaleur  initiale  distribuée  d'une 
manière  quelconque ,  il  sera  facile  de  conclure  des  deux 
solutions  précédentes  l'expression  de  a».  En  effet ,  quelle  que 
soit  la  fonction  9  x  qui  représente  la  température  initiale  et 
donnée,  elle  se  décompose  toujours  en  deux  autres  Y  x-vfx 
dont  l'une  correspond  à  la  ligne  F  F  FF ,  et  l'autre  à  la  ligne 
ffff,  en  sorte  que  l'on  a  ces  trois  conditions  : 

Fj;'  =  F( — -r),    y.r== — •/( — x)^     9  .r  =  F  a;  ^-/'-^^ 


44o  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

On  a  déjà  fait  usage  de  cette  remarque  dans  les  art.  233  et 
^34'  On  sait  aussi  que  chaque  ëtat  initial  donne  lieu  à  un 
état  variable  partiel  qui  se  forme  comme  s'il  était  seul.  La 
composition  de  ces  divers  états  n'apporte  aucun  changement 
dans  les  températures  qui  auraient  lieu  séparément  pour 
chacun  d'eux.  11  suit  de  là  qu'en  désignant  par  a>  la  tempé- 
rature variable  produite  par  l^ëtat  initial  que  représente  la 
fonction  totale  (^x ,  on  doit  avoir 


•KV  — ht 


(Idqe        ^    COS.  qx  j  da.  F  a  COS.  Cet 

o 

-Idqe       ^     sin.  q  oc I  dx /x  sin.  q  a.j 


o 


Si  l'on  prenait  entre  les  limites et  4--les  intégrales 

par  rapport  à  a,  il  est  évident  que  l'on  doublerait  les  ré- 
sultats. On  peut  donc ,  dans  l'équation  précédente ,  omet- 
tre au   premier    membre  le   dénominateur   2 ,  et  prendre 

dans  le  second  les  intégrales  pour  a,  depuis  a  =  — -jus- 
qu'à a  =  +  -.  On  voit  facilement  aussi  que  l'on  pourrait 

écrire  1  dx(f>x  cos.  ^  « ,  au  lieu  de  1  dxFx  cos.  q  a  ;  car  il  ré' 

suite  de  la  condition  à  laquelle  est  assujettie  la  fonctionna, 
que  l'on  doit  avoir 

0=  I  da./'oi.  cos.  qa., 


CHAPITRE   VII.  44i 

On  peut  encore  e'crire 

-i-i  +i 

j  da.(^a.  sin.  qa.     au  lieu  de     jdoifx  cos.  qy.. 

I  t 

cai-  ou  11  evitleinment 

o .  =  /  f/a  Fa  sin.  q a- 

f 

On  en  conclut 


+ 


T:V=e  jfiqe         ^     r    /(/a  ça   COS.   C'a   COS.  ^.T 


4-r 


/r/a  o  y.  sin.  q  V.  sin,  '7^t'j  , 


on   r.v  =  e         jfiqe       '^       d y. -y/,  cos.  (q 


J,' — •  a 


—  ht 
OU 


-■v:=e         I  d CI.  (r,x  I dq  e      "^    cos.{qx  —  a)- 
—  i  o 

355. 
La  solution  de  cette  seconde  question  fait  connaître  dis- 
tinctement quel  rapport  il  y  a  entre  les  inte'grales  définies 
que  nous  venons  d'employer,  et  les  re'sultats  de  l'analyse 
que  nous  avons  appliquée  aux  solides  d'une  figv.re  dëter- 

56 


44^  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

minée.  Lorsque,  dans  les  séries  convergentes  que  cette  ana- 
lyse fournit ,  on  donne  aux  quantités  qui  désignent  les 
dimensions,  une  valeur  infinie  ;  chacun  des  termes  devient 
infiniment  petit,  et  la  somme  de  la  série  n'est  autre  chose 
qu'une  intégrale.  On  pourrait  passer  directement  de  la 
même  manière  et  sans  aucune  considération  physique  des 
diverses  séries  trigonométriques  que  nous  avons  employées 
dans  le  chapiti^e  HI  aux  intégrales  définies  ;  il  nous  suffira  de 
donner  quelques  exemples  de  ces  transformations  dont  les 
résultats  sont  remarquables. 

356. 
Dans  l'équation 

-  r  =:  sin.  u  +  ^  sin.  3u  +  ^  sin.  Su  +~  sin.  7  u  +  etc. 

4  o  5  7 

on  écrira  au  Heu  de  u  la  quantité  ^;  x  est  une  autre  varia- 
ble, et  n  est  un  nombre  infini  égal  à  ^;  «7  est  une  quantité 

formée  successivement  par  l'addition  de  ses  parties  infini- 
ment petites  égales  à  dq.  On  représentera  le  nombre  varia- 
ble i  par  -S-  Si  dans  le  terme  général  — —  sin.  (2.1' -h  i  )  - 
on  met  pour  i  et  n  leurs  valeurs;  ce  terme  deviendra 
—  sin.  2.  rjx.  Donc  la  somme  de  la  série  sera  -  Z'— 2  sin.  2^7  r 

l'intégrale  étant  prise  de  ^  =  0  à  «7  =  —  -;  on  a   donc    j'é- 

quation^77=^y  ^sin.  2  ,7 .r  qui  a  toujours  lieu,  quelle 
que  soit  la  valeur  positive  de  x.  Soit  iqx^=r,  r  étant  une 
nouvelle  variable,  on  aura  '^=~  ai  -=  f  —  sin.  r  ; 


CHAPITRE  IX.  44û 

cette  valeur  de  l'intégrale  définie  /  —  sin.  /•  est  connue  de- 
puis long-temps.  Si  en  supposant  /■  négatif  on  prenait  la 
7Tiême  intéirrale  de  /^o  à  r=^  —  -,  on  aurait  évidemment 

D  O 

un  résultat  de  signe  contraire tc. 

357.  ' 

La  remarque  que  nous  venons  de  faire  sur  la  valeur  de 

Tintégrale  /  —  sin.  r,  qui  est  ^  -  ou  — ^tt  peut  servir  à  taire 

connaître  la  nature  de  l'expression 

'  d q .sm.  q 


i.r 


cos.  qx, 
1  '■ 


dont  nous  avons  trouvé  précédemment  (  article  348  )  la 
valeur  égale  à  i  ou  à  o ,  selon  que  x  est  ou  n'est  pas  com- 
prise entre  i  et —  1.  En  effet,  on  a 

f-^cos.qxs'm.q^=^  /l-^sin.  q.x-h  i  — ^  j'-^sm.qx — i; 

le  premier  terme  vaut  7  ^^  ou  — 7  ■^?  selon  que  x  +  i  est  une 
quantité  positive  ou  négative;  le  second  -  /  —  sin.  q  x —  i 
vaut  ^  r  ou  — -^77,  selon  que  x —  i  est  une  quantité  posi- 
tive ou  négative.  Donc  l'intégrale  totale  est  nulle  si  .r  +  i 
et  .r — I  ont  le  même  signe;  car,  dans  ce  cas,  les  deux 
termes  se  détruisent.  Mais  si  ces  quantités  sont  de  signe  dif- 
férent, c'est-à-dire  si  l'on  a  en  même  temps 

x-l-i>oeta,'  —  i<o, 

les  deux  termes  s'ajoutent  et  la  valeur  de  l'intégrale  est  -  v:. 

à6. 


444  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

Donc  l'intégrale  définie  -  /— sin.^  cos.  qx  est  une  fonction 

de  X  égale  à  i  si  la  variable  x  a  une  valeur  quelconque 
comprise  entre  i  et  —  i  ;  et  cette  même  fonction  est  nulle 
pour  toute  autre  valeur  de  x  non  comprise  entre  les  limites 
I  et  —  I. 

358. 
On  pourrait  déduire  aussi  de  la  transformation  des  séries 
en  intégrales  les  propriétés  des  deux  expressions 


rdqcos.qx  Çqdq 

J        ^+1'  J         I 


q  sin.  q  X 


la  première  (art.  35o)  équivaut  à  e    '   lorsque  a:  est  positive , 

et  à  e     lorsque  x  est  négative.  La  seconde  équivaut  à  e 

si  X  est  positive,  et  à  —  e  si  x  est  négative,  en  sorte  que 
ces  dçux  intégrales  ont  la  même  valeur ,  lorsque  x  est  posi- 
tive, et  ont  des  valeurs  de  signe  contraire  lorsque  x  est  né- 
gative. L'une  est  représentée  par  la  ligne  eeee,  (fig.  19) 
l'autre  par  la  ligne  se  se,  (fig.  28  ). 
L'équation 

I       .                  sin.  a. sin.  :r       sin.  2  a. sin.  2  .r       sin.  3  a. sin.  .3  .r 
—  s  n.  X  = ; ; 1 ^—, h , 7^-^ 1-  etc. , 

que  nous  avons  rapportée  (art.  226),  donne  immédiatement 

hntegrale  -   /  — '-^—, — ^— ;    cette    dernière    expression 

équivaut  à  sin.  x,  si  x  est  comprise  entre  o  et  -jt,  et  sa  valeur 
est  nulle  toutes  les  fois  que  x  surpasse  -. 

35f). 
La  même  transfoi-mation  s'applique  à  l'équation  générale 


CHAPITRE  VI.  445 

-  ir (fU=sin. u  Ida 9 w sin. u  +  sin. 2u  j duf  u sin.  111  +  etc. 

faisant  u  =  ^,  on  désignera  ou  ou  ?(-)  par  y^;  on  in- 
troduira dans  le  calcul  une  quantité  q  qui  reçoit  des  accrois- 
sements inflnimcnt  petits,  égaux  à  drj ,  n  sera  égal  à  ^    et 

i  à  -f-;  substituant  ces  valeurs  dans  le  terme  général 

i         .X   fdx      /.r\     .       f  .x\ 

sm.  il  —  o    -  )  sin.  [  i  -  ]i 

nj    II    '  \nj  \    nj 

on  trouvera  dq  sin.  qx  j  d.v  fx  sin.    qx.    L'intégrale  par 

rapport  à  u  est  prise  de  ?/  =  o  à  z;  =  77,  donc  l'intégration 
par  rapport  à  x  doit  avoir  lieu  de  x=^o  à  :r=«7;,  ou  de  x 
nulle  à  x  infinie. 

On  obtient  ainsi  un   résultat  général  exprimé  par  cette 
équation 

00  00 

-  r.  f X -^^^^^  i  d q  sin.  q x  1  dx /"x  sin.qx,     (e) 
o  o 

c'est  pourquoi,  en  désignant  par  Q  une  fonction  de  q,  telle 
que  l'on  ait /u-=:j  dq  Q  sin.  qu,  équation  dans  laquelle  y/* 

est  une  fonction  donnée,  on  aura  Q  =  -  j  du/usin.  qu,  Fin- 

grale  étant  prise  de  u  nulle  à  u  infinie.  Nous  avons  déjà 
résolu  une  question  semblable  (art.  346)  ?  et  démontré  l'équa- 
tion générale  -        '        _ 


446  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 


00 


~T:¥x-^=ldq  COS.  q  X  i  dxV  X  COS.  qx       (a) 
o  o 

qui  est  analogue  à  la  précédente. 

3Go. 
Pour  donner  une  application  de  ces  théorèmes,  nous  sup- 
poserons ya^=a^  ,  le  second  membre  de  l'équation  (e)  de- 
viendra par  cette  substitution  1  dq  sin.  qx  j dx  sin.  qx  x  • 
L'intégrale 

/dx  sin.  qx.x    ou  -y-  j qdx  sin.  qx.(^qx) 

équivaut  à  —^  l  du  sin.  u.u  ,  l'intégrale  étant  prise  de 
u  nulle  à  u  infinie.  Soit  [/.  cette  intégrale  totale 

/  diL  sin.  u.u   ; 
il  reste  à  prendre  l'intégrale 

/dq  sin.  (qx)  --^  [i.  ou  \j.x'  t du  sin.  u.u     ^'^       '• 
1^  •  1 

désignant  par  v  cette  dernière  intégrale,  prise  de  u  nulle  à 
u  infinie ,  on  aura  pour  résultat  des  deux  intégrations  suc- 
cessives le  terme  x  [a.v.  On  doit  donc  avoir,  selon  la  condi- 
tion exprimée  par  l'équation  (e), 

\  r  r  I 

-  TC  X  =  j;. .  V  o;    ou  p,  V  =  -  T7  ; 
ainsi  le  produit  des  deux  transcendantes 


CHAPITRE   IX.  447 

du      —  /•    .  .1 


-  Tï. 

a 


/r     .  r  du      — /•    . 

du  II    sin.  Il     et     /    — u        s\n.  u  est 

„  ,         .  I  fdu.sm.u  1 

Par  exemple,  si  /'  =  —  -,  on  trouve  pour  /  — ^ —  sa  valeur 
connue  y-  z,  ou  trouve  de  la  même  manière 

/d  II  COS.  «        .    / 1 

Et  de  ces  deux  équations  on  pourrait  aussi  conclure  la  sui- 

vante:  fdqe~^  =- l/r,  qui  est  employée  depuis  long- 
o 

temps. 

36i. 

On  peut  résoudre ,  au  moyen  des  e'quations  (e)  et  (e) ,  le 
problème  suivant,  qui  appartient  aussi  à  l'analyse  des  diffé- 
rences partielles  :  Quelle  est  la  fonction  Q  de  la  variable  g 
qui  doit  être  placée  sous  le  signe  intégral  pour  que  l'expres- 
sion /  de/  Qe  ^^  soit  égale  à  une  fonction  donnée,  l'inté- 
grale étant  prise  de  q  nulle  à  q  infinie;  mais  sans  s'arrêter  à 
ces  diverses  conséquences  dout  l'examen  nous  éloignerait 
de  notre  objet  principal,  on  se  bornera  au  résultat  suivant, 
que  l'on  obtient  en  coml^inant  les  deux  équations  (e)  et  (j). 
Elles  peuvent  être  mises  sous  cette  forme  : 

-  T,J'a:=  I  d  q  sin.  q  x  1  du.J'v.  sin.  q  % 
o  o 

00  00 

et     -  -;:  F,r=  /  dq  COS.  qx  \  dry.  Fa  cos.  q  a. 


448  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

Si  l'on  prenait  les  intégrales  par  rapport  à  a,  depuis  — i jus- 
qu'à +  7,  le  résultat  de  chaque  intégration  serait  doublé,  ce 
qui  est  une  conséquence  nécessaire  des  deux  conditions 

/a=— /(-a),    et      F«  =  F(-a), 

on  a  donc  les  deux  équations 


00 


r:fx^=^  i  dq  sin.  qx  i  dot  fa  sin.  q  « 


O  —00 

00  -^-■xi 


et    -K  F  «:=^  I  dq  COS.  q  Jc  I  da.  F  a.  COS.  q  a. 

o  -f-co 

On  a  remarqué  précédemment  qu'une  fonction  quelconque 
fX  se  décompose  toujours  en  deux  autres,  dont  l'une,  F ^ 
satisfoit  à  la  condition/'.r  =  F  ( — br.).,  et  dont  l'autre/lr  satis- 
fait à  la  condition  y^' :^ — •_/( — x).  On  a  aussi  les  deux 
équations 

o=  I  duF  a  sin.  q  a.     et     o=  j  daj'v.  cos.  q  a., 

on  en  conclut 

00  -t-  30 

TU  {Fx+/x)  =  ~  (fX=  I  dq  sin.  qx  j  da/a.  sin.  qa 

o  — so 

00  -f-GO 

+  I  d  q  COS.  q  X  j  da.F  u  cos.  </«, 

o  —XI 

€0  -t-OO 

et    Tt9^=  /  dq  sin.  qx  1  de.  ça  sin.  qa 

o  —00 

-h  /  ^5'  COS.  qx   I  dx  (Da  COS.  /^  a  , 


O 


CHAPITRE  IX.  449 

ou  7:?.r=/  da.  (pu. I  dq  (sin.  qx  sin.  <7a  +  cos.  qx  cos.  qa.) 


-f-ic  00 


o 

-1-30 


OU  enfin     f  x:=^-  1  da.  ox  j  dq  cos.  fq  (x — a)J-  (E) 

—00  o 

L'intégration  par  rapport  à  q  donne  une  fonction  de  xeta.,  et 
la  seconde  intégration  ferait  disparaître  la  variable  a.  Ainsi  la 

fonction  représentée  par  l'intégrale  définie  j  dq  cos.  [qx — a) 

a  cette  singulière  propriété ,  que  si  on  la  multiplie  par  une 
fonction  quelconque  ça  et  par  r/a,  et  si  l'on  intègre  par 
rapport  à  a  entre  des  limites  infinies ,  le  résultat  est  égal  à 
iT  9  ^  ;  en  sorte  que  l'effet  de  l'intégration  est  de  changer  a  en 
X  et  de  multiplier  par  le  nombre  ir. 

362. 

On  pourrait  déduire  directement  l'équation  (E)  du  théorème 
rapporté  dans  l'art.  234,  p-  256  et  207^  qui  donne  le  dévelop- 
pement d'vme  fonction  quelconque  Fo:  en  série  de  sinus  et  de 
cosinus  d'arcs  multiples.  On  passe  de  cette  dernière  propo- 
sition à  celles  que  nous  venons  de  démontrer  en  donnant 
une  valeur  infinie  aux  dimensions.  Chaque  terme  de  la  série 
devient  dans  ce  cas  une  quantité  différentielle.  Ces  trans- 
formations des  fonctions  en  suites  trigonométriques  sont 
des  éléments  de  la  théorie  analytique  de  la  chaleur  ;  il  est 
indispensable  d'en  faire  usage  pour  résoudre  les  questions 
qui  dépendent  de  cette  théorie. 

La  l'éduction  des  fonctions  arbitraires  en  intégrales  dé- 
finies ,  telles  que  l'expriment  l'équation  (E) ,  et  les  deux 
équations  élémentaires  dont  elle  déi'ive  donne  lieu  à   di- 

57 


45o  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

verses  conséquences  que  l'on  omettra  ici  parce  qu'elles 
ont  un  rapport  moins  direct  avec  la  question  physique. 
On  fera  seulement  remarquer  que  ces  mêmes  équations 
se  présentent  quelquefois  dans  le  calcul  sous  d'autres 
formes.  On  obtient  par  exemple  ce  résultat  : 


(ûX 


=  ~  1  da  (fa  I  dg  cos.  {q  x  —  a),  (E') 


qui  diffère  de  l'équation  (E) ,  en  ce  que  les  limites  de  l'inté- 
grale prises  par  rapport  à  a  sont  o  et  ^  au  lieu  d'être  —  ^ 
et  +  ^.  Il  fout  considérer  dans  ce  cas  que  les  deux  équations 
(E)  et  (E')  donnent  pour  le  second  membre  des  valeurs  égales 
lorsque  la  variable  x  est  positive.  Si  cette  variable  est  néga- 
tive, l'équation  (E')  donne  toujours  pour  le  second  membre 
une  valeur  nulle.  Il  n'en  est  pas  de  même  de  l'équation  (E) , 
dont  le  second  membre  équivaut  k  -mfx,  soit  cjue  l'on  donne 
à  X  une  valeur  positive  ou  une  valeur  négative.  Quant  à 
l'équation  (E')  elle  résoud  le  problême  suivant.  Trouver  une 
fonction  de  x  telle  que  si  x  est  positive,  la  valeur  de  la 
fonction  soit  fx,  et  que  si  x  est  négative,  la  valeur  de  la 
fonction  soit  toujours  nulle. 

363. 

La  question  de  la  propagation  de  la  chaleur  dans  une 
ligne  infinie  peut  encore  être  résolue  en  donnant  à  l'inté- 
grale de  l'équation  aux  différences  partielles  vine  forme  dif- 
férente que  nous  ferons  connaître  dans  l'article  suivant. 
Nous  examinerons  auparavant  le  cas  où  la  source  de  la  cha- 
leur est  constante. 

Supposons  que  la  chaleur  initiale  étant  répartie  d'une 
manière  quelconque  dans  la  barre  infinie ,  on  entretienne  la 


CHAPITRE  IX.  45i 

tranche  A  à  une  température  constante  ,  tandis  qu'une 
partie  de  la  chaleur  communiquée  se  dissipe  par  la  surface 
extérieure.  Il  s'agit  de  déterminer  l'état  du  prisme  après  un 
temps  donné ,  ce  qui  est  l'objet  de  la  seconde  question  que 
nous  nous  sommes  proposée.  En  désignant  par  i  la  tempé- 
rature constante  de  l'extrémité  A,  par  o  celle  du  milieu,  on 

aura  e  *^  KS  pour  l'expression  de  la  température  finale 
du  point  situé  à  la  distance  x  de  cette  extrémité,  ou  seule- 
ment e  en  supposant ,  pour  simplifier  le  calcul ,  que  la 
quantité  jT-;r  soit  égale  à  l'unité.  Désignant  par  v  la  tempé- 
rature variable  du  même  point  après  le  temps  écoulé  t ,  on 
a ,  pour  déterminer  i'  cette  équation 
dv         K      d'  V         H.L 


dt       CD    dx'       CD. S 


-  .v 


=  e  ^    KS. 


soit  mamtenant  'Z'  =  e  ^    k  s  +  jf-^ 

du'         K    d'il'         H.L       ,  da'  ,  d' u'        ,     , 

on  aura  -TT=7T-Fi-r-7  — r-  ^^  c  ''.>   ou  —r-  =  /1-7— r  —  "i^*» 
dt        C.Ddx^        CD.b  dt  d  x^ 

K  HT 

en  remplaçant  ^r-r.  par  k  et      ^  ^  par  h.  Si  l'on  fliit 

,  — ht  du         j  d' u 

u=e  u      on  a     —  =  A-^^; 

—  x\/^ 
la  valeur  de  u  on  v  —  e         ^   KS  en  celle  de  la  différence 

entre  la  température  actuelle  et  la  température  finale  ;  cette 

différence  u ,  qui  tend  de  plus  en  plus  à  s'évanouir ,  et  dont 

la  dernière  valeur  est  nulle  équivaut  d'abord  à 

57. 


452  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

en  désignant  par  F  a?  la  température  initiale  d'un  point  situé 
à  la  distance  x.  Soit  y.r  l'excès  de  cette  température  initiale 
sur  la  température  finale,  il  faudra  trouver  pour  u  une  fonc- 
tion qui  satisfasse  à  l'équation  j-z=:k  -7—^  —  h  u,  et  qui  ait 
pour  valeur  initiale y.r,  et  pour  valeur  finale  o.  Au  point  A, 

ou  ^=0,  la  quantité  "v  —  e  v  K.s  a,  par  hypothèse, 
une  valeur  constante  égale  à  o.  On  voit  par-là  que  it  repré- 
sente une  chaleur  excédente  qui  est  d'abord  accumulée  dans 
le  prisme,  et  qui  ensuite  s'évanouit,  soit  en  se  propageant  à 
l'infini ,  soit  en  se  dissipant  dans  le  milieu.  Ainsi  pour  re- 
présenter l'effet  qui  résulte  de  réchauffement  uniforme  de 
l'extrémité  A  d'une  ligne  infiniment  prolongée,  il  faut  con- 
voir  1°  que  cette  ligne  est  aussi  prolongée  à  la  gauche  du 
point  A,  et  que  chaque  point  situé  à  droite  est  présentement 
affecté  de  la  température  initiale  excédente  ;  2°  que  l'autre 
moitié  de  la  ligne  à  la  gauche  du  point  A  est  dans  un  état 
contraire;  en  sorte  qu'un  point  placé  à  la  distance  — x  du 
point  A  a  pour  température  initiale  — /x  :  ensuite  la  cha- 
leur commence  à  se  mouvoir  librement  dans  l'intérieur  de 
la  barre ,  et  à  se  dissiper  à  la  surface.  Le  point  A  conserve 
la  température  o ,  et  tous  les  autres  points  parviennent  insen- 
siblement au  même  état.  C'est  ainsi  que  l'on  peut  ramener 
le  cas  où  le  foyer  extérieur  communique  incessamment  une 
nouvelle  chaleur,  à  celui  où  la  chaleur  primitive  se  propage 
dans  l'intérieur  du  solide.  On  pouiTait  donc  résoudre  la  ques- 
tion proposée  de  la  même  manière  que  celle  de  la  diffusion 
de  la  chaleur,  articles  (347)  ^^  (353);  mais  afin  de  multiplier 
les  moyens  de  résolution  dans  une  matière  aussi  nouvelle , 


CHAPITRE   IX.  453 

on  employera  l'intégrale  sous  une  forme  différente  de  celle 
que  nous  avons  considérée  jusqu'ici. 

364. 

On  satisfait  à  l'équation  -z-=k-j—^  en  supposant  inégale 

à  e  e  .  Or  cette  dernière  fonction  de  ^  et  f  peut  être 
mise  sous  la  forme  d'intégrale  définie ,  ce  qui  se  déduit  très- 
facilement  de  la  valeur  connue  de  1  dq  e  ^ .  On  a  en  effet 
1/^=  I  dq  e  ^  ,  lorsque  l'intégrale  est  prise  de  q= — - 
à  q  =  +  -.  On  aura  donc  aussi  l/7r=  /  dq  e      ^^  j  ^ 

étant  une  constante  quelconque  et  les  limites  de  l'intégrale 
étant  les  mêmes  qu'auparavant.  De  l'équatioij 


J/7T  =  e" 


-^'  r.j..  .-(.f+^^^j) 


dq  e 


on  conclut,  en  faisant  b^^=kt 

e^'  =  ^Jdq  e-^\e-=^^*^~, 

donc  la  valeur  précédente  de  u  o\xe       .e  '    équivaut  à 
on  pourrait  aussi  supposer  u  égale  à  la  fonction 

—  ri  X      k  «'  t 

a  e  e         . 

a  et  71  étant  deux  constantes  cjuelconques  ;  et  l'on  trouvera 
de  même  que  cette  fonction  équivaut  à 

-  .  ^(dqe~-'i\-"^''-^^^^^'K 

—  .  i/^  ^      1  ..... .     .  o|. 


454  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

On  peut  donc  prendre  en  général  pour  valeur  de  u  la  somme 

d'une  infinité  de  valeurs  semblables,  et  l'on  aura 

u=^\  dq  e     ^  (a    e         ^         ^        '  -\-a^e         ^  ^        ' 

^  -^a^e       ^  ^         +  etc.J 

Les  constantes  a^,  a^,  a,,  etc.,  et  n^,  n^,  n^  etc.  étant  indé- 
terminées, la  série  représente  une  fonction  quelconque  de 


œ -h  2. qi^lTt;  on  3l  donc  11=:^ I  dq  e     ^  (p{x  +  zqyy'kt). 

L'intégrale  doit  être  prise  de  ii  =  —  ^  à  m  :=^ ,  et  la  valeur 

de  u  satisfera  nécessairement  a  1  équation  ■^=zk  -j—^-   dette 

intégrale ,  qui  contient  une  fonction  arbitraire ,  n'était  point 
connue  lorsque  nous  avons  entrepris  nos  recherches  sur  la 
théorie  de  la  chaleur,  qui  ont  été  remises  à  l'Institut  de 
France  dans  le  mois  de  décembre  i8oy  :  elle  a  été  donnée 
par  M.  Laplace ,  dans  un  ouvrage  qui  fait  partie  du  tome  VI 
des  Mémoires  de  l'école  polytechnique  ;  nous  ne  faisons  que 
l'appliquer  à  la  détermination  du  mouvement  linéaire  de  la 
chaleur.  On  en  conclut 

,  ./^^ 


/H.L 

lorsque  t=ola.  valeur  de  k  est  Fa: — e  v  k.s  ou /"a; 
donc  <fX=fdq  e~^  <^x  et  çx  =  -^/x.  Ainsi  la  fonction 
arbitraire   qui    entre   dans   l'intégrale ,  est   déterminée   au 


CHAPITRE  IX.  455 

moyen  de  la  fonction  donnée  y"a.,  et  l'on  a  l'équation  sui- 
vante, qui  contient  la  solution  de  la  question 


V      K 


KS    +   ^-—^ffjqe     "^  f{x-\-2.qyTt): 


il  est  fticile  de  représenter  ce  résultat  par  une  construction. 

365. 

Nous  appliquerons  la  solution  précédente  au  cas  où  tous 

les  points  de  la  ligne  AB  ayant  la  température  initiale  o,  on 

échauffe  l'extrémité  A  pour  la  retenir  continuellement  à  la 

température  i.  Il  en  résulte  que  F  a;  a  une  valeur  nulle  lors- 

,  /îTl 
que  X  diffère  de  o.  Ainsi  y.r  équivaut  à  — e         ^    KS  ' 

toutes  les  fois  que  x  diffère  de  o,  et  à  o,  lorsque  x  est  nulle. 
D'un  autre  côté  il  est  nécessaire  qu'en  faisant  x  négative,  la 
valeur  deyo;  change  de  signe,  en  sorte  que  Ion  a  la  condi- 
tion y( —  ^)  =  — fx.  On  connaît  ainsi  la  nature  de  la  fonc- 

tion  discontinue /a*;  elle  est — e        '^   K  s   lorsque   x    sur- 

passe  o,  et  +  e  ^  ivs  lorsque  x  est  mcjindre  que  o.  Il  faut 
maintenant  écrire  au  lieu  de  x  la  cjuantité  x  +  2.q  \XTt.  Pour 

trouver  ii  ou  f  dq  c     ^  •  -^  f  [x  +  2.q\y^Tt)^  on   prendra 

d'abord  l'intégrale  depuis 

x  +  aq ]y^t  =  o  jusqu'à   x  +  2q \XT~t ^=  - 

et  ensuite  depuis  x+  iqXyiTt^^ jusqu'à x+a^l/T^^o. 

Pour  la  première  partie  on  a  .-     .- 


456  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 


e     ^  e 


et  remplaçant  h  par  sa  valeur  ^t-jj  on  a 
J  V'^ 

/ÏÎL  .  .  /    HL 


ou— ^e 


e 
OU 


— ^7Î ^  J^^^ 


En  désignant  par  r  la  quantité  q  +  y/ii^  .  t,  l'expression 
précédente  est ^^ v  kTs  e  ^^^^  -^  j  dr  e  cette  in- 
tégrale y  ^r  e~"     doit  être  prise  par  hypothèse  depuis 

ou  depuis 

q  = ^     jusqu'à     q  =  l, 

VcTd 

ouder^v/^Urs^ -;=    jusqua    r=- ^ 

V  cTd 

la  seconde  partie  de  l'intégrale  est 


CHAPITRE  IX.  457 

^Jdqe     le 

/til^  ,  ^,/   H.L      . 


ou— ^  e  "    \  dq  e     ^  .  e 


/h  ..      _ii:^ 


L  H.L 


ou  -^^e  •  e  I  dr  e 

en  désignant  par  r  la  quantité  g  —  y/JËii_.;.    L'intégrale 
/  dr  e     '    doit  être  prise  d'après  l'hypothèse  depuis 


ou  de  rt'  =  —  -  à  q= y ,  c'est-à-dire,  depuis 

V    CD 


I      •  M  .   /   HL     , 

^-=-3    J^^^^'-^    ''^-V  cUTs^ 


L     X  .s^ 


Ces  deux  premières  limites  peuvent,  d'après  la  nature  de  la 
fonction  e        ,  être  remplacées  par  celles-ci  : 


y     CD. s  .  /Kf 


\t  + ^=,     et    r=-- 


Il  suit  de  là  que  la  valeur  de  u  est  exprimée  ainsi  : 

^  /HL    _Hi:_,  _^x/S^     ^^^t 

^V  KS    c.D.s     r       _^  •^V  rs     c.D.s   r,     . 

u=e  .e  Idr  e        — e  .e  lare 

58 


458  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

la  première  intégrale  doit  être  prise  depuis 


/     HL       ^  X  .  .y  I 

r=\/ — — t -\ 7=    lusqua    r=-, 

V  CD. S  \/k.'  ° 

^y    cTd 

et  la  seconde  depuis 

/    HL      .  X  .  ,^  I 

r=\/  t 7=^    lUsqua    /•=-• 

V^   CD. S  v/Ai  •* 

^  V^   c.D 

Représentons  maintenant  par  i|>R  l'intégrale  —^  j  dr  e 
depuis  /'=R  jusqu'à  r=-  et  l'on  aura 


HL 

.t       X 


C.D. S  y    RS  ,  /-     /   HL    ^   .  .^^        \ 

Hv/cd-s^  +  -7Tf) 

^V    CD 


—  e 


C.D.S^  V  KS 


^V^    CD 


HL 

t 


donc  ?/  qui  équivaut  à  e     ci>.s     .  ;^  a  pour  expression 


^Vo.  .    /-HlT.  .        ^       \        "-"^l 


L 


-x\/^  ~x\/^ 

et  ^  =  e                  -e  H V^ cdTs  ^ " TTTTt) 

. /hl  

Vcd 


"-'    CD 


CHAPITRE  IX.  4^5 

La  fonction  désignée  par  i]yR  est  connue  depuis  long-temps 
et  l'on  peut  calculer  facilement,  soit  au  moyen  des  séries 
convergentes,  soit  par  les  fractions  continues,  les  différentes 
valeurs  que  reçoit  cette  fonction ,  lorsqu'on  met  au  milieu 
de  R  des  quantités  données;  ainsi  l'application  numérique 
de  la  solution  n'est  sujette  à  aucune  difficulté. 

36C. 
Si  l'on  fait  H  nulle ,  on  a 

Cette  équation  représente  la  propagation  de  la  chaleur  dans 
une  barre  infinie,  dont  tous  les  points  étaient  d'abord  à  la 
température  o ,  et  dont  l'extrémité  est  élevée  et  entretenue 
à  la  température  constante  i.  On  suppose  que  la  chaleur  ne 
peut  se  dissiper  par  la  surface  extérieure  de  la  barre;  ou, 
ce  qui  est  la  même  chose,  que  cette  barre  a  une  épaisseur 
infiniment  grande.  Cette  dernière  valeur  de  v  fait  donc  con- 
naître la  loi  suivant  laquelle  la  chaleur  se  propage  dans  un 
solide  terminé  par  un  plan  infini ,  en  supposant  que  ce  mu 
infiniment  épais ,  a  d'abord  dans  toutes  ses  parties  une  tem- 
pérature constante  initiale  o,et  que  l'on  assujettit  la  surface 
à  une  température  constante  i.  Il  ne  sera  point  inutile  de 
faire  observer  quelques  résultats  de  cette  solution. 

En  désignant  par  ?(R)  l'intégrale  —^  1  dr  e  prise 

depuis  r=o  jusqu'à  /•=R;  On  a  lorsque  R  est  une  quan- 
tité positive, 

KR)=^-î(R)    et    K-R)=^  +  9(R), 

58. 


46o  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

donc 

^(_R)_^(R)=:2?(R)     et     v=i-2J-^); 

VcTd 
en  développant  l'inte'grale  ?(R)  on  a 

f\    '      Vit  \        i3  1.25  1.2.07  y 

donc 

v\/t^=^~\/t. 1=-^  -  o-( 7==  ) -K-[ 7=  )  +etc. 

V     C.D  y     CD  *^     CD 

!«  Si  l'on  suppose  a:  nulle,  on  trouvera  v=^i\2P  six  n'étant 
point  nulle,  on  suppose  ;=o;  la  somme  des  termes  qui 

contiennent  x  représente  l'intégrale  /  dr  e        prise  depuis 

r=o  jusqu'à  r=-  et  par  conséquent  équivaut  à  - 1/^;  donc 

V  est  nulle  ;  3"  différents  points  du  solide  placés  à  des  pro- 
fondeurs différentes  x.x^x^  etc.,  parviennent»" à  une  même 
température  après  des  temps  différents  x^  x^  x^  etc. ,  qui 
sont  proportionnels  aux  quarrés  des  longueurs  x^  x^  x,  etc.  ; 
4^*  Pour  comparer  les  quantités  de  chaleur  qui  traversent 
pendant  un  instant  infiniment  petit  une  section  S  placée 
dans  l'intérieur  du  solide  à  la  distance  x  du  plan  échauffé, 

on  prendra  la  valeur  de  la  quantité  —  K  S  j-  et  l'on  aura 


CHAPITRE  IX.  471 

V     CD  (  ^     CD 

^*^   "CD  ^^    CD  ) 

ainsi  l'expression  de  la  quantité  -y-  est  entièrement  dégagée 

du  signe  intégral.  La  valeur  précédente  à  la  surface  du  solide 

échauffé  est  S.  ■     '    '  .-    ,  ce  qui  fait  connaître  comment  le 

flux  de  chaleur  à  la  surface  varie  avec  les  quantités  CD  K,  t; 
pour  trouver  combien  le  foyer  communique  de  chaleur  au 
solide  pendant  un  temps  écoulé  t,  on  prendra  l'intégrale 


/■■ 


a    l/C.D.l/K    df.                   2S  l/c.D.l/K.l/i 
3. 7= —^       ou      -7= 


ainsi  la  chaleur  acquise  croît  proportionnellement  à  la  racine 
quarrée  du  temps  écoulé. 

367.     "  ■     -       .     ■ 

On  peut  traiter  par  une  analyse  semblable  la  question  de 
la  diffusion  de  la  chaleur  qui  dépend  aussi  de  l'intégration 

de  l'équation  ~^=zk  -j-^ — ^^^'-  O"  représentera  pary^'  la 

température  initiale  d'un  point  de  la  ligne  placée  à  la  dis- 
tance ce  de  l'origine,  et  l'on  cherchera  à  déterminer  qu'elle 
doit  être  la  température  de  ce  même  point  après  un  temps  t. 

laisant-vr^e  .z,  on  aura  j- =A-t-7,  et  par  conséquent 

z=l  dq  e~^  ©(^+2^1/11).  Lorsque  f  =  o  on  doit  avoir 


462  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

v=^fx=l  dq  e     ^  (fX    ou    ^x=i—^fx;àonc 


—ht 


v=^-^jdq  e     '^  f{x-\-o.qVTt). 

Pour  appliquer  cette  expression  générale,  au  cas  où  une 
partie  de  la  ligne  depuis  x=^  —  a  jusqu'à  a;  =  a  est  unifor- 
mément échauffée ,  tout  le  reste  du  solide  étant  à  la  tempéra- 
ture o,  il  faut  considérer  que  le  facteur  y(a;  + 2^  l/T^)  qui 

multiplie  e  ■'  a, selon  l'hypothèse,  une  valeur  constante  i, 
lorsque  la  quantité  qui  est  sous  le  signe  de  la  fonction  est 
comprise  entre  —  a  et  a ,  et  que  toutes  les  autres  valeurs  de 

ce  facteur  sont  nulles.  Donc  l'intégrale  i  dq  e  ^  doit  être 
prise  depuis  a;  +  2  ^1/^  =  —  «  jusqu'à  a;  +  2  q\/Ti  =  a, 
ou  depuis  g=-~^7/  Jusqu'à  q  =  ~^^-\  En  désignant 
comme  ci-dessus  par  77=  1  R  Tintégi'ale  i  dr  e'~^  prise  de- 
puis /'=R  jusqu'à  r  =  -,  on  aura 

368. 
Nous  appliquerons  encore  l'équation  générale 


■  ht 

e 


'-^Jdqe      ^  /{x  +  2q]yrt), 


au  cas  où  la  barre  infinie  échauffée  par  un  foyer  d'une  in- 
tensité constante  i  est  parvenue  à  des  températures  fixes, 


CHAPITRE  IX.  463 

et  se  refroidit  ensuite  librement  dans  un  milieu  entretenu 

à  la  température  o.  Pour  cela  il  suffit  de  remarquer  que  la 

,  /~h 
fonction  initiale  de'signée  pary*j?  e'quivaut  à  e         ^   li  tant 

que  la  variable  x  qui  est  sous  le  signe  de  fonction  est  posi- 

tive,  et  que  cette  même  fonction  e'quivaut  à  e  ^  x  lors- 
que la  variable  qui  est  affectée  du  signe  f  est  moindre  que 
o.    Donc 

la  première  intégrale  doit  être  prise  depuis 

x  +  2.q\yri  =  o    jusqu'à    x -\- 2.q\yTc^=~, 
et  la  seconde  depuis 

a7-f-2<7l/T7  =  — ^    jusqu'à    ,r  +  2^l/J7z=o. 
La  première  partie  de  la  valeur  de  i/est 


.ht     —x\/ 


h 


17;  ^  -J  ^iqe    '^  e 


-.T-^ 


ou     f l-±jdq  e-'-l^^^^y 


u-  - 


ou     '-—L-^  fj.  e-'' 


464  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

en  faisant  r=q  +  l/Tf.  L'intégrale  doit  être  prise  depuis 


ou  depuis         /•=l/X7 ^^     jusqu'à     r=-- 

La  seconde  partie  de  la  valeur  de  f  est 

-ht  x\/'i ,  ,_  x\A- 

— 7-- e            jdqe     ^    .e^            ou     e  1  dr  e        ; 

en  faisant  r=q  —  1/Â7.  L'intégrale  doit  être  prise  de 
r= àr= — 1/Â7 -=,  ou  der=l/Â7H 7=  à  r=-, 

O  al/Xt'  "^  2  1Xa«  o' 

on  en  conclut  l'expression  suivante  : 

369. 
On  a  obtenu  art.  (SGy)  l'équation 


—  ht 


K~i^)~K-T^)l- 


pour  exprimer  la  loi  de  la  diffusion  de  la  chaleur  dans  une 
barre  peu  épaisse,  échauffée  uniformément  à  son  milieu 
entre  les  limites  données  x  =  —  a,.r  =  +  a.  On  avait  précé- 
demment résolu  la  même  question  en  suivant  une  méthode 
différente  ,  et  l'on  était  parvenu  ,  en  supposant  a  =  i  à 
l'équation 


CHAPITRE  IX.  465 

2     —ht  f  dq  .  — g'kt  ^    /o /o\ 

v=-e         I -^cos.gx  sm.g  .e    ^  art.  (o4o)- 

*y    1 

Pour  compai'er  ces  deux  résultats,  on  supposera  dans  l'un 
et  l'autre  a:=o  ;  désignant  encore  par  ^  (R)  l'intégrale 


/■ 


dr  e 


prise  depuis  î'=o  jusqu'à  /-^R,  on  a 

—kt 


ou       v  =  - 


—  ht 

ie         (      a 


.  Ka-^V- Kr^Tn)  I  ' 


11/      a      \i 
~t       I  3  ■  Va  \/'n  J 


\/û    \2\/ kt 

i_    I  /     g     \5  I        I  / «_    \7  I 

1 . 2  ■  5  V2  v/Tr/         1.2.3  7  \2  i/Â^^y  j 

d'un  autre  côte'  on  doit  avoir 

2    — ht    rdq    .  — o'kt 

Or  l'intégrale    i  due        .u        prise  depuis  u  =  o  jusqu'à 

M=r-  a  une  valeur  connue,  m  étant  un  nombre  entier  po- 
sitif. On  a  en  général 

/'  7          u''           lm           I     3     5     7                    2.171  I       I  ,    y — 
due         .u      =-.-.-.^ .-1/tï: 
2     2     2     2                            2  a 

l'équation  précédente  donne  donc,  en  faisant  q'kt=u'^ 


THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 


—ht 


"KV  ktj  \  2.3   kt       1  0.4.5   k^  t^ 

rtfl^  r.i98oqqrja  no  ff.1.';;:;«°  _i \ 

2.3.4.5.6.7"/t'.i:'  "^  ^'^^^V  ' 

—  /if 
2e  fi  ii/i\î  ii/iXS 

I/tc      \_i\/Tt        I    3V2l/Tf/  i.aSVal/Tîy 

—  — ^  -  f — ^  Y  +  etc.  1  • 
1 .2.3  7  Va  l/At/  J' 

Cette  équation  est  la  même  que  la  précédente,  lorsqu'on 
suppose  a  =  I .  On  voit  par-là  que  ces  intégrales ,  que  l'on  a 
obtenues  par  des  procédés  différents, conduisent  aux  mêmes 
séries  convergentes ,  et  l'on  parvient  aussi  à  deux  résultats 
identiques,  quelle  que  soit  la  valeur  de  x. 

On  pourrait,  dans  cette  question  comme  dans  la  précé- 
dente, comparer  les  quantités  de  chaleur  qui,  dans  un  in- 
stant donné,  traversent  différentes  sections  duprisme  échauffé, 
et  l'expression  générale  de  ces  quantités  ne  contient  aucun 
signe  d'intégration;  mais,  sans  s'arrêter  à  ces  remarques, 
on  terminera  cette  section  par  la  comparaison  des  différentes 
formes  que  l'on  a  données  à  l'intégrale  de  l'équation  qui  re- 
présente la  diffusion  de  la  chaleur  dans  une  ligne  infinie, 
r,  upaui  o==-«  aijjqah  „  ' 

Pour  satisfaire  à  l'équation  ^7  =  ^.  vp,  on  peut  supposer 

—X       kt  '     '      1  — ii-x       li'kt  1  'j     •. 

i/r=e        .  e     ;,  et  en  gênerai  u^=^e  .  e       ,  on  en  déduit 

facilemeiït ,  art.  364,  l'intégrale 


CHAPITRE  IX.  467 

De  l'équation  comme  1^%  =  1  d q  e     ^  on  conclut  celle-ci 

^^  r 

'        o 

+1 

l/^  =  I  dq  e~^^     "'  ,rt  e'tant  une  constante  quelconque; 

o 

on  a  donc        e^  =-^  l  dq  e     ^  e     ^"■i  ^      qu 

Cette  équation  a  lieu ,  quelle  que  soit  la  valeur  de  a.  On  peut 
développer  le  premier  membre;  et,  par  la  comparaison  des 
termes,  on  obtiendra  les  valeurs  déjà  connues  de  l'intégrale 

/  dq  e      '^  q    "'.  Cette  valeur  est  nulle  lorsque  n  est  impair, 

et  l'on  trouve ,  lorsque  n  est  un  nombre  pair  2.  m , 

dq  e     ■'  q       = ^....— V/x. 

J  J-  2222  2 

371. 
On  a  employé  précédemment  pour  l'intégrale  de  l'équation 

du         7  d'u  ,,  .  1 

-r-z=  k  -r—^  1  expression 

-n\ht  -TV'.kt  -TÙ.kt 

u-=a,e  cos.n,x+a^e  ços-n^x+a^e  cos.Mj-4-etc. 
ou  celle-ci 

u=a^e         sm.n^x+a^e  sm. n^x+a^e         sin.Wja^+etc. 

a.aMjû^...  etc.  et  n^n^n^ji^  etc.  étant  deux  séries  de  con- 
stantes arbitraires.  Il  est  aisé  de  voir  que  chacun  de  ces  termes 

5g. 


468  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

équivaut  à  l'intégrale  jd  q  e     ^  sin.  n{x  +  2.  q\/jr)  ou 

Idqe     ^   COS.  n{x  + 2. q\XTi). 
En  effet,  pour  déterminer  la  valeur  de  l'intégrale 

I  dg  e~^   sin.  (x  +  zql^kl); 
on  lui  donnera  la  forme  suivante  : 

Idqe     ^^  sin.  œ  COS.  2.  q\y^(+ 1  dqe     ^^  cos.x  sin.  2  q\yTt; 
ou  celle-ci, 

dq  e     "  sin.  ^cT \- j 

+jdqe     icos.x{-^^^^ IP^^T-)' 

qui  équivaut  à 

l'intégrale  I  dq  e     ^^         ""  ''^    prise   depuis   q  =  —  -jus- 
qu'à q  =  -  est  l/ir ,  on  a  donc  pour  la  valeur  de  l'intégrale 

/  dq  e     ^   sin.  (x -h  2  q  [^11) ,  la  quantité  c         sin.  ^'-I/tt, 
et  en  général 


.}  CHAPITRE   IX.  469 

e  sin. {nxjiy-ii  =^  I  dge     '    sin,n{œ -i- ^gyy'kt)  ^ 

ou  déterminera  de  la  même  manière  l'intégrale 

jdqe     ^    COS.  n{x -\- 2. q\yi<t)i 

ii''f(t  _ 

dont  la  valeur  est  e  cos.  {nx) .  l/it. 

'.  O  3  T  /î  i  1  :;    • 


On  voit  par-là  que  l'intégrale 
e  (a,sm.«,a:+ o,cos.«,a;)  +  e  (a^sva..n:,x-\-o^cos.n^x) 

—  n'.kt,        .  J  s  ^ 

+  e  (a^sm.  n^x  +  OjCOS.niX)  +  etc. 

équivaut  à 

^  (  i^,cos.«,(x+25' l/rf)+^,cos.«j(^+2'^l/Tt)  4- etc.  j:  ,; 

La  valeur  de  la  série  représente ,  comme  on  l'a  vu  précédem- 
ment, une  fonction  quelconque  de  x-h  iqXyTt  ;  ainsi  l'inté- 
grale générale  sera  exprimée  ainsi  : 


■v^=.ldqe     ^  (^{x  +  iqX/kt). 


Au  reste,  l'intégrale  de  l'équation  -j-=k -1—.,    peut    être 

présentée  sous  divers  autres  formes.  Toutes  ces  expressions 
sont  nécessairement  identiques. 


470  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

SECTION  DEUXIÈME. 

Du  mouvement  libre  de  la  chaleur  dans  un  solide  infini. 

372. 

Jj'iNTÉGRALE  de  l'équation  "j-=fr-r^  • -r-.  {<^)  fournit 
immédiatement  celle  de  l'équation  à  quatre  variables 

dv K     /d' V       d""  V       d^  v\  ,.. 

'dt~  G .  D  \4^  '^dy^  J^J  '  ^^ 

comme  nous  l'avons  déjà  remarqué  en  traitant  la  question 
de  la  propagation  de  la  chaleur  dans  un  cube  solide.  C'est 
pour  cela  qu'il  suffît  en  général  de  considérer  l'effet  de  la 
diffusion  dans  le  cas  linéaire.  Lorsque  les  corps  n'ont  point 
leurs  dimensions  infinies,  la  distribution  de  la  chaleur  est 
continuellement  troublée  par  le  passage  du  milieu  solide 
au  milieu  élastique  ;  ou ,  pour  employer  les  expressions 
propres  à  l'analyse ,  la  fonction  qui  détermine  la  tempéra- 
ture ne  doit  pas  seulement  satisfaire  à  l'équation  aux  diffé- 
rences partielles  et  à  l'état  initial  ;  elle  est  encore  assujettie 
à  des  conditions  qui  dépendent  de  la  figure  de  la  surface. 
Dans  ce  cas  l'intégrale  a  une  forme  plus  difficile  à  connaître, 
et  il  faut  examiner  la  question  avec  beaucoup  plus  de  soin 
pour  passer  du  cas  d'une  coordonnée  linéaire  à  celui  des 
trois  coordonnées  orthogonales  :  mais  lorsque  la  masse  solide 
n'est  point  interrompue ,  aucune  condition  accidentelle  ne 
s'oppose  à  la  libre  diffusion  de  la  chaleur.  Cet  élément  se 
meut  de  la  même  manière  dans  tous  les  sens. 


CHAPITRE   IX.  471 

La  température  variable  v  d'un  point  d'une  ligne  infinie 
est  exprime'e  par  l'équation 

X  désigne  la  distance  entre  un  point  fixe  o ,  et  le  point  m , 
dont  la  température  équivaut  à  v  après  le  temps  écoulé  t. 
On  suppose  que  la  chaleur  ne  peut  se  dissiper  par  la  sur- 
face extérieure  de  la  barre  infinie,  et  l'état  initial  de  cette 
baiTe  est  exprimé  par  l'équation  v^fx.  L'équation  diffé- 
rentielle à  laquelle  la  valeur  de  v  doit  satisfaire  est  celle-ci  : 

Mais  pour  simplifier  le  calcul,  on  écrit  -7-=^—^  {h)  ; 

Ce  qui  suppose  que  Ton  emploie  au  lieu  de  t  une  autre  in- 
déterminée t  égal  à  jT-f^- 

Si  dans  une   fonction    de  x   et    de    constantes  fx   on 
substitue  x  +  in\/~t  à  x,  et  si,  après  avoir   multiplié  par 

-y^e      ^    ,  on  intègre  par  rapport  à  n  entre  des    limites 

infinies, l'expression —=   Idne  /( .r  +  2 z?!/!')  satisfera, 

comme  on  l'a  démontré  plus  haut,  à  l'équation  différen- 
tielle (h)  ;  c'est-à-dire  que  cette  expi'ession  a  la  propriété  de 
donner  une  même  valeur  pour  la  fluxion  seconde  par 
rapport  à  x,  et  pour  la  fluxion  première  par  rapport  à  t. 
D'après  cela  il  est  évident  qu'une  fonction  de  ti'ois  variables 


^ 


47^  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

f{x,y,  z)  jouira  d'une  semblable  propriété',  si  l'on  substitue 
au  lieu  de  ce ,  y,  z,\es  quantités 

x  +  2.n\/l:,  y-\-2.p\y~t,  z  +  2.ql^j, 
et  si  1  on  intègre  après  avoir  multiplié  par 

dn     — n'i      dp      — pU     dq^     — q' t 

En  effet,  la  fonction  que  l'on  forme  ainsi, 

■\[d  nfdpfd  q  e  ~'^"'+'^''+^'î/(:c  +  2  iiX/'l.y+^pV/l,  z  +  2I/F), 

donnera  trois  termes  pour  la  fluxion  par  rapport  à  t,  et 
ces  trois  termes  sont  ceux  que  l'on  trouverait  en  prenant 
la  fluxion  seconde  pour  chacune  des  trois  variables  x,y,  z. 
Donc  l'équation 

'V=^~''fd nfdpjdq  6"^"'+^'+^ V(^  +  ^nVn,y+ ipVl, z  +  2 qV^t)  (I) , 

donne  une  valeur  de  v  qui  satisfait  à  l'équation  aux  diffé- 
rences partielles 

dv       d'  V       d'' V       d'' V  ^tjx 

373. 

Supposons  maintenant  qu'une  masse  solide  sans  figure, 
(c'est-à-dire  qui  remplit  l'espace  infini)  contienne  une  quantité 
de  chaleur  dont  la  distribution  actuelle  est  connue.  Soit 
'v=.Y{^x,y,  z)  l'équation  qui  exprime  cet  état  initial  et  arbi- 
traire, en  sorte  que  la  molécule  dont  les  coordonnées  sont 


CHAPITRE  IX.  "         475 

x,y,z  à  une  température  initiale  égale  à  la  valeur  de  la 
fonction  donnée  F(x,y,z).  On  peut  se  représenter  que  la 
chaleur  initiale  est  contenue  dans  une  certaine  partie  de  la 
masse  dont  le  premier  état  est  donné  au  moyen  de  l'équation 
^  =  ¥(x,f,  3),  et  que  tous  les  autres  points  ont  une  tempé- 
rature initiale  nulle.  Il  s'agit  de  connaître  quel  sera,  après  un 
temps  donné,  le  système  des  températures.  Il  faut  par  con- 
séquent exprimer  la  température  variable  v  par  une  fonction 
<^{x,j,  z,  t)  qui  doit  satisfaire  à  l'équation  générale  (A)  et  à 
la  condition  '^{x,y,  z,  o)  =  ¥{x,y,  z).  Or  la  valeur  de  cette 
fonction  est  donnée  par  l'intégrale 

En  effet,  cette  fonction  v  satisfait  à  l'équation  (A),  et  si 
l'on  y  fait  ?=o,  on  trouve 

.        ^--'jdnjdpjdq  e-'^"-^P-^'J^^'Y^x,y,  z), 


ou,  en  achevant  les  intégrations,  F  (a-,  y,  z\ 

374. 
Puisque  la  fonction  'v  ou  9(0:,/,  z,?)  représente  l'état 
initial  lorsqu'on  y  fait  ^  =  0,  et  qu'elle  satisfait  à  l'équation 
différentielle  de  la  propagation  de  la  chaleur,  elle  représente 
aussi  l'état  du  solide  qui  a  lieu  au  commencement  du  second 
instant,  et  en  faisant  varier  le  second  état,  on  en  conclut 
que  la  même  fonction  représente  le  troisième  état  du  so- 
Ude,et  tous  les  états  subséquens.  Ainsi  la  valeur  de  v,  que 
l'on  vient  de  déterminer,  contenant  une  fonction  entière- 
ment arbitraire  des  trois  variables  x ,y,  z  donne  la  solution 

60 


474  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

(le  la  question;  et  l'on  ne  peut  supposer  qu'il  y  ait  une 
expression  plus  générale,  quoique  d'ailleurs  la  même  inté- 
grale puisse  être  mise  sous  des  formes  très -diverses. 
Au  lieu  d'employer  l'équation 


V 


=  v~^J^^^    'V(-^'  +  2^i/0i 


On  pourrait  donner  une  autre  forme  à  l'intégrale  de  l'équa- 
tion -j-  =  -j—^  ;  et  il  serait  toujours  facile  d'en  déduire  l'in- 

CL  Z-  Cl'  OC 

tégrale  qui  convient  au  cas  des  trois  dimensions.  Le  résultat 
que  l'on  obtiendrait  serait  nécessairement  le  même  que  le 
précédent. 

Pour  donner  un  exemple  de  ce  calcul  nous  ferons  usage 
de  la  valeur  particulière  qui  nous  a  servi  à  former  l'inté- 
grale exponentielle. 

Reprenant  donc  l'équation  -j-  =  -^—^  (i),  nous  don- 

nerons à  v  la  valeur  très-simple  c  cos.  Ji  œ,  cjui   satis- 

fait évidemment  à  l'équation  différentielle  [h).  En  effet,  on 

en  tire  -,- =:  —  iv  v  et  -?—:=:  —  Jf  v.  Donc  l'intéfifrale 

nt  dx-  ° 


/ 


,  Tût 

an  e  cos.  nx 


convient  aussi  à  l'équation  (ô);  car  cette  valeur  de  v  est 
formée  de  la  somme  d'une  infinité  de  valeurs  particulières. 
Or,  l'intégrale 


CHAPITRE  IX.  475 


J 


,         —n't 
dji  e  COS.   71 X 


est  connue,  et  l'on  sait  qu'elle  équivaut  a     ,-      -■.    (  Voyez 

l'article  suivant.)  Cette  dernière  fonction  de  x  et  t  convient 
donc  aussi  avec  l'équation  diftérentielle  {b).  Il  est  d'ailleurs 
très -facile  de  reconnaître  immédiatement  que  la  valeur  par- 

ticulière  satisfait  à  l'équation  dont  il  s'agit. 

Ce  même  résultat  aura  lieu  si  l'on  remplace  la  variable  x 
par  X  —  a,  a  étant  une  constante  quelconque.  Ou  peut  donc 

employer  comme  valeur  particulière  la  fonction 


1/7      ' 
dans  lacjuelle  on  attribue  à  a  une  valeur  quelconque.  Par  consé- 

u-a.y 

quentlasomme/^aya— ^— — = satisfait  aussi  à   l'équation 

différentielle  ib)  ;  car  cette  somme  se  compose  d'une  infinité 
de  valeurs  particulières  de  la  même  forme,  multipliées  par 
des  constantes  arbitraires.  Donc  on  peut  prendre  pour  va- 
leur de  V  dans  l'équation  -7-  =  -t— 7  celle  -  ci  : 


v=  fcU/ci.A- 


kt 


l/' 


A  étant  un  coefficient  constant.  Si  dans  cette  dernière  inté- 
grale on  suppose  —   '*'-  =  q\  en  faisant  aussi  A:^— — =,  on 

60. 


476  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

o 

aura      ^=y  r/a/«.  e^^^^  (0 

ou  'v=--^  I  dq  e      '^  /{œ  +  2. q [^'t).  (l)  On  voit 

par -là  comment  l'emploi  des  valeurs  particulières 


e  COS.  nx       ou 


1/7 

conduit  à  l'intégrale  sous  forme  finie. 

375. 
La  relation  qu'ont  entre  elles  ces  deux  valeurs  particulières, 
se  découvre  lorsqu'on  détermine  l'intégrale 

+  i 

r,         -—n't 

t  an  e  cos.  nx. 

Pour  effectuer  l'intégration,  on  pourrait  développer  le  fac- 
teur cos.  nx,  et  intégrer  par  rapport  à  n.  On  obtient  ainsi 
une  séi'ie  qui  représente  un  développement  connu;  mais  on 
déduit  plus   facilement   ce    résultat  de   l'analyse   suivante. 

L'intégrale  l  dn  e     "'     cos,  nx  se  rapporte  à  celle-ci: 

/  dp  e     ^  cos.  2.p  u  ; 
en  supposant  n^t=^p'  et  nx  =  2.pu.  On  a  ainsi 

/  dn  e  cos.  nx^—7^  j  dp  e     ^  cos.  2.pu. 

I  ^__  2_ 

On  écrira  maintenant 


CHAPITRE  IX.  477 

j  dp  e    ^  cos.2pu=-  j  dp  e     ^        ^  ~^     I    P  ^ 

=yjdp  .-P'+^P^^^'-^"-'  +  \^~''j<ip  e-/'^-^^«'/~+"' 

Or  chacune  des  intégrales  qui  entrent  dans  ces  deux  termes 
équivaut  à  \y%.  En  effet,  on  a  en  général         ■:  .   i,     ,..,, 

+^  ;■-         ■    .    . 

.y   :  -,         Vyr.=  fdqe-'J\        '    - -^  •.;:i>a.    ;• 

*-  . 

et  par  conséquent      ,,  ^.,j         .  .        :,       .    _    ,--^,:/i  •\:scPi 

quelle  que  soit  la  constante  b.  On  trouve  donc,  en  faisant 
b=zfu\y^,    I  dp  c~^  COS.  2 pii=e    "'  [^îz  ,  ";•; 

—  rr  t  e  V-r. 


jdn 


donc  I  dn  e  cos.  na: 


0:'  :,..:a  no  ;!-;r;:n^tXjîJ:Uîicl 


et  mettant  pour  u  sa  valeiu'  — -^,  on  aura 


nn   anra 


rj        —n't  e     4f  ^ 

I  an  c  COS. /ix= — — k -- . 


^cnr.qx^  ;.;."i;  - 1  î-   JiJ'iq  <r  no.îOuoi  -oi  -^j'jp  n!  ah  lijJà  iï 


478  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 


Au  reste  la  valeur  particulière  .  ^  ■  est  assez  simple  pour 
qu'elle  se  présente  immédiatement  sans  qu'il  soit  nécessaire 
de  la  déduire  de  celle-ci  e  cos.  «j:.  Quoi  qu'il  en  soit, 


4f 


il  est  certain  que  la  fonction  satisfait  a  l'équation  dif- 

férentielle -j^=.-j-^,  ;  il  en  est  de  même  par  conséquent  de 


[\t 


la  fonction  — -^ — ,  quelle  que  soit  la  c^uantité  a. 

376. 
Pour  passer  au  cas  des  trois  dimensions,  il  suffit  de  mul- 

—{x-a.y 

tiplier  la  fonction  en  x  el  t^  ^ — -7= —  par  deux  autres  fonc- 
tions semblables  l'une  en  y  et  t;  le  produit  doit  évidem- 

.    „  .  <      1)  ?  •  dv         d^  V        d'  V        d' v      f-^ 

ment   satisfaire    a    1  équation   -^  =  -j^  +  -j—  +  -^^  •    Un 
prendra  donc  pour  v  la  valeur  ainsi  exprimée 

-(■r-«)'      -(/--g)'      -('-7)' 
e       ht         e       ht  g      ht 

V  — 


Si  maintenant  on  multiplie  le  second  membre  par  da.,dQ,,  d-^, 
et  par  une  fonction  quelconque /(a,  p,  7)  des  quantités  a,lî,y, 
on  trouvera,  en  indiquant  l'intégration,  une  valeur  de  v 
formée  de  la  somme  d'une  infinité  de  valeurs  particulières 
multipliées  par  des  constantes  arbitraires. 

Il  suit  de  là  que  la  fonction  v  peut  être  ainsi  exprimée  : 


CHAPITRE  IX.  AjQ 

+  i      +1      ^_i.  ((a-3)'  +  (3-^)'4-(Y-^:)') 

-i  ~i  -^  (./) 

Cette  équation  contient  l'intégrale  générale  de  la  proposée 
(A)  :  le  procédé  qui  nous  a  conduit  à  cette  intégrale  doit 
être  remarqué  par  ce  qu'il  s'applique  aux  cas  les  plus 
variés;  il  est  principalement  utile  lorsque  l'intégrale  doit 
satisfiùre  à  des  conditions  relatives  à  la  surface.  En  l'exami- 
nant avec  attention  on  reconnaîtra  que  les  transformations 
qu'il  exige  sont  toutes  indiquées  par  la  nature  physique  de 
la  question.  On  peut  aussi,  dans  l'équation  (/),  changer 
d'indéterminées,  en  prenant 

on  aura ,  en  multiphant  le  second  membre  par  un  coefficient 
constant  A,  .^    ..-."'  j  [\  -^vr'  ^-'iJ'  ,:  ■.  h  r  >  ^(j;  oîn-ii: 

=  2'!' A  fdn  fdp  fdq  e~^"'"^^''"*"'^V(a;+  2/M/^,  j+i/^î^?!''  z+ 2  q  1/7) 

Prenant  les  trois  intécrales  entre  les  limites et   +  -,  et 

faisant  f  =  o  afin  de  connaître  l'état  initial,  on  trouvera 
i)  =  2\Al/'^y(a;,  j,  ;:).  Ainsi,  en  représentant  les  tempé- 
ratures initiales  connues  par  l^{x,y,  s),  et  donnant  à   la 

constante  A  la  valeur    ,        ,  on  parviendra  à  l'intégrale     _, 

4-jL    +1     +1  -jy  .  û  f  :.)  f  ,'I    .;;t"[,-.. 

v^=7:~~  j dn  j dp  (dq  e^"^  .e~~^  .e~^  F(x+2n\yi, y+apl^j,  z+^ql^l) 

III 

o  o  o  ■  I      '         ,  i  *  1  ■'     '    ■  ' 

qui  est  la  même  que  celle  de  l'article  (^ya),^  .      ,^^        ,  ., 


OJ 


48o  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

L'intégrale  de  l'équation  (A)  peut  être  mise  sous  plusieurs 
autres  formes  parmi  lesquelles  on  choisit  celle  qui  convient 
le  mieux  à  la  question  que  l'on  se  propose  de  résoudre. 

Il  faut  observer  en  général,  dans  ces  recherches,  que  deux 
fonctions  (^(x,y,  z,  t)  sont  les  mêmes  lorsqu'elles  satisfont 
l'une  et  l'autre  à  l'équation  différentielle  (A),  et  lorsqu'elles 
sont  égales  pour  une  valeur  déterminée  du  temps.  Il  suit  de 
ce  principe  que  les  intégrales  ,  qui  se  réduisent,  lorsque  j  fait 
if=o,  à  une  fonction  arbitraire  F(x,j;z}^  ont  toutes  le 
même  degré  de  généralité  ;  elles  sont  nécessairement  iden- 
ticjues. 

Le  second   membre  de  l'équation  difféi^entielle  (a)  était 

K 
multiplié  par  j^-^,  et  l'on  a  supposé  dans  l'équation  (/>)  ce 

coefficient  égal  à  l'unité.  Il  suffira,  pour  rétablir  cette  quan- 
tité  dans  le  calcul,  d'écrire  ^-^  au  lieu  de  t,  dans  l'inté- 
grale (Ot  ou  dans  l'intégrale  (I).  Nous  indiquerons  mainte- 
nant quelques-unes  des  conséquences  que  l'on  déduit  de 
ces  équations. 

377. 

La  fonction  qui  sert  d'exposant  au  nombre  e,  ne  peut 

représenter  qu'un  nombre  absolu ,  ce  qui  suit  des  principes 

généraux  du  calcul ,  comme  on  l'a  prouvé  explicitement  dans 

la  section  IX  du  chapitre  II  page  i5a.  Si  dans  cet  exposant 

on  remplace  l'indéterminée  t  par  ^-q,  on  voit  que  les  dimen- 
sions de  K,C,D   et  t,par  rapport  à  l'unité  de  longueur 

K  t 
étant  — 1,0,  —  3  et  o,  la  dimension  du  dénominateur  ^-j^ 

est  2  comme  celle  de  chacpie  terme  du  numérateur,  en  sorte 
que  la  dimension  totale  de  l'exposant  est  o.  considérons  le 


CHAPITRE  IX.  48i 

cas  où  la  valeur  du  temps  t  augmente  de  plus  en  plus,  et 
pour  simplifier  cet  examen,  employons  d'abord  1  équation 

—  (a-.r)'  / 


■4   ' 

V  =  ( d 'Z  frx.  ,-    y-  .  (i) 


qui  repiësente  la  diffusion  de  la  chaleur  dans  une  ligne  in- 
finie. Supposons  que  la  chaleur  initiale  est  contenue  dans 
une  portion  donnée  de  la  ligne,  depuis  a'  =  —  h  jusqu'à 
x=  -\-g,  et  que  l'on  attribue  à  x  luie  valeur  déterminée  X, 
qui  fixe  la  position  d'un  certain  point  m  de  cette  ligne.  Si 

le  temps  t  croît  sans  limite,  les  termes  -^  et  +   t^i—  qui 

entrent  dans  l'exposant  deviendront  des  nombres  absolus 
de  plus  en  plus  petits,  en  sorte  que,  dans  le  produit 

x''       2a^  a' 


^t    ^    At    ^       4t' 


e      ^   .  e   ^     e 


On  pourra  omettre  les  deux  derniers  facteurs  qui  se  confon- 
dent sensiblement  avec  l'unité.  On  trouvei'a  ainsi, 


v  = 


,    ht      /' 

't^-t-  \clci.  fx..    .,     .    (  r) 


C'est  l'expression  de  l'état  variable  de  la  ligne  après  un 
temps  très-long;  elle  s'applique  à  toutes  les  parties  de  cette 
ligne  qui  sont  moins  éloignées  de  l'origine  que  le  point  ni. 

L'intégrale  définie  /r/aya  désigne   la  quantité  de  chaleur 

~/i 
totale  B  contenue  dans  le  solide,  et  l'on  voit  que  la  distri- 
bution primitive  n'a  plus  d'influence,  sur  les  températures 

Dt 


482  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

après  tin  temps  très -long.  Elles  ne  dépendent  plus  que  de 
la  somme  B,  et  non  de  la  loi  suivant  laquelle  la  chaleur  a 
été  répartie. 

Si  l'on  suppose  qu'un  seul  élériient  u  placé  à  l'origine  a 
reçu  la  température  initialey^  et  c]ue  tous  les  autres  avaient 
la  température  o,le  produit  to/sera  équivalent  à  l'intégrale 
+  g 
idy.fa.  OU  B.    La  constante  Z' sera   extrêmement  grande. 


-h 


puisqu'on  suppose  la  ligne  w  très -petite. 


4' 


L'équation  1;=-— ^=^-7=  .wy  représente  le  mouvement  qui 

aurait  lieu,  si  un  seul  élément  placé  à  l'origine  eût  été 
échauffé.  En  effet,  si  l'on  donne  à  x  une  valeur  quelconque 

e  "  ~^' 

rt,  non  infiniment  petite,  la  fonction  — =-  sera  nulle  lors- 
qu'on supposera  f=o.  Il  n'en  sera  pas  de  même  si  la  valeur 

de  X  est  rjulle.  Dans  ce  cas  la  fonction  —j^-  reçoit  au   con- 

traire  une  valeur  infinie,  si  t=o.  On  connaîtra  distincte- 
ment la  nature  de  cette  fonction  ,  si  l'on  applique  les 
p4?incipes  généraux  de  la  théorie   des   surfaces    courbes  à 

la  surface  qui  aurait  pour  équation  z^^—~^. 

L'équation  'v  =  - — -  •^•./  exprime  donc  fa  tempéra- 
ture variable  d'un  point  quelconque  du  prisme,  lorsqu'on 
suppose  toiite  la  chaleur  initiale  réunie  dans  un  seul  élément 


CHAPITRE   IX.  483 

placé  à  l'origine.  Cette  hypothèse,  quoique  ]>articuhère , 
appartient  à  une  question  générale,  parce  qu'après  un  temps 
assez  long,  l'état  variable  du  solide  est  toujours  le  même 
que  si  la  chaleur  initiale  eût  été  rassemblée  à  l'origine.  La 
loi  suivant  laquelle  la  chaleur  a  été  distribuée,  influe  beau- 
coup sur  les  températures  variables  du  prisme;  mais  cet 
effet  s'af'fiiiblit  de  plus  en  plus,  et  linit  par  devenir  entière- 
ment insensible. 

iii  II  «st  nécessaire  de  remarquer  que  l'équation  réduite  {y) 
ne  s'applique  point  à  la  partie  de  la  ligne  qui  est  placée 
au-delà  du  point  m  dont  la  distance  a  été  désignée  par  X. 
En  effet,  quelque  grande  que  soit  la  valeur  de  temps,  on 

2  a  a' 

pourrait  choisir  une  valeur  de  oc  t;41e  que  le  terme  e  4' 
différât  sensiblement  de  l'unité,  et  alors  ce  facteur  ne  doit 
pas  être  supprimé.  Il  faut  donc  se  représenter  que  Ion  a 
marqué  de  part  et  d'autre  de  l'origine  o  deux  points ,  m  et 
m',  placés  à  une  certaine  distance  X  ou  — X,  et  que  l'on 
augmente  de  plus  en  plus  la  valeur  du  temps,  en  observant 
les  états  successifs  de  la  partie  de  la  ligne  qui  est  comprise 
entre  vi  et  m.  Cet  état  variable  convergera  de  plus  en  plus 
vers  celui  qui  est  exprimé  par  l'équation 

.  V  ■■■:i.    >  '  , 

-     -S'    ..     ,-ir\"- 

Quelle  que  soit  la  valeur  attribuée  à  X,  on  pourra  toujours 
trouver  une  valeur  du  temps  assez  grande  pour  que  l'état 
de  la    ligne   m    o  m   ne  diffère  pas   sensiblement  de  celui 

6i. 


484  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

qu'exprime  l'e'quation  précédente  (y).  Si  l'on  demande  que 
cette  même  équation  s'applique  à  d'autres  paities  plus 
éloignées  de  l'origine,  il  faudra  supposer  inie  valeur  du 
temps  plus  grande  que  la  précédente. 

L'équation  (7) ,  qui  exprime  dans  tous  les  cas  l'état 
final  d'une  ligne  quelconque,  fait  voir  qu'après  un  temps 
extrêmement  long ,  les  divers  points  acquièrent  des  tempé- 
ratures presqu'égales ,  et  que  les  températures  d'un  même 
point  finissent  par  varier,  en  raison  inverse  de  la  racine 
quarrée  des  temps  écoulés  depuis  le  commencement  de  la 
diffusion.  Les  décroisscments  de  la  température  d'un  point 
quelconque  deviennent  toujours  proportionnels  aux  accrois- 
sements du  temps. 

38o. 
Si  l'on  faisait  usage  de  l'intégrale 

fd  13.  f  a..e       4  '^^  ,  ,  . , 

T  =   I  "^ = -^ = (  l  I 

pour  connaître  l'état  variable  des  points  de  la  ligne  placés 
à  une  grande  distance  de  la  portion  échauffée,  et  que,  pour 
exprimer  cette  dernière  condition,  on  supprimât  encore  le 

facteur  e  ,  les  conséquences  que  Ton  "obtiendrait 

ne  seraient  pas  exactes.  En  effet,  en  supposant  que  la  por- 
tion échauffée  s'étende  seulement  depuis  a  =  o  jusqu'à  a.^=g 
et  que  la  limite  g  soit  très -petite  par  rapport  à  la  distance 
X  du   point   dont   on   veut  déterminer  la  température;  la 

cpiantité  — ■    ^  ^ ■    qui  forme  l'exposant  se  i^éduit  en  effet 


CHAPITRE  IX.  485 

à  -ri—',  c'est-à-dire  que  la  raison  des  deux  quantités 


4^t 


^  '      et 


\kt  4  A-t 


approche  d'autant  plus  de  l'unité  que  la  valeur  de  ce  est 
plus  grande  par  rapport  à  celle  de  a  :  mais  il  ne  s'ensuit 
pas  que  l'on  puisse  remplacer  l'une  de  ces  quantités  par 
l'autre  dans  l'exposant  de  e.  En  général  l'omission  des  termes 
subordonnés  ne  peut  point  avoir  lieu  ainsi  dans  les  expres- 
sions exponentielles  ou  trigonométriques.  Les  quantités 
placées  sous  les  signes  de  sinus  ou  de  cosinus,  ou  sous  le 
signe  exponentiel  e  sont  toujours  des  nombres  absolus,  et 
l'on  ne  peut  omettre  que  les  parties  de  ces  nombres,  dont 
la  valeur  est  extrêmement  petite;  leurs  valeurs  relatives  ne 
sont  ici  d'aucune  considération.  Pour  juger  si  l'on  peut 
réduire  l'expression 

g  -(g— r)'  ^:£'    g 

I  da  fx  e     "*    '         à  celle-ci    e     '    /  cla.fa.^ 

o  o  _ 

il  ne  faut  pas  examiner  si  le  rapport  de  a:  à  a  est  très-grand , 
mais  si  les  termes    ^"-^  .      IJL  sont  des  nombres  très-petits. 

4  /  f  '        4  /  «  ^ 

Cette  condition  a  toujours  lieu  lorsque  le  temps  écoulé  t 
est  extrêmement  grand  ;  mais  elle  ne  dépend  point  du  rap- 

port    • 

38i. 
Supposons  maintenant  que  l'on  veuille  connaître  combien  il 
doit  s'écouler  de  temps  pour  que  les  températures  de  la  partie 


486  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

du    solide,  comprise  depuis  ,a;=o  jusqu'à  a^  =  X,  puissent 
être  représentées  à  très-peu  pi'ès  par  l'équation  réduite 


e 


J  d<^/x. 


2    1/™  l/X  Vt 

—  h 

et  que  o  et  soient  g\,  les  limites  de  la  portion  primitivement 
échauffée. 

La  solution  exacte  est  donnée  par  l'équation 

O 

et  la  solution  approchée  est  donnée  par  l'équation 

rjf  du/ce;       (y) 


TT7  ? 


V- 


2  1/itI//  V/( 

O 


k  désignant  la  valeur  -çryi   de   la    conducibilité.     Pour    que 
l'équation ,(/)  puisse  être  en  généi^al  substituée  à  la  précé- 


2  7.  T «■ 


dente  («"),  il  faut  que  le  facteur  e     A-^f    ^  qui  est  celui  que 

l'on  omet,  diffère  très -peu  de  l'unité;  car  s'il  était   i  ou  - 

on  pourrait  craindre  de  commettre  une  erreur  égale  à  la 
valeur  calculée,  ou  à  la  moitié  de  cette  valeur.  Soit  donc 


2  a.r- 


e    '*  ^^    =i+w,w  étant  une  petite  fraction,  comme  7-^  ou 
--tVt  on  en  conclura  la  condition 


CHAPITRE   IX.  487 

■xixx — a"  ^        1  /aa.r  —  a'\ 

— 7-1 =:co  OU  ^=-(   7-i 1, 

^  kt  (a\       4  /et      J  ^ 

et  si  la  plus  grande  valeur  ^  que  puisse  recevoir  la  variable  a 
est  très -petite  par  rapport  h  jc ,  on  aura  /^=    A^, 

On  voit  par  ce  résultat  c|ue  plus  les  points  dont  on  veut 
déterminer  la  température  au  moyen  de  l'équation  réduite, 
sont  éloignés  de  l'origine,  plus  il  est  nécessaire  que  la  valeur 
du  temps  écoulé  soit  grande.  Ainsi  la  chaleur  tend  de  plus 
en  plus  à  se  distribuer  suivant  une  loi  indépendante  de 
réchauffement  primitif.  Après  un  certain  temps,  la  diffusion 
est  sensiblement  opérée,  c'ést-à-dire  que  l'état  du  solide  ne 
dépend  plus  que  de  la  quantité  de  la  chaleur  initiale,  et  non 
de  la  distribution  qui  en  avait  été  faite.  Les  températures 
des  points  assez  voisins  de  l'origine  ne  tardent  pas  à  être 
représentées  sans  erreur  par  l'équation  réduite  (j):  mais 
il  n'en  est  pas  de  même  des  points  très -distants  de  ce  foyer. 
On  ne  peut  alors  faire  usage  de  la  même  équation  que  si  le 
temps  écoulé  est  extrêmement  long.  Les  applications  numé- 
riques rendront  cette  remarque  plus  sensible. 

382. 

Supposons  que  la  substance  dont  le  prisme  est  formé,  est 
le  fer,  et  que  la  portion  de  ce  solide  cjui  a  été  échauffée  a 
un  décimètre  d'étendue,  en  sorte  que  g-=o,i.  Si  Ion 
veut  connaître  quelle  sera,  après  un  temps  donné,  la  tem- 
pérature d'un  point  m  dont  la  distance  à  l'origine  est  un 
mètre,  et  si  l'on  emploie  pour  ce  calcul  l'intégrale  appro- 
chée (r),  ou  commettra  une  erreur  d'autant  plus  grande 
que  la  valeur  du  temps  sera  moindre.  Cette  erreur  sera  plus 


488  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

petite  que  la  centième  partie  de  la  quantité  eherche'e ,  si  le 
temps  écoulé  surpasse  trois  jours  et  demi. 

Dans  ce  cas  la  distance  comprise  entre  l'origine  o  et  le 
point  m  dont  on  détermine  la  température ,  est  seulement 
dix  fois  plus  grande  que  la  portion  échauffée.  Si  ce  rapport 
est  cent  au  lieu  d'être  dix,  l'intégrale  réduite  [y)  donnera 
la  température  à  moins  d'un  centième  près,  lorsque  la  valeur 
du  temps  écoulé  surpassera  un  mois.  Pour  que  l'approxima- 
tion soit  admissible,  il  est  nécessaire,  en  général,  i**  que  la 

quantité     "' .  7'"'    ne  puisse  équivaloir  qu'à  une  très  -  petite 

fraction  comme  -^^  ou  ^h  au  plus  ;  2°  que  l'erreur  qui  en 
doit  résulter  ait  une  valeur  absolue  beaucoup  mpindre  que 
les  petites  quantités  que  l'on  observe  avec  les  thermomètres 
les  plus  sensibles. 

^  Lorsque  les  points  que  l'on  considère  sont  très  -  éloignés 
de  la  portion  du  solide  qui  a  été  primitivement  échauffée  , 
les  températures  qu'il  s'agit  de  déterminer  sont  extrêmement 
petites  ;  ainsi  l'erreur  que  1  on  commettrait  en  se  servant  de 
l'équation  réduite,  aurait  une  très-petite  valeur  absolue; 
mais  il  ne  s'ensuit  pas  cjue  l'on  soit  autorisé  à  faire  usage  de 
cette  équation.  Car  si  l'erreur  commise,  quoique  très-petite, 
surpasse  ou  égale  la  quantité  cherchée  ;  ou  même  si  elle  en 
est  la  moitié  ou  le  quart ,  ou  une  partie  notable ,  l'approxi- 
mation doit  être  rejetée.  Il  est  manifeste  que  dans  ce  cas 
l'équation  approchée  (  j)  n'exprimerait  point  l'état  du  solide, 
et  que  l'on  ne  pourrait  point  s'en  servir  pour  déterminer 
les  rapports  des  températures  simultanées  de  deux  ou- plu- 
sieurs points. 


CHAPITRE  IX.  489 

383. 
Il  suit  de  cet  examen  que  l'on  ne  doit  point  conclure  de 

g  — jai  —  xy 

l'intégrale  v= — ^-  ".-    ._  l  dx  fa.  e  que   la   loi 

1\/  TxV^  k^  t  J  ''  1 


-&' 


de  la  distribution  primitive  n'influe  pas  sur  la  température 
des  points  très-éloignés  de  l'origine.  L'effet  résultant  de  cette 
distribution  cesse  bientôt  d'avoir  lieu  pour  les  points  voisins 
de  la  portion  échauffée  ;  c'est-à-dire  que  leur  température  ne 
dépend  plus  que  de  la  quantité  de  chaleur  initiale ,  et  non  de 
la  répartition  qui  en  avait  été  faite  :  mais  la  grandeur  de  la 
distance  ne  concourt  point  à  eftacer  l'empreinte  de  la  distri- 
bution, elle  la  conserve  au  contraire  pendant  un  très-long 
temps  et  retarde  la  diffusion  de  la  chaleur.  Ainsi  l'équation 


4  /f 


1/71  V■^l^  ktj  -^ 


ne  l'eprésente  les  températures  des  points  extrêmement 
éloignés  de  la  partie  échauffée ,  qu'après  un  temps  immense. 
Si  on  l'appliquait  sans  cette  condition,  on  trouverait  des 
résultats  doubles  ou  triples  des  véritables  ou  même  incom- 
parablement plus  grands  ou  plus  petits  ;  et  cela  n'aurait  pas 
lieu  seulement  pour  des  valeurs  très-petites  du  temps  ;  mais 
pour  de  grandes  valeurs ,  telles  que,  une  heure,  un  jour, 
une  année.  Enfin  cette  expression  serait  d'autant  moins 
exacte,  toutes  choses  égales  d'ailleurs,  que  les  points  seraient 
plus  éloignés  de  la  partie  primitivement  échauffée. 


490  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

384. 
Lorsque  la  diffusion  de  la  chaleur  s'opère  dans  tous  les 
sens ,  l'état  du  solide  est  représenté  comme  on  l'a  vu  par 


l'intégrale 


-IfM 


vn^iz^ 


Si  la  chaleur  initiale  est  contenue  dans  une  portion  déter- 
minée de  la  masse  solide ,  on  connaîtra  les  limites  qui  com- 
prennent cette  partie  échauffée,  et  les  quantités  a,  p,  y,  qui 
varient  sous  le  signe  intégral ,  ne  pourront  point  recevoir 
de  valeurs  qui  excèdent  ces  limites.  Supposons  donc  que 
l'on  marque  sur  les  trois  axes  six  points  dont  les  distances 
sont  +  X,  +  Y,  +  Z,  et  — X,  — Y,  — Z,  et  que  l'on  con- 
sidère les  états  successifs  du  solide  compris  entre  les  six 
plans  qui  passent  à  ces  distances  ;  on  voit  que  l'exposant  de 

e ,  sous  le  signe  d'intégration  ,  se  réduit  à  —  (  ' j-j- j , 

lorsque  la  valeur  du  temps  écoulé  augmente  sans  borne.  En 

effet ,  les  termes  tels  que  -r-r-    et   -r-j-  reçoivent  dans  ce 

cas  des  valeurs  absolues  très-petites ,  parce  que  les  numéra- 
teurs sont  compris  entre  des  limites  fixes,  et  c[ue  les  déno- 
minateurs croissent  à  l'infini.  Ainsi  les  fiicteurs  que  l'on 
omet  diffèrent  extrêmement  peu  de  l'unité.  Donc  l'état  va- 
riable du  solide,  après  une  grande  valeur  du  temps,  a  pour 
expression 


(/) 


CHAPITRE  IX.  491 

Le  facteur  /  d  %  i  r/ [î  /  '^/y/'(«i  P,  y)  représente  la  quantité 

totale  de  chaleur  B  que  le  solide  contient.  Ainsi  le  système 
des  températures  ne  dépend  point  de  la  distribution  de  la 
chaleur  initiale ,  mais  seulement  de  sa  quantité.  On  pourrait 
supposer  que  toute  la  chaleur  initiale  était  contenue  dans  un 
seul  élément  prismatique  placé  à  l'origine,  et  dont  les  dimen- 
sions,orthogonales  et  extrêmement  petites  seraient  w,,(o,,(oj. 
La  température  initiale  de  cet  élément  serait  désignée  par 
un  nombre  extrêmement  grand  y,  et  toutes  les  autres  molé- 
cules du  solide  auraient  une  température  initiale  nulle.  Le 
produit  (0,  (0,  C03  _/ équivaut  dans  ce  cas  à  l'intégrale 


j  cUjd^jd^f{^,<^,^). 


Quelque  soit  réchauffement  initial ,  l'état  du  solide  qui  cor- 
respond à  une  valeur  du  temps  très -grande,  est  le  même 
que  si  toute  la  chaleur  avait  été  réunie  dans  un  seul  élément 

placé  à  l'origine. 

385. 

Supposons  maintenant  que  l'on  ne  considère  que  les 
points  du  solide  dont  la  distance  à  l'origine  est  très -grande 
par  rapport  aux  dimensions  de  la  partie  échauffée;  on  pour- 
rait d'abord  penser  que  cette  condition  suffit  pour  réduire 
l'exposant  de  e  dans  l'intégrale  générale.  En  effet  cet  expo- 
sant  est  -  ^(g-^)' +  (p-j-) +(-/-. )-^^.  ^^  j^^  variables 

a,  p,  Y  sont,  par  hypothèse,  comprises  entre  des  limites 
déterminées ,  en  sorte  que  leurs  valeurs  sont  toujours  extrê- 
mement petites ,  par  rapport  à  la  plus  grande  coordonnée 
d'un  point  très-éloigné  de  l'origine.  Il  suit  de  là  que  l'expo- 
sant de  e  se  compose  de  tleux  parties  M  -i-  ;/. ,  dont  l'une  est 

(h.. 


492  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

très- petite  par  rapport  à  l'autre.  Mais  de  ce  que  le  rapport 
^  est  une  très-petite  fraction ,  on  ne  peut  pas  conclure  que 

l'exponentielle  e  '''  devienne  égale  à  e  ,ou  n'en  diffère 
cpie  d'une  quantité  très  -  petite  par  rapport  à  sa  propre  va- 
leur. Il  ne  fiiut  point  considérer  les  valeurs  relatives  de  M 
et  pi,  mais  seulement  la  valeur  absolue  de  \j..  Pour  que  l'on 
puisse  réduire  l'intégrale  exacte  (y)  à  l'équation 


v='e, 


e  4^f 


il   est  nécessaire  que  la  quantité 

2  aa:+  2  Pj4-3  yz — g' — p' — y' 

dont  la  dimension  est  o,  soit  toujours  un  nombre  fort  petit. 
Si  l'on  suppose  que  la  distance  de  l'origine  au  point  m  dont 
on  veut  déterminer  la  température  est  très -grande  par 
rapport  à  l'étendue  de  la  partie  qui  a  été  d'abord  échauf- 
fée, on  examinera  si  la  quantité  précédente  est  toujours 
une  très -petite  fraction  to.  Il  faut  que  cette  condition 
soit    satisfaite  ,    pour    que     l'on    puisse    employer    l'inté- 


& 


grale  approchée  'v=B2~^7u  '  k  '  t  'ci  ^'^  :  mais 
cette  équation  ne  représente  point  l'état  variable  de  la  partie 
de  la  masse  qui  est  très-distante  du  foyer.  Elle  donne  au  con- 
traire un  résultat  d'autant  moins  exact,  toutes  choses  d'ail- 


-     CHAPITRE  IX.  49fî 

leurs  égales,  que  les  points  dont   on  détermine  la  tempé- 
rature sont  plus  éloignés  du  foyer. 

La  chaleur  initiale  contenue  dans  une  portion  déterminée 
de  la  masse  solide  pénètre  successivement  les  parties  voi- 
sines ,  et  se  répand  dans  tous  les  sens  ;  il  n'en  parvient 
qu'une  quantité  extrêmement  petite  aux  points  dont  la  dis- 
tance à  l'origine  est  très -grande.  Lorsqu'on  exprime  par 
l'analyse  la  température  de  ces  points,  l'objet  du  calcul  n'est 
pas  de  déterminer  en  nombre  ces  températures ,  qui  ne  sont 
point  mesurables ,  mais  de  connaître  leurs  rapports.  Or  ces 
quantités  dépendent  certainement  de  la  loi  suivant  laquelle 
la  chaleur  initiale  a  été  distribuée,  et  l'effet  de  cette  réparti- 
tion initiale  dure  d'autant  plus  que  les  parties  du  prisme 
sont  plus  éloignées  du  foyer.  Mais  si  les  termes  qui  font 

partie  de  l'exposant,  tels  c[ue  YYt  ^^  HT  ^^^  ^^^  valeurs 
absolues  qui  décroissent  sans  limite,  on  doit  employer  les 
intégrales  approchées. 

Cette  condition  a  lieu  dans  les  questions  où  l'on  se 
propose  de  déterminer  les  plus  hautes  températures  des 
points  très-éloignés  de  l'origine.  En  effet  on  peut  démon- 
trer que  dans  ce  cas  les  valeurs  du  temps  croissent  dans 
un  plus  grand  rapport  que  les  distances ,  et  qu'elles  sont 
proportionnelles  au  quarré  de  ces  distances  ,  lorsque  les 
points  que  l'on  considère  sont  très-éloignés  de  l'origine. 
Ce  n'est  qu'après  avoir  établi  cette  proposition  qu'on  peut 
opérer  la  réduction  sous  l'exposant.  Les  questions  de  ce 
genre  seront  l'objet  de  la  section  suivante. 


494  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

SECTION   IIL 

Des  plus  hautes  températures  dans  un  solide  infini. 

386. 

Nous  considérerons  en  premier  lieu  le  mouvement  linéaire 
dans  une  barre  infinie,  dont  une  portion  a  été  uniformé- 
ment échauffée ,  et  nous  chercherons  quelle  doit  être  la  va- 
leur du  temps  écoulé  pour  qu'un  point  donné  de  cette  ligne 
parvienne  à  sa  plus  haute  température. 

On  désignera  par  2  g  l'étendue  de  la  partie  échauffée  dont 
le  milieu  correspond  avec  l'origine  o  des  distances  x.  Tous 
les  points  dont  la  distance  à  l'axe  des  y  est  moindre  que  g , 
et  plus  grande  que  — g,  ont  par  hypothèse  une  tempéra- 
ture initiale  communey,  et  toutes  les  autres  tranches  ont 
la  température  initiale  o.  On  suppose  qu'il  ne  se -fait  à  la 
surface  extérieure  du  prisme  aucune  déperdition  de  chaleur, 
ou,  ce  qui  est  la  même  chose,  on  attribue  à  la  section  per- 
pendiculaire à  l'axe  des  dimensions  infinies.  Il  s'agit  de  con- 
naître quel  sera  pour  un  point  donné,  dont  la  distance  est  x, 
le  temps  t  qui  répond  au  maximum  de  température. 

On  a  vu  ,  clans  les  articles  précédents ,  que  la  température 
variable  d'un  point  quelconque  est  exprimée  par  l'équation 


V-. 


2  1/^1/ 


Y^dafa 


4kt 


Le  coefficient  k  représente  jr-n  ,   K  étant    la    conducibilité 
spécifique,  C  la  capacité  de  chaleur,  et  D  la  densité.  On  fera 


CHAPITRE  rx.  495 

k  =  i  pour  simplifier  le  calcul ,  et  dans  le  résultat  on  écrira 
k  t  ou  -^r-F^  ^^  lie'-'-  ^^  t'  L'expression  de  v  est  donc 

y= — -^  ~  I  da  e 
2  l/,t  v^tj 


Elle  est  l'intéerale  de  l'équation  -7-  =z-j-^.  La  fonction  ~ 
mesure  la  vitesse  avec  laquelle  la  chaleur  s'écoule  suivant 
l'axe  du  prisme.  Or  cette  valeur  de  -r-  est  donnée  dans  la 

^  dx 

question  actuelle  sans  aucun  signe  d'intégrale.  On  a  en  effet 

—g 

ou  en  achevant  l'intégration 


dx      2i/;ïi/7(e       ^^        — e        4' 

387. 

La  fonction  ^— ^  peut  donc  aussi  êti'e  exprimée  sans  signe 

d'intégrale  ;  or  elle  équivaut  à  la  fluxion  du  premier  ordre 

-r-  ;  donc  en  égalant  à  zéro  cette  valeur  de  -7-  qui  mesure 

l'accroissement  instantané  de  la  température  d'un  point 
quelconque,  on  aura  la  relation  cherchée  entre  x  et  t.  On 
trouve  ainsi  '  '   '^'  '' 


496 

THEORIE 

DE  LA  CHALEUR. 

fi?'  V 

^       (- 

-2(.r+,^) 

4^ 

ht 

e              +2 

ix—s)          4^ 
4? 

> 

< 

dx^ 

2\/^l/FV 

c 

ce  qui 

donne 

(^  +  ê") 

e        4'       — 

--{x      g)  e 

4f 

-^)' 

f>n   pn 

conclut 

f  — 

^^ 

w/"±^^ 

On  a  supposé  ^^-^  :=:  I .  Pour  rétablir  le  coefficient ,  il  faut 

K  f 

écrire  ^t-pt  au  lieu  de  t  et  l'on  a 


Les  plus  hautes  températures  se  succèdent  suivant  la  loi 
exprimée  par  cette  équation.  Si  l'on  suppose  qu'elle  repré- 
sente le  mouvement  varié  d'un  corps  qui  décrit  une  ligne 
droite,  x  étant  l'espace  parcouru,  et  t  le  temps  écoulé,  la 
vitesse  du  mobile  sera  celle  du  maximum  de  température. 

Lorsque  la  quantité  §■  est  infiniment  petite ,  c'est  -  à  -  dire 
lorsque  toute  la  chaleur  initiale  est  réunie  dans  un  seul  élé- 
ment placé  à  l'origine ,  la  valeur  de  t  se  l'éduit  à  -  et  par  la 

différentiation  ou   le    développement   en   série ,  on   trouve 

K? x^ 

CD        2  ■ 

On  a  fait  abstraction  de  la  quantité  de  chaleur  qui  se  dis- 
sipe par  la  surface  du  prisme  ;  nous  allons  maintenant  avoir 
égai'd  à  cette  déperdition ,  et  nous  supposerons  que  la  cha- 


CHAPITRE   IX.  497 

leur  initiale  est  contenue  dans  un  seul  élément  de  la  barre 

prismatique  infinie. 

388. 

Dans  la  question  préce'dente  on  a  déterminé  l'état  variable 
d'un  prisme  infini  dont  une  portion  déterminée  était  affectée 
dans  tous  les  points  d'une  température  initiale/!  On  suppo- 
sait que  la  chaleur  initiale  était  distribuée  dans  une  éten- 
due infinie  depuis  x=o  jusqu'à  a;  =^.  On  suppose  main- 
tenant que  la  même  quantité  de  chaleur  hf  est  contenue 
dans    un    élément   infiniment   petit,  depuis  x^=^o  jusqu'à 

j?  =  w.  La  température  de  la  tranche  échauffée  sera  donc  — , 

et  il  résulte  de  ce  qui  a  été  dit  précédemment,  que  l'état 
variable  du  solide  sera  exprimé  par  l'équation 

-a;* 

f,b     eTî^t         —ht  ,    . 

K 

ce  résultat  a  lieu  lorsque  le  coefficient  p-|c  qui  entre  dans 

l'équation  différentielle  "j7=?wS"Tr^  —  ^^"^  y  ^st    désigné 

w  I 
par  k.  Quant  au  coefficient  h ,  il  équivaut  à  „  ^^  ^;  on  dési- 
gne par  S  l'aire  de  la  section  du  prisme ,  par  l  le  contour 
de    cette  section ,  et  par  H  la   conducibilité  de  la  surface 
extérieure.  En  substituant  ces  valeurs  dans  l'équation  {a)  on  a 

CD 

(A) 


/'représente  la  température  moyenne  initiale,  c'est-à-dire 

63 


~.T^ 

.—r               H./     . 

If    c 

Lht         — .  t 

CD. S 

^'.1/ 

l.\. 

498  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

celle  qu'aurait  un  seul  point,  si  l'on  distribuait  également 
la  chaleur  initiale  entre  tous  les  points  d'une  portion  de  la 
barre  dont  la  longueur  serait  h,  ou ,  plus  simplement ,  l'unité 
de  mesure.  Il  s'agit  de  déterminer  la  valeur  du  temps  écoulé 
t ,  qui  répond  au  maximum  de  température  d'un  point 
donné. 

Pour  résoudre  cette  question,  il  suffit  de  déduire  de  l'équa- 
tion [ci]  la  valeur  de  -j-  et  de  l'égaler  à  zéro,  on  aura 

dv  ,  Jî'  I    — I  I        ai  I        ^hk        fi^ 

donc  la  valeur  6 ,  du  temps  qui  doit  s'écouler  pour  que  le 
point  placé  à  la  distance  x  atteigne  sa  plus  haute  tempé- 
rature, est  exprimé  par  l'équation 

eA-= ;  (c) 

Pour  connaître  la  plus  haute  température  V ,  on  remar- 
quera que  l'exposant  de  e  '  dans  l'équation  (rt)  est 
h^  +  YT'    ^'   l'équation  {b)  donne  ht=^-^^  —  -;  donc 

h  t-^  -^  =  -^ et ,  mettant  pour  -  sa  valeur  connue , 

on  a  ht  +  -^  =  y/ i  +  !^ ^^ ;  substituant  cet  exposant  de 
e         dans  l'équation  (<?),  on  a 


V 


2  i/^        i//t  1/6 


CHAPITRE  IX.  499 

et  remplaçant  VO  par  sa  valeur  connue,  on  trouve,  pour 
l'expression  du  maximum  V 


V"-^^' 


■'■  "^         /,     v'  .)■ 


Les  équations  (c)  et  (d)  contiennent  la  solution  de  la  ques- 

H    ï  K 

tion  ;  on  remplacer    h  et  I;  par  leurs  valeurs      ^    ■  et  -tt-f^: 

on  peut  aussi  écrire  -§■  au  lieu  de  ^,  en  représentant  par  g 

la  demi-épaisseur  du  prisme  dont  la  base  est  un  quarré.  On 
aura,  pour  déterminer  V  et  9 ,  les  équations 


V  =  '^ .  ■- v/ .  +  Vli'--  + 1 .       m 


2l/x  ■ 


.r 


K^  4 

I  +  a 


,  /aH  I 


(C) 


^ 


Ces  équations  s'appliquent  au  mouvement  de  la  chaleur 
dans  une  barre  peu  épaisse,  dont  la  longueur  est  très-grande. 
On  suppose  que  le  milieu  de  ce  prisme  a  été  aflecte  d'une 
certaine  quantité  de  chaleur  b/"  qui  se  propage  jusqu'aux 
extrémités,  et  se  dissipe  par  la  surface  convexe.  V  désigne  le 
maximum  de  température  pour  le  point  dont  la  distance  au 
foyer  primitif  est  x;  6  est  le  temps  qui'  s'écoule  depuis  le 
commencement  de  la  diffusion  jusqu'à  l'instant  où  la  plus 
haute  température  V  a  lieu.  Les  coefficients   C,  H,  K,   D 


5oo  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

désignent  les  mêmes  propriétés  spécifiques  que  dans  les 
questions  précédentes,  et  ^^' est  le  demi-côté  du  qnarré  formé 
par  une  section  du  prisme. 

389. 

Si  l'on  veut  rendre  ces  résultats  plus  sensibles  par  une 
application  numérique,  on  supposera  que  la  substance  dont 
le  prisme  est  formé  est  le  fer,  et  que  le  côté  Q.g  du  quarré  est 
la  vingt-cinquième  partie  d'un  mètre. 

Nous  avons  mesuré  autrefois ,  par  nos  expériences ,  les  va- 
leurs de  H,  K;  celles  de  C  et  D  étaient  déjà  connues.  En 
prenant  le  mètre  pour  unité  de  longueur,  et  la  minute  sexa- 
gésimale pour  unité  de  temps,  et  employant  les  valeurs  ap- 
prochées de  H,  K,  CD,  "on  déterminera  les  valeurs  de  Y  et 
de  G  relatives  à  une  distance  donnée.  Pour  l'examen  des  con- 
séquences que  nous  avons  en  vue,  il  n'est  pas  nécessaire  de 
connaître  les  coefficients  avec  une  grande  précision. 

On  voit  d'abord  que  si  la   distance  x  est  d'environ    un 

mètre  et  demi  ou   deux  mètres,  le  terme  r- — ^\  Qui  entre 

sous  le  radical,  a  une  grande  valeur  par  rapport  au  second 

terme  7.   Le  rapport  de  ces  termes  est  d'autant  plus  grand 

que  la  distance  est  plus  grande. 

Ainsi  la  loi  des  plus  hautes  températuresi  devient  de  plus 
en  plus  simple,  à  mesure  que  la  chaleur  s'éloigne  de  l'ori- 
gine. Pour  déterminer  cette  loi  régulière  qui  s'établit  dans 
toute  l'étendue  de  la  barre,  il  faut  supposer  que  la  distance 
X  est  très-grande,  et  l'on  trouve. 


CHAPITRE   IX.  5oi 

390. 

On  voit  par  la  seconde  équation  que  le  temps  qui  répond 
au  maximum  de  température,  croît  proportionnellement  à 
la  distance.  Ainsi  la  vitesse  de  Fonde  (si  toutefois  on  peut 
appliquer  cette  expression  au  mouvement  dont  il  s'agit)  est 
constante ,  ou  plutôt  elle  le  devient  de  plus  en  plus ,  et  con- 
serve cette  propriété  en  s'éloignant  à  l'infini  de  l'origine  de 
la  chaleur. 

On  remarquera  aussi  dans  la  première  équation  que  la 

quantité /"e  ^  ^g  exprime  les  températures  perma- 
nentes que  prendraient  les  différents  points  de  la  barre,  si 
l'on  affectait  l'origine  d'une  température  fixe  f,  comme  on 
peut  le  voir  dans  le  chapitre  I ,  page  65. 

Il  faut  donc,  pour  se  représenter  la  valeur  de  V,  conce- 
voir que  toute  la  chaleur  initiale  que  le  foyer  contient,  est 
également  distribuée  dans  une  portion  de  la  bari-e  dont  la 
longueur  est  ^  ou  l'unité  de  mesure.  La  température/"  qui  en 
résulterait  pour  chaque  point  de  cette  portion ,  est  en  quel- 
que sorte  la  température  moyenne.  Si  l'on  supposait  que  la 
ti'anche  placée  à  l'origine  fût  retenue  pendant  un  temps 
infini  à  la  température  constante  f,  toutes  les  autres  tran- 
ches accjuerraient  des  températures  fixes  dont  l'expression 

générale  est  fe         ^   Kg,  en  désignant  par  x  la  distance 


5o2  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

de  la  tranche.  Ces  tempe'ratures  fixes  représentées  par  les 
ordonnées  d'une  logarithmique  sont  extrêmement  petites , 
lorsque  la  distance  est  un  peu  considérable;  elles  décrois- 
sent, comme  on  le  sait,  très-rapidement  à  mesure  que  l'on 
s'éloigne  de  l'origine.  Or  l'équation  (^)  fait  voir  que  ces  tem- 
pératures fixes ,  qui  sont  les  plus  hautes ,  que  chacjue  point 
puisse  acquérir,  surpassent  beaucoup  les  plus  hautes  tem- 
pératures qui  se  succèdent  pendant  la  diffusion  de  la  cha- 
leur. Pour  déterminer  ce  dernier  maximum ,  il  faut  calculer 
la  valeur  du  maximum  fixe,  la  multiplier  par  le  nombre 

constant  (  ^—  J  *      --- ,  et  diviser  par  la  racine  quarrée  de 

la  distance  x. 

Ainsi  les  plus  hautes  températures  se  succèdent  dans 
toute  l'étendue  de  la  ligne ,  comme  les  ordonnées  d'une  lo- 
garithmique divisées  par  les  racines  quarrées  des  abscisses, 
et  le  mouvement  de  l'onde  est  uniforme.  C'est  suivant  cette 
loi  générale  cpe  la  chaleur  réunie  un  un  seul  point  se 
propage  dans  le  sens  de  la  longueur  du  solide. 

391. 

Si  l'on  regardait  comme  nulle  la  conducibilité  de  la  sur- 
face extérieure  du  prisme,  ou  si  la  conducibilité  X  ou 
l'épaisseur  2. g  étaient  supposées  infinies,  on  obtiendrait  des 

2H 

résultats  très-différents.  On  omettrait  alors  le  terme  ^  x' , 

et  l'on  aui"ait 

.,,_       /         I  i^_l    ^ 

Dans  ce  cas  la  valeur  du  maximum  est  en  raison  inverse  de 


CHAPITRE  IX.  5o3 

la  distance.  Ainsi  le  mouvement  de  l'onde  ne  serait  point 
uniforme.  Il  faut  remarquer  que  cette  hypothèse  est  pure- 
ment théorique,  et  c|ue  si  la  conducibilité  H  n'est  pas  nulle, 
mais  seulement  une  quantité'  extrêmement  petite ,  la  vitesse 
de  l'onde  n'est  point  variable  dans  les  parties  du  prisme 
qui  sont  très -éloignées  de  l'origine.  En  effet,  quelque  pe- 
tite que  soit  la  valeur  de  H ,  si  cette  valeur  est  donnée  ainsi 
que  celles  de  K  et§;  et  si  l'on  suppose  que  la  distance  x  aug- 

TT 

mente  sans  limite,  le  terme  ^  ce"  deviendra  toujours  beau- 
coup plus  grand  que  -;.  Les  distances  peuvent  d'abord  être 

2j 

K, 


2  H 

assez  petites  pour  que  ce  terme  î=-^  x-  doive  être  conserve 


'o 


seul  sous  le  radical.  Alors  les  temps  sont  proportionnels  aux 
quarrés  des  distances  :  mais  à  mesure  que  la  chaleur  s'écoule 
dans  le  sens  de  la  longueur  infinie ,  la  loi  de  la  propagation 
s'altère ,  et  les  temps  deviennent  proportionnels  aux  dis- 
tances. La  loi  initiale,  c'est-à-dire  celle  qui  se  rapporte  aux 
points  extrêmement  voisins  du  foyer,  diffère  beaucoup  de 
la  loi  finale  qui  s'établit  dans  les  parties  très-éloignées,  et 
jusqu'à  l'infini  :  mais ,  dans  les  portions  intermédiaires ,  les 
plus  hautes  tempéi\atures  se  sviccèdent  suivant  une  loi  mixte, 
exprimée  par  les  deux  équations  précédentes  (D)  et  (C). 

392. 

Il  nous  reste  à  déterminer  les  plus  hautes  températures 
pour  le  cas  où  la  chaleur  se  propage  à  l'infini,  et  en  tout 
sens  dans  la  matière  solide.  Cette  recherche  ne  présente  au- 
cune difficulté  d'après  les  principes  que  nous  avons  établis. 

Lorsqu'une  portion  déterminée  d'un  solide  infini  a  été 
échauffée,  et  que  toutes  les  autres  parties  de  la  masse  ont  la 


5o4  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

température  initiale  o ,  la  chaleur  se  propage  dans  tous  les 
sens,  et  après  un  certain  temps  l'état  du  solide  est  le  même 
que  si  elle  avait  été  primitivement  réunie  dans  un  seul  point 
à  l'origine  des  coordonnées.  Le  temps  qui  doit  s'écouler 
pour  que  ce  dernier  effet  ait  lieu  est  extrêmement  grand , 
lorsque  les  points  de  la  masse  sont  très-éloignés  de  l'origine. 
Chacun  de  ces  derniers  points  qui  avait  d'abord  la  tempé- 
rature o  s'échauffe  insensiblement  ;  sa  température  acquiert 
ensuite  la  plus  grande  valeur  qu'elle  puisse  recevoir  ;  et  elle 
finit  par  diminuer  de  plus  en  plus,  jusqu'à  ce  qu'il  ne  reste 
dans  la  masse  aucune  chaleur  sensible.  L'état  variable  est  en 
général  représenté  par  l'équation 

v=.fdafdbfdc:'  ^i'_.i-il-.t^l-.f{a,b,c)  (E) 
les  intégrales  doivent  être  prises  entre  les  limites 

Les  limites  — a^,  -ha:,,  — b,,  -hb,,  — c,,  -i-c^,,  sont 
données  ;  elles  comprennent  toute  la  portion  du  solide  qui 
a  été  primitivement  échauffée.  La  fonction  y"(<7^  b,  c)  est 
aussi  donnée.  Elle  exprime  la  température  initiale  d'un  point 
dont  les  coordonnées  sont  a,  b,  c.  Les  intégrations  définies 
font  disparaître  les  variables  a ,  b,  c,  et  il  reste  pour  v  une 
fonction  de  x,  y,  z,  t,  et  des  constantes.  Pour  déterminer  le 
temps  0  qui  répond  au  maximum  àe  v ,  en  un  point  ni 
donné ,  il  faut  tirer  de  l'équation  précédente  la  valeur  de 

,   ,on  formera  ainsi  une  équation  qui  contient  6  et  les  coor- 


CHAPITRE   IX.  5o5 

données  du  point  m.  On  en  pourra  donc  déduire  la  valeur 
de  6.  Si  l'on  substitue  ensuite  cette  valeur  de  9  au  lieu  de  t 
dans  l'équation  (E),  on  connaîtra  la  valeur  de  la  plus  haute 
température  V  exprimée  en  x,y,  z  et  en  constantes. 
On  écrira  au  lieu  de  l'équation  (  E  ) 

v=  I da  I  db  j  de  V.J\a,h,c)^ 

en  désignant  par  P  le  produit  des  trois  fonctions  sembla- 
bles ,  on  aura  ensuite 

393. 
Il  faut  maintenant  appliquer  cette  dernière  expression 
aux  points  du  solide  qui  sont  très-éloignés  de  l'origine.  Un 
point  quelconque  de  la  portion  qui  contient  la  chaleur  ini- 
tiale, a  pour  coordonnées  les  variables  a ,  b,  c,  et  le  point 
m,  dont  on  veut  déterminer  la  température,  a  pour  coor- 
données X,  j,  z.  Le  quari'é  de  la  distance  de  ces  deux  points  , 
est  {a — xy+{b — ■/)'+(<? — zf  ;  et  cette  quantité  entre  comme 

facteur  dans  le  second  terme  de  -5-.  Or  le   point  m  étant 

très-éloigné  de  l'origine,  il  est  évident  que  sa  distance  A  à 
un  point  quelconque  de  la  poi-tion  échauffée ,  se  confond 
avec  la  distance  D  de  ce  même  point  à  l'origine  ;  c'est-à-dire 
que  le  point  m  s'éloignant  de  plus  en  plus  du  foyer  primitif 
qui  contient  l'origine  des  coordonnées,  la  dernière  raison 
des  distances  D  et  A  est  i.         ,  jf^-     .;?     ;  ; 

Il  suit  de  là  que  dans  l'équation  {e)  qui  donne  la  valeur 

64 


5o6  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

de  -r-  il  faut  remplacer  le  facteur  [a — x^-^-ih — j)'  +  (c — zf 

parx'4-j'  +  z%  ou  r^  en  désignant  par  r  la  distance  du 
point  m.  à  l'origine.  On  aura  donc 

dv  /  r»  3  \ 

K  / 

Si  l'on  met  pour  i»  sa  valeur,  et  si  l'on  remplace  t  par  -7-=:, 
afin  de  rétablir  le  coefficient  tt-y.-,  que  l'on  avait  supposé  égal 


a  I ,  on  aura 


Td' J  ^c.dM 


'.-V    -    i  >■' 


4(c:t)0  ^c1)M*      ^  ,  1/  K  M — /K^^) 


-KcTs) 


394. 

Ce  résultat  ne  convient  qu'aux  points  du  solide  dont  la  dis- 
tance à  l'origine  est  très-grande  par  rapport  à  la  plus  grande  di- 
mension du  foyer.  Il  faut  toujours  remarquer  avec  soin  qu'il  ne 
s'ensuit  pas  de  cette  condition  que  l'on  puisse  omettre  les 
variables  a,  b,  c  sous  le  signe  exponentiel.  On  doit  seule- 
ment les  omettre  hors  de  ce  signe.  Si  l'on  ne  faisait  point 
cette  distinction  on  pourrait  commettre  une  erreur  considé- 
rable. En  effet,  le  terme  qui  entre  sous  les  signes  d'inté- 
gration, et  qui  multiplie/"  (a,  è^  c)  est  le  produit  de  plu- 


CHAPITRE  IX.  m 

4 

sieurs  facteurs,  tels  que 


■a'  art  X 


4r-n^         4rr-n^  4- 


CD  ^C.D  ^C.D  •  - 

Or  il  ne  suffit  pas  que  le  rapport  -  soit  toujours  un  très- 
grand  nombre  pour  que  l'on  puisse  supprimer  les  deux 
premiers  facteurs;  par  exemple  :  si  l'on  suppose  a  égal 
à  un  décimètre  ,  et  x  égale  à  dix  mètres  ,  et  si  la 
substance  dans  laquelle  la  chaleur  se  propage  est  le  fer, 
on   voit  qu'après  neuf  ou  dix  heures  écoulées,  le  facteur 

na  X 


4  c^f 
e  est  encore  plus  grand  que  i  ;  donc,  en  le  supprimant, 

on  s'exposerait  à  réduire  le  résultat  cherché  à  la  moitié  de  sa 

valeur.  Ainsi  la  valeur  de  -r-     telle    qu'elle    convient    aux 

points  très-éloignés  de  l'origine ,  et  pour  un  temps  quelcon- 
que, doit  être  exprimée  par  l'équation  (a);  mais  il  n'en  est 
pas  de  même ,  si  l'on  ne  considère  que  des  valeurs  du  temps 
extrêmement  grandes,  et  qui  croissent  proportionnellement 
auquarrédes  distances.  Il  faut  d'après  cette  condition  omettre 
sous  le  signe  exponentiel  même,  les  termes  qui  contiennent 
a,o\xh,  ou  0.  Or  la  condition  a  lieu  lorsqu'on  veut  déter- 
miner la  plus  haute  température  qu'un  point  éloigné  puisse 
acquérir,  comme  nous  allons  le  prouver. 

395. 

-   En  effet  la  valeur  de  -rr  doit  être  nulle  dans  le  <  as  dont 

a,  t 

il  s'agit  ;  on  aura  donc 

^  64. 


5o8  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

3  K    ^        1     , 

o        ou       Tr-^t  =  ^r 


,J^,,  J_a"~  CD"  — 6 

^C.D^         ^C.D 

Ainsi  le  temps  qui  doit  s'écouler  pour  qu'un  point  très- 
éloigné  acquierre  sa  plus  haute  température  est  proportionnel 
au  quarré  de  la  distance  de  ce  point  à  l'origine. 

Si  dans  l'expression  de  v  on  remplace  le  dénominateur 

4  Q-^  t  par  sa  valeur  ^  7'  l'exposant  de  e        qui  est 

«  2  - 

3 
peut  se  réduire  à  -  parce  que  les  facteurs  que  l'on  omet  se 

confondent  avec  l'unité. 
On  trouve  par  conséquent 

3 

L'intégrale  Ida  jdb  I de  /{a,  h,  c)  représente  la  quantité 

de  chaleur  initiale  ;  le  volume  de  la  sphère  dont  le  rayon 

est  r  est  ^tt  /'\  en  sorte  qu'en  désignant  paryia  température 

que  recevrait  chatjue  molécule  de  cette  sphère,  si  l'on  distri- 
buait également  entre  ses  parties  toute  la  chaleur  initiale , 

on  aura  'v^f\/ 

•^      y         TTC' 

Les  résultats  que  nous  avons  exposés  dans  ce  chapitre 
font  connaître  suivant  quelle  loi  la  chaleur  contenue  dans 


CHAPITRE  IX.  5o9 

une  portion  déterminée  d'un  solide  iiiHiii  pénètre  progres- 
sivement toutes  les  autres  parties  dont  la  température  ini- 
tiale était  nulle.  Cette  question  est  résolue  par  une  analyse 
plus  simple  que  celle  des  chapitres  précédents,  parce  qu'en 
attribuant  au  solide  des  dimensions  infinies,  on  fait  dispa- 
raître les  conditions  relatives  à  la  surface,  et  que  la  princi- 
pale difficulté  consiste  dans  l'emploi  de  ces  mêmes  condi- 
tious.  Les  conséquences  générales  du  mouvement  de  la 
chaleur  dans  une  masse  sohde  npn  terminée  sont  très-remar- 
quables, parce  que  le  mouvement  n'est  point  troublé  par 
l'obstacle  des  surfaces.  Il  s'accomplit  librement,  en  vertu  des 
propriétés  naturelles  de  la  chaleur.  Cette  analyse  est,  à  pro- 
prement parler,  celle  de  l'irradiation  de  la  chaleur  dans  la 
matière  solide. 

SECTION    IV. 

Comparaison  des  intégrales. 

396. 

L'intégrale  de  l'équation  de  la  propagation  de  la  chaleur 
se  présente  sous  différentes  formes  qu'il  est  nécessaire  de 
comparer.  Il  est  facile ,  comme  on  le  voit  dans  la  section 
deuxième  de  ce  chapitre,  pages  471  et  478,  de  ramener  le 
cas  des  trois  dimensions  à  celui  du  mouvement  linéaire  ;  il 
suffit  donc  d'intégrer  l'équation 

dv K       d'  V 

Tt       cTd  ■  rf^  ' 


5io  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR, 

ou  celle-ci  : 

dv  d''  V 


dt  d. 


jc- 


(a) 


Pour  déduire  de  cette  équation  différentielle  les  lois  de  la 
propagation  de  la  chaleur  dans  un  corps  d'une  figure  déter- 
minée, par  exemple,  dans  une  armille,  il  était  nécessaire  de 
connaître  l'intégrale,  et  de  l'obtenir  sous  une  certaine  forme 
propre  à  la  question ,  et  qui  ne  pourrait  être  suppléée  par 
aucune  autre.  Cette  intégrale  a  été  donnée  pour  la  première 
fois  dans  notre  Mémoire  remis  à  l'Institut  de  France  le  21  dé- 
cembre i8o'7  (page  124,  art.  84)  :  elle  consiste  dans  l'équa- 
tion suivante ,  qui  exprime  le  système  variable  des  tempéra- 
tures d'un  anneau  solide  : 


t 


R  est  le  rayon  de  la  circonférence  moyenne  de  l'armille; 
l'intégrale   /,  par  rapport  à  a,  doit  être  prise  depuis  a  =  o 

jusqu'à  a=2itR,  ou, ce  qui  donne  le  même  résultat,  depuis 
a  =  —  ttR  jusqu'à  a=TCR.  i  est  un  nombre  entier  quel- 
conque, et  la  somme  2  doit  être  prise  depuis  i= jus- 
qu'à i^  -\ V  désigne  la  température  que  l'on  observe- 
rait après  le  temps  écoulé  t,  en  chaque  point  d'une  section 
séparée  par  Tare  a;  de  celle  qui  est  à  l'origine.  On  représente 
par  i;=^F.r  la  température  initiale  d'un  point  quelconque 


CHAPITRE  IX.  5ii 

de  lanneau.  Il  faut  donnera  i  les  valeurs  successives 

o,  +  I ,  -h  2,  +  3,  +  4--  etc.,  et  —  I,  — 2,  — 3, — 4--  ï^tc. 
et  au  lieu  "de  cos.  i\ — h—  ,  )  écrire 


COS.  (^.|).cos.  (..|)  +  sin.  (.-.D.sin.  Q.^y 


On  obtient  ainsi  tous  les  termes  de  la  valeur  de  v.  Telle  est 
la  forme  sous  laquelle  doit  être  mise  l'intégrale  de  l'équa- 
tion [a] ,  pour  exprimer  le  mouvement  variable  de  la  chaleur 
dans  une  armille  (chap.  IV,  page  aya).  On  considère  le  cas 
où  la  forme  et  l'étendue  de  la  section  génératrice  de  l'ar- 
mille  sont  telles ,  que  les  points  d'une  même  section  con- 
servent des  températures  sensiblement  égales.  On  suppose 
aussi  qu'il  ne  se  fait  à  la  superficie  de  l'anneau  aucune  dé- 
perdition de  la  chaleur. 

L'équation  (a)  s'appliquant  à  toutes  les  valeurs  de  R,  on 
y  peut  supposer  R  infini  ;  elle  donne  dans  ce  cas  la  solution 
de  la  question  suivante  :  L'état  initial  d'un  prisme  solide 
d'une  petite  épaisseur  et  d'une  longueur  infinie, étant  connu 
et  exprimé  par  v^Yx^  déterminer  tous  les  états  subsé- 
quents. On  considère  le  rayon  R  comme  contenant  un  nom- 
bre n  de  fois  le  rayon  i  des  tables  trigonométriques.  Dési- 
gnant par  q  une  variable  qui  devient  successivement  dq , 


5i2  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

a.dq ,  3dq ,  ....  idg.  .  .  etc.,  le  nombre  infini  n  sera  ex- 
prime' par  ^,  et  le  nombre  variable  i  par  ^-  Faisant  ces 
substitutions,  on  trouve 


V 


=  — "^dq  j  da.  Fa.  e  ^     .cos.(qx  —  qa.). 


Les  termes  qui  entrent  sous  le  signe  2  sont  des  quan- 
tités différentielles ,  en  sorte  que  ce  signe  devient  celui  d'une 
intégrale  définie  ;  et  l'on  a 


V 


=  —  I  daFcx.  j  dq  e  ^      .cos.{qa: — qa.). 


(P) 


Cette  équation  est  une  seconde  forme  de  l'intégrale  de 
l'équation  (a);  elle  exprime  le  mouvement  linéaire  de  la 
chaleur  dans  un  prisme  d'une  longueur  infinie  (chap.  VII, 
page  440-  ^^^^  ^^^  ^^^  conséquence  évidente  de  la  première 
intégrale  (a). 

398. 

On  peut,  dans  l'équation  (p),  effectuer  l'intégration  définie 
par  rapport  à  ^  ;  car  on  a ,  selon  un  lemme  connu ,  et  que 
l'on  a  démontré  précédemment  (art.  875), 

I  dze     "  COS. ahz  =  e       \^'^. 

—  oc 

Faisant  donc  z'=q't,  on  trouvera 


CHAPITRE    IX.  5i3 


-4-x 


/a  —  x\  ' 
\dqe     '     cos.(^:r — qa.)  =  ~^e      ^^^  ' -'     ' 


donc  l'intégrale  (p)  de  l'article  préce'dent  devient 


/« —  ^\  ' 
/'  r/a.Fa       "Va  1/7  y  ,-  ■. 


Si  l'on  emploie  au  lieu  de  a  une  autre  indéterminée  p,  en 
faisant   — -^-  =  &.  on  trouve 

a  i/f         '^ 

1;=^    ld^e~^    .F(a  +  2pl/"?\  (^) 

Cette  forme  (^)  de  l'intégrale  de  l'équation  («)  a  été  donnée 
par  M.  Laplace,  dans  le  tome  VIII  des  Mémoires  de  l'Ecole 
polytechnique.  Ce  grand  géomètre  est  parvenu  à  ce  ré- 
sultat en  considérant  la  série  infinie  qui  représente  l'inté- 
grale. 

Chacune  des  équations  ((3),  (y),  (^),  exprime  la  diffusion 
linéaire  de  la  chaleur  dans  un  prisme  d'une  longueur  infinie. 
11  est  évident  que  ce  sont  trois  formes  d'une  même  intégrale, 
et  qu'aucune  ne  peut  être  considérée  comme  plus  générale 
que  les  autres.  Chacune  d'elles  est  contenue  dans  l'intégrale 
(«)  dont  elle  dérive  en  donnant  à  R  une  valeur  infinie 

Il  est  facile  de  développer  la  valeur  de  v  déduite  de  l'équa- 


5i4  THÉORIE   DE  LA  CHALEUR. 

tion  [a)  en  séries  ordonnées  suivant  les  puissances  crois- 
santes de  l'une  ou  l'autre  variable.  Ces  développements  se 
présentent  d'eux-mêmes,  et  nous  pourrions  nous  dispenser 
de  les  rapporter  ;  mais  ils  donnent  lieu  à  des  remarques  utiles 
pour  la  recherche  des  intégrales.  En  désignant  par  9' ,  ç", 

ç  ,  etc.,  les  ronctions    ,    (^x,  —, — -<^x,  -rrrr?-*:»  etc.,  on  a 


j^='V,  et  'V: 


fdtv": 


la  constante  représente  ici  une  fonction  quelconque  de  x. 
En  mettant  pour  v"  sa  valeur  c'  +  j  dtv"^  et  continuant 
toujours  des  substitutions  semblables,  on  trouve 

v  =  c  +  I  dt.v 

=  c+  Cdt  (c"  4-  fdt.vA 

=  c+  fdt  le"  +  Cdt  {c'  +  fdt  v-^  \  , 


OU 


v-=  c-\rtc''^^-c"-\-  -4-,  c"  +     .^,  r^  c-  -^  etc.       (T) 

2  2.0.4  2.D.4.5.0 


Dans  cette  série ,  c  désigne  une  fonction  arbitraire  en  x.  Si 
l'on  veut  ordonner  le  développement  de  la  valeur  de  v, 
selon  les  puissances  ascendantes  de  a;,  on  écrira 

d'^  V  dv 

J^  ~  31  ' 


i 


CHAPITRE  IX.  5i5 

et,  désignant  par  9^,  ç„,  9,,,  etc.,  les  fonctions  •■' 

d        d'         (P 

Tt'^^  JF?'  ^^P'  ^^""'^  ■        ■■ 

on  aura  d'abord  v=a+hx+  f  dx  Jdxv;  a  et  b  repré- 
sentent ici  deux  fonctions  quelconques  de  t.  On  mettra 
ensuite  pour  o»^  sa  valeur  a.  +  b^x+  j dx  idxvj  et,  pour 
i;  ,  sa  valeur  a  +  b  x+  fdx  fdxv  ,  et  ainsi  de  suite.  On 
trouvera,  par  ces  substitutions  continuées, 

v=a-hbx+  I  dx  jdxv^         ■  ■  '  1    ^:, 

:^a  +  bx+  jdxfdxfa^  +  bi  +  j  dxjdxv  j 
:=:^a  +  bx  +  ldafdx(a^-\-biX-hldxldxfa+b^x+ldxdxvJ  j , 

ou  y=rt+^— a.     H 5— -<^       -i ô— r-=^^^„     +etc. 

2         '  2.3.4       "  2.0.4-3-D 

-f-xZ-    +-^b.    H ^-T-Eb,,    +      -,    \  f-  ^^,,   +etc.      .v^ 

2.J    '  2.Û.4-5    "         2.0.4.5.0.7    '■'  \^^) 

Dans  cette  série  y  a  et  b  désignent  deux  fonctions  arbi- 
traires de  f.  " 
Si  dans  cette  série  donnée  par  l'équation  (X)  on  met,  au 
lieu  de  a  et  b,  deux  fonctions  cpf  et  'It ,  et  qu'on  les  déve- 
loppe selon  les  puissances  ascendantes  de  f,  en  ordonnant 
le  résultat  total  par  rapport  h.  ces  mêmes  puissances  de  t, 
on  ne  trouve  qu'une  seule  fonction  arbitraire  de  x,  au 
lieu  des  deux  fonctions  a  et  b.  On  doit  cette  remarque  à 
M.  Poisson,  qui  l'a  donnée  dans  le  tome  VI  des  Mémoires 
de  l'Ecole  poljfechnique,  pag.  110. 

65. 


5i6  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

Réciproquement ,  si  dans  la  série  exprimée  par  l'équation 
(T)  on  développe  la  fonction  c  selon  les  puissances  de  x, 
en  ordonnant  le  résultat  par  rapport  à  ces  mêmes  puissances 
de  X,  les  coefficients  de  ces  puissances  se  trouvent  formés 
de  deux  fonctions  entièrement  arbitraires  de  t;  ce  que  l'on 
peut  aisément  vérifier  en  faisant  le  calcul. 

4oo. 

La  valeur  de  v ,  développée  selon  les  puissances  de  t,  ne 
doit  en  effet  contenir  qu'une  fonction  arbitraire  en  x  :  car 
l'équation  différentielle  (a)  montre  clairement  que,  si  l'on 
connaissait  en  fonction  de  a;  la  valeur  de  v,  qui  répond  à 
?=o,  les  autres  valeurs  de  cette  fonctions,  qui  i^épondent 
aux  valeurs  suljséquentes  de  t,  seraient  par  cela  même  déter- 
minées. 

Il  n'est  pas  moins  évident  que  la  fonction  v,  étant  déve- 
loppée selon  les  puissances  ascendantes  de  x,  doit  contenir 
deux  fonctions  entièrement  arbitraires  de  la  variable  t.   En 

effet,  l'équation  différentielle  Y"-^  = -^  montre  cjue,  si  l'on 

connaissait  en  fonction  de  t  la  valeur  de  v,  qui  répond  à 
une  valeur  déterminée  de  x,  on  ne  pourrait  pas  en  conclure 
les  valeurs  de  v  c[ui  répondent  à  toutes  les  autres  valeurs 
de  X.  Il  faudrait,  de  plus,  que  l'on  donnât  en  fonction  de  t 
la  valeur  de  v  qui  répond  à  une  seconde  valeur  de  x,  par 
exemple  à  celle  cjui  est  infiniment  voisine  de  la  première. 
Alors  tous  les  autres  états  de  la  fonction  v,  c'est-à-dire  ceux 
qui  répondent  à  toutes  les  autres  valeurs  de  x,  seraient  dé- 
terminés. L'équation  différentielle  {a)  appartient  à  une 
surface  courbe ,  l'ordonnée  verticale  d'un  point  quelconque 
étant  V,   et  les  deux  cooi'données  horizontales  étant  x  et  t. 


CHAPITRE  IX.  5i7 

Il  suit  ëvidemment  de  cette  équation  (a)  que  la  forme  de 
la  surllice  est  déterminée,  lorsqu'on  donne  la  figure  de  la 
section  verticale  dans  le  plan  qui  passe  par  Taxe  des  a:;  et 
cela  résulte  aussi  de  la  nature  physique  de  la  question  :  car 
il  est  manifeste  que,  l'état  initial  du  prisme  étant  donné,  tous 
les  états  subséquents  sont  déterminés.  Mais  on  ne  pourrait 
pas  construire  la  surface,  si  elle  était  seulement  assujettie  à 
passer  par  une  courbe  tracée  sur  le  premier  plan  vertical 
des  t  et  des  v.  Il  faudrait  de  plus  connaître  la  courbe  tracée 
sur  un  second  plan  vertical  parallèle  au  premier,  et  que  l'on 
peut  supposer  extrêmement  voisin.  Les  mêmes  remarques 
s'appliquent  à  toutes  les  équations  aux  différences  partielles, 
et  l'on  voit  que  l'ordre  de  l'équation  ne  détermine  point  pour 
tous  les  cas  le  nombre  des  fonctions  arbitraires. 

4oi. 

La  série  (T)  de  l'art.  3f)r),  qui  dérive  de  l'équation 

Tt       dlP'  '  {a) 

peut  être  mise  sous  cette  forme  v=e  .r^x.   On  déve- 

loppera l'exponentielle    selon    les  puissances  de  D,  et  l'on 

écrira  — ;  au  lieu  de  D%  en  considérant  i  comme  indice  de 

(l  X 

différentiation.    On  aura  ainsi 

d'  r   d'  t'    d" 

^^ç;,,  +  f__<pa;  +  -^-,<px  +  ^^.  ço^  +  etc.      ^ 

Suivant  la  même  notation  ,  la  première  partie  de  la  série  (X) 
(art.  39q),'qui  ne  contient  que  des  puissances  paires  de  x, 
sera  exprimée  sous  cette  forme  :  cos.  (^JZ—d)  9^.  On  déve- 


5i8  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

loppera  selon  les  puissances  de  x,  et  l'on  écrira  — -  au  lieu 

dt 

de  D  ,  en  considérant  i  comme  indice  de  différentiation. 
La  seconde  partie  de  la  série  (X)  se  déduit  de  la  première, 
en  intégrant  par  rapport  à  x,  et  changeant  la  fonction  <^t 
en  une  autre  l'onction  arbitraire  ^  t.  Ou  a  donc 

a.=cos.  (a^l/_D)  +  W, 
et  \^=^\t.\dxQ.o?,.{x\/'^^^). 

o 

Ces  notations  abrégées  et  connues  dérivent  des  analogies 
qui  subsistent  entre  les  intégrales  et  les  puissances.  Quant 
à  l'usage  que  nous  en  faisons  ici ,  il  a  pour  objet  d'exprimer 
les  séries,  et  de  les  vérifier  sans  aucun  développement.  11 
suffit  de  différentier  sous  les  signes  que  cette  notation  em- 
ploie. Par  exemple,  de  l'équation  ^=6  a^x,  on  déduit, 
en  différentiant  par  rapport  à  t  seulement, 

dv       ,^,     îD'  p.,  d' 

ce  qui  montre  immédiatement  que  la  série  satisfait  à  l'équa- 
tion différentielle  {a).  Pareillement,  si  l'on  considère  la 
première  partie  de  la  série  (X),  en  écrivant 

'y=cos.  (.rl/Hî))  (^t, 

on  aura,  en  différentiant  deux  fois  par  rapport  à  x  seule- 
ment, 

^^,  =  D.cos.  {x\^-D)  ,^t=^T)v  =  -^^- 

Donc  cette  valeur  de  v  satisfait  à  l'équation  différentielle  {a). 


CHAPITRE  IX.  5i9 

On  trouvera,  de  la  même  manière,  que  l'équation  diffé- 
rentielle 

d^v       d'v  •         :    ■ 

^  +  47'-^  {h)  .     •       ,; 

donne  pour  l'expression   de  v,  en  série  développée  selon 
les  puissances  croissantes  de  y , 

i;  =  COS.  (^"D)  (fX. 

Il  faut  développer  par  rapport  à  y,   et  écrire  -r— ,    au  lieu 
de  D.  En  effet ,  on  déduit  de  cette  valeur  de  v, 

—  =  —D'cos.  (70)90;  =  — D'y  =  —^—^- 

La  valeur  sin.  ()  D)^'^;  satisfait  aussi  à  l'équation  différen- 
tielle :  donc  la  valeur  générale  de  t^  est 

a'=cos.  (jD)(pa.'+ W         et     W=sin.  (jD)(];a:. 

4o2. 

Si  l'équation  différentielle  proposée  est 

d^v d'v        d'v 

T¥       5^  ■^57"'  '  (c) 

et  que  l'on  veuille  exprimer  "v  en  série  ordonnée  selon  les 
puissances  de  t,  on  désignera  par  D(p  la  fonction 


d 

d^ 

et 

l'équation 

étant  ^^^,  = 

=  Dv, 

on  aura 

V  =  cos 

■  {tv:- 

-D)?(-^>j) 

Ee 

i  effet,  on 

en  conclut 

d'v 

dr 

liv  = 

d'  V        </'  V 
dx'    '    dy'- 

520  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

Il  faut  développer  la  valeur  précédente  de  i)  selon  les  puis- 
sances de  t,  écrix'e  {-r—,  +  -j-k  )  -,  au  lieu  de  D',  et  regarder 
ensuite  i  comme  indice  de  différentiation. 

La  valeur  suivante    idt  ces.  {t\/ — d)  <{/  {oc,  y')  satisfait  à 
la  même  condition  :  ainsi  la  valeur  la  plus  générale  de  v  est 

^.  =  cos.  (fl/zn^)  9  {x,y)  +  W 
et  ^^=\dtco^,{t\/—b).^{x,y). 


V  est  une  fonction  y  (>r,jv,  t)  de  trois  variables.   Si  l'on  fait 


t=o,  on  a/{x,f,  o)  =  9  {x,  y)  ;  et,  désignant t-/(x,j,  t) 


par/'  {x,y,  f),  on  aura/'  {x,y,  o)  =  <^{x,y). 
Si  l'équation  proposée  est 

d''  TJ         d''  V 

-      ZF+J^=^'  {d) 

la  valeur  de  v  en  série  ordonnée  selon  les  puissances  de  t 
sera  ^'  =  cos.  (^D')ç  (  j?,  j),  en  désignant^—,  par  D  :  car 
on  en  déduit 

d^v  ^.  d"- 


==  — D^'V  = T—V. 


dt^  dj'' 

La  valeur  générale  de  v,  qui  ne  peut  contenir  que  deux 
fonctions  arbitraires  de  x  et  y,  est  donc 

-y^^COS.  (^D')  .9  (x,  j)  +  W 
t 

et  W=/kfco3.  (^D^)  .  4.  (.2',j). 

o 

Désignant  v  par  f{x,  y,  t),  et  -^  par/'  (a;,  j,  ?),  on  a, 
pour  déterminer  les  deux  fonctions  arbitraires , 

'i{^>y)=f{^,X>o)^         et     i^{x,y)=f'  {x,y,o). 


CHAPITRE   IX.  "  ;HT  Sai 

4o3.  "    '       - 

Si  lequation  différentielle  propose'e  est  •'  ■    •    i 

6?'  V        d*  V  d^  V  il^  V 

IP'^  J^''^  ^dx^  dy^  "*"  ZP         ®'  (e) 

esignera  par  D  ç  la  tonction  y—;  +  -j-^  ,    en  sorte  que 

d'  d" 

DDo  ou  D'o  se  formera  en  élevant  le  binôme  -y—-  +  -p-  au 

'  '  dx  dj 

quarré,  et  regardant  les  exposants  comme  indices  de  diffé- 

d^  1) 

rentiation.    Lequation  ((?)  deviendra  donc -^-7  +  D'à» :=o; 

et  la  valeur  de  v ,  ordonnée  selon  les  puissances  de  t,  sera 
COS.  (;D)(p(a;,  j)  :  car  on  en  tire  '        \ 

d^  V  TA,  d^  V        d^v  d' -v  d*  V 

—  =  —  V^v,        ou    _  +  _  +  2^-^,  +  ^_  =  0. 

La  valeur  la  plus  générale  de  y  ne  pouvant  contenir  que 
deux  fonctions  arbitraires  en  x  et  y ,  ce  qui  est  une  consé- 
quence évidente  de  la  forme  de  l'équation ,  cette  valeur  v 
sera  ainsi  exprimée  : 

oi^rcos.  (?D)  <p  {^x,y)  +  \  dt  COS.  (fD)  i(  {^^> y)-"^, 

Les  fonctions  ç  et  i]/  sont  déterminées  comme  il  suit,  en  dé- 

d^ 

Tt- 


signant   la   fonction  v   par  f{x,y,t)^   et -r-f^x,  y,  t)  T^ar 


f,  {x,y,  t), 

9  i-^'j)  =/( ^'  j^  o )  1'  K ^'  y)  =/j  (  ^>  ï'  o)  • 

Enfin,  soit  l'équation  différentielle  proposée, 

dv  d' V  T  d*  V  d'' V  jd^v 

.     77  =  ^^'  +  ^^^+^^  +  ^^'  +  ^*"-      (/) 

les  coefficients  a,  b,  c,  d  sont  des  nombres  connus,   et 
l'ordre  de  l'équation  est  indéfini,     .b  .:;  .j. '"pia:';ffVl:  ejiaij' 


522  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

La  valeur  la  plus  générale  de  v  ne  peut  pas  contenir  plus 
d'une  fonction  arbitraire  en  oc  :  car  il  est  évident,  par  la 
forme  même  de  l'équation,  que  si  l'on  connaissait  en  fonc- 
tion de  ce  la  valeur  de  v  qui  répond  à  ?  =  o ,  toutes  les  autres 
valeurs  de  v,  qui  répondent  aux  valeurs  successives  de  t, 
seraient  déterminées.    On   aura    donc,    pour  exprimer  v, 

I  équation 'y:=e      .a^x. 

On  désigne  par  D<p  l'expression 

a-r-\  +  ù  T-T  +  c  j-i  +  etc.  ; 

dx^  dx^  dx^  ' 

c'est-à-dire  que ,  pour  former  la  valeur  de  v,  il  faudrait  déve- 
lopper, selon  les  puissances  de  t ,  la  quantité 

ïfaa"  4-^a''  +  ca^  +  rfa*  +  etc.). 
e  ' 

et  écrire  ensuite  -j-  au  lieu  de  a,  en  considérant  les  exjîo- 

sants  de  a  comme  des  indices  de  différentiation.  En  effet,  cette 
valeur  de  v  étant  différentiée  par  rapport  à<  seulement,  on  a 

dv         T^    t\i  „  d^  V         T  d''  V  d'' V 

j-^  =  De      r,x  =  Bv  =  a^~  +  b^~  +  Cj^,+  etc. 

II  serait  inutile  de  multiplier  ces  applications  d'un  même 
procédé.  Pour  les  équations  très-simples,  on  peut  se  dis- 
penser des  expressions  abrégées  ;  mais ,  en  général ,  elles 
suppléent  à  des  calculs  très-composés.  Nous  avons  choisi  pour 
exemple  les  équations  précédentes ,  parce  qu'elles  se  rapportent 
toutes  à  des  phénomènes  physiques  dont  l'expression  analy- 
tique est  analogue  à  celle  du  mouvement  de  la  chaleur.  Les 
deux  premières,  (a)  et  (è),  appartiennent  à  la  théorie  de 
la  chaleur;  et  les  ti-ois  suivantes,  (r),  (^),  (e),  à  des  ques- 
tions dynamiques;  la  dernière,  (y),  exprime  ce  que  serait 


CHAPITRE   IX.  523 

le  mouvement  de  la  chaleur  clans  les  corps  solides,  si  la 
transmission  instantanée  n'était  pas  bornée  à  une  distance 
extrêmement  petite.  On  a  un  exemple  de  ce  genre  de  ques- 
tion dans  le  mouvement  de  la  chaleur  lumineuse  qui  pénètre 
les  milieux  diaphanes.  '     -  ^ 

On  peut  obtenir  par  divers  moyens  les  intégrales  de  ces 
mêmes  équations.  Nous  indiquerons  en  premier  lieu  celui 
qui  résulte  de  l'usage  du  théorème  énoncé  dans  l'art.  36 1, 
pag.  449  >  et  que  nous  allons  rappeler. 

Si  l'on  considère  l'expression 


I  dxtfa  I  dp  COS.  {px — pa. 


(a) 


on  voit  qu'elle  représente  une  fonction  de  x  :  car  les  deux 
intégrations  définies  par  rapport  à  a  et  p  font  disparaître 
ces  variables ,  et  il  reste  une  fonction  de  x.  La  nature  de 
cette  fonction  dépendra  évidemment  de  celle  que  l'on  aura 
choisie  pour  9  a.  On  peut  demander  quelle  doit  être  la  fonc- 
tion de  <p  a ,  pour  qu'après  les  deux  intégrations  définies  on 
obtienne  une  fonction  donnée/'.f.  En  général,  la  recherche 
des  intégrales  propres  à  exprimer  divers  phénomènes  phy- 
siques, se  réduit  à  des  questions  semblables  à  la  précédente. 
Ces  questions  ont  pour  objet  de  déterminer  les  fonctions  arbi- 
traires sous  les  signes  d'intégration  définie ,  en  sorte  que  le 
résultat  de  cette  intégration  soit  une  fonction  donnée.  Il  est 
facile  de  voir,  par  exemple,  que  l'intégrale  générale  de  l'é- 
quation 

,    '  '03  iiJ;J   Vî    Ai 
dv  d' V        j  d' V  d^v  jd' V  ^  ^        . 

m. 


524  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

serait  connue  si,  dans  l'expression  précédente  (<5r),  on  pou- 
vait déterminer  tpa,  en  sorte  que  le  résultat  de  l'équation  fût 
une  fonction  donnée y^:.  En  effet,  on  forme  immédiatement 
une  valeur  particulière  de  v,  ainsi  exprimée, 

—  ;«'  t 

v  =  e  cos.px, 

et  l'on  trouve  cette  condition  : 

771  =  ap'  +  bp^  +  cp^  +  etc. 
On  pourra  donc  prendre  aussi 

-î;  =  e  COS.  [px  — p  a  )  , 

en  donnant  à  la  constante  «  une  valeur  quelconque.  On  aura 
pareillement 

v  =  I dct<^y.  I  dp  e        ^  ■'         ^        ^  \  COS.  [px — poi). 

Il  est  évident  que  cette  valeur  de  v  satisfait  à  l'équation 
différentielle  (f);  elle  n'est  autre  chose  qu'une  somme  de 
valeurs  particidières.  De  plus,  supposant  ?  =  o,  on  doit 
trouver  pour  v  une  fonction  arbitraire  de  x.  Désignant  cette 
fonction  pary(.r),   ou  a 

fx=.  I  du  fa.  I  dp  COS.  (px — pa). 

Or  il  résulte  de  la  forme  de  l'équation  {/) ,  que  la  valeur 
la  plus  générale  de  v  ne  peut  contenir  qu'une  seule  fonc- 
tion arbitraire  en  X.  En  effet,  cette  équation  montre  clai- 
rement que  si  l'on  connaît  en  fonction  de  x  la  valeur  de  v 
pour  une  valeur  donnée  du  temps  t,  toutes  les  autres  valeurs 
de  V  qui  correspondent  aux  autres  valeurs  du  temps ,  sont 
nécessairement  déterminées.  Il  s'ensuit  rigoureusement  que 


^t„ 


CHAPITRE   IX.  525 

si  l'on  connaît  en  fonction  de  ?  et  de  a;  une  valeur  de  a»  qui 
satisfasse  à  lequation  dilferentielle ;  et  si,  de  plus,  en  y  fai- 
sant ?=o ,  cette  fonction  de  ar  et  f  devient  une  fonction  entiè- 
rement arbitraire  de  x,  la  fonction  de  a:  et  t  dont  il  s'agit 
est  l'intégrale  j;éne'rale  de  l'équation  (/").  Toute  la  question  est 
donc  réduite  à  déterminer  dans  l'équation  la  fonction  ça, 
en  sorte  que  le  résultat  des  deux  intégrations  soit  une  fonc- 
tion donnée  y^'.  Il  est  seulement  nécessaire,  pour  que  la 
solution  soit  générale,  que  l'on  puisse  prendre  pom-yx  une 
fonction  entièrement  arbitraire  et  même  discontinue.  11  ne 
sagit  donc  que  de  connaître  la  relation  qui  doit  toujours 
exister  entre  la  fonction  donnée /a;'  et  la  fonction  inconnue 
«pa.  Or  cette  relation  très-simple  est  exprimée  par  le  théo- 
rème dont  nous  parlons.  Elle  consiste  en  ce  que  les  inté- 
grales étant  prises  entre  des  limites  infinies,  la  fonction  ipa 

est  — /a.;  c'est-à-dire  qu'on  a  l'équation 

o;;;    ::^'    '    ■""i  -f-^  -4-^  ■i-   ■   . 

'  r  )•  i  J'x=-^   i  dcLdj  a  j  dp  COS.  [px — /?a).  /t>\ 

On  en  conclut,  pour  l'intégrale  générale  de  la  proposée  (/}, 

'"  =  1^7        A/  ^''"  .  ^COS.px—pa).      ^^ 

4o5.  -     .     .. 

Si  Ion  propose  l'équation 

d"  V  d^  V  ',  ■ 

qui  exprime  le  mouvement  vibratoire  d'une  lame  élastique, 
on  considérera  que,  d'après  la  forme  de  cette  équation,  la 


osG  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

valeur  l;i  plus  générale  de  v  ne  peut  contenir  que  deux  fonc- 
tions arbitraires  en  x  :  car ,  en  désignant  cette  valeur  de  v 

par_/(.r,  ^),  et  par/"'  (x,  t)  la  fonction  ~j-f{x,  ?),  il  est  évi- 
dent que  si  l'on  connaissait /"(a,  o)  ety^  Lx,  o),  c'est-à-dire 
les  valeurs  de  v  et  de  -^-  au  premier  instant,  toutes  les  autres 
valeurs  de  v  seraient  déterminées. 

Cela  résulte  aussi  de  la  nature  même  du  phénomène.  En 
effet,  considérons  dans  son  état  de  repos  une  lame  élastique 
rectiligne  :  x  est  la  distance  d'un  point  quelconque  de  cette 
lame  à  l'origine  o  des  coordonnées  ;  on  change  extrêmement 
peu  la  figure  de  cette  lame,  en  l'écartant  de  sa  position  d'équi- 
libre, où  elle  coïncidait  avec  l'axe  de  x  sur  le  plan  hori- 
zontal ;  ensuite  on  l'abandonne  à  ses  forces  propres  excitées 
par  le  changement  de  figure.  On  suppose  le  déplacement 
arbitraire,  mais  très-petit,  et  tel  que  la  figure  initiale  donnée 
à  cette  lame  soit  celle  d'une  courbe  comprise  dans  un  plan 
vertical  qui  passe  par  l'axe  de  x.  Le  système  changera  succes- 
sivement de  forme,  et  continuera  à  se  mouvoir  dans  le  plan 
vertical  de  part  et  d'autre  de  la  ligne  d'équilibre.  C'est  ce 
mouvement  dont  lequation 

d.-  V         d*  V 

exprime  la  condition  la  plus  générale. 

Un  point  quelconque  m,  placé  dans  la  situation  d'équilibre 
à  la  distance  x  de  l'origine  o,  et  sur  le  plan  horizontal,  est,  à 
la  fin  du  temps  t,  éloigné  de  ce  point  de  la  hauteur  perpendi- 
culaire V.  Cet  écart  variable  v  est  une  fonction  de  x  et  t.  La 
valeur  initiale  de  v  est  arbitraire  ;  elle  est  exprimée  par  une 


CHAPITRE  IX.  5^7 

fonction  quelconque  <fx.  Or,  l'équation  [d)  déduite  des 
piiiicipes  fondamentaux  de  la  dynamic[ue  fait  connaître  que 

la  seconde  fluxion  de  v,  prise  pour  t,  ou  -r—  ,    et  la  fluxion 

du  quatrième  ordre,  prise  poura.%  ou  ,  ^,  sont  deux  fonc- 
tions de  a:  et  ?  qui  ne  différent  que  par  le  signe.  Nous  n'en- 
trons point  ici  dans  la  question  spéciale  rela.ive  à  la  discon- 
tinuité des  fonctions;  nous  n'avons  en  vue  que  l'expression 
analytique  de  l'intégrale.  On  peut  supposer  aussi,  qu'après 
avoir  déplacé  arbitrairement  les  divers  points  de  la  lame, 
on  leur  imprime  des  vitesses  initiales  très-petites,  et  dans 
le  plan  vertical  oii  les  vibrationsdoivent  s'accomplir.  La  vitesse 
initiale  donnée  à  un  point  quelconque  ?n  placé  à  la  distance 
x^  a  une  valeur  arbitraire.  Elle  est  exprimée  par  une  fonc- 
tion c{uelconc|ue  i{<.r  de  la  distance  .r.  ' 

Il  est  manifeste  c|ue  si  l'on  donne,  i*  la  figure  initiale  du 
système  ou  ça?,  2°  les  impulsions  initiales  ou  la  fonction  <\fa:, 
tous  les  états  subséquents  du  système  sont  déterminés.  Ainsi 
la  fonction  v  ou  f{x,t)  ^  qui  représente,  après  un  temps 
quelconque  t,  la  forme  correspondante  de  la  lame,  contient 
deux  fonctions  arbitraires  (^x  et  ifXt 

Pour  déterminer  la  fonction  cherchée  y(.r,  ?),  nous  consi- 
dérons que,  dans  l'équation 

on  peut  donnerai;  la  valeur  très-simple  u=cos.  (g't)  ces.  (^a;), 
ou  celle-ci  :  ' 

u  =  cos.  (q^t). COS.  [qx — ^a),  , 

en  désignant  par  ^  et  «  des  c|uantités  cjuelconques  qui  ne 


528  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

contiennent  ni  œ,  ni  t.  On  aura  donc  aussi 

u=^  I dixFoi.  j dq. COS.  (q'  t)  cos.  {qx  —  ^a), 

Fa  étant  une  fonction  quelconque,  et  quelles  que  soient  les 
limites  des  intégrations.  Cette  valeur  de  v  n'est  autre  chose 
qu'une  somme  de  valeurs  particulièies. 

Il  est  nécessaire  maintenant  qu'en  supposant  f=o,  la  va- 
leur de  u  soit  celle  que  nous  avons  désignée  pary(a-,  o)  ou 
^  X.  On  aura  donc 

<^X  =  j  da.'P  a  I  dq  COS.  (qx  —  qcc). 

Il  faut  déterminer  la  fonction  Fa,  en  sorte  que,  les  deux  in- 
tégrations étant  achevées,  le  résultat  soit  la  fonction  arbi- 
traire (j)X.  Or  le  théorème  exprimé  par  l'équation  (B)  fait 
connaître  que  les  limites  de  chacune  des  intégrales  étant 

et  +  -  ,         onal^a=— <pa. 

o  o  '  2TC  ' 

Donc  la  valeur  de  u  est  donnée  par  l'équation  suivante  : 

-t-  00  +00 

M  =  —  j dad^a.  i dq  COS.  {q'  t)  COS.  (qx—qu). 

Si  l'on  intégrait  par  rapport  à  t  cette  valeur  u,  en  y  chan- 
geant ç  en  I,  il  est  évident  que  l'intégrale  désignée  par  W 
satisferait  encore  à  l'équation  différentielle  proposée  (<^), 
et  l'on  aurait 

W  =  —  f  dx  «f-a  f  ^Q  -—T  sin.  (q't)  cos.  {qx  —  qx)- 
Cette  valeur  W  devient  nulle  lorsque  t=o  ;  et  si  l'on  prend 


CHAPITRE  IX.  529 

l'expression 

DW 

"77 


-4-  ao  H-  00 

=  —Z  l doL^a.  l dq  cos.  {q^' t)  cos.  {qx — qy.)^ 


on  voit  qu'en  y  faisant  ^=0  elle  devient  égale  k  ijx.  Il  n'en 
est  pas  de  même  de  l'expression  -r-;   elle  devient  nulle  lors- 
que t=zo^  et  u  devient  e'gal  à  <s^x  lorsque  /=o. 
Il  suit  de  là  que  l'intégrale  de  l'e'quation  (^)  est 

'v  =  —  jdx  (foLidq  cos.<7'?cos.  (qx — qa)  +  'W=  u  +  W 

—  00  —  00 

-f-  00  -i-  00 

et  W  =  —  I da  <^ K  f  d q  •  -^  siu.  (q'  t)  cos.  {qx — q<x). 

—  00  —  » 

En  effet,  1°  cette  valeur  de  v  satisfait  à  l'équation  diffé- 
rentielle (d). 

2.°  Lorsqu'on  fait  ^=0,  elle  devient  égale  à  la  fonction 
entièrement  arbitraire  o a;. 

3°  Lorsqu'on  fait  ^=0  dans  l'expression-^,  elle  se  ré- 
duit à  une  seconde  fonction  arbitraire  iix.  Donc  la  valeur 
de  V  est  l'intégrale  complète  de  la  proposée,  et  il  ne  peut  y 
avoir  une  intégrale  plus  générale. 

•  -  ■  4o6.  '  -   ■•       > 

On  peut  réduire  la  valeur  de  11  à  une  forme  plus  simple 
en  achevant  l'intégration  par  rapport  à  q.  Cette  réduction 
et  celle  d'autres  expressions  du  même  genre  dépendent  des 
deux  résultats  exprimés  par  les  équations  (  i  )  et  (2),  qui 
seront  démontrées  dans  l'article  suivant. 

-•-    .  -    67  ' 


53o  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

On  en  conclut 

Désignant —  par  une  autre  indëtermine'e  y,,  on  aura 

Mettant,  au  lieu  de     sin.  (-iz  +  ^j.'j  , 

sa  valeur  y-'  ^'"-  V-"  +  v    *  "  ^^^- 1-*  ■> 


on  aura 


"^ÎtWA'^''^^^'"-  l^'  +  COS.jx  =  )  cp  (a  +  2[Al^).(à"') 
—  00 

Nous  avons  prouvé  dans  un  mémoire  particulier,  que  ces 
intégrales  (â)  ou  (^')  de  l'équation  [d)  représentent  d'une 
manière  claire  et  complète  le  mouvement  des  diverses  parties 
de  la  lame  élastique  infinie.  Elles  contiennent  l'expression 
distincte  du  phénomène,  et  en  font  connaître  facilement 
toutes  les  lois.  C'est  sous  ce  point  de  vue  sur-tout  que  nous 
les  avons  proposées  à  l'attention  des  géomètres.  Elles  mon- 
trent comment  les  oscillations  se  propagent  et  s'établissent 
dans  toute  l'étendue  de  la  lame,  et  comment  l'effet  du  dé- 
placement initial,  qui  est  arbitraire  et  fortuit,  s'altère  de 
plus  en  plus  en  s'éloignant  de  l'origine,  devient  bientôt  in- 
sensible, et  ne  laisse  subsister  que  l'action  des  forces  propres 
du  système,  qui  .sont  celles  de  l'élasticité. 

407. 
Les  résultats  exprimés  par  les  équations  (i)  et  (2)   dé- 


CHAPITRE  IX.  .     '      53i 


rivent  des  intégrales  définies 


I  dx  COS.  x',        et      I  dx  sin.x"; 

-f-  »  -f-  «> 

soit  g  =  I  dx  cos.x',       et     h=  j dx  &\n.  x''  ; 

et  regardons  g  et  h  comme  des  nombres  connus.  Il  est  évi- 
dent que,  dans  les  deux  équations  précédentes,  on  peut 
mettre  y  +  b  au  lieu  de  x,  en  désignant  par  b  une  constante 
quelconque,  et  que  les  limites  de  l'intégrale  seront  les  mêmes. 
Ainsi  l'on  a  -  - 

g=ldy  cos. (j'-l-aZ'jH-^'),     h=r    dy  sin.  (y+2.bj-\-b')^ 
cos.^'' .  COS.  2  Ifj.cos.l^"- —  cos.^\sin.2  ^j.sin.^'  j 


■=f^,{ 


'  '         siii.j'.sin.  2  Zi^^.cos.  ^'  —  sin.^'.cos.a  ^^-.sin.^^ 

Or  il  est  facile    de  voir  que  toutes  les  intégrales  qui  con- 
tiennent le  facteur  sin.  (2  bj)  sont  nulles,  si  les  limites  sont 

et  -f-  -  :  car  sin.  {cibj)  change  désigne  en  même  temps 

que  J.  On  a  donc 

g=^cos.b' I dycos.y\cos.2.bj — sin.  b'  jdy .siïï.y\co&.'J.by.^  s 
L'équation  en  h  donnera  aussi 


i=jdy 


sin.^'.cos.  2  bj-.cos.  l>^  +  cos.y'  cos.  2  1>j's'\ti.  h' 
■  COS. 7' '.sin.  2  bj .COS.  h''  —  sin.^'.sin.  2  by .svn.h' 


et,  omettant  aussi  les  termes  qui  contiennent  sin.  2  by,  on 

aura 

h=.cos.b"  •  j  dy  sin._7"'cos.2Z'j  +  s'm.b'  jdy  cos. y' cos.  2  by.    //>, 


532  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

Les  deux  équations  [a)  et  {b)  donnent  donc  en  g'  et  A  les 
deux  intégrales 

jdy. s\n.y' .  cos.  zby        et         / dy cos.y' . cos.  2 by, 

que  nous  désignerons  respectivement  par  A  et  B.   On  fera 
ensuite 

z 


y'^p't,  et     o.by=^pz,  ou     y—p\/t,   f^  =  ^^- 

On  a  donc 

\^} .  j  dp  COS. p' t .COS. pz^=^ A  ^        l/?=  f  dp. sin. p' t. COS. pz=B. 

On  déduit  immédiatement  les  valeurs  de^  et  h  du  résultat 


connu 


1/7;=  Idx.e 


En  effet,  cette  dernière  équation  est  identique,  et  par  consé- 
quent ne  cessera  point  de  l'être,  lorsqu'on  mettra  au  lieu 

de  X  la  quantité  /^  i  +  i/^~  \  . 

cette  substitution  donne 

Ainsi  la  partie  réelle  du  second  membre  de  la  dernière  équa- 
tion est  I/tT,  et  la  partie  imaginaire  est  nulle.  On  en  con- 
clut 

^-  =  -^  (  ^dy  cos.  j'  +  ^dy  sin,  j' )  , 
et  0=  I  dy  COS. y'  -      /  r/)- sln.  y' , 


CHAPITRE  IX.  533 

Il  ne  reste  plus  qu'à  déterminer,  au  moyen  des  équations 
{a)  et  (/!>),  les  valeurs  des  deux  intégrales 

idycos.ycos.ihy,         et      idj  s\n.y\s'\n.2bj. 

Elles  seront  ainsi  exprimées  : 

A=  I dy  COS.  ■}''. COS.  2 bf  =  h s'in.  b"  +  g  COS. b\ 

3=  I  dy  sm.j\cos.  2  bj=  h  COS.  b' — gsin.b'. 
On  en  conclut  : 
fdpcos.p^tcos.pz  =  ^--~  (^cos.  (î-;)  +sin.(^)j, 

fdpsm.p'tcos.pz=^^^-  (^cos.  (fj)  -sin.  (^j). 

écrivant  sin.  (-,-),  ou  cos.  (  7- )  ,  au  lieu  de  y/  -  ,  on  a 

fdpcos.(p't).cos.(pz)=^sin.(^~  +  ~'^,         ^^^ 

et        ^y>/psin.(/r0.cos.(/;s)=r^sin.  (^  — ^).         ^^^ 

408.  .i    , 

La  proposition  exprimée  par  l'équation  (B),  page  5^5,  ou 
par  l'équation  (E),  page  449i  ^t  (jui  nous  a  servi  à  décou- 
vrir cette  intégrale  (^)  et  les  précédentes,  s'applique  évi- 
demment à  un  plus  grand  nombre  de  variables.  En  elfet,  dans 
l'équation  générale 

fx=^Jdcf.f»J  dp  COS.  {px—p^), 


534  THEORIE  DE   LÀ  CHALEUR. 

OU  fx^=^~^  I  dp  I    da  COS.   (pa^ pa.')f(i^ 

—  00  —  co 

on  peut  regarderycr  comme  une  fonction  de  deux  variables 
X  et  ) .  La  fonctionna  sera  donc  une  fonction  de  «  et  j.  On 
regardera  maintenant  cette  fonction  /{«■•.f)  comme  une 
fonction  de  la  variable  j\,  et  l'on  conclura  du  même  théo- 
rème (  B) ,  page  520 , 

-f-  ce 

/(«^r)  =  J^  /  ^'^«/(«tP)  /^^  COS.  {qy  —  q^). 

—  00 

On  aura  donc,  pour  exprimer  une  fonction  quelconque 
des  deux  variables  x  et  y,  l'e'quation  suivante  : 


-t-  »       -f-  ùo 


/(^.j)  =  (^)  j(i^jd<^f{a,^^)fdp  COS.  {px—pr,.)Jdq  COS.  {qy—q^).   ^^B) 

—  OÇ        —  00  —  0  —  oo 

On  formera  de  la  même  manière  l'équation  qui  convient 
aux  fonctions  de  trois  variables,  savoir  : 

JXx,y,z)  =  {^^)\fd.fd^fdy/{.,  g,  y) 

J dp  COS.  (px—py.)  jdq  COS.  {qy~q^)  jdr  cos.  {rz  —  r^),         (BBB) 


chacune   des  intégrales   étant   prise   enti'e   les  limites 


et  +  -• 
o 


Il  est  manifeste  que  la  même  proposition  s'étend  aux  fonc- 
tions qui  comprennent  un  nombre  quelconque  de  variables, 

Il  nous  reste  à  montrer  comment  cette  proposition  s'ap- 
plique à  la  recherche  des  intégrales,  lorsque  les  équations 
contiennent  plus  de  deux  variables. 


CHAPITRE   IX.  r>^S 

409. 
Par  exemple,  1  équation  différentielle  étant 

TF       dT'  ^  dV'^        (c) 

on  veut  connaître  la  valeur  de  v  en  fonction  de  {x,y,  t), 
et  telle,  i"  qu'en  supposant  i'^o),  v  o\xf{^x,y,  t)  devienne 
une  fonction  arbitraire  9  {■*',}')  de  x  etr; 

2°  Qu'en  faisant  ^=0  dans  la  valeur  de^,  ou/'  (x,j;  ?), 

on  trouve  une  seconde  fonction  entièrement  arbitraire  i]y  (^v,j). 

Nous  pouvons  conclure  de  la  forme  de  l'équation  différen- 
tielle (c),  que  la  valeur  de  v  qui  satisfera  à  cette  équation  et 
aux  deux  conditions  précédentes,  sera  nécessairement  l'inté- 
grale généi'ale.  Pour  découvrir  cette  intégrale,  nous  donnons 
d'abord  à  i»  la  valeur  particulière 

v  =  cos.  (?nt)  COS.  (px)  COS.  [qy).  "         ' 

La  substitution  de  v  fournit  cette  condition  m  =  l/77+T°- 

Il  n'est  pas  moins  évident  que  l'on  peut  écrire  : 

'y  =  COS.  (px — aj    COS.  f^r — (ij   COS.  t  [Xp'  -i- ,j^ , 

i 

OU     0;= /ka /r/pF  («,  (î)  ■     : 

fdp  COS.  {px—pa.)  fdq  cos.  (qy—q^)  cos.f\y^:ff, 

quelles  que  soient  les  quantités  /;,  q,  «,  p  et  F  (a,  p),  qui  ne 
contiennent  ni  .r,  ni  r,  ni  ^.  En  effet,  cette  dernière  valeur 
de  T  n'est  autre  chose  qu'une  somme  de  valeurs  particu- 
lières. 


53G  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

Si  l'on   suppose   i  =  o^  il   est  nécessaire  que  v  devienne 
o{x,y).  On  aura  donc 

^[a^,y)  =  fdix.  /rfpF(a,  p)  jdpcos.  {px — pa.)  jdqcos.  (qy — q^). 

Ainsi  la  question  est  réduite  à  déterminer  F(a,p),  en  sorte 
que  le  résultat  des  intégrations  indiquées  soit  9(0;,/).  Or,  en 
comparant  la  dernière  équation  à  l'équation  (BB),  on  trouve 

?  (^,  j)  =  (Jz)  fdaJdf^.rf{a,'^)jdpco?,.{px—pr,.)Jdqco&.{qy—q^). 

—  50         —  00  ■ —  00  —  00 

Donc  l'intégrale  sera  ainsi  exprimée  : 
'V=(-^  jdoijd^j^{oL^'^)f dp cos.{j)x^)y)  jdqcos,. {qy—q<^)cos.t\/p^-- 

On  obtient  ainsi  une  première  partie  m  de  l'intégrale;  et,  dési- 
gnant par  W  la  seconde  partie,  qui  doit  contenir  l'autre 
fonction  arbitraire  ^  [x,y)^  on  aura 

v  =  u  +  W, 
et  l'on  prendra  pour  W  l'intégrale   ludf,  en  changeant  seu- 
lement ç  en  iL.  En  effet,  11  devient  égale  à  ç  (^,  j),  lorsqu'on 
fait  t=o;  et  en  même  temps  W  devient  nulle,  puisque  l'in- 
tégration, par  rapport  à  t,  change  le  cosinus  en  sinus. 

De  plus,  si  l'on  prend  la  valeur  de  -^ ,  et  que  l'on  fasse 

f=:o,  la  première  partie,  qui  contient  alors  vin  sinus,  de- 
vient nulle,  et  la  seconde  partie  devient  égale  à  i^{x,y). 
Ainsi  l'équation  v  =  u  +  \^  est  l'intégrale  complète  de  la 
proposée. 

On  formerait  de  la  même  manière  l'intégrale  de  l'équation 

d'  V        d^v        d'  V        d^v 
~dT'^^ dx^ '^  dp '^   ~dP' 


CHAPITRE  IX.  537 

Il  suffirait  d'introduire  un  nouveau  facteur 

J_cos.  (/-z-ry), 
et  d'intégrer  par  rapport  à  /•  et  y. 

S.      1.  /  ^.  /      d'  >i         d^v         d'  V  .,      , 

oit  I  équation  proposée  -j—^  +  -r— ;  +  y^^  =  o  ;   il  s  agit 

d'exprimer  ^v    en    une  fonction  /(.r,j^  z),    telle,    1°   que 
f{x,y,  o)  soit  une  fonction  arbitraire  ç  (t,j);   2°  qu'en 

faisant  z^o  dans  la  fonction  -j-^f[x,y,z)^  on  trouve  une 

seconde  fonction  arbitraire  ^  [x,  y).  Il  suit  évidemment  de 
la  forme  de  l'équation  différentielle,  que  la  fonction  ainsi 
déterminée  sera  l'intégrale  complète  de  la  proposée.  Pour 
connaître  cette  fonction,  on   remarquera  d'abord  cjue  l'on 

satisfait  a  1  équation  en  écrivant  v=^cos. px .co?,.fjy.^  , 
les  exposants/^  et  </  étant  des  nombres  quelconques,  et  la 
valeur  de  m  étant  ±  \yp "  +  q" . 

On  pourrait  donc  aussi  écrire 


ou    V 


v=cos.  (px^j ai)  COS.  (qy — q[i)fe''     ''  '^''   +  c    "    ^  "^^  V 
■.fdxfd^jF(oc^^)fc/pjdq. 


cos.(px — poi)  COS.  [qy  —  q^)(e'^    ^''^'''  +  e    "     '''  +  ^    j. 

Si  l'on  fait  z  =  o,  on  aura,  pour  déterminer  F(a,^),  la     ' 
condition  suivante  : 

?  (•^^7)  =  /^«/^^P  F  {o'-^^)  f'^P  fdq  COS.  (px—px)  cos.  (qy—q^); 

68 


538  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

et,  cii  comparant  à  l'équation  (BB),  on  voit  que 

On  aura  donc,   pour  l'expression  d'une  première  partie  de 
1  intégrale  : 

jdpcos.[px — pv.)ldqcos.{qy — q^)(e^     ^'"*"^'  +  e~"    ^  +?  J. 

Cette  valeur   de  w   se  réduit  à  (ù[x,y)  lorsque  z  =  o,  et  la 

même  substitution  rend  nulle  la  valeur  de  -r-- 

a  z 

On  pourrait  aussi  intégrer  par  rapport  à  z  la  valeur  de  u, 
et  l'on  donnerait  à  l'intégrale  la  forme  suivante  dans  laquelle 
«^  est  une  nouvelle  fonction  arbitraire  : 


w=(^)y^ay>p^(a,fi; 


I  dp  COS.  {px — py.)  I  dq  cos.(qy — g^)  f ^ 

La  valeur  de  W  devient  nulle  lorsque  z=o,  et  la  même 
substitution  rend  la  fonction  —^  égale  à  <\i  {^,y)-  Donc  l'in- 
tégrale générale  de  la  pi'oposée  est  v=u-h\'V 


4ii. 


Enfin,  soit  l'équation 


d' V        d^  V  d'"v  d 


V 


:o  : 


dV^  dx''^  dx^dy^^  dj'' —  (e) 

ou  veut  connaître  pour'?'  une  fonction  f{x,y,  ?),  qui  satis- 


CHAPITRE  IX.  539 

fasse  à  la  proposée  (e)  et  aux  deux  conditions  suivantes, 
savoir,  1°  que  la  substitution  de  ?=o  dnnsf[œ,y,  t)  donne 
une  fonction  arbitraire  ç  (x,  y)  ;  que  la  même  substitution 
dans  -^j—  /{^jjyt')   donne  une  seconde  fonction  arbitraire 

Il  suit  évidemment  de  la  forme  de  l'équation  (e),  et  des 
principes  que  nous  avons  exposés  plus  haut,  que  la  fonction 
"v ,  étant  déterminée  en  sorte  cpi'elle  satisfasse  aux  conditions 
précédentes,  sera  l'intégrale  complète  de  la  proposée.  Pour 
découvrir  cette  fonction  on  écrira  d'abord 

o^^cos.  {px')  cos.  (<7j)  cos.  {nit)^ 
d'où  l'on  tire 

</'  V  ,  d^  V  ,  d''  7>  d''v  , 

dë=-'''  ^^  d^'=P  ■'''  i^FdJ^^P'i'''  dr=r'^- 

On  a  donc  la  condition  rn=zp^  +  q\  Ainsi  l'on  écrii'a 

'y  =  cos. px.cos.  qy.cos.  (  t.p'  -+-  </'  ) 
ou     v  =  cos.(p.x  —  aj  COS.  fq. y — p  j  cos.  (t.p"  +  q'\ 

ou     'v=  Ida.  jchp¥  [ct^f^]  Idp  jdq 

COS.  {px — px)  COS.  (qy — q^)  cos.  (p't  +  q' t).     ' 
Lorsqu'on  fait  ?=o,  on  doit  avoir 'y=<p(a?,j);  ce  qui  sert 
à  déterminer  la  fonction  F  (a,  p).  Si  l'on  compare  à  l'équation 
générale  (BB),  on  trouve  que,  les  intégrales  étant  prises 

entre  des  limites  infinies,  la  valeur  de  F(a,p)  est  (  —  )  9(a,p). 

On  aura  donc,   pour  exprimer  une  première   partie  11  de 
l'intégrale , 

"=  (i)  fi^f^?'  ?  (^^?-')fipJ^1  COS.  {px—pcC}  cos.  {qy—q  fi)  (cos./?"  t+q't). 

6^. 


54o  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

En  intégTant  la  valeur  de  u  par  rappoi-t  à  t,  et  i  dési- 
gnant la  seconde  fonction  arbitraire,  on  trouvera  une  autre 
partie  W  de  l'intégrale  ainsi  exprimée  : 

W=r  (-i-y  pa^r/p  i  {oL,^)fdpJdq  COS.  {px—pc,)  .COS.  (^J— gP)  """^^^^^y  '^- 

Si  l'on  fait  f==o  dans  ii  et  dans  W,  la  première  fonction 
devient  égale  à  9  (a;,j),  et  la  seconde  nulle;  et  si  l'on  fait 

aussi  t=o  dans  -77"  et  dans  --7-W,  la  première  fonction  de- 
vient nulle,  et  la  seconde  devient  égale  à  ^{x,y-)  :  donc 
a'  =  ?f +  W  est  l'intégrale  générale  de  la  proposée. 

4i2. 

On  peut  donner  à  la  valeur  de  u  une  forme  plus  simple 
en  effectuant  les  deux  intégrations  par  rapport  a  p  et  g.  On 
fait  usage,  pour  ce  calcul ,  des  deux  équations  (  i  )  et  (2)  que 
nous  avons  démontrées  dans  l'art.  4^7  >  et  l'on  obtient  l'in- 
tégrale suivante  : 

.  =  l/l/J,,(.,f.).^s,„.  C-'P'-''} 

—  9»  —  00 

Désignant  par  u  cette  première  partie  de  l'intégrale,  et  par 
VV  la  seconde,  qui  doit  contenir  une  autre  fonction  arbi- 
traire, on  a 

W=:ldtu  et       ^.=  w-4-W. 


■f 


Si  l  on  désigne  par  [a  etv  deux  nouvelles  indéterminées,  telles 

que  l'on  ait 

a  —  X  8  — ^ 

Tï7f  =  !^'  '^F7"=='' 


CHAPITRE  IX.  54 f 

et  que  l'on  substitue,  pour  a,  (i,  f/«,  d<^,  leurs  valeurs 

:»;  + 27-1/7,    j  +  avl/^,     a*-/!/.!/?,     a^/vl/ï, 
on  aura  cette  autre  forme  de  l'intégrale 


W. 


Nous  ne  pourrions  multiplier  davantage  ces  applications 
de  nos  formules,  sans  nous  (-carter  de  notre  sujet  principal. 
Les  exemples  précédents  se  rapportent  à  des  phénomènes 
physiques  dont  les  lois  étaient  inconnues  et  difficiles  à  dé- 
couvrir ;  et  nous  les  avons  choisis  parce  que  les  intégrales 
de  ces  équations,  que  l'on  avait  inutilement  cherchées  jus- 
qu'ici, ont  une  analogie  remarquable  avec  celles  qui  ex- 
priment le  mouvement  de  la  chaleur. 

4i3. 

On  peut  aussi,  dans  la  recherche  des  intégrales,  consi- 
dérer d'abord  les  séries  développées  selon  les  puissances 
d'une  variable,  et  sommer  ces  séries  au  moyen  des  théo- 
rèmes exprimés  par  les  équations  (B),  (BB).  Voici  un 
exemple  de  cette  analyse,  choisi  dans  la  théorie  même  de 
la  chaleur,  et  qui  nous  a  paru  remarquable. 

On  a  vu,  art  399,   que  la  valeur  générale  de  d,  déduite 

de  l'équation 

dv       d'  V 
lït~~"dl&'''         {a) 

développée  en  série,  selon  les  puissances  croissantes  de  la 
variable  t ,  contient  une  seule  fonction  arbitraire  de  x ;  et 
qu'étant  développée  en  série  selon  les  puissances  croissantes 
àçx,  elle  contient  deux  fonctions  entièrement  arbitraires  de  t. 


542  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

La  première  se'rie  est  ainsi  exprimée  : 

d'            r  ci'-             P    d' 
v=mx  +  t  j—^  <ax-\ 1 — T  <fX-\ j -j—  ç o;  +  etc.        / rp , 

cL  jc  2   Cl  OC  2.  •  j  a  oc  \  M.  \ 

L  intégrale  désignée  par  ((3),  art.  3f)7,  ou 

'Vz=-^    du  (fx  I dp  e    -''     COS.  (px — ■/'a), 

représente  la  somme  de  cette  série,  et  contient  la  seule  fonc- 
tion arbitraire  <pa:. 

La  valeur  de  v.,  développée  selon  les  puissances  de  x, 
contient  deux  fonctions  arbitraires /V  et  F^,  et  est  ainsi  ex- 
primée : 

Il  y  a  donc,  indépendamment  de  l'équation  (p),  une  autre 
forme  de  l'intégrale  qui  représente  la  somme  de  cette  der- 
nière série,  et  qui  contient  deux  fonctions  arbitraires, y^  et 
Y  t.  Il  s'agit  de  découvrir  cette  seconde  intégrale  de  l'équa- 
tion proposée ,  qui  ne  peut  être  plus  générale  que  la  précé- 
dente (p),  mais  qui  contient  deux  fonctions  arbitraires. 

On  y  parviendra  en  sommant  chacune  des  deux  séries  qui 
entrent  dans  l'équation  (X).  Or  il  est  évident  que  si  l'on  con- 
naissait en  fonction  de  a:  et  ?  la  somme  de  la  première  série 
qui  contienty7,  il  faudrait,  après  l'avoir  multipliée  par  dx, 
prendre  l'intégrale  par  rapport  à  x,  et  changer/if  en  F^.  On 
trouverait  ainsi  la  seconde  série.  De  plus ,  il  suffirait  de 
connaître  la  somme  des  termes  impairs  qui  entrent  dans  la 
première  série  :  car ,  en  désignant  cette  somme  par  [j.  ,  et  la 


CHAPITRE  IX.  543 

somme  de  tous  les  autres  termes  par  v,  on  a  évidemment 


1  =  I dx  Ida:  u.. 


il  reste  donc  à  trouver  la  valeur  de  ^i..  Or  la  l'onction  /"t 
peut  être  ainsi  exprimée  ,  au  moyen  de  1  équation  géné- 
rale (B), 

/t=^f^-ApF^os.(pt-p.).    (B)     \ 

Il  est  facile  d'en  déduire  les  valeurs  des  fonctions 

77  f''    ^.A     ^Jf>     etc. 
Il  est  évident  que  la  différentiation  se  réduit  à  écrire  dans 
le  second  membre  de  l'équation  (B),  sous  le  signe   f  dp, 
les  facteurs  respectifs  — p'',  -\- p\  — p'^,  +/?^   etc. 

On  aura  donc,  en  écrivant  une  seule  fois  le  facteur  com- 
mun cos.  {pt — />«), 

V  =  Y^jd^fo.  fdp  COS.  {pt—pc) 

p^  x''                 p''  .r'                            p'^  x" 
2.3.4        2.3.4.5.6.7.8         2.3 12 


+  etc.  \ 


Ainsi  la  question  consiste  l\  trouver  la  somme  de  la  série 
qui  entre  dans  le  second  membre ,  ce  qui  ne  présente  au- 
cune difficulté.  En  effet,  soit  j-  la  valeur  de  cette  série,  on 
en  conclut 

d''r  ,        »*  X*  «"a-*  .  d^  r 

(Ix^  '  2.3.4        2.3.4---y  dx^  ^   •' 

Intégrant  cette  équation  linéaii'e,  et  déterminant  les  con- 
stantes arbiti'aires .  en  sorte  que,  x  étant  nulle,  y  soit  i ., 


544  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

d  y     d'  y      d^  y  .  ,,  , 

et  -j- ,  -T^, ,  -^ ,  soient  nulles ,  on  trouve ,  pour  la  somme 
de  la  série , 

Il  serait  inutile  de  rapporter  le  détail  de  ce  calcul  ;  il 
suffit  den  énoncer  le  résultat,  qui  donne  pour  l'intégrale 
cherchée , 

■v=z~  Ida/a    clq.ç    cos.  (^<]'i — a  j  fe'^^  +  e   "^"^  j  cos. 5^0; 

—  sïn.fzq't — aj  fe^'^ — e     ^    jsin.^xj  +  W.   /gg\ 

Le  terme  W  est  la  seconde  partie  de  l'intégrale  ;  on  le 
forme  en  intégrant  la  première  partie  par  rapport  àx,  depuis 
x^=no  jusqu'à  x^=x,  et  en  changeant/"  en  F.  Sous  cette 
forme  l'intégrale  contient  deux  fonctions  entièrement  arbi- 
traires, ft  et  F^.  Si,  dans  la  valeur  de  v,  on  suppose  x 
nulle ,  le  terme  W  devient  nul  par  hypothèse ,  et  la  pre- 
mière partie  u  de  l'intégrale  devient  />.    Si  l'on  fait  la  même 

substitution  a^':=o  dans  la  valeur  de  -7-  ,  il  est  évident  que  la 
première  partie -j—  deviendra  nulle,  et  que  la  seconde,-^ — , 

qui  ne  diffère  de  la  première  que  par  la  fonction  F  placée 
au  heu  de  y,  se  réduira  à  Ff.  Ainsi  l'intégrale  exprimée 
par  léquation  (p|î)  satisfait  à  toutes  les  conditions,  et  elle 
représente  la  somme  des  deux  séries  qui  forment  le  second 
membre  de  l'équation  (X). 

C'est  cette  forme  de  l'intégrale  qu'il  est  nécessaire  de 
choisir  dans  plusieurs  questions  de  la  théorie  de  la  chaleur: 


CHAPITRE  IX.  545 

on  voit  qu'elle  est  très-differentc   de  celle  qui  est  exprimée 
par  1  équation  (p),  art.  Spy. 

4i4. 

On  peut  employer  des  procèdes  de  calcul  très-variës,  pour 
exprimer,  en  intégrales  définies,  les  sommes  des  séries  qui 
représentent  les  intégrales  des  équations  diftérentielles.  La 
forme  de  ces  expressions  dépend  aussi  des  limites  des  inté- 
grales définies.  Nous  citerons  un  seul  exemple  de  ce  calcul 
en  rappelant  le  résultat  de  l'art.  3i  i ,  pag.  38o.  Si,  dans  l'é- 
quation qui  termine  cet  article ,  on  écrit  a:  +  t  sin.  u  sous  le 
signe  de  fonction  ç ,  on  a 

y'^M<p(a;+^sin.i/.)  =  ça:  +  ^.ç''a:-h^.-<p'^a^  +  ^3-^^^-^-<p''':r+etc. 


o 


Désignant  par  v  la  somme  de  la  série  qui  forme  le  second 
membre,  on  voit  que,  pour  faire  disparaître  dans  chaque 
terme  un  des  facteurs  2',  4\  6%  8',  etc. ,  il  fuit  diftérencier 
une  fois  par  rapport  à  t,  multiplier  le  résultat  par  t,  et  dif- 
férencier une  seconde  fois  par  rapport  à  t.  On  conclut  de  là 
que  V  satisfait  à  l'équation  aux  différences  partielles 

d^  Il         \      d   f      dv\  d' V        d' V         i    dv 

;  =  -•  -r.[t--r:],  OU 


dx'        t     dt\       dt  j  ''  dx^        de         t     dt  ' 

On  a  donc,  pour  exprimer  l'intégrale  de  cette  équation. 


v  =  -  I  du  9  (a;  +  t  sin.  u)  +  V 


W. 


La  seconde  partie  W  de  l'intégrale  contient  une  nouvelle 
fonction  arbitraire.  La  forme  de  cette  seconde  partie  W  de 
l'intégrale  diffère  beaucoup  de  celle  de  la  première  ,  et  pour- 
rait aussi  être  exprimée  en  intégrales  définies.  Les  résultats 


546  THEORIE  DE  LA  CHALEUR, 

que  l'on  obtient  au  moyen  des  intégrales  deTinies  varient 
selon  les  proce'dés  de  calcul  dont  on  les  déduit,  et  selon  les 
limites  des  intégrales.  On  peut  dire,  en  général,  que  ces  re- 
cherches n'ont  point  un  but  assez  déterminé  lorsqu'on  les 
sépare  des  questions  physiques  auxquelles  elles  se  rap- 
portent. 

4i5.  . 

Il  est  nécessaire  d'examiner  avec  soin  la  nature  des  pro- 
positions générales  qui  servent  à  transformer  les  fonctions 
arbitraires  :  car  l'usage  de  ces  théorèmes  est  très-étendu,  et 
l'on  en  déduit  immédiatement  la  solution  de  plusieurs  ques- 
tions physiques  importantes,  que  l'on  ne  pourrait  traiter  par 
aucune  autre  méthode.  Les  démonstrations  suivantes,  que 
nous  avons  données  dans  nos  premières  recherches,  sont  très- 
propres  à  rendre  sensible  la  vérité  de  ces  propositions. 

Dans  l'équation  générale 


fx^=-\  i  dy.fa    i  dp  COS.  (/Ja p 


X 


qui  est  la  même  que  l'équation  (B),  pageSaS,  on  peut  effec- 
tuer l'intégration  par  rapport  à  p ,  et  l'on  trouve 


fx=\\d.f.. 


.sin.  [pa — px) 


On  doit  donc  donner  à  p,  dans  cette  dernière  expression, 
une  valeur  infinie;  et,  cela  étant,  le  second  membre  expri- 
mera la  valeur  \efx.  On  reconnaîtra  la  vérité  de  ce  résultat 
au  moven  de  la  construction  suivante.    Nous  examinerons 

t 

d'abord   l'intégrale  définie    idx  •  ^^^^ ,    que  l'on   sait   être 

y' 

égale  a  --.  art.  ooo. 


CHAPITRE   IX.  547 

Si  l'on  construit  au-dessus  de  l'axe  des  ,r  la  ligne  dont 
l'oi'donnée  est  sin.  x ,  et  celle  dont  l'ordonnée  est  -  ,  et 
qu'ensuite  on  multiplie  l'ordonnée  de  la  première  ligne  par 
l'ordonnée  correspondante  de  la  seconde,  on  considérera  le 
produit  comme  l'ordonnée  d'une  troisième  ligne  dont  il  est 
très-facile  de  connaître  la  forme. 

Sa  première  ordonnée  à  l'origine  est  i,  et  les  ordonnées  sui- 
vantes deviennent  alternativement  positives  ou  négatives  ;  la 
courbe  coupe  l'axe  aux  points  où  .r=-,2r,  3-,  4^i  etc. ,  et  elle 
se  rapproche  de  plus  en  plus  de  cet  axe.  Une  seconde  branche 
de  la  courbe,  entièrement  semblable  à  la  première,  est  située 

■+■  X, 

à  la  gauche  de  l'axe  des  y.  L'intégrale    j  djc-''-^^^   est  l'aire 

comprise  entre  la  courbe  et  l'axe  des  x,  et  comptée  depuis 
x  =  o  jusqu'à  une  valeur  positive  infmie  de  x.        ..  ;; 

-f-  ^  ■.-....-,; 

L'intégrale    définie    jdx- — — — -,    dans    laquelle/-»    est 

o 

supposé  un  nombre  positif  quelconque  ,  a  la  même  valeur 
que  la  précédente.  En  effet,  soit  px=^z;  l'intégrale  proposée 

-h  X 

deviendra  1  dz      _'"  ,   et,  par  conséquent,  elle  équivaut  aussi 

o  ; 

à  -Tî.  Cette  proposition  est  vraie,  quel  que  soit  le  nombre 
positif /j.  Si  l'on  suppose,  par  exemple, /p=  10 ,  la  courbe 

dont  l'ordonnée  est  ^ a  des  sinuosités   beaucoup 

plus  rapprochées  et  plus  courtes  que  celles  dont  l'ordonnée 
est  — 7-;    mais  l'aire  totale  depuis  ^=0  jusqu'à  x=^-   est 


sin.  X 

X 

la  même.       .  .  v 


%• 


:)48  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

Supposons  maintenant  que  le  nombre/?  devienne  de  plus 
en  plus  grand ,  et  qu'il  croisse  sans  limite ,  c'est-à-dii^e  qu'il 

soit  infini.  Les  sinuosite's  de  la  courbe  dont  ^'""  ^^^  est 
l'ordonnée  sont  infiniment  voisines.  Leur  base  est  une  lon- 
gueur infiniment  petite  e'gale  à  -•  Cela  étant,  si  l'on  com- 
pare l'aire  positive  qui  repose   sur  un  de  ces  intervalles  — 

à  l'aire  négative  qui  repose  sur  l'intervalle  suivant ,  et  si  l'on 
désigne  par  X  l'abscisse  finie  et  assez  grande  qui  répond  au 
commencement  du  premier  arc,   on  voit  que  l'abscisse  x, 

qui  entre  comme  dénominateur  dans  l'expression  — '^-  de 
l'ordonnée ,  n'a  aucune  variation  sensible  dans  le  double 
intervalle  ^  qui  sert  de  base  aux  deux  aires.  Par  conséquent, 

l'intégrale  est  la  même  que  si  x  était  une  quantité  constante. 
Il  s'ensuit  que   la  somme  des  deux   aires  qui  se  succèdent 

est  nulle. 

Il  n'en  est  pas  de  même  lorsque  la  valeur  de  ;r  est  infiniment 

petite ,  parce  que  l'intervalle  -y  a  dans  ce  cas  vm  rapport  fini  avec 
la  valeur  de  x.  On  connaît  parla  que  l'intégrale  /(/ .a;  ^'"'  ^"^.^ , 

o 

dans  laquelle  on  suppose/»  un  nombre  infini,  est  entière- 
ment formée  de  la  somme  de  ses  premiers  termes  qui  ré- 
pondent à  des  valeurs  extrêmement  petites  de  x.  Lorsque 
l'abscisse  a  une  valeur  finie  X,  l'aire  ne  varie  plus,  parce 
que  les  parties  qui  la  composent  se  détruisent  deux  à  deux 
alternativement.   Nous  exprimons  ce  résultat  en  écrivant 


CHAPITRE  IX.  549 

La  quantité  m,  qui  désigne  la  limite  de  la  seconde  intégrale, 
a  une  valeur  infiniment  petite  ;  et  la  valeur  de  l'intégrale  est 
la  même  lorsque  cette  limite  est  w,  et  lorsqu'elle  est  -• 

4i6. 
Cela  posé ,  reprenons  l'équation 

sin.  (/».« — .r) 


f^  =  lj'^^f^ 


a  — X 


Ayant  placé  l'axe  des  abscisses  a,  on  tracera  au-dessus  de 
cet  axe  la  ligne^(fig.  VIII),  dont  l'ordonnée  est/"».  La  forme 
de  cette  ligne  est  entièrement  arbitraire; elle  pourrait  n'avoir 
d'ordonnées  subsistantes  que  dans  une  ou  dans  quelques  par- 
ties de  son  cours,  toutes  les  autres  ordonnées  étant  nulles. 
On  placera  aussi  au-dessus  du  même  axe  des  abscisses  une 

ligne  courbe  j^  dont  l'ordonnée  est  ^^-^P^  ,  2  désignant  l'ab- 
scisse et/?  un  nombre  positif  extrêmement  grand.  Le  centre 
de  cette  courbe,  ou  le  point  qui  répond  à  la  plus  grande 
ordonnée/?, pourra  être  placé soità  l'origine  o  des  abscisses  «. 
soit  à  l'extrémité  d'une  abscisse  quelconque.  On  suppose 
que  ce  centre  est  successivement  déplacé,  et  qu'il  se  trans- 
porte à  tous  les  points  de  l'axe  des  a,  vers  la  di'oite,  à  partir 
du  point  o.  Considérons  ce  qui  a  lieu  dans  une  certaine  po- 
sition de  la  seconde  courbe,  lorsque  le  centre  est  parvenu 
au  point  x  qui  termine  une  abscisse  x  de  la  première  courbe. 
La  valeur  de  x  étant  regardée  comme  constante,  et  a  étant, 
seule  variable,  l'ordonnée  de  la  seconde  courbe  sera     ;i  .,  ,  .r, 

sin.(yBa — x)  ->\:v  ïrf'îJi; 

Si  donc  on  conjugue  les  deux  courbes  pour  en  former  une 


55o  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

troisième,  c'est-à-dire  si  l'on  multiplie  chaque  ordonnée  de 
la  première  par  l'ordonnée  correspondante  de  la  seconde,  et 
si  l'on  représente  le  produit  par  l'ordonnée  d'une  troisième 
courbe  tracée  au-dessus  de  l'axe  des  a,  ce  produit  sera 

-,      sin.(o.a  —  x) 

L'aire  totale  de  la  troisième  courbe,  ou  l'aii'e  comprise  entre 
cette  courbe  et  l'axe  des  abscisses,  sera  donc  exprimée  par 


/sin.  ( /?.a — a:]  . 
rZa/a ^^ -^  ■ 

Or,  le  nombre  p  étant  infiniment  grand,  la  seconde  courbe 
a  toutes  ses  sinuosités  infiniment  voisines  ;  on  reconnaît  faci- 
lement que,  pour  tous  les  points  qui  sont  à  une  distance 
finie  du  point  r,  l'intégrale  définie,  ou  l'aire  totale  de  la 
troisième  courbe,  est  formée  de  parties  égales  alternative- 
ment positives  ou  négatives,  et  qvii  se  détruisent  deux  à  deux. 
En  effet,  pour  un  de  ces  points  placés  à  une  certaine  di- 
stance du  point  X ,  la  valeur  de/a.  varie  infiniment  peu  lors- 

qu  on  augmente  la  distance  a  une  quantité  moindre  que 

Il  en  est  de  même  du  dénominateur  a — x,  qui  mesure  cette 
distance.    L'aire   qui    répond   à  l'intervalle  — '   est  donc  la 

même  que  si  les  quantités  /a  et  a — x  n'étaient  pas  variables. 
Par  conséquent  elle  est  nulle  lorsque  a — jc  est  une  gran- 
deur finie.  Donc  l'intégrale  définie  peut  être  prise  entre  des 
limites  aussi  voisines  que  l'on  veut,  et  elle  donne,  entre  ces 
limites,  le  même  résultat  qu'entre  des  limites  infinies.  Tout 
se  réduit  donc  à  prendre  l'intégrale  entre  des  points  infi- 


CHAPITRE   IX.  55i 

niaient  voisins,  I  un  à  gauche,  l'auti-c  à  droite  de  celui  où 
a — a;  est  nul ,  c'est-à  -dire  depuis  cc  =  x—  cj  jusqu'à  u=x  +  o> , 
en  désignant  par  w  une  quantit»^  infiniment  petite.  Or,  dans 
cet  intervalle,  la  fonction  /y.  ne  varie  point,  elle  est  égale 
à  /"x ,  et  peut  être  mise  hors  du  signe  d'intégration.  Donc 
la  valeur  de  l'expression  est  le  produit  de  /'  (x)  par 


sin.  i^p  a — X) 
a  a  •  , 


a  —  .V 


prise  entre  les  limites  a  —  .r=:=  —  (j,   et  a  —  x  =  oi. 

Or  cette  intégrale  est  égale  à  t,  comme  on  l'a  vu  dans  l'ar- 
ticle précédent  ;  donc  l'intégrale  définie  est  égale  à  -_/x, 
d'où  l'on  conclut  l'équation 

fx=-^Jdaf^ -^—^ =izJ^'^Af^P  COS.  {px—pa)-     ^g>j 

—  co  —  00  —  ûo  "'■'"'.' 

417. 

La  démonstration  précédente  suppose  la  notion  des  quan- 
tités infinies,   telle  qu'elle   a  toujours   été   admise   par  les 
géomètres.    Il  serait  facile  de  présenter  la  même  démonstra-         "■ 
tion  sous  une  autre  forme,    en  examinant  les  changements 
qui  résultent  de  l'accroissement  continuel  du  facteur^  sous 


le  signe  sin.  ip  a — x  j  •  Ces  considérations  sont  trop  connues 

pour  cju'il  soit  nécessaire  de  les  rappeler. 

Il  faut  sur -tout  remarquer  que  la  fonction  y^:^  à  laquelle 
cette  démonstration  s'applique,  est  entièrement  arbitraire , 
et  non  assujettie  à  une  loi  continue.  On  pourrait  donc  con- 
cevoir qu'il  s'agit  d'une  fonction  telle,  que  l'ordonnée  qui  la 
représente  n'a  de  valeurs  subsistantes  que  si  l'abscisse  x  est 
comprise   entre  deux  limites  données,   a  et  h;  toutes  les 


552  THÉORIE  DE  LA  CHx\LEUR. 

autres  ordonnées  seraient  supposées  nulles ,  en  sorte  que  la 
courbe  n'aurait  de  forme  tracée  qu'au-dessus  de  l'intei'valle 
de  x=rt  à  x=^h ^  et  se  confondrait  avec  l'axe  des  a  dans 
toutes  les  autres  parties  de  son  cours. 

La  même  démonstration  fait  connaître  que  l'on  ne  consi- 
dère point  ici  des  valeurs  infinies  de  x ,  mais  des  valeurs  ac- 
tuelles et  déterminées. 

On  pourrait  aussi  examiner  d  après  les  mêmes  principes 
les  cas  où  la  fonction yo;  deviendrait  infinie,  pour  des  valeurs 
singulières  de  x  comprises  entre  des  limites  données  ;  mais 
cela  ne  se  rapporte  point  à  l'objet  principal  que  nous  avons 
en  vue,  qui  est  d'introduire  dans  les  intégrales  les  fonctions 
arbitraires  ;  il  est  impossible  qu'aucune  question  naturelle 
conduise  à  supposer  que  la  fonction /"x  devient  infinie,  lors- 
qu'on donne  à  x  une  valeur  singulière  comprise  entre  des 
limites  données. 

Eu  général ,  la  fonction  fx  représente  une  suite  de  valeurs 
ou  ordonnées  dont  chacune  est  arbitraire.  L'abscisse  x  pou- 
vant recevoir  une  infinité  de  valeurs,  il  y  a  un  pareil  nombre 
d'ordonnées  fx.  Toutes  ont  des  valeurs  nuniériques  ac- 
tuelles,  ou  positives,  ou  négatives,  ou  nulles.  On  ne  suppose 
point  que  ces  ordonnées  soient  assujetties  à  une  loi  com- 
mune; elles  se  succèdent  d'une  manière  c[uelconque,  et  cha- 
cune d'elles  est  donnée  comme  le  serait  une  seule  quantité. 

11  peut  résulter  de  la  nature  même  de  la  question ,  et 
de  l'analyse  qui  s'y  applique,  que  le  passage  d'une  ordonnée 
à  la  suivante  doive  s'opérer  d'une  manière  continue.  Mais  il 
s'agit  alors  de  conditions  spéciales,  et  l'équation  générale  (B), 
considérée  en  elle-même,  est  indépendante  de  ces  conditions. 
Elle  s'applique  rigoureusement  aux  fonctions  discontinues. 


CHAPITRE  IX.  553 

Supposons  aiaintenaiit  que  la  t'onction  fx  coïncide  avec 

une  certaine  expression  analytique,  telle  que  sin.  a,e  ,  ou 
çr  lorsqu'on  donne  à  x  une  valeur  comprise  entre  deux  limites 
«  et  Z»,  et  que  toutes  les  valeurs  de yii'  soient  nulles  lorsque 
X  n'est  pas  comprise  entre  a  et  h  ;  les  limites  de  l'intégration 
par  rapport  à  a,  dans  l'e'quation  précédente  (B)  seront  donc 
«  =  (7,  (x.=ih  :  car  le  résultat  serait  le  même  que  pour  les 

limites  «:=: ,    a  =  -  ,  tontes  les  valeurs  de  a  étant  nulles 

o  '  o  ' 

par  hypothèse,  lorsque  «  n'est  point  comprise  entrer  et  ^. 

On  aura  donc  l'équatioii  : 

Le  second  membre  de  cette  équation  (B')  est  une  fonction 
de  la  variable  a /car  les  deux  intégrations  font  disparaître  les 
variables  a  ^X.  p ,  et  il  ne  reste  que  x  et  les  constantes  a  et  h. 
Or  cette  fonction  équivalente  au  second  membre  est  telle  , 
qu'en  y  substituant  pour  x  une  valeur  quelconque  comprise 
entre  a  ath ,  on  trouve  le  même  résultat  qu'en  su'^sti tuant 
cette  valeur  de  x  dans  ox,  et  l'on  trouve  un  résultat  nul,  si, 
dans  le  second  membre ,  on  met  au  lieu  de  x  une  valeur 
quelconque  non  comprise  entre  a  et  h.  Si  donc ,  en  conser- 
vant toutes  les  autres  quantités  qui  forment  le  second  mem- 
bre, on  remplaçait  les  limites  a  etù  par  des  limites  plus 
voisines,  a'  et  i>',  dont  chacune  est  comprise  entre  a  elb, 
on  changerait  la  fonction  de  x  qui  éc[uivaut  au  second 
membre,  et  l'effet  du  changement  serait  tel  que  ce  second 
membre  deviendrait  nul  toutes  les  fois  que  l'on  donnerait 
à  X  une  valeur  non  comprise  entre  a'  et  b' ;  et,  si  la  valeur 

,  ;.70      ■ 


554  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

de  :jc  était  comprise  entre  a'  el  l>',  on  aurait  le  même  ré- 
sultat qu'en  substituant  cette  valeur  de  .r  dans  ^œ. 

On  peut  donc  varier  à  volonté  les  limites  de  1  intégrale 
dans  le  second  membre  de  l'équation  (B').  Cette  équation 
subsistera  toujours  pour  les  valeurs  de  x  comprises  entre 
les  limites  quelconques  a  et  If,  que  l'on  aura  choisies;  et,  si 
l'on  emploie  toute  autre  valeur  de  ce,  le  second  membre 
sera  nul.  Représentons  9  a-  par  l'ordonnée  variable  d'une 
courbe  dont  a- est  l'abscisse;  le  second  membre,  dont  la  valeur 
est  /a,  représentera  l'ordonnée  variable  d'une  seconde  courbe 
dont  la  figure  dépendra  des  limites  a  et  b.  Si  ces  limites  sont 

et  +  -,  les  deux  courbes,  dont  l'une  a  pour  ordonnée 

00'  '  * 

fx^eX  l'autre  a  pour  ordonnéeyx,  coïncideront  exactement 
dans  toute  l'étendue  de  leur  cours.  Mais,  si  l'on  donne  d'au- 
tres valeurs  a  et  b  a  ces  limites ,  les  deux  courbes  coïncide- 
ront exactement  dans  toute  la  partie  de  leur  cours  cjui  ré- 
pond à  l'intervalle  de  œ=a  à  x=^h.  A  droite  et  à  gauche 
de  cet  intervalle,  la  seconde  courbe  se  confondra  précisément 
dans  tous  ses  points  avec  l'axe  des  x.  Cette  conséquence  est 
très-remarquable,  et  détermine  le  véritable  sens  de  la  pro- 
position exprimée  par  l'équation  (B). 

4i8. 

Il  faut  considérer  sous  le  même  point  de  vue  le  théorème 
exprimé  par  l'équation  (n)  de  l'art.  234,  pag-  268.  Cette 
équation  sert  à  développer  une  fonction  arbitrairey^;  en  une 
suite  de  sinus  et  de  cosinus  d'arcs  multiples.  La  fonctionyir 
désigne  une  fonction  entièrement  arbitraire,  c'est-à-dire  une 
suite  de  valeurs  données,  assujetties  ou  non  à  une  loi  com- 


CHAPITRE  IX.  555 

mune,  et  qui  repondent  à  toutes  les  valeurs  de  x  comprises 
entre  o  et  une  grandeur  quelconque  X. 

La  valeur  de  cette  fonction  est  représentée  par  l'équation 
suivante  : 


/(^)  =  ;^-  ^  jdr, fr^. COS.  (y^  ^'  — a). 


:a) 


L'intégrale,  par  rapport  à  a,  doit  être  prise  entre  les  limites 
a=a  et  oL=^b ;  chacune  de  ces  limites  a  et  h  est  une  c]uan- 
tité  quelconque  comprise  entre  o  et  X.  Le  signe  v  affecte 
le  nombre  entier  i,  et  indique  que  l'on  doit  donner  à  i  toutes 
ses  valeurs  négatives  ou  positives,  savoir  : 

— 5,  —4,  — 3,  — 2,  —I,  o,  H-i,  +2,   +3,  +4,  +^">, 

et  prendre  la  somme  des  termes  placés  sous  ce  signe  2-  Le 
second  membre  devient,  par  ces  intégiations ,  une  fonction 
de  la  seule  variable  x  et  des  constantes  a  et  h.  La  proposi- 
tion générale  consiste  en  ce  cjue  i"  la  valeur  du  second 
membre ,  que  l'on  trouverait  en  y  mettant  au  lieu  de  x  une 
quantité  comprise  entre  a  et  h ,  est  égale  à  celle  que  l'on 
obtiendrait  en  mettant  cette  même  quantité  au  lieu  de  x 
dans  la  fonctionyo--;  2"  toute  autre  valeur  de  x  comprise 
entre  o  etX,  mais  non  comprise  entre  a  et  b,  étant  substi- 
tuée dans  le  second  membre ,  donne  un  résultat  nul. 

Il  n'y  a  ainsi  aucune  fonctionyii-,  ou  partie  de  fonction, 
que  l'on  ne  puisse  exprimer  en  une  suite  trigonométrique. 

La  valeur  du  second  membre  est  périodique ,  et  l'inter- 
valle de  la  période  est  X,  c'est-à-dire  que  cette  valeur  du 
second  membre  ne  change  point  lorsqu'on  écrit  o-  -t-  X  au 
lieu  de  x.  Toutes  ses  valeurs  successives  se  renouvellent  à 
chaque  intervalle  X.  ' '' 

70.  " 


55(;  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

La  suite  trigonomëtrique  égale  au  second  membre  est 
convergente  ;  le  sens  de  cette  dernière  proposition  est  que,  si 
l'on  donne  à  la  variable  x  une  valeur  quelconque,  la  somme 
des  termes  de  la  suite  s'approche  tie  plus  en  plus,  et  infini- 
ment près,  d'une  limite  déterminée.  C'est  cette  limite  qui 
est  o ,  si  l'on  a  mis  pour  x  une  quantité  comprise  entre  o 
etX,  mais  non  comprise  entre  a  et  h;  et  si  cette  quantité 
mise  pour  x  est  comprise  entre  a  et  b,  la  limite  de  la  série  a 
la  même  valeur  que/'.r.  Cette  dernière  fonction  n'est  assu- 
jettie à  aucune  condition,  et  la  ligne  dont  elle  représente 
l'ordonnée  peut  avoir  une  forme  quelconque;  par  exemple, 
celle  d'un  contour  formé  d'une  suite  de  lignes  droites  et 
de  lignes  courbes.  On  voit  par  là  c]ue  les  limites  a  et  b, 
l'intervalle  total  X  et  la  nature  de  la  fonction  étant  arbi- 
traires ,  cette  proposition  a  un  sens  très  -  étendu  ;  et , 
comme  elle  n'exprime  pas  seulement  une  propriété  analy- 
tique ,  mais  cju'elle  conduit  facilement  à  lasolution  de  plu- 
sieurs questions  naturelles  importantes,  il  était  nécessaire 
de  la  considérer  sous  divers  jioints  de  vue,  et  d'en  indiquer 
les  principales  applications.  On  a  donné  plusieurs  démons- 
trations de  ce  théorème  dans  le  cours  de  cet  ouvrage. 
Celle  que  nous  rapporterons  dans  un  des  articles  suivants 
(  art.  4^4)  ^  l'avantage  de  s'appliquer  aussi  à  des  fonctions 
non  périodiques. 

Si  l'on  suppose  l'intervalle  X  infini,  les  termes  de  la  série 
deviennent  des  quantités  différentielles  ;  la  somme  indiquée 
par  le  signe  2  devient  une  intégrale  définie ,  comme  on  le 
voit  dans  les  art.  353  et  355,  et  l'équation  (A)  se  transforme 
dans  l'équation  (B).  Ainsi  cette  dernière  équation  (B)  est 
rontenue  dans  la  précédente ,  et  convient  au  cas  où  Tinter- 


CHAPITRE  IX.  557 

valle  X  est  inlini  :  alors  les  limites  a  et  b  sont  évidemment 
des  constantes  entièrement  arbitraires. 

419- 

Le  théorème  exprimé  par  1  équation  (B)  offre  aussi  di- 
verses applications  analytiques,  que  nous  ne  pourrions  ex- 
poser sans  nous  écarter  de  l'objet  de  cet  ouvrage  ;  mais  nous 
énoncerons  le  principe  dont  ces  applications  dérivent. 

On  voit  que,  dans  le  second  membre  de  l'équation 

/a'  =  ^  yv/y./«  ^dp  COS.  {px—pcf:),     j-g^  : 

la  fonctionyit-  est  tellement  transformée,  que  le  signe  de 
fonction  y  n'affecte  plus  la  variable  .r ,  mais  une  variable 
auxiliaire  a.  La  vai'iable  x  est  seulement  affectée  du  signe 
cosinus.  Il  suit  de  là  que,  pour  différencier  la  fonction /ù; 
par  rappoi't  à  a;,  autant  de  fois  que  l'on  voudra,  il  suffira 
de  différencier  le  second  membre  par  rappoit  à  x  sous  le 
signe  cosinus.  On  aura  donc,  en  désignant  par  i"  un  nombre 
entier  quelconque , 

-— -./r  =  ûijdcfx  jdp  p^'  COS.  {px—py.)-  ^  ,, . 

On  écrit  le  signe  supérieur  lorsque  i  est  pair,  et  le  signe  in- 
férieur lorsque  i  est  impair.  On  aura  en  suivant  cette  même 
règle  relative  au  choix  du  signe: 

dx 


2J  - 


-A=  4=  7;  fd'-^f^jdp p'^''^ '   sin.  (px—pc,)- 


On  peut  aussi  intégrer  plusieurs  fois  de  suite,   par  rap- 
port à  X,  le  second  membre  de  l'équation  (B);  il  suffît  d'é- 


558  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

crire  au-devant  du  signe  sinus  ou  cosinus  une  puissance 
négative  de  p. 

La  même  remarque  s'applique  aux  différenciations  finies, 
ou  aux  intégrales  désignées  par  le  signe  ^ ,  et  en  général 
'  aux  opérations  analytiques  qui  peuvent  s'effectuer  sur  les 
quantités  trigonométriques.  Le  caractère  principal  du  théo- 
rème dont  il  s'agit ,  est  de  transporter  le  signe  général  de 
fonction  à  une  variable  auxiliaire ,  et  de  placer  la  variable  a: 
sous  le  signe  trigonométrique.    La  fonction y^  acquiert  en 
quelque  sorte,  par  cette  transformation,  toutes  les  propriétés 
des  quantités  trigonométriques  ;  les  différentiacions ,  les  in- 
tégrations et  la  sommation  des  suites  s'appliquent  ainsi  à 
des  fonctions  générales  de  la  même  manière  qu'aux  fonctions 
trigonométriques  exponentielles.   C'est  pour  cela  que  l'em- 
ploi de  cette  proposition  donne   immédiatement  les  inté- 
grales des  équations  à  différences  partielles  à  coefficients  con- 
stants. En  effet ,  il  est  évident  que  l'on  peut  satisfaire  à  ces 
équations  par  des  valeurs  particulières  exponentielles;  et, 
comme  les  théorèmes  dont  nous  parlons  donnent  à  des  fonc- 
tions générales  et  arbitraires  le  caractère  des  quantités  expo- 
nentielles, ils  conduisent  facilement  à  l'expression  des  inté- 
grales complètes.   Cette  même  transformation  donne  aussi , 
comme  on  l'a  vu  dans  fart.  4i3  ,  un  moyen  facile  de  sommer 
les  suites  infinies ,  losque  ces  suites  contiennent  les  différen- 
tielles successives ,  ou  les  intégrales  successives  d'une  même 
fonction  :  car  la  sommation  de  la  suite  est  réduite,  par  ce 
procédé,  à  celle  d'une  suite  de  termes  algébriques. 

420. 
On  peut  aussi  faire  usage  du  théorème  dont  il  s'agit  pour 


CHAPITRE  IX.  .     559 

substituer  sous  le  signe  général  de  fonction  un  binôme  formé 
d'une  partie  réelle  et  d'une  partie  imaginaire.  Cette  question 
d'analyse  s'est  présentée  dès  l'origine  du  calcul  des  différences 
partielles  ;  et  nous  l'indiquerons  ici  parce  qu'elle  a  un  rap- 
port plus  direct  avec  notre  objet  principal. 

Si  dans  la  fonction  /x'  on  écrit  ly.  +  v .  1/ —  i  au  lieu  de  œ, 
le  résultat  sera  formé  de  deux  parties  9+  \y^~i.^.  Il  s'agit 
de  connaître  en  p.  et  v  chacune  des  deux  fonctions  r^  et  ^.  On 
y  parviendra  facilement  si  l'on  remplace/b;  par  l'expression 

--  jdy.  fv.  jdp  COS.  [px — pa)  : 

car  la  question  sera  réduite  à  substituer  [a  +  v.j/zr^  au  lieu 
dex  sous  le  signe  cosinus,  et  à  calculer  le  terme  réel  et  le 
coefficient  de  \^—i.  On  aura  ainsi 

f^=f{v-  +  ^  •l/~)=^y^a/«/^/^  COS.  {p^.~rj.  +/;v  .1/17) 
=lj(l^A  fdp  1  COS.  (pu.—p^)  (^e-P'  +  e"^")         •  .  ,  .  ... 
—  Vy—,.sin.(p^-pcc)Çe^''-e-^')\; 

donc  9=-  jdafa.  jdp  COS.  {p^j. — p%)  Te^'^  +  l~^^^ 
<j/~ =^  jdx/u    dp  sin.  (p^. — /;>«)  Çe^^ — e'^" 


Ainsi  toutes  les  fonctions _/.r  que  l'on  peut  concevoir,  même 
celles  qui  ne  sont  assujetties  à  aucune  loi  de   continuité 
sont  réduites  à  la  forme  M  +  1^  \yZ~i  ^  lorsqu'on  y  remplace 
la  variable  .r  par  le  binôme  [x  h- v .  l/Hl . 

Pour  donner  un  exemple  de  l'usage  de  ces  dernières  for- 


^6o  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

,  .  ,,  ,,  ,  .  d"  V        d'  V 

mules,  nous  considérerons  1  équation    ^ — ;  +  ^-^=o,   qui 

se  rapporte  au  mouvement  uniforme  de  la  chaleur  dans  une 
table  rectangulaire.  L'intégrale  générale  de  cette  équation 
contient  évidemment  deux  fonctions  arbitraires.  Supposons 
donc  que  l'on  connaisse  eu  fonction  de  x  la  valeur  de  v  lors- 
que j)-=o,  et  que  l'on  connaisse  aussi ,  par  une  autre  fonction 

de  X,  la  valeur  de  t-  lorsque  J^o,  on  peut  déduire  l'inté- 
grale cherchée  de  celle  de  l'équation 


dr 


qui  est  connue  depuis  long-temps  ;  mais  on  trouve  des  quan- 
tités imaginaires  sous  le  signe  de  fonction.  Cette  intégrale  est 

-y  =  9  (x-{-y  \/^  J  +  ç  Ta;  — y  X^^^ij  -I-  W. 

La  seconde  partie  W  de  l'intégrale  dérive  de  la  première  en 
intégrant  par  rapport  à  j,  et  changeant  9  en  ^.  Il  reste  donc 
à  transformer  les  quantités  <^,(x-\-y\X'^^)  et  (j)(x — ^jl/ZTY, 
afin  de  séparer  les  parties  réelles  des  parties  imaginaires. 
Suivant  le  procédé  de  l'article  précédent,  on  trouve,  pour 
la  première  partie  u  de  l'intégrale , 

-+-00  H-  00 

u^-^  IdoLfoL  (dp  COS.  {px — pix)  r  e^-'^  +  e~^-^  j  , 
— ''»         —  0© 

et  par  conséquent 

W=^/J«Fa/4  COS.  [j^x-p.)  (e/'^ -a-/'-Q. 

L'intégrale  complète  de  la  proposée  exprimée  en  termes  réels 
est  donc  v  =  îi  j- W;  et  l'on  reconnaît,  en  effet,   1°  qu'elle 


CHAPITRE  IX.  -  56i 

satisfait  à  l'équation  différentielle;  2.°  qu'en  y  faisant  j-=:o, 

elle  donne  v=fx;  3°  qu'en  faisant  y=o  dans  la  fonction  -^ , 
le  résultat  est  Fo:. 

422. 

Nous  ferons  aussi  remarquer  que  l'on  peut  déduire  de 
l'équation  (B)  une  expression  très-simple  du  coefficient  dif- 
férentiel de  l'ordre  indéfini  -j— ;/x,  onde  V  intégrale  y' dx' ./"x. 

L'expression  cherchée  est  une  certaine  fonction  de  x  et 
de  l'indice  i.  Il  s'agit  de  connaître  cette  fonction  sous  une 
forme  telle,  que  le  nombre  i  n'y  entre  point  comme  indice, 
mais  comme  une  quantité,  afin  de  comprendre,  dans  une 
même  formule ,  tous  les  cas  où  l'on  attribue  à  i  des  valeurs 
positives  ou  négatives  quelconques.  Pour  y  parvenir ,  nous 

remarquerons  que  l'expression  cos.  (r  +  i'-j  ,  ^ 

ou  cos.  r.cos.  f  —  j  —  sin. /'.sin.f  —  j, 

devient  successivement 

— sin.r,   — cos. r,    -l-sin.r,    4-cos. r,   — sin.r, etc., 

si  les  valeurs  respectives  de  i  sont  i,  2,  3,  4i  5,  etc.. .  .  Les 
mêmes  résultats  reviennent  dans  le  même  ordre,  lorsqu'on 
augmente  la  valeur  de  i.  Il  faut  maintenant,  dans  le  second 
membre  de  l'équation 

fx=^    (dx/x  Idp  cos.  {px — /7a), 

écrire  le  facteur  />*  au-devant  du  signe  cosinus,  et  ajouter 

7ï 


562               THÉORIE  DE  LA  CHALELfR. 
sous  ce  signe  le  terme  H On  aura  ainsi 


AL 
dx 


-\-  00  •+-  00 

;f^=^Jdc^f'^jdp-P    COS.  (j>X—pa  +  ^^)  . 


Le  nombre  i,  qui  entre  dans  le  second  membre,  sera  re- 
gardé comme  une  quantité  quelconque  positive  ou  négative. 
Nous  n'insisterons  point  sur  ces  applications  à  l'analyse  gé- 
nérale; il  nous  suffit  d'avoir  montré  par  divers  exemples 
l'usage  de  nos  théorèmes.  Les  équations  du  quatrième  ordre 
(c?),  art.  4o5,  et  (<?),  art.  l\ii^  appartiennent,  comme  nous 
l'avons  dit,  à  des  questions  dynamiques.  On  ne  connaissait 
point  encore  les  intégrales  de  ces  équations  lorsque  nous  les 
avons  données  dans  un  Mémoire  sur  les  vibrations  des  sur- 
faces élastiques,  lu  à  la  séance  de  l'Académie  des  Sciences, 
le  6  juin  i8i6  (art.  VI,  §  lo  et  1 1 ,  et  art.  VII,  §  i3  et  i4). 
Elles  consistaient  dans  les  deux  formules  ^  et  ^',  art.  4o^i  ^t 
dans  les  deux  intégrales  exprimées,  l'une  par  la  première 
équation  de  l'art.  4i2,  l'autre  par  la  dernière  équation  du 
même  article.  On  a  donné  ensuite  diverses  autres  démon- 
strations de  ces  mêmes  résultats.  Ce  Mémoire  contenait  aussi 
l'intégrale  de  l'équation (e),  art.  409,  sous  la  forme  rapportée 
dans  cet  article.  Quant  à  l'intégrale  (BBj  de  l'équation  (è), 
art.  l\iS^  elle  est  ici  publiée  pour  la  première  fois. 

423. 

Les  propositions  exprimées  par  les  équations  (A)  et  (B'), 
art.  4 18  et  4i7i  dont  nous  avons  montré  diverses  applica- 
tions, peuvent  être  considérées  sous  un  point  de  vue  plus 
général.  La  construction  indiquée  dans  les  art.  4 '5  et  l^i6 


CHAPITRE  IX.  563 

ne  s'applique  pas  seulement  à  la  fonction  trigonométrique 

sin.  ipoL — X  )  ,  .  , 

-^ :    elle  convient  à  toutes  les  autres  fonctions,  et 

suppose  seulement  que  le  nombre  p  devenant  infini,  on 
trouve  la  valeur  de  l'intégrale  par  rapport  à  a,  en  prenant 
cette  intégrale  entre  des  limites  extrêmement  voisines.  Or 
cette  condition  n'appartient  pas  seulement  aux  fonctions  tri- 
gonométriques,  elle  s'applique  à  une  infinité  d'autres  fonc- 
tions. On  parvient  ainsi  à  exprimer  une  fonction  arbitraii'eya; 
sous  diverses  formes  très-remarquables  ;  mais  nous  ne  fai- 
sons point  usage  de  ces  transformations  dans  la  recherche 
spéciale  qui  nous  occupe. 

Quant  à  la  proposition  exprimée  par  l'équation  (A)  (art. 
4i8),  il  est  également  facile  d'en  rendre  la  vérité  sensible 
par  des  constructions,  et  c'est  pour  ce  théorème  que  nous 
les  avons  d'abord  employées.  Il  suffira  d'indiquer  la  marche 
de  la  démonstration.  ^ 

Dans  l'équation  (A),  savoir:  '         , 

on  remplacera  la  somme  des  termes  placés  sous  le  signe  2 
par  sa  valeur,  qui  se  déduit  de  théorèmes  connus.  Nous 
avons  vu  précédemment  divers  exemples  de  ce  calcul,  Sec- 
tion III,  Chap.  III.  Il  donne  ce  résultat  en  supposant,  pour 
rendre  l'expression  plus  simple,  277  =  X,  et  désignant  x — x 
par  r. 

+J.  ,  .  s  ,  .   V  .       ,  .    ,       sin.  r 

1  COS.  (jr)  =  COS.  (jr)  +  sin.  (/r) 


sin.  vers,  r 

71- 


564  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

Il  faut  donc  multiplier  le  second  membre  de  cette  e'quation 
par  dafa^  supposer  le  nombre  j  infini,  et  intégrer  depuis 
«  =  —  -K  jusqu'à  a=  +  t:.  La  ligne  courbe,  dont  l'abscisse 
est  a  et  l'ordonnée  cos.jr^  étant  conjuguée  avec  la  ligne  dont 
l'abscisse  est  a  et  l'ordonnée  /'a,  c'est-à-dire  les  ordonnées 
correspondantes  étant  multipliées  l'une  par  l'autre,  il  est 
manifeste  que  l'aire  de  la  courbe  produite,  prise  entre  des 
limites  quelconques,  devient  nulle  lorsque  le  nombrey  croît 
sans  limite.  Ainsi  le  premier  terme  cos.j'r  donne  un  résul- 
tat nul. 

Il  en  serait  de  même  du  terme  sin./V,  s'il  n'était  pas  mul- 
tiplié par  le  facteur    .  ,•  mais  en  comparant  les  trois 

*  *  sin.  vers,  r  '^ 

courbes  qui  ont  pour  abscisse  commune  a,  et  pour  ordon- 
nées sin.  r,  -. '■ —  ,    foL,  on  reconnaît  évidemment  quel'in- 

sin.  vers,  r'   -^  '■ 

tégrale    l  da..  fa. .  sin.  ("//■)   .  n'a   de    valeurs   subsi- 

o  I  ,/  \j     j  s,,j  vers,  r 

stantes  que  pour  de  certains  intervalles  infiniment  petits; 
savoir,  lorsque  l'ordonnée  -. '■ devient  infinie.  Cela  aura 

^  sin.  vers,  r 

lieu  si  /■  ou  a — x  est  nulle;  et  dans  cet  intervalle  où  a  dif- 
fère infiniment  peu  de  x ,  la  valeur  de  fa.  se  confond  avec 
fx.  Donc  l'intégrale  devient 

2.fx  .  jdr.&\n.{jr).~     ou    /^/x  J^  sin.  (jr), 

o  o 

qui  est  égale  à  i%.fx  (art.  4i5  et  356).  On  en  conclut 
l'équation  précédente  (A). 

Lorsque  la  variable  x  est  précisément  égale   à  — tt  on 


CHAPITRE  IX.  565 

+  i:,la  construction  fait  connaître  quelle  est  la  valeur  du 
second  membre  de  cette  équation  A. 

Si  les  limites  de  l'intégration  ne  sont  pas  — tt  et  +Tr, 
mais  d'autres  nombres  <7et  ^,dont  chacun  est  compris  entre 
—  TT  et  -f-  77,  on  voit  par  la  même  figure  quelles  sont  les  va- 
leurs de  a-,  pour  lesquelles  le  second  membre  de  l'équation 
(A)  est  nul. 

Si  l'on  conçoit  qu'entre  les  limites  de  l'intégration  cer- 
taines valeurs  de  a  deviennent  infinies ,  la  construction  in- 
dique dans  quel  sens  la  proposition  générale  doit  être  en- 
tendue. Mais  nous  ne  considérons  point  ici  les  cas  de  cette 
nature,  parce  qu'ils  n'appartiennent  point  aux  cjuestions 
physiques. 

Si,  au  lieu  de  restreindre  les  limites  — t:  et  +r,  on  donne 
plus  d'étendue  à  l'intégrale,  en  choisissant  des  limites  plus 
distantes  a'  et  b' ,  on  connaît  par  la  même  figure  que  le 
second  membre  de  l'équation  (A)  est  formé  de  plusieurs 
termes,  et  donne  le  résultat  d'une  intégration  finie,  quelle 
que  soit  la  fonction  fx.  ,  ■  .       - 

On  trouve  des  résultats  semblables  si  l'on  écrit  ^  « — -^ 
au  lieu  de  r,  et  si  les  limites  de  l'intégration  sont  —  X  et 
4-X. 

Il  faut  considérer  maintenant  que  les  conséquences  aux- 
quelles on  est  parvenu  auraient  encore  lieu  pour  une  infinité 
de  fonctions  différentes  de  sin.  {]  r).  Il  suffit  que  ces  fonc- 
tions reçoivent  des  valeurs  alternativement  positives  et  néga- 
tives 1  en  sorte  que  l'aire  devienne  nulle,  lorsque  y  croît  sans 

limite.  On  peut  faire  varier  aussi  le  facteur    -. '- — ,  ainsi 

r  sin.vers.  /• 


566  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

que  les  limites  de  l'intégration,  et  l'on  peut  supposer  que 
l'intervalle  devient  infini.  Ces  sortes  d'expressions  sont  donc 
très-ge'nérales ,  et  svisceptibles  des  formes  les  plus  diverses. 
Nous  ne  pouvons  nous  arrêter  à  ces  développements  ;  mais 
il  e'tait  nécessaire  de  montrer  l'emploi  des  constructions  : 
car  elles  résolvent  sans  aucun  doute  les  questions  qui  peuvent 
s'élever  sur  les  valeurs  extrêmes  et  sur  les  valeurs  singu- 
lières ;  elles  n'auraient  pu  servir  à  découvrir  ces  théorèmes , 
mais  elles  les  démontrent  et  en  dirigent  toutes  les  appli- 
cations. 

424. 

Nous  avons  encore  à  faire  envisager  ces  mêmes  proposi- 
tions sous  un  autre  point  de  vue.  Si  l'on  compare  entre  elles 
les  solutions  relatives  au  mouvement  varié  de  la  chaleur 
dansl'armille,  la  sphère,  le  prisme  rectangulaire,  le  cylindre, 
on  voit  que  nous  avions  à  développer  une  fonction  arbitraire 
fx  en  une  suite  de  termes,  tels  que 

a,<i^{\i.,x)  +  a^<!^{\j.,x)  4-  rtjç  ([y-jo;)  + ,  etc. 

La  fonction  ç,  qui ,  dans  le  second  membre  de  l'équation  (A), 
est  un  cosinus  ou  un  sinus,  est  remplacée  ici  par  une  fbnc- 
tion  qui  peut  être  très-différente  du  sinus.  Les  nombres  \j.  , 
\i.  ,  (^21  ^tc- 1  ^^  ^i^^  d'être  des  nombres  entiers,  sont  donnés 
par  une  équation  transcendante,  dont  les  racines  en  nombre 
infini  sont  toutes  réelles.  La  question  consistait  à  trouver  les 
valeurs  des  coefficients  a^,  a^,  a-t,  a  ,,   etc.  .  .  a^;ow  yest 

parvenu  au  moyen  des  intégrations  définies  qui  font  dispa- 
raître toutes  les  inconnues,  excepté  une  seule.  Nous  allons 
examiner  spécialement  la  nature  de  ce  procédé,  et  les  con- 
séquences exactes  qui  en  dérivent. 


..c 


CHAPITRE   IX.  .  567 

Aiin  de  donner  à  cet  examen  un  objet  plus  détermine, 
nous  choisirons  pour  exemple  une  des  questions  les  plus 
importantes,  savoir  celle  du  mouvement  varié  de  la  chaleur 
dans  la  sphèi'c  solide.  On  a  vu,  art.  2(:)o,  pag.  348,  cjue, 
pour  satisfaire  à  la  distribution  initiale  de  la  chaleur,  il  faut 
déterminer  les  coefficients 

^i>     "2'     "^3'    <^^' 

dans  l'équation  1  ^ 

F,r=rtj  sin.  Çj,.  ^  x^  -{- a ^sm.(i,.^x\  +  c/j  sin/;;.^  .r^  +  ,etc.    z^- 

La  fonction  Vx  est  entièrement  arbitraire:  elle  désicne  la 
valeur  v  de  la  température  initiale  et  donnée  de  la  couche 
sphérique  dont  le  rayon  est  x.  Les  nombres  jy.  ,  ^  ,  .  .  .  ^i. ., 
sont  les  l'acines  y.  de  l'équation  transcendante  .•  r 

p.  X  ...  -■    ■  '"    •  ^ 


X  est  le  rayon  total  de  la  sphère;  h  est  un  coefficient  numé- 
rique connu  d'une  valeur  positive  c|uelconque.  Nous  avons 
prouvé  rigoureusement,  dans  nos  premières  recherches, 
qlie  toutes  les  valeurs  de  jy.  ou  les  racines  de  l'équation  {/) 
sont  réelles.  Cette  démonstration  est  déduite  de  la  théorie 
générale  des  équations,  et  n'exige  point  que  l'on  suppose 
connue  la  forme  des  racines  imaginaires  que  toute  équa- 
tion peut  avoir.  Nous  ne  l'avons  point  rappelée  dans  cet  ou- 
vrage, parce  qu'elle  est  suppléée  par  des  constructions  qui 
rendent  la  proposition  plus  sensible.  Au  reste,  nous  avons 
tçaité  cette  même  question  par  l'analyse,  en  déterminant  le 


568  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

mouvement  varie  de  la  chaleur  dans  un  corps  cylindrique 
(art.  3o8,  pag.  872  et  373).  Cela  posé,  la  question  consiste 
à  trouver  pour  a^,  a^,  a^, a.,  etc. ,  des  valeurs  nu- 
mériques telles  que  le  second  membre  de  l'équation  [e)  de- 
vienne nécessairement  égal  a  x¥ x ,  lorsqu'on  y  mettra  pour 
X  une  valeur  quelconque  comprise  entre  o  et  la  longueur 
totale  X. 

Pour  trouver  le  coefficient  a-,  nous  avons  multiplié  l'é- 
quation (e)  par  dx sin.  (^.xj,    et  ensuite  intégré  entre  les 

limites  x-=^o^  x=X,  et  nous  avons  démontré,  pag.  349, 
que  l'intégrale 

X 

jdx  sin.  f^i  .xj   sin.fy..xj 

o 

a  une  valeur  nulle  toutes  les  fois  que  les  indices  i  et  y  ne 
sont  point  les  mêmes  ;  c'est-à-dire  lorsque  les  nombaes  ^ .  et 

^L  ■  sont  deux  racines  différentes  de  l'équation  (/").  Il  suit  de 

là,  que  l'intégration  définie  faisant  disparaître  tous  les 
termes  du  second  membre,  excepté  celui  qui  contient  a  .,  on 

a,  pour  déterminer  ce  coefficient,  l'équation 
fax  l  sin.  f^i-.xj  xF  (x)  ]  =a  .  jdx  sin.  fy.  ,x)  •  sin.  ff^^icY 

o  o 

Mettant  cette  valeur  du  coefficient  a.  dans  l'équation  (e), 
on  en  conclut  l'équation  identique  (e)  : 

X 

//"  du  .  aFa  .  sin.  (\t..«.)\ 

arFa;  =  2sin.  U>-fXj  r^ 

y(*/p    .  sin.((..p)sin.((x.p))        ^^^ 


CHAPITRE  IX.  569 

Il  faut  dans  le  second  membre  donner  à  i  toutes  ses  valeurs, 
c'est-à-dire,  mettre  successivement,  au  lieu  de  ;;. .,  toutes  les  ra- 
cines fj.  de  l'e'quation  [/).  L'intégrale  doit  être  prise  poui-  «, 
depuis  a=o  jusqu'à  a  =  X,  ce  qui  fait  disparaître  l'indéter- 
minée a.  Il  en  est  de  même  de  p,  qui  entre  dans  le  dénomi- 
nateur; en  sorte  que  le  terme  sin.  [^..œ)  est  multiplié  par  un 

coefficient  a-,   dont  la  valeur  ne  dépend  que  de  X  et  de 

l'indice  i.  Le  signe  2  indique  qu'après  avoir  donné  à  i  ses 
différentes  valeurs,  il  faut  écrire  la  somme  de  tous  les  termes. 

L'intégi'ation  offre  donc  un  moyen  très- simple  de  déter- 
miner immédiatement  les  coefficients  ;  mais  il  faut  examiner 
attentivement  l'origine  de  ce  procédé,  ce  qui  donne  lieu  aux 
deux  remarques  suivantes  : 

i"  Si  dans  l'équation  (e)  on  avait  omis  d'écrire  une  par- 
tie des  termes,  par  exemple,  tous  ceux  où  l'indice  est  un 
nombre  pair,  on  trouverait  encore,  en  multipliant  féqua- 
tion  par   dxsm.  {a-x),  et  intégrant  depuis  x^^o  juscju'à 

a'=X,  cette  même  valeur  de  a  .,  cjui  a  été  déterminée  pré- 
cédemment, et  l'on  formerait  ainsi  une  équation  qui  ne  se- 
rait point  vraie;  car  elle  ne  contiendrait  qu'une  partie  des 
termes  de  l'équation  générale,  savoir,  ceux  dont  l'indice  est 
impair.  '  '         '  ' 

2°  L'équation  complète  (e),  que  l'on  obtient,  après  avoir 
détei'miné  les  coefficients,  et  qui  ne  diffère  point  de  l'équa- 
tion >  rapportée  page  35o,  art.  291,  dans  laquelle  on  ferait 
t=o  et  v  =  Vx ,  est  telle  que  si  l'on  donne  à  x  une  valeur 
quelconque  comprise  entre  o  et  X,  les  deux  membres  sont 
nécessairement    égaux  ;   mais   on  ne  peut  point   conclure, 

,        72 


370  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

comme  nous  l'avons  fait  observer,  que  cette  égalité  ait  lieu, 
si,  choisissant  pour  le  premier  membre  xFx  une  fonction 
assujettie  à  une  loi  continue,  telle  que  sin.  x  ou  cos.  x,  on 
donnait  à  x  une  valeur  non  comprise  entre  o  et  x.  En  géné- 
ral, l'équation  résultante  (e)  doit  être  appliquée  aux  valeurs 
de  X,  comprises  entre  o  et  X.  Or  le  procédé  qui  détermine 
le  coefficient  a  ■  ne  fait  point  connaître  pourquoi  toutes  les 
racines  p.^.  doivent  entrer  dans  l'équation  (e),  et  pourquoi 

cette  équation  se  rapporte  uniquement  aux  valeurs  de  x, 
comprises  entre  o  et  X. 

Pour  résoudre  clairement  ces  questions ,  il  suffit  de  re- 
monter aux  principes  qui  servent  de  fondement  à  notre 
analyse. 

Nous  divisons  l'intervalle  X  en  un  nombre  infini  n  de  par- 
ties égales  à  dx,  en  sorte  que  l'on  a  «<^A=X,et  écrivant 
/"x  au  lieudexF.r^  nous  désignons  par/",,/*,  ^y^.  .  .  f-.  .  .y^^ 

les  valeurs  de  /x^  qui  répondent  aux  valeurs  dx,  2.dx, 
3dx....  idx.  .  .ndx ,  attribuées  à  x;  nous  composons 
l'équation  générale  (e)  d'un  nombre  n  de  termes  ;  en  sorte 
qu'il  y  entre  n  coefficients  inconnus,  a,,  a,^  a^.  .  .a ^.  .  .  a^^. 

Cela  posé,  cette  équation  (e)  représente  les  n  équations  du 
premier  degré,  que  l'on  formerait  en  y  mettant  successive- 
ment, au  lieu  de  x ,  ses  re  valeurs  dx,  idx,  ?>dx.  . .  ndx. 
Ce  système  de  n  équations  contient  dans  la  première/^, 
dans  la  seconde/^ ,  dans  la  troisième  yj,  dans  la  «"""/"„•  Pour 
déterminer  le  premier  coefficient  ^,,  on  multiplie  la  première 
équation  par  c,,  la  seconde  par  c,,  la  troisième  par  cj,  ainsi  de 
suite,  et  l'on  ajoute  ensemble  les  équations  ainsi  multipliées. 
Les  facteurs  c,,  c,,  aj.  .  .  c,,,  doivent  être  déterminés  par  cette 


CHAPITRE  IX.  571 

condition ,  que  la  somme  do  tous  les  termes  des  seconds  mem- 
bres qui  contiennent  <?, ,  soit  mille, et  qu'il  en  soit  de  même 
pour  tous  les  coefficients  suivants ,  « ,,  «^ .  .  .  a^.  Donc  toutes 

les  équations  étant  ajoutées,  le  coefficient  a,  entre  seul  dans 
le  résultat,  et  l'on  a  une  équation  pour  déterminer  ce  coeffi- 
cient. Ensuite  on  multiplie  de  nouveau  toutes  les  équations 
par  d'autres  facteurs  respectifs  p,,  p, ,  pj.  .  .  p^^,  et  ces  facteurs 
sont  déterminés  en  sorte  qu'en  ajoutant  les /*  équations,  tous 
les  coefficients  soient  éliminés,  excepté  a,.  On  a  donc  une 
équation  pour  déterminer  <7,.  On  continue  des  opérations 
semblables,  et  choisissant  toujours  de  nouveaux  facteurs,  on 
détermine  successivement  tous  les  coefficients  inconnus. 
Or  il  est  manifeste  que  ce  procédé  d'élimination  est  précisé- 
ment celui  qui  résulte  de  l'intégration  entre  les  limites  o  et  X. 
La  série  c,,  5, ,  C3 ,  c    des  premiers  facteurs  est  dx  sin.  (;x,  dx)... 

dx  sin.  (jx,  a^a).  .  .dx  sin.  ([a,  3r/a-').  .  .dx  ?h.w.[^,ndx^.  En 
général,  la  série  des  facteurs  cjui  servent  à  éliminer  tous  les 
coefficients, exceptée. ,est<ia:sin.([AjC?.r)..  .dx?AW.  [[j.^^dx).  .  . 

dx  sin.  (i;.-3dx).  .  .  dxsin.  {[j.ndx)  ;  elle  est  représentée  par 
le  terme  général  ^^sin.  (a-r),  dans  lequel  on  donne  succes- 
sivement à  X  toutes  les  valeurs  '  •,  . 
dx        idx        3dx.  ,  .  ndx. 

On  voit  par  là  c[ue  le  procédé  qui  nous  sert  à  détermi- 
ner les  coefficients,  ne  diffère  en  rien  du  calcul  ordinaire  de 
l'élimination  dans  les  équations  du  premier  degré.  Le  nombre 
n  des  équations  est  égal  à  celui  des  quantités  inconnues  «;, , 
<2, ,  «3 .  .  .  «  ,  et  le  même  que  le  nombre  des  quantités  don- 
nées /",,  y, ,  fi.  .  .y^.  Les  valeurs  trouvées  pour  les  coéffi- 

72. 


Ôya  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

cients  sont  celles  qui  doivent  avoir  lieu  pour  que  les  n  équa- 
tions subsistent  à  la  fois,  c'est-à-dire ,  pour  que  l'équation  (s) 
subsiste  lorsqu'on  donne  à  x  une  de  ces  n  valeurs  comprises 
entre  o  et  X  ;  et  comme  le  nombre  n  est  infini ,  il  s'ensuit 
que  le  premier  membre  fx  coïncide  nécessairement  avec  le 
second ,  lorsque  la  valeur  x ,  substituée  dans  l'un  et  l'autre , 
est  comprise  entre  o  et  X. 

La  démonstration  précédente  ne  s'applique  pas  seulement 
aux  développemens  dont  la  forme  est 

a,  sin.  (a,^)  +rt,  sin.  ((a.o:)  h- rtj  sin.  (p.3.r).  .  .  +  «  .sin.(p.-x), 

elle  convient  à  toutes  les  fonctions  y([A-t)  que  l'on  pourrait 
substituer  à  sin. ([j.j,r),en  conservant  la  condition  principale, 

savoir,  que  l'intégrale   \  dx  9  {[i.-x')    y  (;;.  ar),  ait  une  valeur 

o 

nulle  lorsque  /  ety  sont  des  nombres  différents. 

Si  l'on  propose  de  développer y"a^'  sous  cette  forme: 

^  a,  COS.  X  fl,  COS.  o^x  a,  ces.  iix') 

fx  =  a    +    /  .  +  ,,   ■  +...,.)'+  etc. 

o.sin.j:  6   sin.  ix  bi  &\n.  [ix) 

Les  racines  [a,  a,  [xj.  .  .  (j.^-  •  •  etc.,  seront  des  nombres  en- 
tiers, et  la  condition 

X 

I dx  COS.  TaTCiYJsin.  (^.■kJyj  =0 

o  : 

ayant  toujours  lieu  lorsque  les  indices  i  et  y  sont  des  nom- 
bres différents,  on  obtient,  en  déterminant  les  coefficients 
n^,   b  .,  l'équation  générale  (n),  page  a58,  qui  ne  diltêre  pas 

de  l'équation  (A),  page  555. 


CHAPITRE  IX.  573 

425. 

Si  l'on  omettait  dans  le  second  membre  de  l'équatioi)  (e) 
un  ou  plusieurs  des  termes  qui  répondent  à  une  ou  plusieurs 
racines  [A  de  l'équation  (y),  l'équation  (e)  ne  serait  pas  vraie 
en  général.  Pour  s'en  convaincre,  supposons  qu'un  terme 
contenant  p.   et  a-  ne  soit  point  écrit  dans  le  second  membre 

de  l'équation  (e),  on  pourrait  multiplier  respectivement  les 
a  équations  par  les  factevirs 

dx  sin.  (pr.  dx) ,  r/jt sin.  (a  -2 ^/j;)  ,  dx sin.  ^.3dx....  dx  sin.  [ij.ncix;)  ; 

et  en  les  ajoutant,  la  somme  de  tous  les  termes  des  seconds 

.  membres  serait   nville  ,  en    sorte  qu'il   ne   resterait    aucun 

des  coefficients  inconnus.   Le  résultat,  formé  de  la  somme 

des  premiers  membres  ,   c'est-à-dire  la  somme  des  valeurs 

fif^fi---fy  multipliées  respectivement  par    les  facteurs 

dx  sin.  ([X -dx) ,  dx  sin.  [^-idx) ,  dxûn.  (^3dx)....  dxs\n.('^  n r/x}, 

se  réduirait  à  zéro.  Il  faudrait  par  conséquent  que  cette  rela- 
tion existât  entre  les  quantités  données  /,  /,  fi-  •  ■  /,i>'  et 
on  ne  pourrait  point  les  considérer  comme  entièrement  ar- 
bitraires, ce  qui  est  contre  l'hypothèse.  Si  ces  quantités 
/  /  /s  /  •  •  •  ^^^  ^^^  valeurs  quelconques,  la  relation  dont 
il  s'agit  ne  subsiste  point,  et  l'on  ne  pourrait  pas  satisfaire 
aux  conditions  proposées,  en  omettant  un  ou  plusieurs  ter- 
mes, tels  que  a  ■  sin.  {[>.  -x)  dans  l'équation  (<?).  Donc  la  fonc- 
tion/a? demeurant  indéterminée,  c'est-à-dire,  représentant 
le  système  d'un  nombre  inlini  de  constantes  arbitraires  qui 


574  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR, 

correspondent  à  des  valeurs  de  x  comprises  entre  o  et  X ,  il 
est  nécessaire  d'introduire  dans  le  second  membre  de  l'équa- 
tion (e)  tous  les  termes,  tels  que  «  .sin.  ([x -r),  qui  satisfont 
à  la  condition 

X 

I  dxfsin.  {[j-^x) .  sin.  (^■x)j:=o^ 

o 

les  indices  ietj  étant  différents  ;  mais  s'il  arrivait  que  la  fonc- 
tion /x  fût  telle  que  les  n  grandeurs  /,/,/>■■■  /,^  eussent 
entre  elles  cette  relation  exprimée  par  l'équation 


jdx  fsm.{i).-x)  ./xj  =o. 


il  est  évident  que  le  terme  a-  sin.  (a-^)  pourrait  être  omis 
dans  l'équation  (e). 

Ainsi,  il  y  a  plusieurs  classes  de  fonctions/"^  dont  le  dé- 
veloppement, représenté  par  le  second  membre  de  l'équa- 
tion (e),  ne  contient  pas  certains  termes  correspondants  à 
quelques-unes  des  racines  p..  Il  y  a,  par  exemple,  des  cas  où 
l'on  doit  omettre  tous  les  termes  dont  l'indice  est  pair;  et 
nous  en  avons  vu  divers  exemples  dans  le  cours  de  cet  ou- 
vrage. Mais  cela  ne  peut  avoir  lieu,  si  la  fonction yo;  a  toute 
la  généralité  possible.  Dans  tous  les  cas,  on  doit  supposer 
le  second  membre  de  l'équation  (e)  complet,  et  le  calcul  fait 
connaître  les  termes  qui  peuvent  être  omis ,  parce  que  leurs 
valeurs  deviennent  nulles. 


CHAPITRE   IX.  .  575 

426. 

On  voit  clairement,  par  cet  examen,  que  la  f'onction/'r  re- 
présente, dans  notre  analyse,  le  système  d'un  nombre  n  de 
quantités  séparées,  correspondantes  aux  n  valeurs  de  x  com- 
prises entre  o  et  X,  et  que  ces  n  quantités  ont  des  valeurs 
actuelles,  et  par  conséquent  non  wfinies,  choisies  à  volonté. 
Toutes  pourraient  être  nulles,  excepté  une  seule  dont  la 
valeur  serait  donnée. 

Il  pourrait  arriver  que  la  série  de  ces  n  valeui's/]  f,  f^.... 
f  fût  exprimée  par  une  fonction  assujettie  à  une  loi  conti- 
nue, telle  que  x  ou  x\  sin.  x,  cos.  x ,  ou  en  général  (p.r/ alors 
la  ligne  ococurbe,  dont  les  ordonnées  représentent  les  valeurs 
correspondantes  aux  abcisses  x ,  et  qui  est  placée  au-dessus 
de  l'intervalle  de  .r:=:o  à  .r^X,  se  confond  dans  cet  inter- 
valle avec  la  courbe  dont  l'ordonnée  est  <pa^',  et  les  coefficients 
a,  n,  «3.  .  .  a  de  l'équation (e),  déterminés  par  la  règle  pré- 
cédente, satisfont  toujours  à  cette  condition ,  qu'une  valeur 
de  X  comprise  entre  o  et  X,  donne  le  même  résultat  étant 
substituée  dans  (s^x,  et  dans  le  second  membre  de  l'équa- 
tion  (c).  ■    ,       .       ■ 

F^  représente  la  température  initiale  de  la  couche  splié- 
riquc  dont  le  rayon  est  x.  On  pourrait  supposer,  par  exem- 
ple, Y x^hx ,  c'est-à-dire,  que  la  chaleur  initiale  croît  pro- 
poi'tionnellement  à  la  distance,  depuis  le  centre,  où  elle  est 
nulle,  jusqu'à  la  surface,  où  elle  est  h\.  Dans  ce  cas,  xY x 
o\if[x)  est  égale  à  bx^ ;  en  appliquant  à  cette  fonction  la 
règle  qui  détermine  les  coefficients,  on  développerait  bx'  en 
une  suite  de  termes ,  tels  que  ',■■':■■' 

a,s\ïi.{^.,x)  +  a.^s\n.{[j.,x)  +  <73sin.([y.3*')-  •  •  '^  '^w^"^- ([^«^O- 


576  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

Or  chaque  terme  sin.  ([/..a;),  étant  développé  selon  les  puis- 
sances de  a^,  ne  contient  que  des  puissances  de  rang  impair, 
et  la  fonction  boc^  est  une  puissance  de  rang  pair.  Il  est 
très  -  remarquable  que  cette  fonction  bx^,  désignant  une 
suite  de  valeurs  données  pour  l'intervalle  de  o  à  X,  puisse 
être  développée  en  une  suite  de  termes ,  tels  cjue 

a  .sin.  (i].-x). 

Nous  avons  déjà  prouvé  l'exactitude  rigoureuse  de  ces  résul- 
tats, qui  ne  s'étaient  point  encore  présentés  dans  l'analyse, 
et  nous  avons  montré  le  véritable  sens  des  propositions  qui 
les  expriment.  On  a  vu,  par  exemple,  dans  l'article  223, 
page  238,  que  la  fonction  cos.  x  est  développée  en  une 
suite  de  sinus  d'arcs  multiples,  en  sorte  que  dans  l'équation 
qui  donne  ce  développement,  le  premier  membre  ne  con- 
tient que  des  puissances  paires  de  la  variable ,  et  le  second 
ne  contient  que  des  puissances  impaires.  Réciproquement 
la  fonction  sin.  x,  où  il  n'entre  que  des  fonctions  impaires, 
est  résolue,  page  242,  en  une  suite  de  cosinus  qui  ne  con- 
tiennent que  les  puissances  paires. 

Dans  la  question  actuelle  relative  à  la  sphère ,  la  valeur 
de  xFa;  est  développée  au  moyen  de  l'équation  (e).  Il  faut 
ensuite,  comme  on  le  voit  art.  290,  page  348,  écrire  dans 
chaque  terme  le  facteur  exponentiel,  qui  contient  t,  et  l'on 
a,  pour  exprimer  la  température  v,  qui  est  une  fonction 
de  X  et  t,  l'équation 

X 

/y^asin.  (a  a)  «Fa 
— K[x;if^^ 

xv=^^sm.([i.-x)e  — — ■ " 


y^^ 3 sin. ([/./.). sin. ((A,-  p)     (E) 


CHAPITRE   IX.  577 

La  solution  générale  que  donne  cette  équation  (E)  est  tota- 
lement indépendante  de  la  nature  de  la  fonction  Fœ,  parce 
que  cette  fonction  ne  représente  ici  qu'une  multitude  infinie 
de  constantes  arbitraires,  qui  répondent  à  autant  de  va- 
leurs de  X  comprises  entre  o  et  X. 

Si  l'on  supposait  la  chaleur  primitive  contenue  dans  une 
seule  partie  de  la  sphère  solide,  par  exemple,  depuis  a:=o 
jusqu'à  x  =  {'K^  et  que  les  températures  initiales  des  couches 
supérieures  fussent  nulles,  il  suffirait  de  prendre  l'intégrale 

fdcL  (sin.  {^.cc)  ./a)  , 

entre  les  limites  a?=o  et  x=-  X. 

En  général,  la  solution  exprimée  par  l'équation  (E)  con- 
vient à  tous  les  cas,  et  la  forme  du  développement  ne  varie 
point  selon  la  nature  de  la  fonction. 

Supposons  maintenant  qu'ayant  écrit  sin.  x  au  lieu  de  F.r, 
on  ait  déterminé  par  l'intégration  les  coëfficiens  a-,  et  que 

l'on  ait  formé  l'équation 

a;sin. a;  =  ^,sin.  ([j.,x)  +  (7,  sin.  (i/^x)  +  a^sin.  (^.jX.  .  . . 
+  a .  sin.  ^i.x  -+■  etc. 

Il  est  certain  qu'en  donnant  à  x  une  valeur  quelconque  com- 
prise entre  o  et  X ,  le  second  membre  de  cette  équation  équi- 
vaut à  crsin..r;  c'est  une  conséquence  nécessaire  de  notre 
calcul.  Mais  il  ne  s'ensuit  nullement  qu'en  donnant  à  x 
une  valeur  non  comprise  entre  o  et  X ,  la  même  égalité 
aura  lieu.  On  voit  très-distinctement  le  contraire  dans  les 
exemples  que  nous  avons  cités,  et  si  l'on  excepte  les  cas  par- 

73 


578  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

ticuliers,  on  peut  dire  que  la  fonction  assujettie  à  une  loi 
continue,  qui  formerait  le  premier  membre  des  équations 
de  ce  genre,  ne  coïncide  avec  la  fonction  exprimée  par  le 
second  membre,  que  pour  les  valeurs  de  x  comprises  entre 
o  et  X. 

A  proprement  parler,  l'équation  (e)  est  identique,  et  elle 
subsiste  pour  toutes  les  valeurs  que  l'on  attrijjuerait  à  la 
variable  a.-;  mais  l'un  et  l'autre  membre  de  cette  équation 
représentent  une  certaine  fonction  analytique  qui  coïncide 
avec  une  fonction  connue  y^;,  si  l'on  donne  à  la  variable  x 
des  valeurs  comprises  entre  o  et  X.  Quant  à  l'existence  de 
ces  fonctions ,  qui  coïncident  pour  toutes  les  valeurs  de  la 
variable  comprises  entre  certaines  limites,  et  diffèrent  pour 
les  autres  valeurs ,  elle  est  démontrée  par  tout  ce  qui  pré- 
cède, et  les  considérations  de  ce  genre  sont  un  élément 
nécessaire  de  l'analyse  des  différences  partielles. 

Au  reste,  il  est  évident  que  les  équations  (e)  et  (E)  ne  s'ap- 
plic^uent  pas  seulement  à  la  sphère  solide  dont  le  /ayon  est 
X,  elles  représentent,  l'une  l'état  initial , l'autre  l'état  variable 
du  solide  infinimer.t  étendu,  dont  le  corps  sphérique  fait 
partie  ;  et  lorsqu'on  donne  dans  ces  équations,  à  la  va- 
riable X,  des  valeurs  plus  grandes  que  X ,  elles  se  rapportent 
aux  parties  de  ce  solide  infini  qui  enveloppe  la  sphère.  Cette 
remarque  convient  aussi  à  toutes  les  questions  dynamiques 
que  l'on  résout  par  l'analyse  des  différences  partielles. 

427. 

Pour  appliquer  la  solution  donnée  par  l'équation  (E)  au 
cas  oii  une  seule  couche  sphérique  aurait  été  pi-imitivement 
échauffée,  toutes  les  autres  ayant  une  température  initiale 


CHAPITRE   IX.  579 

nulle,  il  suffirait  de  prendre  l'intégrale  /"[c?asin.([A.a).aFa), 
entre  deux  limites  extrêmement  voisines  ,  a  =  r  et  a=:/ -l-  u, 
r  étant  le  rayon  de  la  surface  intérieure  de  la  couche  échauf- 
fée, et  u  l'épaisseur  de  cette  couche. 

Ou  peut  aussi  considtfrer  sépai'ëment  l'effet  résultant  de 
réchauffement  initial  d'une  autre  couche  comprise  entre  les 
limites  /•+  u  et  r+  iu;  et  si  l'on  ajoute  la  température  va- 
riable due  à  cette  seconde  causc'à  la  température  que  Ton 
avait  d'abord  trouvée  lorsque  la  première  couche  était  seule 
échauffée,  la  somme  des  deux  températures  est  celle  qui  au- 
rait lieu ,  si  les  deux  couches  étaient  échauffées  à  la  fois.  Il 
suffirait,  pour  avoir  égard  aux  deux  causes  réunies,  de  pren- 
dre l'intégraley^/a  (sin.  (|Aj.a)aFa'),  entre  les  limites  a  =  /-  et 

a  =  2u.  Plus  généralement,  l'équation  (E)  pouvant  être  mise 
sous  cette  forme  : 


V=  jl     doL.  aFa  .  sin.  {[j.-a)   .    2 


sin.  []J.  x)  .  e 


X 

X  . 


y(./psin.(ap)sin.(f..g)) 


On  reconnaît  que  l'effet  total  de  réchauffement  des  diffé- 
rentes couches  est  la  somme  des  effets  partiels  que  l'on  dé- 
terminerait séparément,  en  supposant  que  chacune  des  cou- 
ches a  été  seule  échauffée.  La  même  conséquence  s'étend  à 
toutes  les  autres  questions  de  la  théorie  de  la  chaleur  ;  elle 
dérive  de  la  nature  même  des  équations ,  et  la  forme  des  in- 
tégrales la  rend  manifeste.  On  voit  que  la  chaleur  contenue 
dans  chaque  élément  d'un  corps  solide  produit  son  effet  dis- 
tinct, comme  si  cet  élément  avait  été  seul  échauffé ,  tous  les 
autres  ayant  une  température  initiale  nulle.  Ces  divers  états 

73. 


58o  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

se  superposent  en  quelque   sorte,  et  se   rassemblent  pour 
former  le  système  général  des  températures. 

C'est  pour  cette  raison  que  la  forme  de  la  fonction  qui  re- 
présente l'état  initial  doit  être  regardée  comme  entièrement 
arbitraire.  L'intégrale  définie,  qui  entre  dans  l'expression  de 
la  température  variable ,  ayant  les  mêmes  limites  que  le  so- 
lide échauffé ,  montre  expressément  que  l'on  réunit  tous  les 
effets  partiels  dus  à  réchauffement  initial  de  chaque  élément. 

428. 

Nous  terminerons  ici  cette  section,  dont  l'objet  appartient 
presque  entièrement  à  l'analyse.  Les  intégrales  que  nous 
avons  obtenues  ne  sont  point  seulement  des  expressions 
générales  qui  satisfont  aux  équations  différentielles;  elles 
représentent  de  la  manière  la  plus  distincte  l'effet  naturel , 
qui  est  l'objet  de  la  question.  C'est  cette  condition  princi- 
pale que  nous  avons  eu  toujours  en  vue,  et  sans  laquelle  les 
résultats  du  calcul  ne  nous  paraîtraient  que  des  transforma- 
tions inutiles.  Lorsque  cette  condition  est  remplie,  l'inté- 
grale est,  à  proprement  parler,  l'équation  da  phénomène  ; 
elle  en  exprime  clairement  le  caractère  et  le  progrès,  de 
même  c]ue  l'équation  finie  d'une  ligne  ou  d'une  surface 
courbe  fait  connaître  toutes  les  propriétés  de  ces  figuies 
Pour  découvrir  ces  solutions  ,  nous  ne  considérons  point 
une  seule  forme  de  l'intégrale  ;  nous  cherchons  à  obtenir 
immédiatement  celle  qui  est  propre  à  la  question.  C'est  ainsi 
que  l'intégrale,  qui  exprime  le  mouvement  de  la  chaleur  dans 
une  sphère  d'un  rayon  donné,  est  très-différente  de  celle 
qui  expinme  ce  mouvement  dans  un  corps  cylindrique,  ou 
même  dans  une  sphère  d'un  rayon  supposé  infini.  Or,  cha- 


CHAPITRE  IX.  58i 

cune  de  ces  intégrales  aune  forme  de'terminëe  qui  ne  peut  pas 
être  suppléée  par  une  autre.  Il  est  nécessaire  d'en  faire  usage, 
si  l'on  veut  connaître  la  distribution  de  la  chaleur  dans  le 
corps  dont  il  s'agit.  En  général,  on  ne  pourrait  apporter 
aucun  changement  dans  la  forme  de  nos  solutions,  ^ns  leur 
faire  perdre  leur  caractère  essentiel,  qui  est  de  représenter 
les  phénomènes. 

Ces  diverses  intégrales  pouriaient  être  déduites  les  unes 
des  autres;  car  elles  ont  la  même  étendue.  Mais  ces  trans- 
formations exigent  de  longs  calculs,  et  supposent  presque 
toujours  que  la  forme  des  résultats  est  connue  d'avance. 
On  peut  considérer  en  premier  lieu,  des  corps  dont  les  di- 
mensions sont  finies,  et  passer  de  cette  question  à  celle  qui 
se  rapporte  à  un  solide  non  terminé.  On  substitue  alors 
une  intégrale  définie  à  la  somme  désignée  par  le  signe  2» 
C'est  ainsi  que  les  équations  (a)  et  fp),  rapportées  au  com- 
mencement de  cette  section ,  dépendent  l'une  de  l'autre.  La 
première  devient  la  seconde,  lorsqu'on  suppose  le  rayon  R 
iniini.  On  peut  réciproquement  déduire  de  cette  seconde 
équation  (  p  )  les  solutions  relatives  aux  corps  de  dimensions 
limitées. 

En  général, nous  avons  cherché  à  obtenir  chaque  résultat 
par  la  voie  la  plus  courte.  Voici  les  éléments  principaux  de 
la  méthode  que  nous  avons  suivie. 

1°  On  considère  à-là-fois  la  condition  générale  donnée  par 
l'équation  aux  différences  partielles ,  et  toutes  les  conditions 
singulières  qui  déterminent  entièrement  la  question ,  et  l'on 
se  propose  de  former  l'expression  analytique  qui  satisfait  à 
toutes  ces  conditions. 

2°  On  reconnaît  d'abord  cpie  cette  expression  contient  un 


582  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

nombre  indéfini  de  termes,  où  il  entre  des  constantes  in- 
connues, ou  qu'elle  équivaut  à  une  intégrale  oii  se  trouvent 
une  ou  plusieurs  fonctions  arbitraires.  Dans  le  premier  cas, 
c'est-à-dire,  lorsque  le  terme  général  est  affecté  du  signe  2i 
on  déduit  des  conditions  spéciales  une  équation  transcen- 
dante déterminée,  dont  les  racines  donnent  les  valeurs  d'un 
nombre  infini  de  constantes. 

Le  second  cas  a  lieu  lorsque  le  terme'  général  devient  une 
quantité  infiniment  petite  ;  alors  la  somme  de  la  série  se 
change  en  une  intégrale  définie. 

3°  On  peut  démontrer  par  les  théorèmes  fondamentaux 
de  l'algèbre,  ou  même  par  la  nature  physique  de  la  ques- 
tion, que  l'équation  transcendante  a  toutes  ses  racines  réelles 
en  nombre  infini. 

4'  Dans  les  questions  élémentaires,  le  terme  général  est 
formé  de  sinus  ou  cosinus  ;  les  racines  de  l'équation  déter- 
minée sont  des  nombres  entiers,  ou  des  quantités  réelles 
et  irrationnelles  :  chacune  d'elles  est  comprise  entre  deux 
limites  déterminées. 

Dans  les  questions  plus  composées,  le  terme  général  est 
formé  d'une  fonction  implicitement  donnée  au  moyen  d'une 
équation  différentielle  intégrable  ou  non.  Quoi  qu'il  en  soit, 
l'équation  déterminée  subsiste  ;  elle  a  toutes  ses  racines  réelles 
en  nombre  infini.  Cette  distinction  des  parties,  dont  l'inté- 
grale doit  être  composée,  est  très-importante,  parce  qu'elle 
fait  connaître  clairement  la  forme  de  la  solution,  et  les  rela- 
tions nécessaires  entre  les  coefficients. 

5'  Il  reste  à  déterminer  les  seules  constantes  qui  dépendent 
de  l'état  initial,  ce  qui  se  fait  par  l'élimination  des  inconnues 
dans  un  nombre  infini  d'équations  du  premier  degré.  On 


CHAPITRE  IX.  583 

multiplie  l'equation  qui  se  rapporte  à  l'e'tat  initial  par  un  fac- 
teur différentiel,  et  l'on  intègre  entre  des  limites  définies, 
qui  sont  le  plus  souvent  celles  du  solide  où  le  mouvement 
s'accomplit. 

Il  y  a  des  questions  pour  lesquelles  nous  avons  déterminé 
les  coefficients  par  des  intégrations  successives,  comme  ou 
le  verra  dans  le  mémoire  qui  a  pour  objet  la  température 
des  habitations.  Dans  ce  cas ,  on  considère  les  intégrales 
exponentielles  qui  conviennent  à  l'état  initial  du  solide  in- 
fini; car  il  est  facile  d'obtenir  ces  intégrales. 

Il  résulte  des  intégrations  que  tous  les  termes  du  second 
membre  dispai'aissent ,  excepté  celui  dont  on  veut  détermi- 
ner le  coefficient.  Dans  la  valeur  de  ce  coefficient ,  le  dénomi- 
nateur devient  nul ,  et  l'on  obtient  toujours  une  intégrale 
définie  dont  les  limites  sont  celles  du  solide,  et  dont  un  des 
facteurs  est  la  fonction  arbitraire  qui  convient  à  l'état  ini- 
tial. Cette  forme  du  résultat  est  nécessaire,  parce  que  le  mou- 
vement variable,  qui  est  l'objet  de  la  cpestion,  se  compose 
de  tous  ceux  qui  auraient  lieu  séparément,  si  chaque  point 
du  solide  était  seul  échauffé,  et  que  la  température  initiale 
de  tous  les  autres  fût  nulle. 

Lorsqu'on  examine  avec  soin  ce  procédé  d'intégration, 
qui  sert  à  déterminer  les  coefficients ,  on  voit  qu'il  contient 
une  démonstration  complète,  et  qu'il  montre  très -distinc- 
tement la  nature  des  résultats,  en  sorte  cju'il  n'est  nullement 
nécessaire  de  les  vérifier  par  d'autres  calculs. 

La  plus  remarquable  des  questions  que  nous  ayons  ex- 
posées jusqu'ici ,  et  la  plus  propre  à  faire  connaître  l'en- 
semble de  notre  analyse,  est  celle  du  mouvement  variable 
de  la  chaleur  dans  un  corps  cylindrique.  Dans  d'autres  re- 


584  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

cherches,  la  de'termination  des  coefficients  exigerait  des  pro- 
cèdes de  calcul  que  nous  ne  connaissons  point  encore.  Mais 
il  faut  remarquer  que  l'on  peut  toujours,  sans  déterminer 
les  valeurs  des  coefficients,  acquérir  une  connaissance  exacte 
de  la  question,  et  de  la  marche  naturelle  du  phénomène  qui 
en  est  l'objet;  la  considération  principale  est  celle  des  mou- 
vements simples. 

6"  Lorsque  l'expression  cherche'e  contient  une  intégrale 
définie,  on  détermine  les  fonctions  inconnues  placées  sous 
le  signe  y,  soit  par  les  théorèmes  que  nous  avons  donnés 
pour  exprimer  les  fonctions  arbitraires  en  intégrales  défi- 
nies ,  soit  par  un  procédé  plus  composé ,  dont  on  trouvera 
divers  exemples  dans  la  seconde  Partie. 

Ces  théorèmes  s'étendent  à  un  nombre  quelconque  de  va- 
riables. Ils  appartiennent  en  quelque  sorte  à  une  méthode 
inverse  d'intégration  définie  :  car  ils  servent  à  déterminer 
sous  les  signes  y  et  2  des  fonctions  inconnues  qui  doivent 
être  telles ,  que  le  résultat  de  l'intégration  soit  une  fonction 
donnée. 

Les  mêmes  principes  s'appliquent  à  diverses  autres  ques- 
tions de  géométrie,  de  physique  générale,  ou  d'analyse, 
soit  que  les  équations  contiennent  des  différences  finies  ou 
infiniment  petites ,  soit  qu'elles  comprennent  les  unes  et  les 
autres. 

Les  solutions  Cjue  l'on  obtient  par  cette  méthode  sont 
complètes,  et  consistent  dans  des  intégrales  générales.  Au- 
cune autre  intégrale  ne  peut  avoir  plus  d'étendue.  Les  objec- 
tions qui  avaient  été  proposées  à  ce  sujet  sont  dénuées  de 
tout  fondement;  il  serait  aujourd'hui  superflu  de  les  discuter. 

7°  Nous  avons  dit  que  chacune  de  ces  solutions  donne 


CHAPITRE  IX.  585 

V équation  propre  du  phénomène ,  parce  qu'elle  le  représente 
distinctement  dans  toute  l'étendue  de  son  cours,  et  qu'elle 
sert  à  de'terminer  facilement  en  nombre  tous  les  re'sultats. 

Les  fonctions  que  l'on  obtient  par  ces  solutions  sont  donc 
compose'es  d'une  multitude  de  termes,  soit  finis,  soit  infi- 
niment petits  :  mais  la  forme  de  ces  expressions  n'a  rien 
d'arbitraire;  elle  estdëtermine'e  par  le  caractère  physique  du 
phénomène.  C'est  pourquoi,  lorsque  la  valeur  de  la  fonction 
est  exprimée  par  une  série  où  il  entre  des  exponentielles  re- 
latives au  temps,  il  est  nécessaire  que  cela  soit  ainsi,  parce 
que  l'effet  naturel  dont  on  lecherche  les  lois ,  se  décompose 
réellement  en  parties  distinctes,  correspondantes  aux  diffé- 
rents termes  de  la  série.  Ces  parties  expriment  autant  de 
mouvements  simples  compatibles  avec  les  conditions  spé- 
ciales ;  pour  chacun  de  ces  mouvements ,  toutes  les  tempé- 
ratures décroissent  en  consei'vant  leurs  rapports  primitifs. 
On  ne  doit  pas  voir  dans  cette  composition  un  résultat  de 
l'analyse  dû  à  la  seule  forme  linéaire  des  équations  différen- 
tielles, mais  uu  effet  subsistant  qui  devient  sensible  dans  les 
expériences.  Il  se  présente  aussi  dans  les  questions  dyna- 
miques où  l'on  considère  les  causes  qui  anéantissent  le  mou- 
vement; mais  il  appartient  nécessairement  à  toutes  les  ques- 
tions de  la  théorie  de  la  chaleur,  et  il  détermine  la  nature 
de  la  méthode  que  nous  avons  suivie  pour  les  résoudre. 

La  théorie  mathématique  de  la  chaleur  se  forme,  i"  de  la 
définition  exacte  de  tous  les  éléments  du  calcul  ;  2"  des  équa- 
tions différentielles  ;  3°  des  intégrales  propres  aux  questions 
fondamentales.  On  peut  arriver  aux  équations  par  plusieurs 
voies;  on  peut  aussi  obtenir  les  mêmes  intégrales,  ou  ré- 
soudre d'autres  questions,  en   apportant  quelc[ue  change- 

74 


58(3  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

ment  dans  la  marche  du  calcul.  Nous  pensons  que  ces  re- 
cherches ne  constituent  point  une  méthode  différente  de  la 
nôtre;  mais  elles  confirment  et  multiplient  les  résultats. 

9°  On  avait  objecté,  au  sujet  de  notre  analyse,  que  les 
équations  transcendantes  qui  déterminent  les  exposants  , 
ayant  des  racines  imaginaires,  il  serait  nécessaire  d'employer 
les  termes  qui  en  proviennent,  et  qui  indiqueraient  dans 
une  partie  du  phénomène  le  caractère  périodique  :  mais 
cette  objection  n'est  point  fondée,  parce  que  les  équations 
dont  il  s'agit  ont  en  effet  toutes  leurs  racines  réelles ,  et 
qu'aucune  partie  du  phénomène  ne  peut  être  périodique. 

10°  On  avait  allégué  que  pour  résoudre  avec  certitude  les 
questions  de  ce  genre,  il  est  nécessaire  de  recourir  dans 
tous  les  cas  à  une  certaine  forme  de  l'intégrale  que  l'on  dé- 
signait comme  générale;  et  l'on  proposait,  sous  cette  déno- 
mination, l'équation  (y)  de  l'article  898;  mais  cette  distinc- 
tion n'est  point  fondée,  et  l'usage  d'une  seule  intégrale 
n'aurait  pour  effet,  dans  plusieurs  cas,  que  de  compliquer 
le  calcul  sans  nécessité.  Il  est  d'ailleurs  évident  que  cette  in- 
tégrale (y)  se  déduit  de  celle  que  nous  avons  donnée  en  1807 
■pour  déterminer  le  mouvement  de  la  chaleur  dans  une  ar- 
mille  d'un  rayon  déterminé  R;  il  suffit  de  donner  à  R  une 
valeur  infinie. 

11°  On  a  pensé  que  la  méthode  qui  consiste  à  exprimer 
l'intégrale  par  une  suite  de  termes  exponentiels,  et  à  déter- 
miner les  coefficients  au  moyen  de  l'état  initial,  ne  résout 
point  la  question  relative  à  un  prisme  qui  perd  inégalement 
sa  chaleur  par  ses  deux  extrémités  ;  ou  que,  du  moins,  il 
serait  très-difficile  de  vérifier  ainsi  la  solution  que  l'on  dé- 
duit de  l'intégrale  (y)  par  de  longs  calculs.  On  reconnaîtra 


CHAPITRE  IX.  587 

par  uu  nouvel  examen,  que  notre  méthode  s'applique   di- 
rectement à  cette  question  ,  et  qu'il  suftit  même  xlune  seule 


intégration. 


i2<*  Nous  avons  développé  en  séries  de  sinus  d'arcs  mul- 
tiples des  fonctions  qui  paraissent  ne  contenir  que  des  puis- 
sances paires  de  la  variable,  par  exemple,  cos  jc.  Nous  avons 
expi'imé  par  des  suites  convergentes  ou  en  intégrales  défi- 
nies des  parties  séparées  de  diverses  fonctions  ou  des  fonc- 
tions discontinues  entre  certaines  limites,  par  exemple,  celle 
qui  mesure  l'ordonnée  dans  un  triangle.  Nos  démonstrations 
ne  laissent  aucun  doute  sur  l'exacte  vérité  de  ces  équa- 
tions. 

i3°  On  trouve  dans  les  ouvrages  de  tous  les  géomètres  des 
résultats  et  des  procédés  de  calcul  analogues  à  ceux  que 
nous  avons  employés.  Ce  sont  des  cas  particuliers  d'une  mé- 
thode générale  qui  n'était  point  encore  formée  ,  et  qu'il 
devenait  nécessaire  d'établir  pour  connaître,  même  dans  les 
questions  les  plus  simples ,  les  lois  mathématiques  de  la  dis- 
tribution de  la  chaleur.  Cette  théorie  exigeait  une  analyse 
qui  lui  est  propre, et  dont  un  élément  principal  est  l'expres- 
sion analytique  des  Jonctions  séparées,  ou  des  parties  de 
fonctions. 

Nous  entendons  ^^nr  Jonction  séparée,  ou  partie  de  Jonc- 
tion, une  fonction  fx  qui  a  des  valeurs  subsistantes,  lors- 
que la  variable  x  est  comprise  entre  des  limites  données,  et 
dont  la  valeur  est  toujours  nulle,  si  la  variable  n'est  pas 
comprise  entre  ces  limites.  Cette  fonction  mesure  l'ordonnée 
d'une  ligne  qui  comprend  un  arc  fini  d'une  forme  arbi- 
traire, et  se  confond  avec  l'axe  des  abcisses  dans  tout  le 
reste  de  son  cours. 


588  THÉORTE  DE  LA  CHALEUR. 

Cette  notion  n'est  point  opposée  aux  principes  généraux 
du  calcul;  on  pourrait  même  en  trouver  les  premiers  fonde- 
ments dans  les  écrits  de  Daniel  Bernouilly,  de  Clairaut,  de 
La  Grange  et  d'EulcT.  Toutefois  on  avait  regardé  comme 
manifestement  impo.-sible  d'exprimer  en  séries  de  sinus 
d'arcs  multiples,  ou  du  moins  en  séries  trigonométriques 
convergentes,  une  fonction  qui  n'a  de  valeurs  subsistantes*que 
si  celles  de  la  variable  sont  comprises  entre  certaines  limites, 
et  dont  toutes  les  autres  valeurs  seraient  nulles.  Mais  ce  point 
d'analyse  est  pleinem:  nt  éclairci,  et  il  demeure  incontes- 
table que  les  fonctions  séparées,  ou  parties  de  fonctions,  sont 
exactement  exprimées  par  des  séries  trigonométriques  con- 
vergentes, ou  pai-  dis  intégrales  définies  Nous  avons  insisté 
sur  cette  conséquence  dès  l'origine  de  nos  recherches  jus- 
qu'à ce  jour,  parce  qu'il  ne  s'agit  point  ici  d'une  question 
abstraite  et  isolée,  mais  d'une  considération  principale,  in- 
timement liée  aux  applications  les  plus  utiles  et  les  plus 
étendues  Rien  ne  nous  a  paru  plus  propre  que  les  construc- 
tions géométriques  à  démontrer  la  vérité  de  ces  nouveaux 
résultats,  et  à  rendre  sensibles  les  formes  que  l'analyse  em- 
ploie pour  les  exprimer. 

i4°  Les  principes  qui  nous  ont  servi  à  établir  la  théorie 
analytique  de  la  chaleur,  s'appliquent  immédiatement  à  la 
recherche  du  mouvement  des  ondes  dans  les  liquides  dont  une 
partie  a  été  agitée.  Ils  donnent  aussi  celle  des  vibrations  des 
lames  élastiques,  des  surfaces  flexibles  tendues,  des  surfaces 
planes  élastiques  de  très-grandes  dimensions, et  conviennent 
en  général  aux  questions  qni  dépendent  de  la  théorie  de 
l'élasticité.  Le  propre  des  solutions  que  l'on  déduit  de  ces 
principes  est  de  rendre  les  applications  numériques  faciles, 


CHAPITRE  IX.  589 

et  de  présenter  des  résultats  distincts  et  sensibles ,  qui  dé- 
terminent réellement  l'objet  de  la  question,  sans  ("aire  dépen- 
dre cette  connaissance  d'intégrations  ou  d'éliminations  qu'on 
ne  peut  effectuer.  Nous  regardons  comme  supeiflue  toute 
transformation  du  résultat  du  calcul  qui  ne  satisfait  point 
à  cette  condition  principale. 

429. 

1°  Nous  présenterons  maintenant  diverses  remarques 
concernant  les  équations  différentielles  du  mouvement  de  la 
chaleur. 

Si  deux  molécules  d'un  même  corps  sont  extrêmement 
voisines  et  ont  des  températures  inégales,  celle  qui  est  la  plus 
échauffée  communique  directement  à  l'autre  pendant  un 
instant  une  certaine  quantité  de  chaleur;  cette  quantité  est 
proportionnelle  à  la  différence  extrêmement  petite  des  tempé- 
ratures :  c'est-à-dire  que  si  cette  différence  devenait  double 
triple,  quadruple,  et  que  toutes  les  autres  conditions  demeu- 
rassent les  mêmes,  la  chaleur  communiquée  serait  double 
triple,  quadruple. 

Cette  proposition  exprime  un  fait  général  et  constant, 
qui  suffit  pour  servir  de  fondement  à  la  théorie  mathéma- 
tique. Le  mode  de  transmission  est  donc  connu  avec  cer- 
titude, indépendamment  de  toute  hypothèse  sur  la  nature 
de  la  cause ,  et  il  ne  peut  être  envisagé  sous  deux  points 
de  vue  différents.  Il  est  évident  que  la  communication  im- 
médiate s'opère  suivant  toutes  les  directions,  et  cju'elle  n'a 
lieu  dans  les  fluides  ou  les  liquides  non  diaphanes,  qu'entre 
des  molécules  extrêmement  voisines. 

Les,  équations   générales  du  mouvement  de  la  chaleur , 


r. 


THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 


.90 

dans  l'intérieur  des  solides  de  dimensions  quelconques,  et 
à  la  surface  de  ces  corps ,  sont  des  conséquences  nécessaires 
de  la  proposition  précédente.  Elles  s'en  déduisent  rigoureu- 
sement ,  comme  nous  l'avons  prouvé  dans  nos  premiers  Mé- 
moires en  1807,  et  l'on  obtient  facilement  ces  équations  au 
moyen  de  lemmes  dont  la  démonstration  n'est  pas  moins  exacte 
que  celle  des  propositions  élémentaires  de  la  mécanique. 

On  déduit  encore  ces  équations  de  la  même  proposition , 
en  déterminant  par  des  intégrations ,  la  quantité  totale  de 
chaleur  qu'une  molécule  reçoit  de  celles  qui  l'environnent. 
Ce  calcul  n'est  sujet  à  aucune  difficulté.  Les  lemmes  dont 
il  s'agit  suppléent  aux  intégrations,  parce  qu'ils  donnent  im- 
médiatement l'expression  du  flux,  c'est-à-dire  de  la  quan- 
tité de  chaleur  qui  traverse  une  section  quelconcjue.  L'un  et 
l'autre  calcul  doivent  évidemment  conduire  au  même  ré- 
sultat; et  comme  il  n'y  a  aucune  différence  dans  le  principe, 
il  ne  peut  point  y  en  avoir  dans  les  conséquences.. 

2.°  Nous  avons  donné,  en  181 1,  l'équation  générale  qui  se 
rapporte  à  la  surface.  Elle  n'a  pas  été  déduite  de  cas  parti- 
culiers ,  comme  on  l'a  supposé  sans  aucun  fondement ,  et 
elle  n'aurait  pu  l'être;  la  proposition  qu'elle  exprime  n'est 
point  de  nature  à  être  découverte  par  voie  d'induction  ;  on 
ne  peut  pas  la  connaître  pour  certains  corps,  et  l'ignorer 
pour  les  autres  ;  elle  est  nécessaire  pour  tous ,  afin  que  l'é- 
tat de  la  superficie  ne  subisse  pas  dans  un  temps  détermine'  un 
changement  infini.  Nous  avons  omis  dans  notre  Mémoire  les 
détails  de  la  démonstration ,  parce  qu'ils  consistent  seule- 
ment dans  l'application  de  propositions  connues.  Il  suffisait 
dans  cet  écrit  de  donner  le  principe  et  le  résultat,  comme 
oous  l'avons  fait  dans  l'article  i5  du  Mémoire  cité. 


CHAPITRE  IX.  591 

On  déduit  aussi  de  cette  même  condition  l'équation  gé- 
nérale dont  il  s'agit,  en  déterminant  la  quantité  totale  de 
chaleur  que  chaque  molécule  placée  à  la  surface  reçoit  et 
communique.  Ces  calculs  très-composés  ne  changent  rien  à 
la  nature  de  la  démonstration. 

Dans  la  recherche  de  l'équation  différentielle  du  mouve- 
ment de  la  chaleur,  on  peut  supposer  que  la  masse  n'est 
point  homogène ,  et  il  est  très-facile  de  déduire  cette  équa- 
tion de  l'expression  analytique  du  flux  ;  il  suffit  de  laisser 
sous  le  signe  de  la  différentiation  le  coefficient  qui  mesure 
la  conducibilité. 

3°  Newton  a  considéré  le  premier  la  loi  du  refroidisse- 
ment des  corps  dans  l'air  :  celle  qu'il  a  admise  pour  le  cas 
où  l'air  est  emporté  avec  une  vitesse  constante,  est  d'autant 
plus  conforme  aux  observations  que  la  différence  des  tem- 
pératures est  moindre  ;  elle  aurait  lieu  exactement,  si  cette 
différence  était  infiniment  petite. 

Amontons  a  fait  une  expérience  remarquable  sur  l'établis- 
sement de  la  chaleur  dans  un  prisme  dont  l'extrémité  est 
assujettie  à  une  température  déterminée.  La  loi  logarith- 
mique du  décroissement  des  températures  dans  ce  prisme, 
a  été  donnée  pour  la  première  fois  par  Lambert ,  de  l'Aca- 
démie de  Berhn.  MM.  Biot  et  de  Rumford  ont  confirmé 
cette  loi  par  des  expériences. 

Pour  découvrir  les  équations  différentielles  du  mouvement 
variable  de  la  chaleur,  et  même  dans  le  cas  le  plus  élémen- 
taire, comme  celui  du  prisme  cylindrique  d'un  très-petit 
rayon,  il  était  nécessaire  de  connaître  l'expression  mathé- 
matique de  la  quantité  de  chaleur  qui  traverse  une  partie 
extrêmement  petite  du  prisme.  Cette  quantité  n'est  pas  seu- 


/ 


bgo.     '  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

lement  proportionnelle  à  la  différence  des  températures  des 
deux  sections  qui  terminent  la  tranche.  On  prouve  de  la 
manière  la  plus  rigoureuse  qu'elle  est  aussi-en  raison  inverse 
de  l'épaisseur  de  cette  tranche,  c'est-à-dire,  que  si  deux 
tranches  cViin  même  prisme  étaient  inégalement  épaisses,  et 
que  pour  la  première ,  la  différence  des  températures  des 
deux  bases  fut  la  même  que  pour  la  seconde,  les  quantités 
de  chaleur  qui  traversent  ces  tranches  pendant  le  même  in- 
stant,  seraient  en  raison  inverse  des  épaisseurs.  Le  lemme 
précédent  ne  convient  pas  seulement  à  des  tranches  dont 
l'épaisseur  est  infiniment  petite  ;  il  s'applique  à  des  prismes 
d'une  épaisseur  quelconque.  Cette  notion  du  flux  est  fon- 
damentale ;  tant  qu'on  ne  l'a  point  acquise ,  on  ne  peut  se 
former  une  idée  exacte  du  phénomène  et  de  l'équation  qui 
l'exprime. 

Il  est  évident  que  l'accroissement  instantanée  de  la  tem- 
pérature d'un  point ,  est  proportionnel  à  l'excès  de  la  quan- 
tité de  chaleur  que  ce  point  a  reçue,  sur  la  quantité  qu'il  a 
perdue,  et  qu'une  équation  différentielle  partielle  doit  expri- 
mer ce  résultat  :  mais  la  question  ne  consiste  pas  à  énoncer 
cette  proposition,  qui  est  le  fait  lui-même;  elle  consiste  à 
former  réellement  l'équation  différentielle,  ce  qui  exige  que 
l'on  considère  ce  fait  dans  ses  éléments.  Si  au  lieu  d'em- 
ployer l'expression  exacte  du  flux  de  chaleur,  on  omet  le 
dénominateur  de  cette  expression ,  on  fait  naître  par  cela 
même  une  difficulté  qui  n'est  nullement  inhérente  à  la  ques- 
tion; et  il  n'y  a  aucune  théorie  mathématique  qui  n'en  pré- 
sentât de  semblables ,  si  l'on  commençait  par  altérer  le  prin- 
cipe des  démonstrations.  Non-seulement  on  ne  peut  former 
ainsi  une  équation  différentielle  :  mais  il  n'y  a  rien  de  plus 


CHAPITRE  IX.  593 

opposé  à  une  équation,  qu'une  proposition  de  ce  genre,  où 
l'on  exprimerait  légalité  de  quantités  qui  ne  peuvent  être 
comparées.  Pour  éviter  cette  erreur,  il  suffit  de  donner  quel- 
que attention  à  la  démonstration  et  aux  conséquences  du 
lemme  précédent  (art.  65,  66^  67,  et  art.  ^5). 

4°  Quant  aux  notions  dont  nous  avons  déduit  pour  la  pre- 
mière fois  les  équations  différentielles,  elles  sont  celles  que 
les  physiciens  ont  toujours  admises.  Nous  ignorons  si  quel- 
qu'un a  pu  concevoir  le  mouvement  de  la  chaleur,  comme 
étant  produit  dans  lintérieur  des  corps  par  le  seul  contact 
des  surfaces  qui  séparent  les  différentes  parties.  Pour  nous, 
une  telle  proposition  nous  paraîtrait  dépourvue  de  tout  sens 
intelligible.  Une  surface  de  contact  ne  peut  être  le  sujet  d'au- 
cune qualité  physique;  elle  n'est  ni  échauffée  ,  ni  colorée,  ni 
pesante.   Il    est  évident  que   lorsqu'une  ]>artie   d'un  corps 
donne  sa  chaleur  à  une  autie,  il  y  a  une  infinité  de  points 
matériels  de  la  première,  qui  agissent  sur  une  infinité  de 
points  de  la  seconde.  Il  faut  seulement  ajouter  que  dans 
l'intérieur  des  matières  opaques ,  les  points  dont  la  distance 
n'est  pas  très-petite  ne  peuvent  se  communiquer  dii'ectement 
leur  chaleur;  celle  qu'ils  s'envoient  est  interceptée  par  les 
molécules  intermédiaires.  Les  tranches  en  contact  sont  les 
seules  qui  se  communiquent  immédiatement  leur  chaleur, 
lorscpie  l'épaisseur  de  ces  tranches  égale  ou  surpasse  la  dis- 
tance que  la  chaleur  envoyée  par  un  point,  parcourt  avant 
d'être  entièrement  absorbée.  Il  n'y  a  d'action  directe  qu'entre 
les  points  matériels  extrêmement  voisins,  et  c'est  pour  cela, 
que  l'expression  du  flux  a  la  forme  que  nous  lui  attribuons. 
Ce  flux  résulte  donc  d'une  multitude  infinie  d'actions  dont 
les  eifets  s'ajoutent;  mais  ce  n'est  point  pour  cette  cause 

75 


594  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

que  sa  valeur,  pendant  l'unité  de  temps  est  une  grandeur 
finie  et  mesurable,  quoiqu  il  ne  soit  déterminé  que  par  une 
différence  extrêmement  petite  entre  les  températures. 

Lorsqu'un  corps  échauffé  perd  sa  chaleur  dans  un  milieu 
élastique,  ou  dans  un  espace  vide  d'air  terminé  par  une 
enveloppe  solide,  la  valeur  de  «e  flux  extérieur  est  assuré- 
ment une  intégrale;  elle  est  encor  due  à  l'action  d'une  infi- 
nité de  points  matériels,  très-voisins  de  la  surface,  et  nous 
avons  démontré  autrefois,  que  ce  concours  détermine  la  loi 
du  rayonnement  extérieur.  Cependant  la  quantité  de  cha- 
leur émise  ,  pandant  l'îmité  de  temps,  serait  infiniment  pe- 
tite, si  la  différence  des  températures  n'avait  point  une  valeur 
finie.  Dans  l'intérieur  des  masses,  la  (acuité  conductrice  est 
incomparablement  plus  grande  que  celle  qui  s'exerce  à  la 
superficie.  Cette  propriété,  quelle  qu'en  puisse  être  la  cause, 
nous  est  connue  de  la  manière  !a  plus  claire,  puisque  le 
prisme  étant  parvenu  à  son  état  constant,  la  quantité  de 
chaleur  qui  traverse  une  section ,  pendant  l'unité  de  temps, 
compense  exactement  celle  qui  se  dissipe  par  toute  la  partie 
de  la  surface  échauffée,  qui  est  placée  au-delà  de  cette  sec- 
tion ,et  dont  les  températures  surpassent  celle  du  milieu  d'une 
grandeur  finie.  Lorsqu'on  n'a  point  égard  à  ce  fait  prin- 
cipal, et  que  l'on  omet  le  diviseur  dans  l'expression  du  flux, 
il  est  entièrement  impossible  de  former  l'équation  différen- 
tielle ,  même  pour  le  cas  le  plus  simple;  à  plus  forte  raison, 
serait-on  arrête  dans  la  recherche  des  équations  générales. 

5°  De  plus  ,  il  est  nécessaire  de  connaître  comment  les  di- 
mensions de  la  section  du  prisme  influent  sur  les  valeurs 
des  températures  acquises.  Quoiqu'il  s'agisse  seulement  du 
mouvement  linéaire ,  et  que  tous  les  points  d'une  section 


CHAPITRE  IX.  5cf5 

soient  regardés  comme  ayant  la  même  température,  il  ne 
s'ensuit  pas  que  l'on  puisse  faire  abstraction  des  dimen- 
sions de  la  section,  et  étendre  à  d'autres  prismes  les  consé- 
quences qui  ne  conviennent  qu'à  un  seul.  On  ne  peut  point 
former  l'équation  exacte  sans  exprimer  cette  relation  entre 
l'étendue  de  la  section  et  l'effet  produit  à  l'extrémité  du 
prisme. 

Nous  ne  développerons  pas  davantage  l'examen  des  prin- 
cipes qui  nous  ont  conduit  à  la  connaissance  des  équations 
différentielles  ;  nous  ajoutons  seulement  que  pour  porter 
un  jugement  approfondi  sur  l'utilité  de  ces  principes,  il  faut 
aussi  considérer  des  questions  variées  et  difficiles  :  par  exem- 
ple, celle  que  nous  allons  indiquer,  et  dont  la  solution  man- 
quait à  notre  théorie,  ainsi  que  nous  l'avions  Itiit  remar- 
quer depuis  long-temps.  Cette  question  consiste  à  former  les 
équations  différentielles,  qui  expriment  la  distribution  de  la 
chaleur  dans  les  liquides  en  mouvement,  lorsque  toutes  les 
molécules  sont  déplacées  par  des  forces  quelconques,  com- 
binées avec  les  changements  de  température.  Ces  équations 
que  nous  avons  données  dans  le  cours  de  l'année  1820,  ap- 
partiennent à  l'hydrodynamique  générale;  elles  complètent 
cette  branche  de  la  mécanique  analytique. 

43o. 

Les  différents  corps  jouissent  très -inégalement  de  cette 
propriété  que  les  physiciens  ont  appelée  conductibilité  ou 
conducibilite\  c'est-à-dire  de  la  faculté  d'admettre  la  chaleur, 
et  de  la  propager  dans  fintérieur  des  masses.  Nous  n'avons 
point  changé  ces  dénominations,  quoique  elles  ne  nous  pa- 
raissent point  exactes.  L'une  et  l'autre,  et  sur- tout  la  pre- 

75. 


-S» 


596  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

mière,  exprimeraient  plutôt,  selon  toutes  les  analogies,  la 
faculté  d'être  conduit  que  celle  de  conduire. 

La  chaleur  pénètre  avec  plus  ou  moins  de  facilité  la  su- 
])erfîcie  des  dÏA^erses  substances ,  soit  pour  s'y  introduire ,  soit 
pour  en  sortir ,  et  les  corps  sont  inégalement  perméables  à 
cet  élément, c'est-à-dire  qu'il  s'y  propage  avec  plus  ou  moins 
de  facilité ,  en  passant  d'une  molécule  intérieure  à  une  autre. 
jNous  pensons  que  l'on  pourrait  désigner  ces  deux  propriétés 
distinctes  par  les  noms  à&  pénétrahilitê ,  et  Ôl^  perméabilité. 

Il  faut  sur-tout  ne  point  perdre  de  vue  que  la  pénétrabilité 
de  la  surface  dépend  de  deux  qualités  différentes  :  l'une  est 
relative  au  milieu  extérieur,  et  exprime  la  facilité  de  la 
communication  par  le  contact  ;  l'autre  consiste  dans  la  pro- 
priété d'émettre  ou  d'admettre  la  chaleur  rayonnante.  Quant 
à  la  perméabilité  spécifique,  elle  est  propre  à  chaque  sub- 
stance, et  indépendante  de  l'état  de  la  superficie.  Au  reste, 
les  définitions  précises  sont  le  vrai  fondement  de  la  théorie; 
mais  les  dénominations  n'ont  point,  dans  la  matière  que 
nous  traitons,  le  même  degré  d'importance. 

43  r. 

On  ne  peut  point  appliquer  cette  dernière  xemarque  aux. 
notations,  car  elles  contribuent  beaucoup  aux  progrès  de  la 
science  du  calcul.  On  ne  doit  les  proposer  qu'avec  réserve, 
ni  les  admettre  qu'après  un  long  examen.  Celle  que  nous 
avons  employée  se  réduit  à  indiquer  au-dessous  et  au-dessus 
du  signe  d'intégration  /"les  limites  de  l'intégrale,  en  écri- 
vant immédiatement  après  ce  signe,  la  différentielle  de  la 
quantité  qui  varie  entre  ces  limites. 

On  se  sert  aussi  du   signe  ;2  pour  exprimer  la  somme 


CHAPITRE  IX.  697 

d'un  nombre  indéfini  de  termes  qui  dérivent  d'un  terme 
général,  où  l'on  fait  varier  l'indice  i.  Nous  plaçons  cet  indice, 
s'il  est  nécessaire,  au-devant  du  signe,  et  nous  écrivons  la 
première  valeur  de  i  au-dessous,  et  la  dernière  au-dessus. 
L'emploi  habituel  de  ces  notations  en  fera  connaître  toute 
l'utilité,  principalement  lorsque  le  calcul  des  intégrales  dé- 
finies devient  composé ,  et  lorsque  les  limites  de  l'intégrale 
sont  elles-mêmes  l'objet  de  ce  calcul. 

432. 

Les  résultats  principaux  de  notre  théorie  sont  les  équa- 
tions différentielles  du  mouvement  de  la  chaleur  dans  les 
corps  solides  ou  liquides,  et  l'équation  générale  qui  se  rap- 
porte à  la  surface.  La  vérité  de  ces  équations  n'est  point 
fondée  sur  une  explication  physique  des  effets  de  la  chaleur. 
De  quelque  manière  que  l'on  veuille  concevoir  la  nature  de 
cet  élément,  soit  qu'on  le  regarde  comme  un  être  matériel 
distinct ,  qui  passe  d'une  partie  de  l'espace  dans  une  autre , 
soit  qn'on  fasse  consister  la  chaleur  dans  la  seule  transmis- 
sion du  mouvement,  on  parviendra  toujours  aux  mêmes 
équations,  parce  que  l'hypothèse  qu'on  aura  formée  doit 
représenter  les  faits  généraux  et  simples,  dont  les  lois  ma- 
thématiques sont  dérivées. 

La  quantité  de  chaleur  que  se  transmettent  deux  molécules 
dont  les  températures  sont  inégales ,  dépend  de  la  différence 
de  ces  températures.  Si  la  différence  est  infiniment  petite ,  il 
est  certain  que  la  chaleur  communiquée  est  proportionnelle 
à  cette  différence  ;  toutes  les  expériences  concourent  à  dé- 
montrer rigoureusement  cette  proposition.  Or  pour  établir 
les  équations  différentielles  dont  il  s'agit,  on  considère  seu- 


bgS  THEORIE  DE  LA  CHALEUR. 

lement  l'action  réciproque  des  molécules  infiniment  voisines. 
II  n'y  a  donc  aucune  incertitude  sur  la  forme  des  équations 
qui  se  rapportent  à  l'intérieur  de  la  masse. 

L'équation  relative  à  la  surface  exprime ,  comme  nous 
l'avons  dit, que  le  flux  de  la  chaleur,  dans  le  sens  de  la  nor- 
male et  à  l'extrémité  du  solide,  doit  avoir  la  mAme  valeur, 
soit  que  l'on  calcule  l'action  mutuelle  des  molécules  du  so- 
lide, soit  que  l'on  considèie  l'action  que  le  milieu  exerce  sur 
l'enveloppe.  L'expression  analytique  de  la  première  valeur 
est  très-simple,  et  exactement  connue;  quant  à  la  seconde 
valeur,  elle  est  sensiblement  proportionnelle  à  la  tempéra- 
ture de  la  surface ,  lorsque  l'excès  de  cette  température  sur 
celle  du  milieu  est  une  quantité  assez  petite.  Dans  les  autres 
cas,  il  faut  regarder  cette  seconde  valeur  comme  donnée  par 
une  série  d'observations  ;  elle  dépend  de  l'état  de  la  superfi- 
cie, de  la  pression  et  de  la  nature  du  milieu;  c'est  cette 
valeur  observée  qui  doit  former  le  second  membre  de  l'équa- 
tion relative  à  la  surface. 

Dans  plusieurs  questions  importantes,  cette  dernière  équa- 
tion est  remplacée  par  une  condition  donnée ,  qui  exprime 
l'état  ou  constant,  ou  variable,  ou  périodique  de  la  super- 
ficie. 

433. 

Les  équations  différentielles  du  mouvement  de  la  chaleur 
sont  des  conséquences  mathématiques  analogues  aux  équa- 
tions générales  de  l'équilibre  et  du  mouvement,  et  cjui  dé- 
rivent, comme  elles,  des  faits  naturels  les  plus  constants. 

Les  coefficients  c,  A,  Ji,  qui  entrent  dans  ces  équations, 
doivent  être  considérés ,  en  général,  comme  des  grandeurs 


CHAPITRE   IX.  599 

variables ,  qui  dépendent  de  la  température,  ou  de  l'état  des 
corps.  Mais  dans  l'application  aux  qiu^stions  naturelles  qui 
nous  intéressent  le  plus,  on  peut  attribuer  à  ces  coefficients 
des  valeurs  sensiblement  constantes. 

Le  premier  coefficient  c  varie  très -lentement,  à  mesure 
que  la  température  s'élève.  Ces  changements  sont  presque 
insensibles  dans  un  intervalle  d'environ  trente  dcj^^rés.  Une 
suite  d'observations  précieuses,  dues  à  MM.  les  professeurs 
Dulong  et  Petit,  indique  que  cette  valeur  de  la  capacité 
spéciiique  croît  fort  lentement  avec  la  température. 

Le  coefficient  A,  qui  mesure  la  pénétrabilité  de  la  surface, 
est  plus  variable,  et  se  rapporte  à  un  état  très-composé.  Il 
exprime  la  quantité  de  chaleur  communiquée  au  milieu, soit 
par  l'irradiation,  soit  par  le  contact.  Le  calcul  rigoureux  de 
cette  quantité  dépendrait  donc  de  la  question  du  mouvement 
de  la  chaleur  dans  les  milieux  liquides  ou  aériformes.  Mais 
lorsque  l'excès  de  température  est  une  quantité  assez  petite, 
les  observations  prouvent  que  la  valeur  du  coefficient  peut 
être  regardée  comme  constante.  Dans  d'autres  cas,  il  est  fa- 
cile de  déduire  des  expériences  connues  une  correction  qui 
donne  au  résultat  une  exactitude  suffisante. 

On  ne  peut  douter  que  le  coefficient  A",  mesure  de  la  per- 
méabilité, ne  soit  sujet  à  des  variations  sensibles;  mais  on 
n'a  encore  fait,  sur  ce  sujet  important,  aucune  suite  d'expé- 
riences propresànous  apprendre  comment  la  facilité  de  con- 
duire la  chaleur  change  avec  la  température  et  avec  la  pres- 
sion. On  voit  par  les  observations,  que  cette  qualité  peut 
être  regardée  comme  constante  dans  une  assez  grande  partie 
de  l'échelle  thermométrique.  Mais  ces  mêmes  observations 
nous  porteraient  k  croire  que  la  valeur  du  coefficient  dont  il 


Goo  THÉORIE  DE  LA  CHALEUR. 

s'agit,  est  beaucoup  plus  changée  par  les  accroissements  de 
température,  que  celle  de  la  capacité  spécifique. 

Enfin  la  dilatabilité  des  solides,  ou  la  disposition  à  aug- 
menter de  volume,  n'est  point  la  même  à  toutes  les  tempé- 
ratures :  mais  dans  les  questions  que  nous  avons  traitées, 
ces  changements  ne  peuvent  point  altérer  d'une  manière  sen- 
sible la  précision  des  résultats.  En  général,  dans  l'étude  des 
grands  phénomènes  naturels  qui  dépendent  de  la  distribu- 
tion de  la  chaleur,  on  est  fondé  à  regarder  comme  con- 
stantes les  valeurs  des  coefficients.  Il  est  d'abord  nécessaire 
de  considérer  sous  ce  point  de  vue  les  conséquences  de  la 
théorie.  Ensuite  la  comparaison  attentive  de  ces  résultats 
avec  ceux  d'expériences  trës-précises ,  fera  connaître  quelles 
sont  les  corrections  dont  on  doit  faire  usage,  et  l'on  donnera 
aux  recherches  théoriques  une  extension  nouvelle,  à  mesure 
que  les  observations  deviendront  plus  nombreuses  et  plus 
exactes.  On  connaîtra  alors  quelles  sont  les  causes  qui  pour- 
raient modifier  le  mouvement  de  la  chaleur  dans  l'intérieur 
des  corps,  et  la  théorie  acquerra  une  perfection  qu'il  serait 
impossible  de  lui  donner  aujourd'hui. 

La  chaleur  lumineuse,  ou  celle  qui  accompagne  les  rayons 
de  lumière  envoyés  par  les  corps  enflammés,  pénètre  les 
solides  et  les  liquides  diaphanes,  et  s'y  éteint  progressive- 
ment en  parcourant  un  intervalle  de  grandeur  sensible. 

On  ne  pourrait  donc  point  supposer,  dans  l'examen  de  ces 
questions ,  que  les  impressions  directes  de  la  chaleur  ne  se 
portent  qu'à  une  distance  extrêmement  petite.  Lorsque  cette 
distance  a  une  valeur  finie,  les  équations  diflérentielles  pren- 
nent une  forme  différente  :  mais  cette  partie  de  la  théoi'ie  ne 
présenterait  des  applications  utiles  qu'en  se  fondant  sur  des 


CHAPITRE  IX.  6qi 

connaissances  expérimentales  que  nous  n'avons  point  encore 
acquises. 

Les  expériences  indiquent  que  ,  pour  les  températures 
peu  élevées ,  une  portion  extrêmement  faible  de  la  chaleur 
obscure  jouit  de  la  même  propriété  que  la  chaleur  lumineuse; 
il  est  vraisemblable  que  la  distance  où  se  portent  les  impres- 
sions de  la  chaleur  qui  pénètre  les  solides,  n'est  pas  totale- 
ment insensible,  et  qu'elle  est  seulement  fort  petite  :  mais 
cela  n'occasione  aucune  différence  appréciable  dans  les  résul- 
tats de  la  théorie  ;  ou  du  moins ,  ces  différences  ont  échappé 
jusqu'ici  à  toutes  les  observations. 


FIN. 


j6 


TABLE 

DES  MATIÈRES  CONTENUES  DANS  CET  OUVRAGE  f). 


CHAPITRE  PREMIER. 

INTRODUCTION. 

SECTION  PREMIÈRE. 

Exposition  de  l'objet  de  cet  Ouvrage. 
Article    i. 

gcs- 

I.    Objet  des  recherclies  théoriques. 

Art.  1,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9,  10.  \ 

3.  Exemples  divers,  armille,  cube,  sphère,  prisme  infini;  la  tempé- 
rature variable  d'un  point  quelconque  est  une  fonction  des  coor- 
données de  ce  point  et  du  temps. —  La  quantité  de  chaleur  qui , 
pendant  l'unité  de  temps,  traverse  une  surface  donnée  dans  l'in- 
térieur du  solide ,  est  aussi  une  fonction  du  temps  écoulé,  et  des 
quantités  qui  déterminent  la  forme  et  la  position  de  la  surface. 
—  La  théorie  a  pour  objet  de  découvrir  ces  fonctions. 

Art.   1 1 . 

8.    Les  trois  quantités  spécifiques  qu'il  est  nécessaire  d'observer,  sont 


(*)  Chaque  paragraphe  de  celte  Table  indique  la  matière  traitée  dans  les  articles  qoi  sont 
écrits  eo  tcte  de  ce  paragraphe.  Le  premier  de  ces  articles  commence  à  la  page  marquée  à 
eanrhe. 


TABLE    DES    MATIERES.  6o3 

la  capacité,  la  conducibillté  propre,  ou  permcahilitc ,  et  la  coii- 
ducibilité  extérieure,  ou  pcnétrabilitè.  Les  coefficients  qui  les 
expriment  peuvent  d'abord  être  regardés  comme  des  nombres 
constants  ,  indépendants  des  températures. 

Art.    12. 

9.    Premier  exposé  de  la  question  des  températures  terrestres. 

Art.    i3^  i4,   i5. 

11.  Conditions  nécessaires  aux  applications  de  la  théorie,  objet  des  ex- 

périences. 

Art.   16,  17,  18,  19,  20,  21. 

12.  Les  rayons  de  chaleur  qui  sortent  d'un  même  point  d'une  surface , 

n'ont  point  la  même  intensité.  L'intensité   de  chaque  rayon   est 
proportionnelle  au  cosinus  de  l'angle  que  sa  direction  fait  avec" 
la  normale  à  la  surface.  Remarques  diverses,  et  considérations 
sur  l'objet  et  l'étendue  des  questions   thermologiques  ,  et  sur  les 
rapports  de  l'analyse  générale  avec  1  étude  de  la  nature. 

SECTION   IL 

Notions  générales  et  définitions  préliminaires. 

Art.  22  ,  23  ,  i/\.  - 

18.  Température  permanente,  thermomètre.  La  température  désignée 
par  o  est  celle  de  la  glace  fondante.  Nous  désignons  par  i  celle 
de  l'ébullition  de  l'eau  dans  un  vase  donné  ,  sous  une  pression 
donnée. 

Art.  23. 

20.  L'unité  qui  sert  à  mesurer  les  quantités  de  chaleur ,  est  la  chaleur 
nécessaire  pour  résoudre  en  eau  liquide  une  certaine  masse  d'eau 
glacée. 

7^- 


6o4  TABLE 

Art.   26'. 

Pag". 

20.    Capacité  spécifique  de  chaleur. 

Art.  27,  28 ,  29. 

Ibid.  Températures  mesurées  par  les  accroissements  de  volume ,  ou  par 
les  quantités  de  chaleur  ajoutées.  ■ —  On  ne  considère  ici  que  les 
cas  où  les  augmentations  de  volume  sont  proportionnelles  aux 
augmentations  de  la  quantité  de  chaleur.  Cette  condition  n  a 
point  lieu  dans  les  liquides  en  général;  elle  est  sensiblement  vraie 
pour  les  corps  solides  dont  les  températures  diffèrent  beaucoup 
de  celles  qui  causent  le  changement  d'état. 

Art.  3o. 

22.  Notion  de  la  conducibilité  extérieure. 

Art.  3i. 

Ibid.  On  peut  regarder  d'abord  la  quantité  de  chaleur  perdue  comme 
proportionnelle  à  la  température.  Cette  proposition  n'est  sensi- 
blement vraie  que  pour  certaines  limites  de  température. 

Art.  32 ,  33,  34,  35. 

23.  La  chaleur  perdue  dans  le  milieu  est  formée  de  plusieurs  partie> 

Cet  effet  est  composé  et  variable.  Chaleur  lumineuse. 

Art.  36. 

aS.    Mesure  de  la  conducibilité  extérieure. 

Art.  37. 

Ibid.  Notion  de  la  conducibilité  propre  \  on  observe  aussi  cette  pu- 
priété  dans  les  liquides. 

Art.    38,  39. 
26.    Équilibre  des  températures.  Cet  effet  est  indépendant  du  contact. 


DES    MATIÈRES.  6o5 

Art.  4o,  4r,  42,  43,  44,  45,  46,  47,  48,  49. 

Page. 

26.  Premières  notions  de  la  chaleur  rayonnante  ,  et  de  l'équilibre  qui 
s  établit  dans  les  espaces  vides  d'air ,  de  la  cause  qui  réfléchit  les 
rayons  de  la  chaleur, ou  qui  les  contient  dans  les  corps  ,  du  mode 
de  communication  entre  les  molécules  intérieures ,  de  la  loi  qui 
règle  l'intensité  des  rayons  émis.  Cette  loi  n'est  point  troublée 
par  la  réflexion  de  la  chaleur. 

Art.  5o,  5i. 

34.    Première  notion  des  effets  de  la  chaleur  réfléchie. 

Art.  52,  53,  54,  55,  56. 

37.  Remarques  sur  les  propriétés  statiques  ou  dynamiques  de  la  chaleur. 
Elle  est  le  principe  de  toute  élasticité,  et  la  force  élastique  des 
fluides  aériformes   indique  exactement  les  températures. 

SECTION    III. 

Principe  de  la  communication  de  la  chaleur. 

Art.   57,  58,  Sp. 

39.  Lorsque  deux  molécules  d'un  même  solide  sont  extrêmement  voi- 
sines et  ont  des  températures  inégales ,  la  molécule  plus  échauffée 
communique  à  celle  qui  l'est  moins  une  quantité  de  chaleur 
exactement  exprimée  par  le  produit  formé  de  la  durée  de  l'in- 
stant, de  la  différence  extrêmement  petite  des  températures,  et 
d'une  certaine  fonction  de  la  distance  des  molécules. 

Art.  60. 

42.  Lorsqu'un  corp.s  échauffé  est  placé  dans  un  milieu  aériforme  d'une 
température  moins  élevée ,  il  perd  à  chaque  instant  une  quantité 
de  chaleur  que  l'on  peut  regarder,  dans  les  premières  recherches, 
comme  proportionnelle  à  l'excès  de  la  température  de  la  surface 
sur  la  température  du  milieu. 


6o6  TABLE 

Art.  6i,  62,  63,  64. 

Pagei. 

43.  Les  propositions  énoncées  dans  les  deux  articles  précédents  sont 
fondées  sur  diverses  observations.  Le  premier  objet  de  la  théorie 
est  de  découvrir  toutes  les  conséquences  exactes  de  ces  proposi- 
tions. On  peut  ensuite  mesurer  les  variations  des  coefficients  ,  en 
comparant  les  résultats  du  calcul  avec  des  expériences  très- 
précises. 

SECTION    IV.     , 

Du  mouvement  uniforme  et  linéaire  de  la  chaleur. 

Art.  65. 

46.  Les  températures  permanentes  d'un  solide  infini  compris  entre 
deux  bases  parallèles  retenues  à  des  températures  fixes ,  sont  ex- 
primées par  l'équation  v — a.  ez^b — a.z;  a  et  b  sont  les  tem- 
pératures des  deux  plans  extrêmes  ,  e  leur  distance,  et  v  la  tem- 
pérature de  la  section ,  dont  la  distance  au  plan  inférieur  est  z. 

Art.  66,  67. 
4q.    Notion  et  mesure  du  flux  de  la  chaleur. 

Art.  68,  69. 
53.    Mesure  de  la  conducibilité  propre. 

Art.  70. 

55.  Remarques  sur  les  cas  où  l'action  directe  de  la  chaleur  se  porterait 

à  une  distance  sensible. 

Art.  71. 

56.  État  du  même  solide ,  lorsque  le  plan  supérieur  est  exposé  à  l'air. 

Art.  72. 
58.    Conditions  générales  du  mouvement  linéaire  de  la  chaleur. 


DES    MATIÈRES.  (Jo^ 

SECTION  V. 

Loi  des  températures  permanentes  dens  un  prisme  d'une  petite  épaisseur. 
Art.   73,  74,  75,  76,  77,  78,  79,  80. 

P«gc> 

60.  Équation  du  mouvement  linéaire  de  la  chaleur  dans  le  prisme. 
Conséquences  diverses  de  cette  équation. 

SECTION   VI. 

De  réchauffement  des  espaces  clos. 

Art.  Si,  82,  83,  84. 

68.  L'état  final  de  l'enceinte  solide  qui  termine  l'espace  échauffé  par 
une  surface  b,  maintenue  à  la  températiu-e  «,  est  exprimée  par 
l'équation  suivante  : 

-<  P 

m — n=z(a.  —  n)  — . 

^  ^  I  +P 

La  valeur  de  P  est    è  '  (  f  +  %"  +  u  )  '     '«  est  la  température 

de  l'air  intérieur,  n  la  température  de  l'air  extérieur,  g,  /i,  H 
mesurent  respectivement  la  pénétrabilité  de  la  surface  échauffée  o, 
celle  de  la  surface  intérieure  de  l'enceinte  S ,  et  celle  de  la  surface 
extérieures,  e  est  l'épaisseur  de  l'enceinte,  et  K  sa  conducibilité 
propre. 

Art.  85,  86. 
72.    Conséquences  remarquables  de  l'équation  précédente. 

Art.  87,  88,  89,  90,  91. 

75.  Mesure  de  la  quantité  de  chaleur  nécessaire  pour  retenir  à  une 
température  constante  un  corps  dont  la  surface  est  séparée  de 
l'air  extérieur  par  plusieurs  enceintes  successives.  Effets  remar- 


6o8 


TABLE 


quables  de  la  séparation  dps  surfaces.  Ces  conséquences  s'appli- 
quent à  des  questions  très-variées. 

SECTION    VII. 

Du  mouvement  uniforme  de  la  chaleur  suivant  les  trois  dimensions. 

Art.  92  et  93. 

83.    Les  températures  permanentes  d'un  solide  compris  entre  six  plans 
rectangulaires  sont  exprimées  par  l'équation 

^|  =r  A  +  (7  .r  +  bj  +  c  z. 

■T,j,  z  sont  les  coordonnées  d'un  point  quelconque,  dont  y  est 
la  température;  A,  «,  ^,  c  sont  des  nombres  constants.  Si  les 
plans  extrêmes  sont  retenus  par  des  causes  quelconques  à  des 
températures  fixes  qui  satisfont  à  l'équation  précédente ,  le  sys- 
tème final  de  toutes  les  températures  intérieures  sera  exprimé  par 
la  même  équation. 

Art.  94 ,95. 

86.    Mesure  du  flux  de  chaleur  dans  ce  prisme. 

SECTION    VIII. 

Mesure  du  mouvement  de  la  chaleur  en  un  point  donné  d'une 
masse  solide. 

Art.  96,  97,  98,  99. 

89.  On  suppose  que  le  système  variable  des  températures  d'un  solide 
est  exprimé  par  l'équation  -ii  =  F(a:,j>',  z,^),  où  ^  dé- 
signe la  température  que  l'on  observerait  après  le  temps  écoulé  t, 
au  point  dont  les  coordonnées  sont  ^,jr,  s,  et  l'on  forme  l'ex- 
pression analytique  du  flux  de  chaleur  dans  l'intérieur  du  solide, 
suivant  une  direction  donnée.  - 


DES    MATIÈRES.  609 

Art.    100. 

95.    Application    du   théorème   précédent  au    cas  où  la  fonction  F  est 

—S' 
e        .  COS.  X  COS. j'  COS.  ;. 

CHAPITRE  II. 

Équation  du  inom>ement  de  la  chaleur. 

SECTION   PREMIÈRE. 

Equation  du  mouvement  varie  de  la  chaleur  dans  une  arnulle. 

Articles  ioi  ,  102,  io3,  io4,  io5. 

99.    Le  mouvement  variable  de  la  chaleur  dans  l'armille ,  est  exprimé 
par  léquation 

d-v  _     K        d'y  hl 

dJ  ~ (TTÔ  '   dx'  "  CD. S  ■  ''■ 

Lare  x  mesure  la  distance  d'une  tranche  à  1  origine  o;^'est  la 
température  que  cette  tranche  acquiert  après  le  temps  écoulé  f  ; 
K,  C,  D,  h  sont  des  coefficients  spécifiques;  S  est  la  surface  de 
la  section  ,  dont  la  révolution  engendre  1  anneau  ;  /est  le  contour 
de  cette  section. 

Art.   106,  loj,  io8,  log,  iio. 

io3.  Les  températures  des  points  placés  à  égales  distances  sont  repré- 
sentées par  les  termes  d'une  série  récurrente.  L'observation  des 
températures  i»,  ,  w,  ,  a^,  ,  de  trois  points  consécutifs,  donne  la 
h  v^  +  V. 

S  /  log.  M  \  2 


mesure  du  rapport  ^  :  on  a    — '-^^fh  ''J'  —  q^+  i^o.  et 

iv  V  ^ 

h        S  /  log.  f^  \  =    T 

j?-=  7  U  .     — 1  •  La  distance  de  deux   points  consécutifs  est 

X,  et  log.  w  est   le  logarithme  décimal  d'une  des   deux  valeurs 
de  M. 

77 


6'fO  TABLE 

SECTION   II. 

Equation  du  mouvement  varié  de  la  chaleur  dans  une  sphère  solide. 
Art.   III,  112,   ii3,  n4. 

Fagts 

io6.    X  désignant  le  rayon  d'une  couche  quelconque  ,  le  mouvement  de 
la  chaleur  dans  la  sphère  est  exprimé  par  l'équation 
d  V        K       /â?^  V       7.    d'i 


d  V K        /«  ^  Il        7.    d-v 

ZF~'c7d'  Kd^-''^ xd^y 


Art.    ii4,ii5,ii6,ii7. 
io8.    Conditions  relatives  à  l'état  de  la  surface  et  à  l'état  initial  du  solide. 

SECTION    III. 

Equation  du  mouvement  varié  de  la  chaleur  dans  un  cylindre  solide. 

Art.   Il 8,   119,   120. 

1 12.    Les  températures  de  ce  solide  sont  déterminées  par  trois  équations; 
l'une  se  rapporte  aux  températures  intérieures,   la  seconde  ex-, 
prime  l'état  continuel  de  la  surface  ,  la  troisième  exprime  l'état 
initial  du  solide. 

SECTION    IV. 

Equation  du  mouvement  uniforme  de  la  chaleur  dans  un  prisme 
solide  d'une  longueur  infinie. 

Art.  121 ,  122  ,  123. 
II 4-    Le  système  des  températures  fixes  satisfait  à  l'équation 
d' V       d"  V       d^  V 

d^^dr'^dT^^'''  ' 

V  est  la  température  d'un  point  dont  les  cordonnées  sont  x,j,  z. 
Art.   124,  laS. 
117.    Equation   relative  à  l'état  de   la  surface  et  à  celui  de  la  première 
tranche. 


DES    M  AT  1ER  ES.  ()I  1 

SECTION    V. 

Equation  du  iiiouvcmcnt  varié  de  la  chaleur  dans  un  cuOe  solide. 
Art.   126,   I2J,  128,  ia_9,  i3o,  i3i. 

Pages. 

119.  Le  système  des  températures  variables  est  détermine  par  trois  équa- 
tions; l'une  exprime  l'état  intérieur,  la  seconde  se  rapporte  à 
l'état  de  la  surface,  et  la  troisième  exprime  l'état  initial. 

SECTION   VI. 

Equation  générale  de  la  propagation  de  la  chaleur  dans  Vintérieur 

des  solide. 

Art.  i32,  i33,  i34,  i35,  i36,  137,  i38,  i3g. 
124-    Démonstration    élémentaire    des   propriétés  ■  du    mouvement    iini- 
torme  de  la  chaleur  dans  un  solide  compris  entre  six  plans  rec- 
tangulaires ,    les    températures   constantes    étant    exprimées  par 
l'équation  linéaire 

î'  =  A  —  ax  —  bj  —cz. 

Les  températures  ne  peuvent  changer,  parce  que  chaque  point 
du  solide  reçoit  autant  de  chaleur  qu'il  en  donne.  La  quantité 
de  chaleur  qui  traverse,  durant  l'unité  de  temps,  un  plan  per- 
pendiculaire à  l'axe  des  ;  est  la  même  en  quelque  point  de  cet 
axe  que  passe  le  plan.  — La  valeur  de  ce  flux  commiui  est  celle 
qui  aurait  lieu,  si  les  coefficients  a  et.  b  étaient  nuls. 

Art.  140,  i4i- 
i3i.    Expression   analytique  du    flux   dans   l'intérieur  d'un    solide  quel- 
conque. L'équation  des  températures  étant  v=f{x,j,  z,  t)  \a 

dv 
fonction   —  Koj  .  -j—  exprime  la  quantité  de  chaleur  qui  traverse, 

pendant  l'instant  dt.,  une  aire  infiniment  petite  w,  perpendicu- 
laire à  l'axe  des  ;,  au  point  dont  les  coordonnées  sont  .r,  ;-,  ;, 
et  dont  la  température  est  o  après  le  temps  écoulé  t. 

77- 


6l2  .     TABLE 

Art.   142,  143,  144  )  i45- 

Pages. 

134.    11  est  facile  de  déduire  du  théorème  précédent,  l'équation  générale 
du  mouvement  de  la  chaleur,  qui  est 

dv_     K        M^-v         d^v         d'V\ 

dJ  ~  c7D     \d^  '^  dp  ~^  ~d^' )'        [XE) 

SECTION    VIL 

Equation  générale  relative  a  la  surface. 

Art.  146,  147,  i48,  i49i  i5o,  idi,  132,  i53,  i54. 
i38.    On  démontre  que  les  températures  variables  des  points  de  la  sur- 
face d'iui  corps  qui  se  refroidit  dans  l'air,  satisfont  à  cette  équa- 
tion : 

dv  dv  dv        h  ,  ,  , 

m.—. h  «  •  -; — h  p  ■  —, h  T?  •  '^'7  =  o  ,     indx-\-ndy  -\-pdz-=^o 

dx  dy      ■*     ûfz        K  ■        ^ 

étant  l'équation  différentielle  de  la  surface  qui  termine  le  solide ,  et 

I 
q  étant  égale  à  {ni' -\- n"- -\- p^y  .    Pour  découvrir  cette  équation, 

on  considère  une  molécule  de  l'enveloppe  qui  termine  le  soHde, 
et  l'on  exprime  que  la  température  de  cet  élément  ne  change  point 
d'une  grandeur  finie  pendant  un  instant  infiniment  petit.  Cette 
condition  a  lieu  et  continue  de  subsister  après  que  l'action  régu- 
lière du  milieu  s'est  exercée  pendant  un  instant  très-petit.  —  On 
peut  donner  à  l'élément  de  l'enveloppe  une  forme  quelconque. 
Le  cas  oîi  celte  molécule  est  formée  par  des  sections  rectangu- 
laires offre  des  propriétés  remarquables.  Dans  le  cas  le  plus 
simple,  qui  est  cekii  où  la  base  est  parallèle  au  plan  tangent,  la 
vérité  de  l'équation  est  évidente. 


DES    MATIÈRES.  6l3 

SECTION     VIII. 

Application  des  équations  générales. 

Art.  i55,  i56. 

14,9.  En  appliquant  l'équation  générale  (E)  au  cas  du  cylindre  et  de  la 
sphère,  on  trouve  les  mêmes  équations  que  celles  de  la  section  III 
et  de  la  section  II  de  ce  chapitre. 

SECTION    IX. 

Remarques  générales. 

Art.  iSy,  i58,  iSp,   160,  161,  i6'2. 

iSa.  Considérations  fondamentales  sur  la  nature  des  quantités  ji',  t,  v, 
h,  h,  C,  D,  qui  entrent  dans  toutes  les  expressions  analytiques 
de  la  Théorie  de  la  chaleur.  Chacune  de  ces  quantités  a  un  ex- 
posant de  dimension  qui  se  rapporte  à  la  longueur,  ou  à  la 
durée ,  ou  à  la  température  ;  on  trouve  ces  exposaiis  en  faisant 
varier  les  unités  de  mesure. 

CHAPITRE  III. 

Propagation  de  la  chaleur  dans  un  solide  rectangulaire 

infini. 

SECTION    PREMIÈRE. 

Exposition  de  la  question. 

Articles  i63,  i64)   i6"5,  166'. 


Pa». 


iSg.    Les    températures    constantes    d'une  lame    rectangulaire    comprise 

entre  deux  arêtes  parallèles,  infinies,  retenues  à  la  température  o, 

d' 1)         d' V 
sont  exprmiees  par  1  équation    -: — ;  -f-  -^— j  =  o. 


6l4  TABLE  * 

Pages  Art.  167,  168,  169,  170. 

i63.  On  considèrel'état  de  cette  lame  à  une  distance  extrêmement  grande 
de  l'arête  transversale ,  le  rapport  des  températures  de  deux 
points ,  dont  x^,  j,  etx^^j  sont  les  coordonnées ,  change  à 
mesure  que  la  valeur  àe y  augmente;  x^  et  x,  conservant  leurs 
valeurs  respectives.  Ce  rapport  a  une  limite  dont  il  approche  de 
plus  en  plus  ,  et  lorsque^  est  infinie,  il  est  exprimé  par  le  pro- 
duit d'une  fonction  de  x  et  d'une  fonction  de  y.  Cette  remarque 
suffit  pour  découvrir  la  forme  générale  de  11 ,  savoir  : 


-(2,-l).r  ■ 

«  e  .  COS.  (  Il  —  I  •.?') 


11  est  facile  de  connaître  comment  le  mouvement  de  la  chaleur 
s'accomplit  dans  cette  lame. 

SECTION   II. 

Premier  exemple  de  l'usage  des  séries  trigonométriques  dans  la  théorie 

de  la  cMdeur. 

Art.  171,  172,  173,  174,  175,  176-,  177,  178. 

167.    Recherche  des  coefficients  dans  l'équation 

I  zirflcos.  x-^  hcoi.  "ix  -\-c  cos.  ^'x  -\-dcos.  yx  -{-  ,  etc. 
On  en  conclut 


2J- I        77 


r  1  -  I  p  I 

ou     -  =  cos.  X  —  T  COS.  5x  -\—r  cos.  ox COS.  nx  -+-,  etc. 

4  3  5  7         ' 


DES    MATIÈRES.  6l5 

SECTION     III. 

Remarques  sur  ces  séries. 
Art.   179,  180,   181. 

PjjJCS. 

inn.  Pour  ti'ouver  la  valeur  de  la  série  qui  l'orme  le  second  membre, 
on  suppose  que  le  nombre  m  des  termes  est  limité  ,  et  la  série  de- 
vient une  fonction  de  x  et  m.  On  développe  cette  fonction  selon 
les  puissances  réciproques  de  m,  et' l'on  fait  m  infini. 

Art.  182 ,  i83,  184. 

i8o.    On  applique  le  même  procédé  à  plusieurs  autres  séries. 

Art.  i85,  186,  187,  188. 

184.  Dans  le  développement  précédent,  qui  donne  la  valeur  île  la  fonc- 
tion de  X  et  de  w,  on  détermine  rigoureusement  les  limites 
dans  lesquelles  est  comprise  la  somme  de  tous  les  termes,  à 
partir  d'un  terme  donné. 

Art.    189. 
i8g.    Procédé  très-simple  pour  former  la  série 

i  ^  ac 

^  =  —      y     ^^ ~  .  COS.  (2.1  —  1  .  X]- 

4  ^^    2i I  V  / 

(  =  1 

SECTION   IV. 

Solution   générale^ 

Art.    190,  191. 

190.  E.xpression  analytique  du  mouvement  de  la  chaleur  dans  la  table 
rectangulaire;  il  se  décompose  en  mouvements  simples. 

4rt.  192,  193,  194,195. 

193.    Mesure  de  la  quantité  de  chaleur  qui  traverse  une  arête  parallèle 


6l6  TABLE 

ou  perpendiculaire  à  la  base.  Cette  expression  du  Hux  suffirait 
pour  vérifier  la  solution. 

Art.    196,   197,  198,  199. 

197.  Conséquences  de  cette  solution.  La  table  rectangulaire  doit  être 
considérée  comme  faisant  partie  d'un  plan  infini  ;  la  solution  ex- 
prime les  températures  permanentes  de  tous  les  points  de  ce  plan. 

Art.   200,  201,  202,  2o3  ,  204. 

200.  On  démontre  que  la  question  proposée  n'admet  aucune  autre  solu- 
tion différente  de  celle  que  l'on  vient  de  rapporter. 

SECTION   V. 

Expression  finie  du  résultat  de  la  solution. 

Art.   2o5,  206. 

207.  La  température  d'un  point  de  la  table  rectangulaire,  dont  x  et  y 
sont  les  coordonnées,  est  ainsi  exprimée 

■  /    2  cos.  y 

■-y=arc.  tang.  '  — 


e  .  —  e 


SECTION   VL 

Développement  d'une  /onction  arbitraire  en  séries  trigonométriques. 

Art.  207, 208 ,  209,  2IO,  211,  212,  2i3,  214. 

210.  On  obtient  ce  développement  en  déterminant  les  valeurs  des  coef- 
ficients inconnus  dans  les  équations  suivantes  dont  le  nombre 
est  infini , 

A  =  a4-  2  ^+3  0  +  ^  d  -+-  etc. 
B  =  a+2^^+3'c  +  4V  +  etc. 
C=«  +  2'5  +  3'c  +  4'û;+  etc. 
D=«+2'i  +  3'c-{-4V-t-  etc. 
etc.  etc. 


DES    MATIÈRES.  617 

P»ges. 

Pour  résouclre  ces  équations,  on  suppose  tl  abord  que  le  nombre 
des  équations  est  m,  et  qu'il  y  a  seulement  un  nombre  m  d'in- 
connues rt,  b ^  <■,  d^  etc.  en  omettant  tous  "les  termes  subsé- 
quents. On  détermine  les  inconnues  pour  une  certaine  valeur  du 
nombre  m  ,  ensuite  on  augmente  successivement  cette  valeur  de 
m ,  et  l'on  cherche  la  limite  dont  s'approchent  continuellement 
les  valeurs  des  coefficients  ;  ces  limites  sont  les  quantités  qu'il 
s'agit  de  déterminer.  —  Expression  des  valeurs  de  «,  b^  c,  d^  e,  etc. 
lorsque  m  est  infini. 

Art.  2i5,  216. 
226.    On  développe  sous  la  forme 

ai\w.x-\-  ^sin.2  j:-|-csin.  Zx-\r  dûn,^x-\-  etc. 

la  fraction  cpx,  que  l'on  suppose  d'abord  ne  contenir  que  des 
puissances  impaires  de  x. 

Art.  217,  218. 
228.    Expression  différente  de  ce  même  développement.  Application  à  la 

fonction  e  — e 

Art.  219,  220,  221. 

23 1.    La  fonction  quelconque  <s^x  peut  être  développée  sous  cette  forme: 

«sin.^H-rtj  sin.  ix-\-a^  sin.  3  j:.  .  .  +  «. sin.  ix  -\-  etc. 

-77 
La  valeur  du  coefficient  général  a.  est  -  1  dx(fxsïn.ix.    On  en 

o 

conclut  ce  théorème  très-simple  : 
-:=:sin..r  /^/aoa.sin.a  +  sln.  2X.  jdatfxsin.  2a-f-sin.3.r.  /(/aipasin.i'a  ■+.  etc. 


ou 


^^  (fx=  ^  siïi.ix  l  dix  (fa.  sin.». 
o 

78 


6l8  TABLE 

P»gei. 

Art.  222 ,  223. 
287.    Application  de  ce  théorème;  on  en  déduit  cette  série  remarquable: 

-^  2     .  4    .     ,  6     .  8 

-cos.j7= — :jsm.x~\-:j-^sin.4x+p — sin.yj^H sin.  qx+  etc. 

4  i-J  à.o  5.7        '  7.9        ^ 

Art.  224,  225,  226. 

aSp.    Second  théorème  sur  le  développement  des  fonctions  en  séries  tri- 
gonométriques  : 

-(}/x=     ^     cos.ix  j  dacos.  ioi^ 

Applications  ;  on  en  conclut  cette  série  remarquable  : 

I      •  I      COS.  2a:      cos.4.»'      cos.6;c      cos.  (Sj;) 

-Trsin.  .r= ~ i '-  —  etc. 

a  2         1.3  3.5  5.7  7.9 

Art.  226,  227,  228,  229,  23o. 

243.  Les  théorèmes  précédents  s'appliquent  aux  fonctions  discontinues, 
et  résolvent  les  questions  qui  se  sont  élevées  sur  l'analyse  de 
Daniel  Bernouilli  dans  le  problême  des  cordes  vibrantes.  —  La 
valeur  de  la  série 

sin.x.sin.vers.  a  +  -  sin. 2  jr.sin.  vers.  2a  + =sin. 3a:.sm.vers. 3«+  etc. 
2  6 

est  -  i: ,  si  l'on  choisit  pour  x  une  quantité  plus  grande  que  o 
et  moindre  que  a;  et  la  valeur  de  la  série  est  o,  si  a-  est  une 
quantité  quelconque  comprise  entre  a  et  -w.  Application  à  d'au- 
tres exemples  remarquables  ;  lignes  courbes  ou  surfaces  qui  se 
confondent  dans  une  partie  de  leur  cours,  et  diffèrent  dans  toutes 
les  autres  parties. 


DES     MATIÈRES.  ÔlQ 

Art.  23i  ,  282 ,  233. 
35o.    Une  fonction  quelconque  F  j:  peut  être  développée  sous  cette  forme: 

F.r  =  A-f-('^'*^°^"^'^'^'  cos.3j7  +  a,  COS.  3j;  +  a^  cos.  4^+  etc. 
{l>^  sin.  j:+Z>,  sin,  2.r  +  (J,sin.  3x4-  ^4  sin.  4x-\-  etc. 

Chacun   des  coefficients  est  une  intégrale  définie.  On  a  en  gé- 
néral 

2)tA=    /  dxYx,         Tva.=  I  dxYxcos.ix 

—  71  _7j 

et         ■nb.z=   I  dxFx  .sin.ix. 


•*.=/' 


—  1T 


On  forme  ainsi  ce  théorème  général,  qui  est  un  des  éléments 
principaux  de  notre  analyse: 


^■kFx=: 


=     /      Tcos./j:   /  </«Fa  cos.ta4-sin.i\r   /  ûTaFa.  sin.iaV 


OU    a    ~ 


rtFar=    N^       I  daFoL  COS.  (ix  —  ix). 


Art.  234. 

256.  On  doit  regarder  comme  entièrement  arbitraires  les  valeurs  de  Fx, 
qui  répondent  aux  valeurs  de  x  comprises  entre  — ^  et  4-^. 
On  peut  aussi  choisir  pour  x  des  limites  quelconques. 

Art.  235. 

258.  Remarques  diverses  sur  l'usage  des  développements  en  séries  tri- 
gonométriques. 

78. 


620  TABLE 

SECTION  VII. 

Application  a  la  question,  actuelle. 
Art.  a36,  aSy. 

Pag«. 

261.  Expression  des  températures  permanentes  dans  la  table  rectangu- 
laire infinie,  l'étal  de  l'arête  transversale  étant  représenté  par  une 
fonction  arbitraire. 

CHAPITRE  IV. 

Du  mouvement  linéaire  et  varié  de  la  chaleur  dans  une 

armille. 

SECTION  PREMIÈRE. 

,  Solution  générale  de  la  question. 
Article   i. 

Piges. 

•166.  Le  mouvement  variable  que  l'on  considère  est  composé  de  mou- 
vements simples.  Dans  chacun  de  ces  mouvements,  les  tempéra- 
tures conservent  leurs  rapports  primitifs ,  et  décroissent ,  avec  le 
temps  ,  comme  les  ordonnées  v  de  la  ligne  dont  l'équation  est 

—  "'' 
■y  =  A  e         .   Formation  de  l'expression  générale. 

Art.   2^4^>  2vf3 ,  244- 

272,    Application   à  des  exemples  remarquables.  Conséquences  diverses 
de  la  solution. 

Art.   245,  246. 

2^7.  Le  système  des  températures  converge  rapidement  vers  im  état  ré- 
gulier et  final ,  exprimé  par  la  première  partie  de  rintcgrale. 
Alors  la  somme  des  températures  des  deux  points  diamétralement 


DES    MATIERES.  021 

P.lgM. 

opposés  est  la  même ,  quelle  que  soit  la  position  d'à  diamètre. 
Elle  équivaut  à  la  température  moyenne.  —  Dans  chaque  mou- 
vement simple  ,  la  circonférence  est  divisée  par  des  nœuds  équi- 
distants.  Tous  ces  mouvements  partiels  disparaissent  progressi- 
vement ,  excepté  le  premier;  et  en  général  la  chaleiu-  distribuée 
dans  le  solide  y  affecte  une  disposition  régulière ,  indépendante 
de  l'état  initial. 

SECTION   IL 

De  ta  communication  de  la  chaleur  entre  des  masses  disjointes. 

Art.  247,  248,  249,  aSo. 

382.  De  la  communication  de  la  chaleur  entre  deux  masses.  Expression 
des  températures  variables.  Remarque  sur  la  valeur  du  coeffi- 
cient qui  mesure  la  conducibilité. 

Art.  25i,  252,  253,  254,  255. 

Î.87.  De  la  communication  de  la  chaleur  entre  n  masses  disjointes,  ran- 
gées en  ligne  droite.  Expression  de  la  température  variable  de 
chaque  masse;  elle  est  donnée  par  luie  fonction  du  temps  écoulé  , 
du  coefficient  qui  mesure  la  conducibilité  ,  et  de  toutes  les  tem- 
pératures initiales  regardées  comme  arbitraires. 

Art.   256 ,  aSy. 

296.    Conséquences  remarquables  de  cette  solution. 

Art.  258. 

agS.    Application  au  cas  où  le  nombre  des  masses  est  infini. 

Art.   259,  260,  261,  262,  263,  264,  263,  266. 

3oo.  De  la  communication  de  la  chaleur  entre  n  niasses  disjointes  rangées 
circulairenient.  Equations  différentielles  propres  à  la  question , 
intégration  de  ces  équations.  La  température  variable  de  chacune 
des  masses  est  exprimée  en  fonction  du  coefficient  qui  mesure  la 
conducibilité  ,  du  temps  qui  s'est  écoulé   depuis  l'instant  où  lo 


6aa  TABLE 

Pagcj. 

communication  a  commencé ,  et  de  toutes  les  températures  ini- 
"Tîales  qui  sont  arbitraires  :  mais  pour  connaître  entièrement  ces 
fonctions,  il   est  nécessaire  d'effectuer  l'élimination  des  coeffi- 
cients. 

Art.  267,  268,  269,  270,  271. 

3ia.  Elimination  des  coefficients  dans  les  équations  qui  contiennent  ces 
inconnues ,  et  les  températures  initiales  données. 

Art.  272  ,  273. 

321.  Formation  de  la  solution  générale;  expression  analytique  du  ré- 
sultat. 

Art.  274,  275,  276. 

823.   Application  et  conséquences  de  celte  solution. 

Art.  277,  278. 

328,  Examen  du  cas  où  l'on  suppose  le  nombre  n  infini.  On  obtient  la 
solution  relative  à  l'anneau  solide,  rapportée  dans  l'article  241, 
et  le  théorème  de  l'article  284.  On  connaît  ainsi  l'origine  de 
l'analyse  que  nous  avons  employée  pour  résoudre  les  équations 
relatives  aux  corps  continus. 

Art.  279. 

332.    Expression  analytique  des  deux  résultats  précédents. 

Art.  280,  281,  282. 

334-  On  démontre  que  la  question  du  mouvement  de  la  chaleur  dans 
l'armille  ,    n'admet   aucune    autre    solution.   Cette   intégrale  de 

l'équation  -j—  ==  j— ^  est  évidemment  la  plus  générale  que  l'on 

puisse  former. 


DES    MATIÈRES.  6a3 

CHAPITRE   V. 

De  la  propagation  de  la  chaleur  dans  une  sphère  solide. 

SECTION   PREMIÈRE. 

Solution  générale. 
Art.  283,  284,  285,  286,  287,  288,  289. 

Pagei. 

340.  On  considère  en  premier  lieu  que  le  rapport  des  températures  va- 
riables des  deux  points  du  solide  s'approche  continuellement 
d'une   limite  déterminée.   Cette   remarque  conduit  à  l'équation 

sin.  {nx)   —Vui\         .  .  •       ,      j 

v=:zA..  ^^ -e  ,  qui  exprime  le  mouvement  simple  de 

la  chaleur  dans  la  sphère.  Le  nombre  n  a  une  infinité  de  valeurs 

données    par    l'équation    déterminée    ^s^  =  i — hlL.    On 

tang.  n  X 

désigne   par  X  le  rayon   de  la  sphère ,  et  par  x  le  rayon  d'une 

sphère  concentrique    quelconque,   dont  v  est   la  température, 

après  le  temps  écoulé  t  ;  à  et  K  sont  les  coefficients  spécifiques  ; 

A  est  une  constante  quelconque.    Constructions  propres  à  faire 

connaître  la  nature  de  1  équation  déterminée,  les  limites  et  les 

valeurs  de  ses  racines. 

Art,   290,  291,  292. 

j47'    Formation  de  la  solution  générale  j  état  final  du  solide. 

Art.   293. 

35o.  Application  au  cas  où  la  sphère  a  été  échauffée  par  une  longue  im- 
mersion. 


^^4  TABLE 

SECTION   II. 

Remarques  diverses  sur  cette  solution. 
Art.  294)  295  ,  296. 

352.  Conséquences  relatives  aux  sphères  d'un  petit  rayon ,  et  aux  tem- 
pératures finales  d'une  sphère  quelconque. 

Art.  298,  299,  3oo. 

357.  Température  vaiiabie  d'un  thermomètre  plongé  dans  un  liquide 
qui  se  refroidit  librement.  Application  de  ces  résultats  à  la  com- 
paraison et  à  l'usage  des  thermomètres. 

Art.  3oi. 

302.  Expression  de  la  température  moyenne  de  la  sphère  en  fonction  du 
temps  écoulé. 

Art.  3o2,  3o3,  3o4. 

363.  Application  aux  sphères  d'un  très-grand  rayon ,  et  à  celles  dont  le 
rayon  est  très-petit. 

Art.  3o5. 

966.  Reriîarque  sur  la  nature  de  l'équation  déterminée  qui  donne  toute» 
les  valeurs  de  n. 

CHAPITRE  VL 

Dii  mouvement  de  la  chaleur  dans  un  cylindre  solide. 

Art.  3o6,  307. 

369.  On  remarque  en  premier  lieu  que  le  rapport  des  températures  va- 
riables de  deux  points  du  solide  s'approche  continuellement  d'une 
limite  déterminée ,  et  l'on  connaît  par-là  l'expression  du  mouve- 
ment simple,  La  fonction  de  x ,  qui  est  un  des  facteurs  de  cette 


DES    MATIÈRES.  626 

expression,  est  donnée  par  une  équation  différenlielle  du  second 
ordre.  11  entre  dans  cette  fonction  un  nombre  g ,  qui  doit  satis- 
faire à  une  équation  déterminée. 

Art.  3o8,  Sop. 

372.  Analyse  de  cette  équation.  On  démontre,  au  moyen  des  principaux 
théorèmes  de  l'algèbre,  que  toutes  les  racines  de  l'équation  sont 
réelles. 

Art.  3io. 
375.   La  fonction  u  de  la  variable  x  est  exprimée 


-n 

"=~  /  dr  COS.  {x\y^  g  .  sin. /•)  3 


et  l'équation  déterminée  est  k  u  ■+■  -j—  =  o ,  en  donnant  k  x  sa 

valeur  totale  X. 

Art.  3n,  3i2. 
378.   Le  développement  de  la  fonction  9(2)  étant  représenté  par 

a  +  bz  +c—+cl. — 5-f-  etc., 
2  2.0 

la  valeur  de  la  série 

it'  ct^  d^ 


est 


71 

-  I  du(f  (t Sïxi.u), 


Remarque  sur  cet  usage  des  intégrales  définies. 
Art.  3i3. 
38 1.   Expression  de  la  fonction  u  de  la  variable  x  en  fraction  continue. 

79 


02.6  TABLÉ 

Pages. 

Art.  3i4. 
382.    Formation  de  ïa  solution  générale. 

Art.  3i5,  3i6,  Si^,  3i8. 
334.    Exposition  de  l'analyse  qui  détermine  les  valeurs  des  coefficients. 

Art.  3ig. 
391.    Solution  générale. 

Art.  320. 

393.   Conséquences  de  cette  solution. 

CHAPITRE   VIL 

Propagation  de  la  chaleur  dans  un  prisme  rectangulaire. 

Art.  321 ,  322,  323. 

p.g". 

395.  Expression  du  mouvement  simple  déterminé  par  les  propriétés  gé- 
nérales lie  la  chaleur,  et  par  la  figure  du  solide.  Il  entre  dans 
cette  expression  un  arc  e  qui  satisfait  à  une  équation  transcen- 
dante, dont  toutes  les  racines  sont  réelles. 

Art.  324. 

398.  On  détermine  tous  les  coefficients  inconnus  par  des  intégrales  dé- 

finies. 

Art.  3a5. 

399.  Solution  générale  de  la  question. 

Art.  326,  327. 
4oi.    La  question  proposée  n'admet  aucune  autre  solution. 

Art.  328,  329. 
4o3.    Températures  des  points  de  l'axe  du  prisme. 

Art.  33o. 
4o5.   AppliGaition  au  icas  oîilMBpaisseur  du  prisme  est  îrès-^fetite. 


DES    MATIÈRES.  62J 

f'Sts. 

Art.  33i,  332. 

4o6.  La  solution  fait  connaître  comment  s'établit  le  mouvement  uni- 
forme de  la  chaleur  dans  l'intérieur  du  solide. 

Art.  332. 

409.    Application  à  des  prismes  dont  la  base  a  de  grandes  dimensions. 

CHAPITRE   VIII. 

Du  mouvement  de  la  chaleur  dans  un  cube  solide. 

Art.  333,  334. 

4ii.  Expression  du  mouvement  simple.  Il  y  entre  un  arc  t  qui  doit  sa- 
tisfaire à  une  équation  trigonométrique  dont  toutes  les  racines 
sont  réelles. 

Art.  335,  336. 

41 3.    Formation  de  la  solution  générale. 

Art.  337. 

417.  La  question  ne  peut  admettre  aucune  autre  solution. 

Art.  338. 
Ibid.   Conséquence  de  cette  solution. 

Art.  339. 

418.  Expression  de  la  température  moyenne. 

Art.   340. 

420.  Comparaison  du  mouvement  final  de  la  chaleur  dans  le  cube ,  avec 
le  mouvement  qui  a  lieu  dans  la  sphère.  . .  —  ; 

Art.  34  r. 
422.    Application  au  cas  simple  que  l'on  a  considéré  dans  l'art.  loo. 


79- 


628  TABLE 

CHAPITRE  IX. 

De  la  diffusion  de  la  chaleur. 

SECTION   PREMIÈRE. 

Du  mouvement  libre  de  la  chaleur  dans  une  ligne  infinie. 

Articles  342  ,  343  ,  344- 

Pag«!. 

428.  On  considère  le  mouvement  linéaire  de  la  chaleur  dans  une  ligne 
infinie,  dont  une  partie  a  été  échauffée;  l'état  initial  est  repré- 
senté par  v^=.Y X.   On  démontre  le  théorème  suivant: 

.  Y  X-=--  j  dq  COS.  qx  j  dcF  a  COS.  q  «. 
o  o 

La  fonction  Fx  satisfait  à  la  condition  F.r=:r(  —  x).  Expres- 
sion des  températures  variables. 

Art.  348. 

433.  Application  au  cas  où  tous  les  points  de  la  partie  échauffée  ont  reçu 
la  même  température  initiale.  L'intégrale 


00 


dq  1 

—^.sm.q.cos.qx     est         ■n, 


Si  l'on  donne  à  x  une  valeur  comprise  entre  i  et  «—  i  ;  et  cette 
intégrale  définie  a  une  valeur  nulle,  si  x  n'est  pas  comprise  entre 
I  et  —  I. 

Art.  349. 

Ibid.    Application  au  cas  oîi  réchauffement  donné  résulte  de  l'état  final 
que  détermine  l'action  d'un  foyer. 


DES    MATIÈRES.  629 

Pa|M. 

Art.  35o. 
434.   Valeurs  discontinues  de  la  fonction  exprimée  par  l'intégrale 


I 


^  .  COS.  ^x- 


o 

Art.  35i,  352,  353. 

435.  On  considère  le  mouvement  linéaire  de  la  chaleur  dans  une  ligne 
infiniedont  les  températures  initiales  sont  représentées  pur  u=.J'j: 
à  la  distance  x  vers  la  droite  de  l'origine,  et  par  v=. — fx  à  la 
distance  x  vers  la  ganche  de  l'origine.  Expression  de  la  tempé- 
rature variable  d'un  'point  quelconque.  On  déduit  cette  solution 
de  l'analyse  qui  exprime  le  mouvement  de  la  chaleur  dans  une 
ligne  infinie. 

Art.  354. 

439.  Expression  des  températures  variables  lorsque  l'état  initial  de  la 
partie  échauffée  est  exprimée  par  une  fonction  entièrement 
arbitraire. 

Art.  355,  356,  357,  358. 

44 '•  Les  développements  des  fonctions  en  sinus  ou  cosinus  d'arcs  mul- 
tiples se  transforment  en  intégrales  définies. 

Art.   359. 
444-   On  démontre  le  théorème  suivant  : 

00  ce 

-  fx=   j   dq  .  sïn.qx    l  dafa.S\\\.q  a.- 
o  o 

La  fonction^.^-  satisfait  à  cette  condition  :y(' — x)z= — fx. 
Art.  36o,  36i  ,  362. 

446.  Usage  des  résultats  précédents.  On  démontre  le  théorème  exprimé 
par  celte  équation  générale: 


63o  TABLE 

Pages. 

H-  00  oo 

x<fx=    I  ^aça  j  dqcoi  {qx — qa.). 
— oo  o 

Cette  équation  est  évidemment  comprise  dans    l'équation  (^t) , 
rapportée  article  234.  {f^oir  art.  3y7). 

Art.-  363. 

45o.  La  solution  précédente  fait  aussi  connaître  le  mouvement  variable 
de  la  chaleur  dans  une  ligne  infinie,  dont  un  point  est  assujetti 
à  une  température  constante. 

Art.  364. 
453.   On  peut  aussi  résoudre  cette  même  question  au  moyen  d'une  autre 
forme  de  l'intégrale.  Formation  de  cette  intégrale. 

Art.  365,  366. 

455.  Application  de  cette  solution  à  un  prisme  infini ,  dont  les  tempéra- 
tures initiales  sont  nulles.  Conséquences  remarquables. 

Art.  367,  368,  369. 

461.  La  même  intégrale  s'applique  à  la  question  de  la  diffusion  de  la 
chaleur.  La  solution  que  l'on  en  déduit  est  conforme  à  celle  que 
l'on  a  rapportée  dans  les  articles  347;  ^48. 

Art.  370,  371. 

466.  Remarques  sur  diverses  formes  de  l'intégrale  de  l'équation 

dv (P  V 

dt        ^?' 

SECTION   IL 

Du  mouvement  libre  de  la  chaleur  dans  un  solide  infini. 

Art.  372,  373,  374,  375,  376. 
470.   L'expression  du  mouvement  variable  de  la  chaleur  dans  une  masse 


Pl{«. 


DES   MATIÈRES.  63l 

solide  infinie,  et  selon  les  trois  dimensions,  se  déduit  immédia- 
tement de  celle  du  mouvement  linéaire.  L  intégrale  de  1  équation 

dv         d^  Il        d'  V       d'  V 
dt         dx'         dy        dz^ 

résout  la  question  proposée.  Il  ne  peut  y  avoir  aucune  intégrale 
plus  étendue;  elle  se  déduit  aussi  de  la  valeur  particulière 


-j^=e  .  COS.  nx , 


ou  de  celle-ci  : 


l/' 


qui  satisfont  lune  et  1  autre  a  1  équation  —=——5.  La  généra- 
lité des  intégrales  que  l'on  obtient  est  fondée  sur  la  proposition 
suivante ,  que  l'on  peut  regarder  comme  évidente  d'elle-même. 
Deux  fonctions  des  variables  x,  j,  z,  f  sont  nécessairement 
identiques,  si  elles  satisfoirt  à  l'équation  différentielle 

dv       d^  V       d'  V       d'  -v 

et  si  en  même  temps  elles  ont  la  même  valeur  pour  une  certaine 
valeur  de  i^. 

Akt.  377  ,  378 ,  379 ,  38o,  38i ,  382  ,  383. 

480.  La  chaleur  contenue  dans  une  partie  d'un  prisme  infini,  dont  tous 
les  autres  points  ont  une  température  initiale  nulle,  commence  à 
se  distribuer  dans  toute  la  masse;  et  après  un  certain  intervalle 
de  temps  ,  l'état  d'une  partie  du  solide  ne  dépend  point  de  la  dis- 
tribution de  la  chaleur  initiale,  mais  seulen.ent  de  sa  quantité. 
Ce  dernier  résultat  n'est  point  dû  à  l'augmeuiation  de  la  dislance 
comprise  entre  un  point  de  la  masse  et  la  partie  qui  avait  été 
échauffée  ;  il  est  entièrement  dû  à  l'augmentation  du  temps  écoulé. 


632  TABLE 

Pagtj. 

—  Dans  toutes  les  questions  soumises  au  calcul,  les  exposants 
sont  des  nombres  absolus,  et  non  des  quantités.  On  ne  doit  point 
omettre  les  parties  de  ces  exposants  qui  sont  incomparablement 
plus  petites  que  les  autres,  mais  seulement  celles  qui  ont  des 
valeurs  absolues  extrêmement  petites. 

Art.  383,384,  385. 

490.  Les  mêmes  remarques  s'appliquent  à  la  distribution  de  la  chaleur 
dans  un  solide  infini. 

SECTION   III. 

Des  plus  hautes  températures  dans  un  solide  infini. 

Art.  386,  387. 

494-  La  chaleur  contenue  dans  une  partie  du  prisme  se  distribue  dans 
toute  la  masse.  La  température  d'un  point  éloigné  s'élève  pro- 
gressivement,  arrive  à  sa  plus  grande  valeur,  et  décroît  ensuite. 
Le  temps  après  lequel  ce  maximum  a  lieu ,  est  une  fonction  de 
la  distance  x.  Expression  de  cette  fonction  pour  un  prisme  dont 
les  points  échauffés  ont  reçu  la  même  température  initiale. 

Art.  388,  389,  890,  891. 

497.  Solution  d'une  question  analogue  à  la  précédente.  Conséquences 
diverses  de  cette  solution. 

Art.  392,  393,  394,  395. 

5o3.  On  considère  le  mouvement  de  la  chaleur  dans  un  solide  infini,  et 
l'on  détermine  les  plus  hautes  températures  des  points  très-éloi- 
gnés  de  la  partie  primitivement  échauffée. 


DES    MATIÈRES.  633 

SECTION  IV. 

Comparaison   des  intégrales. 

Art.  396. 

509.   Première  intégrale  (a)  de  l'équation  —  =-5— ^  Cette  intégrale 

Cl  L  CL  tJu         1  ti  f» 

exprime  le  mouvement  de  la  chaleur  dans  l'arraille. 

Art.  397. 

5 II.  Seconde  intégrale  (P)  de  cette  même  équation  {a).  Elle  exprime 
le  mouvement  linéaire  de  la  chaleur  dans  un  solide  infini. 

Art.  898. 

5i3,  On  en  déduit  deux  autres  formes  (y)  et  (  J)  de  l'intégrale,  qui  dé- 
rivent, comme  la  précédente,  de  l'intégrale  («). 

Art.  399,  400. 

5i4.  Premier  développement  de  la  valeur  de  v  selon  les  puissances  crois- 
santes du  temps  t.  Deuxième  développement,  selon  les  puis- 
sanses  de  v.  Le  premier  doit  contenir  une  seule  fonction  arbi- 
traire de  t. 

Art.  4oi. 

317.  Notation  propre  à  représenter  ces  développements.  Le  calcul  qui 
en  dérive  dispense  d'effectuer  le  développement  en  série. 


Art. 

402. 

519. 

Application  aux 

équations 

d'v 
dt' 

d-'v 

d'v 

dz^     (.), 

Art. 

d^v 

''     de 
4o3. 

d''V 

=0 

523. 

Apphcation  aux 

équations 

(d). 


80 


634  TABLE 

d''v       d"  V  d'"v  d''v 

'dr  '^d^'^^'dz'.dj'  '*"^"~°'         (e) 

Jv  d'  V       ,    d^  V  d'^  v        ,  d^v 

"*       dI=''-dI^-^^-d^^-^'-d7'+'^-dï^^'''-      (/) 

Art.   4o4- 
523.    Usage  du  théorème  E  île  l'article  36i ,  pour  former  l'intégrale  de 
l'équation  (/")  de  l'article  précédent. 

Art.  4o5. 
SaS.    Usage  du  même  théorème  pour  former  l'intégrale  de  l'équation  [d), 
qui  convient  aux  lames  élastiques. 

Art.  4o6. 

529.  Seconde  forme  de  cette  même  intégrale. 

Art.  407. 

530.  Lemmes  qui  servent  à  effectuer  ces  transformations. 

Art.  4o8. 
533.    Notre  théorème  exprimé  par  l'équation  (E),  page  449»  convient  à 
un  nombre  quelconque  de  variables. 

Art.  4o9, 
535.    Usage  de  cette  proposition  pour  former  l'intégrale  de  l'équation  (c) 
de  l'article  4o2. 

Art.  4io. 

537.  Application  du  même  théorème  à  l'équation 

d'  -v       d"  -v       d"  7> 

d^  ~^  Ij^  ~^  lzF~  °' 

Art.  ^i\. 

538.  Intégrale  de  l'équation  (e)  des  surfaces  élastiques  vibrantes. 

Art.  4i2. 
540.    Seconde  forme  de  cette  intégrale. 


DES    MATIERES. 


635 


Art.  4i3. 

541.    Usage  du  même  théorème  pour  obtenii-  les  intégrales,  en  sommant 
les  séries  qui  les  représente.  Application  à  l'équation 

d  V d''  v. 

'dt~  dz^ 

Intégrale  sous  forme  finie,  contenant  deux  fonctions  arbitraires 
de  t. 

Art.  4i4- 

545.  Les  expressions  changent  de  forme  lorsqu'on  choisit  d'autres  limites 

des  intégrales  définies. 

Art.  4i5,  ^16. 

546.  Construction  qui  sert  à  démontrer  l'équation  générale 


fx-=z /  do-fct.  I  dp  COS.  {px — /?«). 


(B) 


Art.  4^7- 
55 1.    On   peut  prendre  des  limites   quelconques  a  et  ù  pour  1  intégrale 
par   rapport  à  a.  Ces  limites  sont  celles  des   valeurs   de  .r ,  qui 
correspondent  à  des  valeurs  subsistantes  de  la  fonction  yx.  Toute 
autre  valeur  de  x  donne  poury"jr  un  résultat  nul. 

Art.  418. 
554.    La  même  remarque  convient  à  l'équation  générale 

-  r  +  co  -)-  os 

/"x  ==: ^        .       /  d^fa  COS.    {  i  .  -^  ■  X  —  a    ), 

/■  =  -  00         ^  » 

dont  le  second  membre  représente  une  fonction  périodique. 
Art.  4'9- 

557.    Le    caractère   principal   du  théorème  exprimé  par  l'équation  (B), 
consiste  en   ce  que  le  signe  y^de  fonction  est  triinsporté  à  une 

80. 


636  TABLE 

P»g"-  .  .      .  ^  • 

autre  inrléterminée  a,  et  que  la  variable  principale  'v  nest  plus 

que  sous  le  signe  cosinus. 

Art.  420. 

558.  Usage  de  ces  théorèmes  dans  le  calcul  des  quantités  imaginaires. 

Art.  421. 

559.  Application  à  léquation 

d^+dP=''- 

Art.  422. 

56 1.  Expression  générale  de  la  fluxion  de  l'ordre  t; 

dx 

Art.  423. 

562.  Construction   qui  sert   à   démontrer  l'équation  générale. —  Consé- 

quences relatives  à  l'étendue  des  équations  de  ce  genre,  aux  va- 
leurs de  y^ar,  qui  répondent  aux  limites  de  x,  aux  valeurs  infinies 
de  J^JC. 

Art.  424 1  425,  426,  427- 
566.    La  méthode  qui  consiste  à  déterminer  par  des  intégrales  définies  les 
coefficients  inconnus  du  développement  dune  fonction   de  x, 
sous  la  forme 

a<f{\J.^.x]  +  bf{y.,.x)-{-c<f{ti.,.x)-i-etc. 

se  déduit  des  éléments  de  l'analyse  algébrique.  Exemple  relatif 
à  la  distribution  de  la  chaleur  dans  la  sphère  solide.  En  exami- 
nant sous  ce  point  de  vue  le  procédé  qui  sert  à  déterminer  les 
coefficients,  on  résout  facilement  les  questions  qui  peuvent  s'éle- 
ver sur  l'emploi  de  tous  les  termes  du  second  membre,  sur  la 
discontinuité  des  fonctions,  sur  les  valeurs  singulières  ou  infi- 


DES    MATIERES. 


637 


Pagri 


nies.  —  Les  équations  que  l!ûn  obtient  par  celle  méthode  ex- 
priment, ou  l'état  variable  ,  ou  1  état  initial  des  niasses  de  dimen- 
sions infinies.  —  La  forme  des  intégrales  qui  conviennent  à  la 
théorie  de  la  chaleur,  représente  à-la-fois  la  composition  des  mou- 
vements simples,  et  celle  d'une  infinité  d'effets  partiels ,  dus  à 
l'action  de  tous  les  points  du  solide. 

Art.   428. 

58o.    Remarques  générales  sur  la  méthode  qui  a  servi  à  résoudre  les  ques- 
tions analytiques  de  la  théorie  de  la  chaleur. 

Art.  429. 
589.    Remarques  générales  sur  les  principes  dont  on  a  déduit  les  équa- 
tions différentielles  du  mouvement  de  la  chaleur. 

Art.  43o. 

595.  Dénominations  relatives  aux  propriétés  générales  de  la  chaleur. 

Art.  43*. 

596.  Notations  proposées. 

Art.  432,  433. 

597.  Remarques  générales  sur  la  nature  des  coefficients  qui  entrent  dans 

les  équations  différentielles  du  mouvexnent  de  la  chaleur. 


FIN     DE     LA     TABLE. 


ERRATA. 


Page  g5,  article  loo,  ligne  2  de  cet  article:  au  lieu  de  -b,  lire  r. 

P.  io5,  art.  iio,  lig.  5  de  cet  art.  :  au  au  lieu  de  a  ,  lire  ol 
Lig.  3  du  même  art.  :  après  le  mot  logarithme ,  ajouter  hyperbolique 
Dernière  lig.  du  même  art.,  à  la  fin  :  ajouter  et  divisant  le  produit  pas  V 
P.  III,  art.  117,  lig.  3  de  cet  art.  :  au  lieu  de  4  V,  lire  h  V 

2.2  2.2 

P.   174,  lie-  q:  au  lieu  de  ,  lire  -  _. 

'    '     *    ^  1.2'  1.3 

P.  235,  art.  221 ,  lig.  I  de  cet  art.  :  au  lieu  de  art.  220,  lire  art.  219 

P.  aSy,  lig.  2  :  à  la  suite  de  l'équation,  ajouter  (jn) 

Et  lig.  6  de  lart.  222  :  au  lieu  de    -r.,   lire   -n 
°  24 

P.  254,  lig.  20  :  au  lieu  de  la  différence ,  lire  la  demi-différence 

P.  343,  lig.  3  :  après  le  mot  origine,  au  lieu  de  «  o  «,  lire  o 

Et  lig.  10  :  au  lieu  de  n(an,  n20i,n,  lire  n-^n,  ni-r.ti 

..  .      X  X  X  X 

P.  352 ,  à  la  fin  de  l'art.  293  :  au  heu  de  —  ^^  ~  ■,     1""^    -^^  et  r^ 

oc  X  J\.  A. 

P.  378,  lig.  8  :  au  lieu  de  ca?,.{y~g  .  sÏTi.r)dr,  lire  ces.  (.rl/y.  sin. r)dr 
P.  392 ,  lig.  6  :  entre  les  deux  premiers  termes ,  écrire  le  signe  + 
P.  427,  art.  344)  lig-  10  de  cet  art.  :  au  lieu  defg.  i5,  lire^^.  16. 
P.  4'^Oj  lig-  ï8  :  au  lieu  de  q.dç  et  q.dq,  lire  j-dq  et  i.dq 

P.  434  j  à  la  fin  de  l'art.  35 1  :  écrire  le  facteur  e 

P.  435,  lig.  3  :  après  le  mot  fonction,  écrire  le  facteur  - 

Et  art.  35i ,  lig.  10  :  au  lieu  de  Yx ,  lire  — ¥ r 

P.  437,  art.  353,  lig.  7:  au  lieu  de  "—,   lire  -7- 

P.  444j  art-  358,  lig.  3:  écrire  au-devant  de  chaque  expression  le  facteur  1 

2 
Et  lig.  10  du  même  art.  :  au  lieu  àe  fg.  28,  lirey^.  20. 


ERRATA.  639 

p.  467,  lig-  8  :  au  lieu  de  ç     ,  lire  </ 

P.  477)  lig-  'O  :  au  lieu  de  la  lettre  p ,  écrire  la  lettre  g 

P.  497 ■>  ^^^'  388,  lig.  5  :  au  lieu  de  infinie,  Ure ^nie 

P.  5o3,  lig.  II  et  12  :  au  lieu  des  mots  conservé  seul,  lire  o?7i/s 

P.  5i4)  lig.  i5  :  au  lieu  de '^ — ^ — ,,  lire  — 7:  et  au  lieu  de  — :^ =— -;,  lirp- 

°  2.3.4'         2-3'  2.3.4.5.6' ""^2.3.4 

p.  5i5,  lig.  3  :  au  lieu  de  -i> ,  lire  -v^ 

P.  517,  art.  4oi,  lig.  3  de  cet  article  :  au  lieu  de  — tD',  lire  ^D' 

P.  5i8,  liff.  i5  :  au  lieu  de  -, —  ç,  lire  — —  .  v 

'     "  dx'  ^'  dx" 

P.  549,  lig.  7  :  supprimer  les  mots  (fig.  VIII).   On  suppléera  tacilement 

la  construction 
P.  589,  lig.  4  :  au  lieu  de  ces  mots,  du  résultat,  lire  des  résultats 


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